华师大版七年级数学下册10.3.3 旋转对称图形课件
华东师大版七年级下册10. 旋转的特征 课件
A
E
D
20°
C
B
学习新知
问题：画△ABC绕顶点A顺时针旋转45°的图形.
以A为顶点, AB为边顺时针方向作 ∠BAB′=45°，并截取AB=AB′;
2 F4A 7 B
理由如下：
∵△ADF旋转后能与△ABE重合, ∴∠1=∠2.
又∵∠1+∠F=90°, ∴∠2+∠F=90°,
∴∠BGF=90°即BE⊥DF, ∴BE⊥DF.
随堂练习
1.如图，△ABO绕点O旋转得到△CDO，在这个旋 转过程中：
旋转中心是____点_，O 旋转角是___∠__A_O__C_或__∠__B_O；D
经过旋转，点A、B分别移到了___点__C_、__D__；
若AO=3cm，则CO=_____3_c_m___；
若∠AOC=55°,∠AOD=25°，则∠BOD=___5，5°
∠BOC=_8_5_°.
B
A
O 55°25° D
C
2.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB上一点， △CBD经旋转后到达△CAE的位置。问： 旋转中心是___点__C，旋转的度数是___9_0.°
归纳总结
图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋 转了同样大小的角度； 图形中的对应点到旋转中心的距离相等； 图形中的对应线段相等，对应角相等； 图形的形状和大小不变。
例题精析
例1 如图等腰直角ABC逆时针旋转到ADE,
使AD⊥BC, 垂足为O, 试说明:
旋转中心是哪一点？旋转角度是多少？
华东师大版数学七年级下册课时练 第10章 轴对称、平移与旋转 10.3 3.旋转对称图形
华东师大版数学七年级下册第10章轴对称、平移与旋转10.3旋转3.旋转对称图形1．(2019·上海松江区期末)在下列四个图形中，是旋转对称图形的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示的银行图标中，既是旋转对称图形又是轴对称图形的是(C)3．(2019·吉林中考)把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为(C)A．30°B．90°C．120°D．180°第3题图第4题图4．(2019·福建宁德期末)如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个旋转角可能是(B)A．90°B．72°C．60°D．36°5．(2019·四川成都一模)如图，将图案绕中心旋转，当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为__72°__.6．(2019·河南周口沈丘期末)如图，正方形ABCD边长为2，以各边中心为圆心、1为半径依次作四分之一圆，将正方形分成四部分．(1)这个图形__是__旋转对称图形(填“是”或“不是”)；若是，则旋转中心是点__O__，最小旋转角是__90°__.(2)求图形OBC的周长和面积．解：(2)图形OBC的周长＝BC＋12×2π＝2＋π，面积＝14S正方形ABCD＝14×4＝1.7．(2019·山东济南槐荫区期末)几种汽车轮毂的图案如图所示，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是(B)8．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为10 cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积之和为__10__cm2.第8题图第9题图9．(2019·湖南娄底娄星区期末)如图所示的美丽图案，绕着它的旋转中心至少旋转__45__度，能够与原来的图案重合．10．如图，在△ABC中，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′，B′分别是A，B的对应点，且点B′在AB边上，按照上述方法旋转△A′B′C，…，这样共旋转四次恰好构成一个旋转对称图形．(1)求∠BCB′的度数；(2)判断△BCB′的形状．解：(1)∵旋转四次恰好构成一个旋转对称图形，∴∠BCB′＝360°÷5＝72°.(2)∵△ABC旋转到△A′B′C的位置，∴CB＝CB′，∴△BCB′是等腰三角形．。
七年级数学下册 10.3 旋转(第3课时)旋转对称图形同步跟踪训练 (新版)华东师大版-(新版)华东
旋转对称图形一．选择题（共10小题）1．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．2如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（）A．30°B．60°C120°D．180°3．把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为（）时，旋转后的五角星能与自身重合．A．30°B．45°C．60°D．72°4．下列图形中，是旋转对称但不是中心对称图形的是（）A．线段B．正五边形C．正八边形D．圆5．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．问：将该图形绕其中心旋转多少度后会与原图形重合？甲答：45度乙答：90度丙答：180度丁答：270度则甲、乙、丙、丁中谁的回答是错误的？（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°7．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形8．如果正五边形绕着它的中心旋转α角后与它本身重合，那么α角的大小可以是（）A．36°B．45°C．72°D．90°9．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（）A．150°B．120°C．90°D．60°10．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α（0°＜α≤180°）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，旋转对称图形个数有（）A． 1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共7小题）11．一个正五边形绕它的中心至少要旋转_________ 度，才能和原来五边形重合．12．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是_________ 度．13如图，某某特别行政区区旗中央的紫荆花团由5个相同的花瓣组成．它是由其中的一瓣经过4次旋转得到的，每次旋转的角度是_________ °．14．把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，那么至少旋转_________ 度，才能与自身重合．15．要使正六边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转_________ 度．16．如下图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为5cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为_________ cm2．17．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_________ 度．三．解答题（共3小题）18．想一想：如图称为太极图，圆形图案由两条形状和大小完全一样的白鱼和黑鱼组成，也称为“阴阳鱼”，若太极图的直径为，你能算出一条白鱼或黑鱼的面积吗？旋转对称图形参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．考点：旋转对称图形．分析：求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．解答：解：A、最小旋转角度==120°；B、最小旋转角度==90°；C、最小旋转角度==180°；D、最小旋转角度==72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选：A．点评：本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．2．如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．180°考点：旋转对称图形．分析：根据旋转对称图形的旋转角的概念作答．解答：解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合．则α最小值为60度．故选B．点评：本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为（）时，旋转后的五角星能与自身重合．A．30°B．45°C．60°D．72°考点：旋转对称图形．分析：五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．解答：解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、C都错误，能与其自身重合的是D．故选D．点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4．下列图形中，是旋转对称但不是中心对称图形的是（）A．线段B．正五边形C．正八边形D．圆考点：旋转对称图形；中心对称图形．分析：根据旋转对称图形和中心对称图形的概念即可作出判断．解答：解：A、线段是旋转对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；B、正五边形是旋转对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；C、正八边形是旋转对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、圆是旋转对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．点评：本题考查了旋转对称图形和中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．旋转对称图形的概念：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．5．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．问：将该图形绕其中心旋转多少度后会与原图形重合？甲答：45度乙答：90度丙答：180度丁答：270度则甲、乙、丙、丁中谁的回答是错误的？（）A．甲B．乙C．丙D．丁考点：旋转对称图形．分析：观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出最小旋转角度．解答：解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°．则该图形绕其中心旋转90°n（n取1，2，3…）后会与原图形重合．故甲、乙、丙、丁中谁的回答是错误的是甲．故选A．点评：本题考查了旋转对称图形的知识，先求出最小旋转角度是解题的关键．6．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108° C 144°D．216°考点：旋转对称图形．专题：常规题型．分析：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．解答：解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选B．点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．7．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形考点：旋转对称图形．分析：根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案．解答：解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．故选D．点评：本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．8．如果正五边形绕着它的中心旋转α角后与它本身重合，那么α角的大小可以是（）A．36°B．45°C．72°D．90°考点：旋转对称图形．分析：连接OA、OB，根据正五边形的性质求出∠AOB，即可得答案．解答：解：连接OA、OB，∵O是正五边形的中心，∴∠AOB=360°÷5=72°，即正五边形ABCDE绕着它的中心旋转72°后与它本身重合，即α角的大小可以是72°．故选C．点评：本题主要考查对正多边形与圆，旋转对称图形等知识点的理解和掌握，能运用性质进行说理是解此题的关键．9．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（）A．150°B．120°C．90°D．60°考点：旋转对称图形．专题：应用题．分析：该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．解答：解：该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都不正确，不能与其自身重合；能与自身重合的是B．故选B．点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．10．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α（0°＜α≤180°）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，旋转对称图形个数有（）A． 1 B．2 C．3 D．4考点：旋转对称图形．专题：压轴题．分析：根据题中条件，旋转某个角度后可重合的就是旋转对称图形．解答：解：图1绕中心旋转60°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；图2中，无论怎么样旋转都无法重合，除非旋转360度，但超出条件X围，故图2不是旋转对称图形；图3绕中心旋转120°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；图4绕中心旋转72°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形．故选C．点评：考查了旋转对称图形的定义：若一个图形绕着一个定点旋转一个角α（0°＜α≤180°）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．二．填空题（共7小题）11．一个正五边形绕它的中心至少要旋转72 度，才能和原来五边形重合．考点：旋转对称图形．分析：要与原来的五边形重合．可用一个圆周角的度数（即360度）除以5，便可知道至少要旋转多少度才能和原来的五边形重合．解答：解：要与原来五边形重合，故为360÷5=72°．故一个正五边形绕它的中心至少旋转72°才能和原来的五边形重合．点评：本题主要考查旋转对称图形的性质以及几何体度数的计算方法，难度一般．12．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是90 度．考点：旋转对称图形．专题：数形结合．分析：观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．解答：解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°．故答案为：90．点评：本题考查了观察图形，确定最小旋转角度数的方法，需要熟练掌握．13．如图，某某特别行政区区旗中央的紫荆花团由5个相同的花瓣组成．它是由其中的一瓣经过4次旋转得到的，每次旋转的角度是72 °．考点：旋转对称图形．分析：根据旋转的性质和周角是360°求解即可．解答：解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5=72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°．故答案为：72°．点评：本题把旋转的性质和一个周角是360°结合求解．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．注意结合图形解题的思想．14．把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，那么至少旋转72 度，才能与自身重合．考点：旋转对称图形．分析：角星能被从中心发出的射线平分成相等的5部分，再由一个周角是360°即可求出最小的旋转角度．解答：解：五角星可以被中心发出的射线平分成5部分，那么最小的旋转角度为：360°÷5=72°．故答案为：72°．点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．15．要使正六边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转60 度．考点：旋转对称图形．分析：正六边形的中心与各顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，将圆周六等分，可求旋转角．解答：解：根据正六边形的性质可知，相邻的对应点与中心连线的夹角为：360°÷6=60°，即至少应将它绕中心逆时针方向旋转60°．点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．16．如下图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为5cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为5 cm2．考点：旋转对称图形．分析：根据旋转的性质和图形的特点解答．解答：解：每个叶片的面积为5cm2，因而图形的面积是15cm2，图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为5cm2．点评：考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．【】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．17．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为72 度．考点：旋转对称图形．分析：根据旋转的性质和五角星的特点解答．解答：解：五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为=72度．点评：本题考查旋转对称图形的概念，旋转的最小度数是解决本题的关键．【】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．三．解答题（共3小题）18．想一想：如图称为太极图，圆形图案由两条形状和大小完全一样的白鱼和黑鱼组成，也称为“阴阳鱼”，若太极图的直径为，你能算出一条白鱼或黑鱼的面积吗？考点：旋转对称图形．专题：计算题．分析：如果不考虑颜色，太极图是旋转对称图形，则一条白鱼和黑鱼的面积相等，然后根据圆的面积公式计算．解答：解：一条白鱼和黑鱼的面积相等，所以一条白鱼或黑鱼的面积=2=π（m2）．点评：本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．。
2020—2021年华东师大版七年级数学下册同步跟踪训练生活中的旋转现象(考点+分析).doc
（新课标）华东师大版七年级下册10.3.1生活中的旋转现象一．选择题（共10小题）1．用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（）A．平移和旋转B．对称和旋转C．对称和平移D．旋转和平移2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下面四个图案是某种衣物的洗涤说明标识．其中没有用到图形的平移，旋转或轴对称设计的是（）A． B． C．D．4．下列四个图形中哪些图中的一个矩形是由另一个矩形按顺时针方向旋转90°后所形成的？（）A．①②B．②③C．①④D．②④5．下列现象中是旋转的是（）A．车轮在水平地面上滚动B．火车车厢的直线运动C．电梯的上下移动D．汽车方向盘的转动6．将图形按顺时针方向旋转90°后的图形是（）A．B．C．D．7．下列四个图形中，不能由如图通过平移或旋转得到的图形是（）A．B．C． D．8．如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA连续翻转（小正方形起始位置在AB边上），那么这个小正方形翻转到DA边的终点位置时，它的方向是（）A．B．C．D．9．如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（）A．B．C．D．10．下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（）A．（3）和（4）B．（2）和（3）C．（2）和（4）D．（4）和（3）二．填空题（共7小题）11．如图是电脑CPU风扇的示意图．风扇共有9个叶片，每个叶片的面积约为8cm2．已知∠AOB=120°，在风扇的转动过程中，叶片落在扇形AOB内部的面积为_________ ．12．如图，以左边图案的中心为旋转中心，将右边图案按_________ 方向旋转_________ 即可得到左边图案．13．时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是_________ ．14．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过_________ 变换得到图形③；图形①经过_________ 变换得到图形④．（填平移或旋转）15．一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第2009个图案是第_________ 个．16．如图所示，图形①经过_________ 变换得到图形②；图形②经过_________ 变到图形③；图形③经过_________ 变换得到图形④（填平移、旋转或轴对称）．17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了_________ ．三．解答题（共4小题）18．如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的1张牌是哪一张吗？为什么？19．如图，扎西坐在旋转的秋千上，请在图中画出点A，B，C的对应点A′，B′，C′．20．如图，可以看做是一个弓形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？21．如图是万花筒中的一个图案，其中菱形FJKG变成菱形FDAC，如果看成经过以F点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的，那么x等于多少度？请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来．（A）60°；（B）120°；（C）180°；（D）以上答案都不对．10.3.1生活中的旋转现象参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（）A．平移和旋转B．对称和旋转C．对称和平移D．旋转和平移考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：根据对称和旋转定义来判断．解答：解：根据对称和旋转定义可知：“当窗理云鬓，对镜贴花黄”是对称；“坐地日行八万里”是旋转．故选B．点评：考查学生对对称和旋转的理解能力．要理解：“对镜贴花黄”是指人和镜像的对称关系；“坐地日行八万里”是指人绕地心旋转．2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：生活中的旋转现象；轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念和图形特点求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故选：B．点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3．下面四个图案是某种衣物的洗涤说明标识．其中没有用到图形的平移，旋转或轴对称设计的是（）A． B． C．D．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：本题考查平移、旋转和轴对称的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．解答：解：A、图案用到了图形的旋转设计；B、图案用到了图形的旋转设计；C、图案没有用到图形的平移，旋转或轴对称设计；D、图案既有旋转又有平移设计．故选C．点评：熟练掌握平移、旋转和轴对称的性质．①图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；③轴对称图形的对应线段、对应角相等．4．下列四个图形中哪些图中的一个矩形是由另一个矩形按顺时针方向旋转90°后所形成的？（）A．①②B．②③C．①④D．②④考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：已知图形中的矩形和实线的对角线的位置，看看以那个点为旋转中心，按顺时针方向旋转90°能不能从一个矩形得到另一个矩形，再进行判断即可．解答：解：图①和③不论以那个点为旋转中心，按顺时针方向旋转90°都不能从一个矩形得到另一个矩形，而图②和图④以A点为旋转中心，按顺时针方向旋转90°能从一个矩形得到另一个矩形，故选D．点评：本题考查了矩形，旋转的性质的应用，主要考查学生对旋转的性质的理解，通过做此题培养了学生的观察图形的能力和空间想象能力．5．下列现象中是旋转的是（）A．车轮在水平地面上滚动B．火车车厢的直线运动C．电梯的上下移动D．汽车方向盘的转动考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．即可得到答案．解答：解：A、车轮在水平地面上滚动不是旋转，故此选项错误；B、火车车厢的直线运动是平移，故此选项错误；C、电梯的上下移动是平移，故此选项错误；D、汽车方向盘的转动是旋转，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了生活中的旋转，关键是掌握旋转中心是点而不是线．6．将图形按顺时针方向旋转90°后的图形是（）A．B．C．D．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有专题：操作型．分析：根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变；图片按顺时针方向旋转90°，分析可得答案．解答：解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90°，分析可得D符合．故选D．点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．7．下列四个图形中，不能由如图通过平移或旋转得到的图形是（）A．B．C． D．考点：生活中的旋转现象；生活中的平移现象．菁优网版权所有专题：常规题型．分析：根据平移的性质，旋转的概念，结合图形，对选项一一分析，即可得到正确答案．解答：解：A、是由右边的图通过逆时针旋转90°得到的图形；B、右边的图通过旋转180°，鱼眼睛应在左上方，故不正确；C、是由右边的图通过顺时针旋转90°得到的图形；D、是由右边的图通过平移得到的图形；故选B．点评：本题考查了图形的平移，查旋转的性质．图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小；图形的旋转，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．8．如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA连续翻转（小正方形起始位置在AB边上），那么这个小正方形翻转到DA边的终点位置时，它的方向是（）A．B．C．D．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：根据题意可得这个小正方形第一次回到起始位置时需16次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，则此时就不难得到这个小正方形回到DA边的终点位置时的方向．解答：解：根据题意分析可得：小正方形沿着正方形ABCD的边AB⇒BC⇒CD⇒DA⇒AB连续地翻转，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方，即这个小正方形回到DA边的终点位置时需16次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，故回到DA边的终点位置时它的方向是向下．故选：C．点评：此题主要考查了生活中的旋转现象，本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．9．如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（）A．B． C D．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．解答：解：A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形相同的形状，故选B．点评：本题难度一般，主要考查的是旋转的性质．【链接】①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．10．下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（）A．（3）和（4）B．（2）和（3）C．（2）和（4）D．（4）和（3）考点：生活中的旋转现象；生活中的平移现象．菁优网版权所有分析：由平移的定义和旋转的性质进行判断．解答：解：图（1）沿一直线平移可得到（3），顺时针旋转可得到（4）．故选A．点评：解答此题要明确平移和旋转的性质：（1）①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．二．填空题（共7小题）11．如图是电脑CPU风扇的示意图．风扇共有9个叶片，每个叶片的面积约为8cm2．已知∠AOB=120°，在风扇的转动过程中，叶片落在扇形AOB内部的面积为24cm2．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：根据旋转的性质和图形的特点求出图中∠AOB内部包含的叶片面积之和为一个叶片的面积，代入求出即可．解答：解：每个叶片的面积为8cm2，因而图形的面积是72cm2，∵∠AOB为120°∴叶片落在扇形AOB内部的面积是图形面积的，因而叶片落在扇形AOB内部的面积为72×=24cm2，故答案为：24cm2．点评：本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．12．如图，以左边图案的中心为旋转中心，将右边图案按逆时针方向旋转90°即可得到左边图案．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：根据旋转的意义，找出图中眼和嘴这两个关键处沿什么方向旋转即可．解答：解：观察图形中眼和嘴两个关键位置是按逆时针旋转90°得到的．点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．13．时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是90°．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．解答：解：∵时针从上午的8时到11时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角=30°×3=90°．故答案为：90°．点评：此题主要考查了旋转及钟面的认识，解决本题的关键是在钟面上指针每走一个数字，绕中心轴旋转30°．14．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过旋转变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④．（填平移或旋转）考点：生活中的旋转现象；生活中的平移现象．菁优网版权所有分析：根据旋转和平移的定义，直接求解．解答：解：观察图形，由图形（1）到（3）是旋转，图形（4）与（1）的大小、形状相同，是平移的得到的．点评：要根据旋转的定义，和平移的性质，确定图形变化的方式．将图象绕一定轴线转动一定角度后能使图象复原的一类对称动作叫旋转．15．一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第2009个图案是第 2 个．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有专题：规律型．分析：观察图形变化规律可知，三个一串，用2009除以3，找余数即可．解答：解：图形每三个成规律性变化，2009÷3=669余2，按此规律画出的第2009个图案是第2个．点评：此题通过旋转，考查了同学们对规律的探索发现能力，是一道难度适中的题目．16．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；图形②经过平移变到图形③；图形③经过旋转变换得到图形④（填平移、旋转或轴对称）．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：根据平移、旋转和轴对称的性质，可直接判断结果．解答：解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，②和③的形状大小一样，是平移关系，③和④图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转．∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形②经过平移变到图形③；图形③经过旋转变换得到图形④．点评：本题考查了生活中的旋转现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称图形的对应线段、对应角相等．17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了120°．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．解答：解：根据题意得，×360°=120°．故答案为：120°．点评：本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．三．解答题（共4小题）18．如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的1张牌是哪一张吗？为什么？考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有专题：常规题型．分析：根据旋转的性质，找出四张牌中成中心对称的一张即可．解答：解：被旋转过的1张牌是第二张牌．理由如下：第一张牌，因为最中间的图案不是中心对称，所以不是中心对称图形，第二张牌是中心对称图形，第三张牌，因为最中间只有一张，所以不是中心对称图形，第四张牌，因为最中间的图案不是中心对称，所以不是中心对称图形，∵将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，∴被旋转过的1张牌是第二张．点评：本题考查了生活中的旋转现象，需要注意扑克牌中图案的细微差别以及中心对称图形的性质．19．如图，扎西坐在旋转的秋千上，请在图中画出点A，B，C的对应点A′，B′，C′．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有专题：操作型．分析：根据旋转的意义，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解答：解：点评：本题考查了图形的旋转变化，要准确把握旋转的定义．20．如图，可以看做是一个弓形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有分析：根据旋转的意义，图形是由4个弓星组成的，因此图形是由弓形顺时针或（逆时针）旋转得来的每次旋转的度数相同，共旋转了3次．解答：解：将图形弓形顺时针或（逆时针）旋转3次，每次旋转了90°．答：可以看做是一个弓形通过3次旋转得到的？每次旋转了90度．点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．21．如图是万花筒中的一个图案，其中菱形FJKG变成菱形FDAC，如果看成经过以F点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的，那么x等于多少度？请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来．（A）60°；（B）120°；（C）180°；（D）以上答案都不对．考点：生活中的旋转现象．菁优网版权所有专题：操作型．分析：根据旋转的意义，找出菱形FJKG中J，K，J3个个关键处按顺时针方向旋转240°或逆时针方向旋转120°后的形状即为菱形FDAC．解答：解：观察图形，菱形FJKG中∠GFJ为60°，根据旋转的意义，找出菱形FJKG中J，K，J3个个关键处按顺时针方向旋转240°或逆时针方向旋转120°后的形状即为菱形FDAC．故选B．点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！。
华师大版数学七年级下册全册教案
1、知识与技能：①了解方程、一元一次方程、二元一次方程组以及方程（组）的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程（组）中的作用。会解一元一次方程、二元一次方程组，并经历和体会解方程中转化的过程与思想，了解解方程（组）解法的一般步骤，并能灵活运用。②了解三角形的内角、外角及其主要线段（中线、高线、角平分线）等概念，会画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性，了解几种特殊三角形与多边形的特征，并能加以简单的识别，探索并掌握三角形的外角性质与外角和，理解并掌握三角形三边关系，探索、归纳多边形的内角和秘外角和公式。③通过具体实例认识轴对称探索线段、角和圆等图形的轴对称性，了解线段中垂线的性质和角平分线的性质，会画轴对称图形并探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质，能利用轴对称进行图案设计，了解等腰三角形的概念掌握其性质和其识别方法。④让学生知道普查和抽样调查的区别，感受抽样调查的必要性和现实性，体会选取有代表性的样本对正确估计总体是十分重要的，会求平均数、中位数、众数并了解它们各自适用范围，体验随机事件在每一次实验中是否发生是不可预言的，但在大数次反复实验后是有规律的。
本章难点：正确理解三角形的高、中线及角平分线的性质并能作图，及三角形内角和的证明与多边形内角和的探究。
第十章：轴对称图形是通过观察与操作，让学生感知确认最为简单的变换——轴对称中隐含着的数学不变量关系，同时辅以数学说理，给学生一定的理性训练与图形变换的思想。
本章重点：轴对称中隐含着的数学不变量关系，同时辅以数学说理
解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得
1.2x＝6
因为1.2×5＝6，所以小红能买到5本笔记本。
二、新授：
我们再来看下面一个例子：
问题1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可以乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆?
华师大版七年级数学下册教案(全册)
华师大版(新)七年级数学下册教案(全册)目录第6章一元一次方程 (1)6．1从实际问题到方程 (1)6.2解一元一次方程 (3)6.2、解一元一次方程 (5)6.3实践与探索 (9)第六章小结与复习(一) (14)第七章二元一次方程组 (19)7.1 二元一次方程组和它的解 (19)7.2 二元一次方程组的解法 (21)7.3 实践与探索 (29)第七章小结与复习(一) (33)第8章多边形 (36)8.1 三角形 (36)8.1.1认识三角形 (37)8.1.2．三角形的外角和 (42)8.1.3．三角形的三边关系 (45)8.2 多边形的内角和与外角和 (47)8.3用正多边形拼地板 (50)第八章小结与复习(一) (53)第九章轴对称 (56)9.1生活中的轴对称 (56)9.2.1 轴对称的认识 (59)9.2.2 画图形的对称轴 (62)9.2.3 画轴对称图形 (63)9.2.4 设计轴对称图案 (65)9.3.1等腰三角形 (66)9.3.2 等腰三角形的识别 (69)第九章小结与复习 (71)10.1.1 统计的意义 (72)10.1.2 从部分看全体 (74)10.2.1平均数、中位数和众数 (75)10.2.2 平均数、中位数和众数的使用 (78)10.2.3 机会的均等与不等 (81)10.2 成功与失败 (83)10.3 游戏的公平与不公平 (85)第十章小结与复习 (87)第6章一元一次方程6．1从实际问题到方程教学目的1．通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。
2．使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。
3．会判断一个数是不是某个方程的解。
重点、难点1．重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。
2．难点：弄清题意，找出“相等关系”。
教学过程一、复习提问小学里已经学过列方程解简单的应用题，让我们回顾一下，如何列方程解应用题?例如：一本笔记本1．2元。
华师大版初中数学七年级下册《10.3.2 旋转的特征》同步练习卷(含答案解析
华师大新版七年级下学期《10.3.2 旋转的特征》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．2．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．3．已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．4．在△ABC中，∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．5．如图，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE=BC，在BC上取一点F，使BF=AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AC与EF的关系如何？6．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．7．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？8．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM 在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为°；（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM 在∠BOC的内部，则∠BON﹣∠COM=°；（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为秒，简要说明理由．9．如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．（1）如图1，求∠EFB的度数；（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为°；②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．10．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．①当α为多少度时，AB∥DC？②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．11．如图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，且∠ABD=90°，（1）△ABD和△EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角．（2）若AB=3cm，BC=5cm，你能求出DE的长吗？（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由．12．如图，△ABC中，∠B=10°，∠ACB=20°，AB=4cm，三角形ABC按逆时针方向旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．13．如图所示，点P是等边△ABC内一点，PB=2，PC=1，∠BPC=150°，求PA的长．14．（1）解不等式：5x﹣13≥2（x﹣2）（2）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△DEC，若AC⊥DE，求∠BAC的度数．15．证明题在等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE．（1）如图1，当点E，D，B三点在同一直线上时，且BE⊥AC，∠BAC=50°，求∠EBC的度数；（2）如图2，将△ADE绕A点旋转，当ED延长线交于BC的中点M时，连接BD，CE，求证：∠BDM=∠MEC．16．（1）如图①所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于F，试判断AE与BD的数量和位置关系，并证明你的结论．（2）若△ECD绕顶点C顺时针旋转任意角度后得到图②，图①中的结论是否仍然成立？请说明理由．17．如图，点P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．试观察并猜想AP与CQ的大小关系；并说明理由．18．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．（1）求证：DA∥BC；（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．19．在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD （1）如图，当α=60°时，△ABD是等边三角形吗？请说明理由；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE．当∠DAG=∠ACB，∠C＜90°，且线段DG与线段AE无公共点时，判断CE与AB的关系，并说明理（请在备用图中将图形补充完整）20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，点D在AB边绕点C逆时针旋转角α到达△ECF的位置，点E在AC边上．（1）直接填空：α的最小度数是；（2）若EF∥CD，试判断△BCD的形状，并说明理由．21．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA=OB=4，OC=OD=2，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）（1）当OC∥AB时，旋转角α=度，OC⊥AB时旋转角α=度．发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．22．（1）如图1，E为等边△ABC内一点，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE=CD，连接BE，取BE中点P，连接AP，PD，AD，直接写出AP与PD的位置关系，并直接用等式表示AP与PD的数量关系；（2）如图2，把图1中的△CDE绕点C顺时针旋转α（60°＜α＜90°），其它条件不变，连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．23．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED=EC （1）如图1，求证：AE=DB；（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．24．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．25．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=6，AC=10，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，并连接AE，求AE的长．26．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，求则∠ACB′的度数．27．如图所示，△ABD旋转后与△ACE重合，△ABC是直角三角形，BC是斜边，如果AD=4，求DE的长度．28．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．（1）直接写出线段DC=；（2）求线段DB的长度；（3）直接写出点B到直线AD的距离为．29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=CB，连接CD，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．求证：△BCD≌△FCE．30．已知，点P是等边△ABC内一点，PA=4，PB=3，PC=5，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ．（1）求PQ的长．（2）求∠APB的度数．31．Rt△ABC中，∠ABC=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A'B'C，使得点A'恰好落在AB上，A'B'交BC于点D，连接BB'．（1）求证：△A'B'C≌△A'B'B．（2）直接写出图中以点B为顶点的所有直角三角形．32．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C′，若AC⊥A′B′，求∠BAC 的度数．33．已知，如图，点C是AB上一点，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作等边三角形△ACD和△BCE．（1）指出△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到的三角形；（2）若AE与BD交于点O，求∠AOD的度数．34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°（即∠DCE=90°）后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．35．在学习了第四章《基本的平面图形》的知识后，小明将自己手中的一副三角板的两个直角顶点叠放在一起拼成如下的图形1和图形2．（1）在图1中，当AD平分∠BAC时，小明认为此时AB也应该平分∠FAD，请你通过计算判断小明的结论是否正确．（2）小明还发现：只要AD在∠BAC的内部，当△ABC绕直角顶点A旋转时，总有∠FAB=∠DAC（见图2），请你判断小明的发现是否正确，并简述理由．（3）在图2中，当∠FAC=x，∠BAD=y，请你探究x与y的关系．36．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到，且AB⊥BC，连接DE．（1）∠DBE的度数．（2）求证：△BDE≌△BCE．37．如图1，点O为直线AB上的一点，过O点作直线OC，使∠BOC=120°，将一块含30°、60°的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB 上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时三角板旋转的角度为°．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度逆时针方向旋转．①若旋转一周，在旋转过程中，直线ON恰好平分∠AOC时，求旋转的时间t值．②若旋转过程中，直线MN∥直线OC，求旋转的时间t的值．38．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB，CD外部，若∠B=50°，∠D=25°，则∠BPD=°（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB，CD内部，则∠B，∠D，∠BPD之间有何数量关系？证明你的结论．（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图 （3），若∠BPD=90°，∠BMD=40°，求∠B+∠D的度数．39．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并证明．40．△ABC是等边三角形，P为其内的一点，并且满足PA=25，PB=7，PC=24，试求∠CPB的度数？41．如图：点P为等边△ABC内一点，且PA=2，PB=1，PC=，求∠APB的度数．42．如图，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．43．如图所示，P为等边△ABC的中心，请用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分，设计出分割方案，并画出示意图．（至少三种）44．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°至△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，求BB′的长．45．如图，△ABC为等边三角形，P为三角形内一点，将△ABP绕A点逆时针旋转60°，得到△ACP′．（1）求证：△APP′为等边三角形．（2）连接PC，若PP′=2，∠P′CP=90°，∠P′PC=30°，求△ABC的面积．46．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．47．在△ABC中，AB=AC，点D在直线BC上（不与点B、C重合），线段AD绕A 点逆时针方向旋转∠BAC的大小，得线段AE，连接DE、CE．探索∠BCE与∠BAC的大小关系，并加以证明．48．已知，P为等边三角形内一点，且BP=3，PC=4，将BP绕点B顺时针旋转60°至BP′的位置．（1）试判断△BPP′的形状，并说明理由；（2）若∠BPC=150°，求PA的长度．49．在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE，如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BF⊥AD，AF=DF．50．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．（1）求线段CD的长；（2）求线段DB的长度．华师大新版七年级下学期《10.3.2 旋转的特征》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=α或α或α；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．【分析】（1）根据巧分线定义即可求解；（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；（3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；（4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）故答案为：是（2）∵∠MPN=α，∴∠MPQ=α或α或α；故答案为α或α或α；深入研究：（3）依题意有①10t=60+×60，解得t=9；②10t=2×60，解得t=12；③10t=60+2×60，解得t=18．故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）依题意有①10t=（5t+60），解得t=2.4；②10t=（5t+60），解得t=4；③10t=（5t+60），解得t=6．故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．【点评】本题考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线”．的定义是解题的关键．2．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=60°，再根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO=BD，加上∠OBD=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD=OB=4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO=60°，再利用旋转的性质得CD=AO=3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，则可判断△OBD 为等腰直角三角形，则OD=OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2=OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°．【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD=∠ABC=60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO=BD，而∠OBD=60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD=OB=4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO=60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD=AO=3，在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，∵32+42=52，∴CD2+OD2=OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；（2）OA2+2OB2=OC2时，∠ODC=90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD=OB，∵当CD2+OD2=OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，∴OA2+2OB2=OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2=OC2时，∠ODC=90°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．3．已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等∠ABC=∠ACB，再根据平行线的性质得出，∠AFE=∠ABC，∠AEF=∠ACB，得出∠AFE=∠AEF，进一步得出结论；（2）求出AE=AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（3）把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∠AEF=∠ACB，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，，∴△CAE′≌△BAF′（SAS），∴CE′=BF′=6；②由（1）可知AE=AF，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72°，又∵∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，综上所述，当旋转角α为36°或72°．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．4．在△ABC中，∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．【分析】（1）先根据三角形内角和计算出∠BAC=150°，然后利用旋转的定义可判断旋转中心为点A，旋转角为150°；（2）根据旋转的性质得到∠DAE=∠BAC=150°，AB=AD=4，AC=AE，利用周角定义可得到∠BAE=60°，然后利用点C为AD中点得到AC=AD=2，于是得到AE=2．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠B+∠ACB=30°，∴∠BAC=150°，当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，∴旋转中心为点A，∠BAD等于旋转角，即旋转角为150°；（2）∵△ABC绕点A逆时针旋转150°后与△ADE重合，∴∠DAE=∠BAC=150°，AB=AD=4，AC=AE，∴∠BAE=360°﹣150°﹣150°=60°，∵点C为AD中点，∴AC=AD=2，∴AE=2．【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5．如图，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE=BC，在BC上取一点F，使BF=AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AC与EF的关系如何？【分析】（1）由条件易得BC和BE，BA和BF为对应边，而△ABC旋转后能与△FBE重合，于是可判断旋转中心为点B；（2）根据旋转的性质得∠ABF等于旋转角，从而得到旋转角度；（3）根据旋转的性质即可判断AC=EF，AC⊥EF．【解答】解：（1）∵BC=BE，BA=BF，∴BC和BE，BA和BF为对应边，∵△ABC旋转后能与△FBE重合，∴旋转中心为点B；（2）∵∠ABC=90°，而△ABC旋转后能与△FBE重合，∴∠ABF等于旋转角，∴旋转了90度；（3）AC=EF，AC⊥EF．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后能与△FBE重合，∴EF=AC，EF与AC成90°的角，即AC⊥EF．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．6．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=150°；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得证．（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，由题意知旋转角∠PA P′=60°，∴△AP P′为等边三角形，P P′=AP=3，∠A P′P=60°，易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°；故答案为：150°；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F=EF，∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°，由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，即EF2=BE2+FC2．（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC=，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C=，∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．7．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？【分析】（1）利用△A1CB1≌△ACB得到CA1=CA，再根据旋转的性质得∠B1CB=∠A1CA=45°，则∠BCA1=45°，于是根据“ASA”判断△CQA1≌△CP1A，所以CP1=CQ；（2）过点P1作P1P⊥AC于点P，如图②，先在Rt△AP1P中根据含30度的直角三角形三边的关系得到P1P=AP1=×2=1，然后在Rt△CP1P中利用等腰直角三角形的性质得CP=P1P=1，CP1=PP1=，由（1）得CQ=CP1=．【解答】（1）证明：∵△A1CB1≌△ACB，∴CA1=CA，∵图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，∴∠B1CB=∠A1CA=45°，∴∠BCA1=45°在△CQA1和△CP1A中，，∴△CQA1≌△CP1A，∴CP1=CQ；（2）解：过点P1作P1P⊥AC于点P，如图②，在Rt△AP1P中，∵∠A=30°，∴P1P=AP1=×2=1，在Rt△CP1P中，∵∠P1CP=45°，∴CP=P1P=1，∴CP1=PP1=，∴CQ=CP1=．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度．也考查了等腰直角三角形的性质．8．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM 在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为90°；（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM 在∠BOC的内部，则∠BON﹣∠COM=30°；（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为16秒，简要说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON=90°；（2）分别求出∠BON=90°﹣∠BOM，∠COM=60°﹣∠BOM，则∠BON﹣∠COM=90°﹣∠BOM﹣60°+∠BOM=30°；（3）易求∠AOM+∠AOC+∠COM′=240°，则三角板绕点O的运动时间为=16（秒）．【解答】解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON=90°．故填：90；（2）如图3，∠AOC：∠BOC=2：1，∴∠AOC=120°，∠BOC=60°，∵∠BON=90°﹣∠BOM，∠COM=60°﹣∠BOM，∴∠BON﹣∠COM=90°﹣∠BOM﹣60°+∠BOM=30°，故填：30；（3）16秒．理由如下：如图4．∵点O为直线AB上一点，∠AOC：∠BOC=2：1，∴∠AOC=120°，∠BOC=60°．∵OM恰为∠BOC的平分线，∴∠COM′=30°．∴∠AOM+∠AOC+∠COM′=240°．∵三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，∴三角板绕点O的运动时间为=16（秒）．故填：16．【点评】本题考查了旋转的性质，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键．9．如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．（1）如图1，求∠EFB的度数；（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为30°；②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；（2）①根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD=∠A，再根据同角的余角相等可得∠ECB=∠ACD；②分CE、DE、CD与AB平行分别作出图形，再根据平行线的性质求解即可．【解答】解：（1）∵∠A=30°，∠CDE=45°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∠E=90°﹣45°=45°，∴∠EFB=∠ABC﹣∠E=60°﹣45°=15°；（2）①∵CD∥AB，∴∠ACD=∠A=30°，∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°，∠ECB+∠ACE=∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ACD=30°；②如图1，CE∥AB，∠ACE=∠A=30°，∠ECB=∠ACB+∠ACE=90°+30°=120°；如图2，DE∥AB时，延长CD交AB于F，则∠BFC=∠D=45°，在△BCF中，∠BCF=180°﹣∠B﹣∠BFC，=180°﹣60°﹣45°=75°，∴ECB=∠BCF+∠ECF=75°+90°=165°；如图3，CD∥AB时，∠BCD=∠B=60°，∠ECB=∠BCD+∠EDC=60°+90°=150°；如图4，CE∥AB时，∠ECB=∠B=60°，如图5，DE∥AB时，∠ECB=60°﹣45°=15°．【点评】本题考查了旋转的性质，三角板的知识，平行线的判定与性质，难点在于（2）根据旋转角的逐渐增大分别作出图形．10．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．①当α为多少度时，AB∥DC？②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．【分析】（1）若AB∥DC，则∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′﹣∠BAC=45°﹣30°=15°；（2）当旋转到图③所示位置时，α=45°，（3）连接CC′，CD与BC′相交于O点，在△BDO和△OCC′中，利用三角形内角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．【解答】解：（1）如图②，∵AB∥DC，∴∠BAC=∠C=30°，∴α=∠BAC′﹣∠BAC=45°﹣30°=15°，所以当α=15°时，AB∥DC；（2）当旋转到图③所示位置时，α=45°，（3）当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．证明：连接CC′，CD与BC′相交于O点，在△BDO和△OCC′中，∠BOD=∠COC′，∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠BDO+∠α+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C+∠α=180°﹣∠ACD﹣∠AC′B，=180°﹣45°﹣30°=105°，∴当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形的内角和定理．11．如图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，且∠ABD=90°，（1）△ABD和△EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角．（2）若AB=3cm，BC=5cm，你能求出DE的长吗？（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由．【分析】（1）由△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°得到△EBC，根据旋转的性质得到△ABD≌△EBC，再根据三角形全等的性质即可得到对应边与对应角．（2）由旋转的性质得到BD=BC，AB=EB，而AB=3cm，BC=5cm，得到BD=5cm，BE=3cm，即可求出DE．（3）由△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，根据旋转的性质即可得到直线AD和直线CE成90度的角，即它们垂直．【解答】解：（1）∵△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°得到△EBC，∴△ABD≌△EBC，∴∠BAD的对应角为∠BEC，∠D的对应角为∠C，∠ABD的对应角为∠EBC；AB 的对应边为EB，BD的对应边为BC，AD的对应边为EC．（2）可求出DE=2cm．过程如下：∵△ABD≌△EBC，∴BD=BC，AB=EB，而AB=3cm，BC=5cm，∴BD=5cm，BE=3cm，∴DE=BD﹣BE=5﹣3=2（cm）．（3）∵△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，∴AD也绕着点B沿顺时针方向旋转90°得到CE，即直线AD和直线CE垂直．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心。
华师大版初中数学目录(新)
最新华师大版初中数学教科书目次之袁州冬雪创作七年级上第1章走进数学世界数学伴我们成长人类离不开数学人人都能学会数学第2章有理数§2.1 有理数1. 正数与负数2. 有理数§2.2 数轴§2.3 相反数§2.4 相对值§2.5 有理数的大小比较§2.6 有理数的加法1. 有理数的加法法则2. 有理数加法的运算律§2.7 有理数的减法§2.8 有理数的加减混合运算1. 加减法统一成加法2. 加法运算律在加减混合运算中的应用§2.9 有理数的乘法1. 有理数的乘法法则2. 有理数乘法的运算律§2.10 有理数的除法§2.11 有理数的乘方§2.12 迷信记数法§2.13 有理数的混合运算§2.14 近似数第3章整式的加减§3.1 列代数式1. 用字母暗示数2. 代数式3. 列代数式§3.2 代数式的值§3.3 整式1. 单项式2. 多项式3. 升幂摆列与降幂摆列§3.4 整式的加减1. 同类项2. 合并同类项3. 去括号与添括号4. 整式的加减第4章图形的初步认识§4.1 生活中的平面图形§4.2 平面图形的视图1. 由平面图形到视图2. 由视图到平面图形§4.3 平面图形的概况展开图§4.4 平面图形§4.5 最基本的图形－点和线1. 点和线2. 线段的长短比较§4.6 角1. 角2. 角的比较和运算3. 余角和补角第5章相交线与平行线§5.1 相交线1. 对顶角2. 垂线3. 同位角、内错角、同旁内角§5.2 平行线1. 平行线2. 平行线的断定3. 平行线的性质七年级下第6章一元一次方程§6.1 从实际问题到方程§6.2 解一元一次方程1. 等式的性质与方程的简单变形2. 解一元一次方程§6.3 实践与探索第7章一次方程组§7.1 二元一次方程组和它的解§7.2 二元一次方程组的解法*§7.3 三元一次方程组及其解法§7.4 实践与探索第8章一元一次不等式§8.1 认识不等式§8.2 解一元一次不等式1. 不等式的解集2. 不等式的简单变形3. 解一元一次不等式§8.3 一元一次不等式组第9章多边形§9.1 三角形1. 认识三角形2. 三角形的内角和与外角和3. 三角形的三边关系§9.2 多边形的内角和与外角和§9.3 用正多边形铺设地面1. 用相同的正多边形2. 用多种正多边形第10章轴对称、平移与旋转§10.1 轴对称1. 生活中的轴对称§10.2 平移1. 图形的平移2. 平移的特征§10.3 旋转1. 图形的旋转2. 旋转的特征3. 旋转对称图形§10.4 中心对称§10.5 图形的全等八年级上第11章数的开方§11.1 平方根与立方根1. 平方根2. 立方根§11.2 实数第12章整式的乘除§12.1 幂的运算1. 同底数幂的乘法2. 幂的乘方3. 积的乘方4. 同底数幂的除法§12.2 整式的乘法1. 单项式与单项式相乘2. 单项式与多项式相乘3. 多项式与多项式相乘§12.3 乘法公式1. 两数和乘以这两数的差2. 两数和（差）的平方§12.4 整式的除法1. 单项式除以单项式2. 多项式除以单项式§12.4 因式分解第13章全等三角形§13.1 命题、定理与证明1. 命题2. 定理与证明§13.2 三角形全等的断定1. 全等三角形2. 全等三角形的断定条件3. 边角边4. 角边角5. 边边边6. 斜边直角边§13.3 等腰三角形1. 等腰三角形的性质2. 等腰三角形的断定§13.4 尺规作图1. 作一条线段等于已知线段2. 作一个角等于已知角3. 作已知角的平分线4. 颠末一已知点作已知直线的垂线5. 作已知线段的垂直平分线§13.5.抗命题与逆定理1. 互抗命题与互逆定理2. 线段垂直平分线3. 角平分线第14章勾股定理§14.1 勾股定理1. 直角三角形三边的关系2. 直角三角形的断定3. 反证法§14.2 勾股定理的应用第15章数据的收集与暗示§15.1 数据的收集1. 数占有用吗2. 数据的收集§15.2 数据的暗示1. 扇形统计图2. 操纵统计图表传递信息八年级下第16章分式§16.1 分式及其基赋性质1. 分式2. 分式的基赋性质§16.2 分式的运算1. 分式的乘除法2. 分式的加减法§16.3 可化为一元一次方程的分式方程§16.4 零指数幂与负整数指数幂1.零指数幂与负整数指数幂2. 迷信记数法第17章函数及其图象§17.1 变量与函数§17.2 函数的图象1. 平面直角坐标系2. 函数的图象§17.3 一次函数1. 一次函数2. 一次函数的图象3. 一次函数的性质4. 求一次函数的表达式§17.4 反比例函数1. 反比例函数2. 反比例函数的图象和性质§17.5 实践与探索第18章平行四边形§18.1 平行四边形的性质§18.2 平行四边形的断定第19章矩形、菱形与正方形§19.1 矩形1. 矩形的性质2. 矩形的断定§19.2 菱形1. 菱形的性质2. 菱形的断定§19.3 正方形第20章数据的整理与初步处理§20.1 平均数1. 平均数的意义2. 用计算器求平均数3. 加权平均数§20.2 数据的集中趋势1. 中位数和众数2. 平均数、中位数和众数的选用§20.3 数据的团圆程度1. 方差2. 用计算器求方差九年级上第21章二次根式§21.1 二次根式§21.2 二次根式的乘除法1. 二次根式的乘法2. 积的算术平方根3. 二次根式的除法§21.3 二次根式的加减法第22章一元二次方程§22.1 一元二次方程§22.2 一元二次方程的解法1. 直接开平方和因式分解法2. 配方法3. 公式法4. 一元二次方程的根的辨别式*5. 一元二次方程的根与系数的关系§22.3 实践与探索第23章图形的相似§23.1 成比例线段1. 成比例线段2. 平行线分线段成比例§23.2 相似图形§23.3 相似三角形1. 相似三角形2. 相似三角形的断定3. 相似三角形的性质4. 相似三角形的应用§23.4 中位线§23.5 位似图形§23.6 图形与坐标1. 用坐标确定位置2. 图形的变换与坐标第24章解直角三角形§24.1 丈量§24.2 直角三角形的性质§24.3 锐角三角函数1. 锐角三角函数2. 用计算器求锐角三角函数值§24.4 解直角三角形第25章随机事件的概率§25.1 在重复试验中观察不确定现象§25.2 随机事件的概率1. 概率及其意义2. 频率与概率3. 罗列所有机会均等的成果 九年级下第26章 二次函数 §26.1 二次函数§26.2 二次函数的图象与性质1. 二次函数2y ax =的图象与性质2. 二次函数2y ax bx c =++的图象与性质3. 求二次函数的表达式§26.3 实践与探索 第27章 圆 §27.1 圆的认识1. 圆的基本元素2. 圆的对称性3. 圆周角§27.2 与圆有关的位置关系1. 点与圆的位置关系2. 直线与圆的位置关系3. 切线§27.3 圆中的计算问题 §27.4 正多边形和圆 第28章 样本与总体 §28.1 抽样调查的意义1. 普查和抽样调查2. 这样选择样本合适吗§28.2 用样本估计总体1. 简单随机抽样2. 简单随机抽样调查靠得住吗§28.3 借助调查作决议计划1. 借助调查做决议计划2. 容易误导读者的统计图。
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导入
在日常生活中，一些图形绕着某一定点转动一定的角 度后能与自身重合.
电扇的叶片转动 °能与自身重合；螺旋桨转动 °后，能与自身重合.你能再举出一些这样的实例 吗？
新课推进
1.做一做 用一张半透明的薄纸，覆盖在如图所示的图形上， 在薄纸上画这个图形，使它与如图所示的图形重合.然 后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转， 观察旋转多少度（小于周角）后，薄纸上的图形能与 原图形再一次重合.
解：图案可以看作由一个菱形通过６次旋转得到的,每 次旋转60°,旋转中心在图形的中心.
6.如图,下列各图形是否是旋转对称图形?若是, 则各绕 哪一点最少要旋转多少度后,能与它自身重合?
解：(１)是旋转对称图形 ,圆心,１８０°； (２)不是旋转对称图形； （３)是旋转对称图形 ,圆心,６０°； （4）是旋转对称图形,正方形对角线的交点,９０°.
课堂小结
通过这节课的学习活动， 你有什么收获？
课后作业
1.教材P125习题10.3第4题； 2.完成练习册本课时的习题.
人要独立生活，学习有用的技艺。 —— 凯德
学案
同步练习
A.45°或90° C.180°或270°
B.90°或180° D. 45°n(１≤n≤８,且n为正整数)
4.如图,该图形围绕点O按下列角度旋转后,不能与其自 身重合的是( B )
A.72°
B.108°
C.144°
D.216°
5.如下图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得 到的?每次旋转了多少度?旋转中心是哪个?
4.请你设计一个旋转30°后能与自身重合的图形.
课堂演练
1.如图所示的图形中,是旋转对称图形的有(D )
A.一个
B.两个
C.三个
D.四个
2.将下列图形绕着一个点旋转120°后,不能与原来的 图形重合的是(C )
3.如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的, 把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合,则 旋转的角度为( D )
【归纳结论】 图形围绕旋转中心旋转一定角度后能与 自身重合的图形就称为旋转对称图形.
2.用类似上述的操作方法对如图所示的图形进行旋转 ，它是不是旋转对称图形？想一想：旋转中心在何处 ？该图形需要旋转多少度后，能与自身重合？该图形 是轴对称图形吗？
3.如图所示的图形是轴对称图形，用类似上述的操作 方法对所示的图形进行探索，它能通过旋转与自身重 合吗？