中国矿业大学 线性代数 第一章、第二章测验

可得： 边同时左乘 A ，可得： p = dA p ，即：
−1 −1
−1
A p = d p 又因为 p = [1,1, ⋯ ,1] ， 所以
−1 −1
T
A 中每行元素之和都等于 d
−1
−1
。
11．设 A ,B 都是 m × n 实矩阵，并且 r ( A + B ) = n ，证明对于 ． 实矩阵，
方程组有唯一解； 当 k ≠ 0 时 且 k ≠ 1 r ( A) = r ([ A, b ]) = 3 方程组有唯一解； 方程组无解； 当 k = 0 时 r ([ A, b ]) = 3 ， r ( A) = 2 ，方程组无解； 当 k = 1 时，方程组有无穷多解
k 1 − 1 k A = 1 k 1 ， b = 1 1 1 − k k 1 −k k 2 λ −1 1 1 初等行变换 [A, b] = λ − 1 1 2 r ↔r ,r −→−kr ,r +r 0 k − 1 k + 1 1 − k = [B, c] 1 3 2 r1 ,r3 1 3 2 2 2 4 5 − 5 − 1 0 0 k + k 1− k
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])
−5
由前述分析可知： 由前述分析可知： λ = 1
1 0 0 1 1 0 [A, b] → 0 − 1 1 − 1 ，向量形式的通解为 − 1 + k 1 其中任意 k 为实数。 为实数。 0 0 0 0 0 1
−1
1 0 1 1 0 0 2 0 1 故 B = (A + E ) = 0 2 0 + 0 1 0 = 0 3 0 − 1 0 1 0 0 1 − 1 0 2
2 x1 + λx 2 − x3 = 1 8．讨论 λ 为何值时，方程组 λx1 − x 2 + x3 = 2 为何值时， ． 4 x + 5 x − 5 x = −1 2 3 1
第一章、 第一章、第二章测验
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2．已知 n 阶方阵 A 满足 A + A − 7 E = O ，则 ( A − 2E ) ．
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
⋮
⋮
⋮
⋮
b b b ⋯ a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
解： 因为 A − E = 0
1 0 =1≠ 0 −1 0 0
−1
可逆， 所以 A − E 可逆，即 ( A − E ) 存在
存在， 因为 ( A − E ) 存在，两边同时乘以 ( A − E )
−1
AB + E = A 2 + B ⇔ A 2 − E = AB − B ⇔ ( A − E )( A + E ) = ( A − E )B ⇔ (A + E ) = B
A = λ − 1 1 = 5(λ − 1) λ + 4 5 −5 2
λ
−1
4 4 ≠ 0 ⇒ λ ≠ 1且 λ ≠ − 5 5
（2）方程组无解时， R( A) ≠ R ([ A, b]) ）方程组无解时，
λ − 1 1 2 λ − 1 1 2 初等行变换 [A, b] = λ − 1 1 2 → λ − 1 1 2 4 5 − 5 − 1 4＋5λ 0 0 9 4 当 λ＝ − 时 R ([ A, b]) = 3 ， R( A) = 2 ， R( A) = 2 < 3 = R ([A, b]) 5
10． 可逆矩阵中每行元素之和都等于常数 ．
d ，且 d ≠ 0 , 证明： A 中每行元素之和都 证明： −1 等于 d 。 证明： 中每行元素之和都等于 证明： 设可逆矩阵 A 中每行元素之和都等于 T 常 数 d ， 令 p = [1,1, ⋯ ,1] ， 容 易 验 证 Ap = dp 。 因为 A 可逆且 d ≠ 0 ，所以在 Ap = 的两
6 ． 设 矩 阵 B 满 足 ： 2 ABA
−1
= AB + 6 E ， 其 中 E 为 单 位 阵 ， 且
− 1 − 2 − 1 A = − 3 1 − 5 ，求矩阵 B。 。 − 3 − 2 − 1 −1 解： 2 ABA = AB + 6 E ⇒ AB (2 E − A) = 6 A ⇒ B (2 E − A) = 6 E
T
12． 设 A 为 n 阶矩阵，并且 A A = AA = E ， A = −1 ， ． 阶矩阵，
T T
证明 r ( A + E ) < n ； 证明： 证明：
T
因为 E = AA
A + E = A + AA = A E + A
T
(
T
) = A (A
T
+E
)
T
= A A+ E
故： r ( A + E ) < n
1 1 − 1 1 r −r 1 1 − 1 1 3 0 0 2 0 →2 0 0 2 0 [B, c] = 0 0 2 0 0 0 0 0 1 − 1 1 0 + µ 1 + µ 0 其中任意 µ ， µ 为实数。 向量形式的通解为 1 2 1 2 为实数。 0 0 1
kx1 + x 2 − x 3 = k 9．讨论 k ≥ 0 为何值时，方程组 x1 + kx 2 + x 3 = 1 为何值时， ． x + x − kx = k 2 3 1
有唯一解？无解？有无穷多解？在有无穷多解求通解。 有唯一解？无解？有无穷多解？在有无穷多解求通解。 解：令方程组的系数矩阵和常数项分别为
kx1 + x 2 − x3 = k 9． 讨论 k ≥ 0 为何值时 ， 方程组 x1 + kx2 + x3 = 1 为何值时， ． x + x − kx = k 2 3 1
（选做） 选做） 有唯一解？无解？有无穷多解？在有无穷多解求通解。 有唯一解？无解？有无穷多解？在有无穷多解求通解。 10． 可逆矩阵中每行元素之和都等于常数 d ， d ≠ 0 , 证 ． 且 明： A 中每行元素之和都等于 d
因为 2E-A 可逆
⇒ B = 6(2 E − A)
B = 6(2 E − A)
−1
−1
−1
3 2 1 = 63 1 5 3 2 3
4 − 9 7 = − 6 − 6 12 − 3 0 3
1 0 1 2 7． 设 A, B 都是 3 阶方阵，且满足 AB + E = A + B ，又设 A = 0 2 0 ，求矩阵 B。 阶方阵， ． 。 −1 0 1 0 0 1
T T
答案
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
−1
2．已知 n 阶方阵 A 满足 A + A − 7 E = O ，则 ( A − 2E ) ．
2 x1 + λx 2 − x3 = 1 为何值时， 8．讨论 λ 为何值时，方程组 λx1 − x 2 + x3 = 2 ． 4 x + 5 x − 5 x = −1 2 3 1
有唯一解？无解？有无穷多解？在有无穷多解时求通解。 有唯一解？无解？有无穷多解？在有无穷多解时求通解。
零向量； 零向量；
⇒ 当 Ax ≠ 0 时， ( Ax ) Ax > 0 T T 又因为 x B Bx ≥ 0 T T T T 所以 x A Ax + x B Bx > 0 T T T T 同理可证， 同理可证，当 Bx ≠ 0 时， x A Ax + x B Bx > 0 T T T T 综上可知， 综上可知， ∀ n ×1 的实向量 x ≠ 0 ， x A Ax + x B Bx > 0
2
= A + 3E 3 ． 设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [ a1 , a 2 , a 3 ] ， 且 det A = 3 ， 若三阶方阵
B = [a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B = a b b ⋯ b b a b ⋯ b
4． 阶行列式 D = b ． n
－24
b a ⋯ b
∀ n ×1 的实向量 x ≠ 0 ， x A Ax + x B Bx > 0 证明： 证明： 因为 r ( A + B ) = n ，所以 ∀ x ≠ 0 ， ( A + B )x ≠ 0 ⇒ Ax ≠ 0 ， Bx ≠ 0 至少有一个成立，即 Ax ， Bx 不能同时为 至少有一个成立，