习方略】2013-2014学年高中数学(新课导入+课堂探究+课堂训练)4.2.2 圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2
C2 的圆心坐标是 (2, 2) ,半径长 r2 10;
所以圆心距
C1C2 (1 2) 2 (4 2) 2 3 5
两圆半径的和与差 r1 r2 5 10, r1 r2 5 10
而 5 10 3 5 5 10 即 r1 r2 3 5 r2 r1
l: (D1 - D2 )x +(E1 - E2 )y + F1 - F2 = 0上．
显然通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一， 故公共弦的方程为
(D1 - D2 )x +(E1 - E2 )y + F1 - F2 = 0．
消去二次项
所以前面探究问题可通过
（D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0 得出, 即公共弦的方程为：2x+1=0
例2:已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆C2：
x2+y2+6x+2y－40=0相交于A、B 两点，求公共弦
AB的长. 解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到 一个二元一次方程，此方程为4x+3y=10. 即为公共弦AB 所在的直线方程， 由 4 x 3 y 10， 2 2 x y 10 x 10 y 0，
试判断圆C1与圆C2的位置关系.
分析：方法一，几何法． 判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系 . 方法二，代数法． 由两者方程组成方程组，由方程组解的情况决定.
解法一：把圆的方程都化成标准形式,为
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 25 C2 : ( x 2)2 ( y 2)2 10
① ②
③
④
方程④根的判别式 △=(2)2 4 1 (3) 16 0 所以方程④有两个不等实数根，方程组有两解； 故两圆相交．
【变式练习】
圆x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是(
A.相离 B.外切 C.相交
)
D.内切
【解析】选C.圆的方程分别化为
(x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2=4,
内切 ( x 4)2 ( y 3)2 36.
几何方法 两圆心坐标及半径 r1,r2（配方法）
代数方法
( x a1 ) 2 ( y b1 ) 2 r12 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 2 2 2
消去y
圆心距d （两点间距离公式）
圆C1的圆心C1(5，5 )，半径r1= ５ 2 ，
| 20 15 10 | 5， 则|C1D|= 5
所以|AB|=2|AD|= 2 |C1A|2 -|C1D|2 = 10.
【变式练习】 两圆O1：x2+y2-6x+16y-48=0与O2：x2+y2+4x-8y-44 =0，其半径分别为m1,m2,则它们的公切线条数为 ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4
.
3．若圆：x2+y2－2ax+a2=2和x2+y2－2by +b2=1外
2+b2>3+2 2 a 离，则a、b满足的条件是__________________.
4. 已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆 x y 1
2 2
相切，求圆C的方程.
2 2 ( x 4) ( y 3) 16. 答案: 外切
（3）当Δ >0时，有两个交点，两圆相交.
【提升总结】
两种方法的优缺点；
几何方法直观，但不能求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ =0，Δ <0 时，不能 准确判断圆的位置关系.
2 2 C : x y 2x 8 y 8 0， 例1：已知圆 1 2 2 C : x y 4x 4 y 2 0， 圆 2
d < r: 相交 d = r: 相切 d > r: 相离
思考
圆与圆有哪几种位置关系呢？
你能从生活中举几个圆和圆的位置关系的例子吗？
总结
下面我们就进入今天的学习内容，圆与圆的位置
关系！
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.会根据两圆的圆心距与半径之间的关系判断出 两圆的位置关系.（重点、难点） 3.会求两相交圆的公共弦方程、公切线方程.
px 2 qx r 0
Δ > 0: 相交 Δ = 0:内切或外切 Δ < 0: 外离或内含
比较d和r1，r2的和与差 的大小，下结论
不要贬低黄昏，黄昏同清晨一样是成 就事业的时间。
方法一： 将两圆方程联立，求出两个交点的坐标， 利用两点式求公共弦的方程.
方法二： 先来探究一般情形． 已知圆 C1 :x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0
与圆 C2 :x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0 相交于A,B两点， 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 那么
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
d=R-r
0≤d<R-r
d=0
两圆的公切线
位置关系的判断
2 2 2 C : ( x a ) ( y b ) r 已知圆 1 1
与圆 C2 : ( x c)2 ( y d )2 r22
它们的位置关系有两种判断方法：
2.利用代数方法判断
( x a) 2 ( y b) 2 r12 , 将两个圆方程联立,得 2 2 2 ( x c ) ( y d ) r 2 ,
消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次 方程. （1）当Δ =0时，有一个交点，两圆内切或外切， （2）当Δ <0时，没有交点，两圆内含或相离，
探究
圆与圆的位置关系
外离 内含（同心圆） 内切 外切
1.相离（没有公共点） 2.相切（一个公共点） 3.相交（两个公共点）
圆和圆的五种位置关系
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2
外离
外切
相交
d>R+r
R
d=R+r
R
R-r<d<R+r
R
O1 O2
r
O1 O2
r
O1O2
r
内切
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法 代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a )2 ( y b )2 r 2 Ax By C 0
消去y
圆心到直线的距离d （点到直线的距离公式）
px 2 qx t 0
Δ > 0: 相交 Δ = 0: 相切 Δ < 0: 相离
所以两圆相交.
解法二： 将两个圆方程联立,得方程组
x 2 y 2 2 x 8 y 8 0, 2 2 x y 4 x 4 y 2 0. ① ②，得 x 2 y 1 0
1 x 由③得y 2
2 x 把上式代入①，并整理得 2x 3 0
因为两圆圆心距d= 1 4 5, 而两圆的半径和
r1+r2=3,半径差r2-r1=1，
所以r2-r1＜d＜r1+r2 ,所以两圆相交.
探究： 圆 C1 : x2 y2 2x 3 y 1 0 与圆 C2 : x2 y 2 4x 3 y 2 0 相交于A,B两点，如何求公共弦的方程？
x 4， x 2， 解得 或 y 6， y 2.
所以两点的坐标是A(－2,6)，B(4,－2)，或 A（4，-2），B（-2,6）， 故|AB|= 62 +82 = 10.
解法二：先求出公共弦所在直线的方程： 4x+3y=10.
过圆C1的圆心C1作C1D⊥AB于D.
【解析】选B.将两圆方程化为标准方程为 (x-3)2+(y+8)2=121,(x+2)2+(y-4)2=64. 所以O1(3,-8),r1=11;O2(-2,4),r2=8. 因为|O1O2|= 2 3 2 4 8 2 13,
所以3＜|O1O2|＜19,
所以两圆相交，从而公切线有两条.
2 2 2 2 ( x 2) y 4 ( x 2) ( y 1) 9 的位置关系为 1 ．圆 与圆
（ B ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2 2 2 2 2.若圆 x + y = m与圆x + y + 6x - 8y -11 = 0
相交，求实数m的范围
1<m<121
x12 + y12 + D1x1 + E1y1 + F1 = 0, 2 2 x + y 1 1 + D2x1 + E2y1 + F2 = 0. ① ②
① - ②，得
(D1 - D2 )x1 +(E1 - E2 )y1 + F1 - F2 = 0 ③
④
同理可得 (D1 - D2 )x2 +(E1 - E2 )y2 + F1 - F2 = 0 由③④可知 A(x1,y1 ),B(x2 ,y2 )一定在直线
代数法和 几何法
1.平面几何法判断圆与圆的位置关系公式
第一步：计算两圆的半径r1，r2；
第二步：计算两圆的圆心距d；
第三步：根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆
的位置关系.
两圆外离：r1+r2<d；
【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 向量应用举例多媒体教学优质课件 北师大版必修4
5,
所以P 1, 2 到直线l的距离为 5 .
【技巧方法】 认清公式的形式，找准每一个变量代表 的数值，准确带入，精确计算.
课堂练习1
求下列各点到相应直线的距离
①P 0,3 ,3x + 4y = 0; ②P -2,0 ③P 0,0
12 5
④P -1,-2 , x + y = 0; ⑤P 2,3 , x -1 = 0;
技巧点拨： 1.计算速度的合速度， 2.计算时间必须使速度的方向和位移的方 向一致.
练习：
证明直径所对的圆周角是直角. 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点.求证∠ACB=90° 思路分析 A
C
b
B O
a
要证∠ACB=90°，只须证向
量 AC CB ，即 AC CB 0 .
o
f G F 1 80 25 0.02 1.1 N . 因此 f s f s cos 180o 1.1 20 1 22 J . 答 F 和 f 所做的功分别是500 3J 和-22J .
及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素. 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
向量在物理中的应用
例3 一架飞机从A地向北偏西60o的方向飞行1000km到 达B地，然后向C地飞行。设C地恰好在A地的南偏西60o， 并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移. 分析
9 , 4x + 3y -1 = 0 : 5 37 65 , 4x + 7y = 37; 65
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质课堂达标效果检测 新人教A版选修2-1
"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质课堂达标效果检测新人教A版选修2-1 "1.(2014·鹤岗高二检测)抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.12【解析】选B.抛物线y2=8x的准线是x=-2,由条件知P到y轴距离为4,=4.所以点P的横坐标xP根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.).若点M到该抛物线焦点的距离为2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y3,则|OM|=( )A.2B.2C.4D.2)在此抛物线上,所以【解析】选B.由抛物线定义知,+2=3,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.因为点M(2,y=8,于是|OM|==2,故选B.3.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为 .【解析】由抛物线y2=2px(p>0),得焦点F的坐标为,则FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得,2p×=1,所以p=,所以B点到准线的距离为+=p=.答案:4.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为.【解析】据题意知,△PMF为等边三角形时,PF=PM,所以PM垂直抛物线的准线,设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,F(1,0),所以由PM=FM,得1+=,解得m2=12,所以等边三角形边长为4,其面积为4.答案:45.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,求点A的坐标. 【解析】由y2=4x,知F(1,0),因为点A在y2=4x上,所以不妨设A(,y),则=(,y),=(1-,-y).代入·=-4中,得(1-)+y(-y)=-4,化简得y4+12y2-64=0.所以y2=4或y2=-16(舍去),所以y=±2.所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2).。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(六)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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单元评估检测（六）第六章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·吉安模拟)下列命题正确的是( )(A)存在x∈R,x2+2x+3=0(B)对于任意x∈N,x3>x2(C)x>1是x2>1的充分不必要条件(D)若a>b,则a2>b22.(2013·合肥模拟)观察等式:+=,++=,+++=,根据以上规律,第四个等式应为( )(A)++=(B)++++=(C)+++=(D)++++=3.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是( )(A)(k+1)2+2k2(B)(k+1)2+k2(C)(k+1)2(D)(k+1)[2(k+1)2+1]4.(2013·南昌模拟)已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集是( ) (A)[-1,+∞) (B)(-∞,1](C)[1,2] (D)[-1,1]5.已知=2,=3,=4,=5,…,=10,则推测a+b= ( )(A)1033 (B)109(C)199 (D)296.设实数a,b,c满足a+b+c=6,则a,b,c中( )(A)至多有一个不大于2 (B)至少有一个不小于2(C)至多有两个不小于2 (D)至少有两个不小于27.已知则2x+y-2的最大值等于( )(A)1 (B)2 (C)(D)48.设x>0,y>0,x+y-x2y2=4,则+的最小值等于( )(A)2 (B)4 (C)(D)9.已知函数f(x)=x2,g(x)=()x-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是( )(A)[-,+∞) (B)[-,+∞)(C)(3,+∞) (D)(4,+∞)10.某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t≤30)的关系大致满足f(t)=t2+10t+16,则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为( )(A)18 (B)27 (C)20 (D)16二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.在约束条件下,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为,则ab的最大值为.12.若不等式-1<x-b<1成立的必要不充分条件为4-x2>0,则实数b的取值范围是.13.(2013·黄山模拟)不等式3x-3m≤-2m的正整数解为1,2,3,4,则m的取值范围是.14.观察下列数的特点:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,其中第100项是.15.(能力挑战题)若实数x,y满足不等式组则当≤2a恒成立时,实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:< a.17.(12分)已知不等式x(ax-1)>a(x-1),其中a∈R.(1)当a=时,解不等式.(2)若不等式在R上恒成立,求实数a的取值范围.18.(12分)在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,先改写第k项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=(1×2×3-0×1×2),2×3=(2×3×4-1×2×3),…,n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).(1)类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”的结果.(2)试用数学归纳法证明你得到的等式.19.(12分)(能力挑战题)已知x,y满足若z=x+3y的最大值为12,试求k的值.20.(13分)(2013·宝鸡模拟)某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为3000平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.(1)分别用x表示y和S的函数关系,并给出定义域.(2)怎样设计能使S取得最大值,并求出最大值.21.(14分)(能力挑战题)设数列{a n}满足:a n+1=-na n+1,n=1,2,3,….(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想{a n}的一个通项公式.(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,①a n≥n+2;②+++…+<.答案解析1.【解析】选C.A中≧Δ=4-12=-8>0,故方程x2+2x+3=0无实数解,B中当x<0时不成立,D中当b<a<0时不成立.2.【解析】选B.由所给三个式子规律可得,第四个等式为++++=.3.【解析】选B.当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,当n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,因此由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2.4.【解析】选D.≧f(x-1)==≨xf(x-1)=≨当x<1时,-x≤1,≨x≥-1,≨-1≤x<1.当x≥1时,x≤1,≨x=1,综上-1≤x≤1.5.【解析】选B.由给出的几个等式可以推测:在=10中,a=10,b=102-1=99,于是a+b=109.6.【解析】选B.假设a,b,c都小于2,即a<2,b<2,c<2,那么a+b+c<6,这与a+b+c=6相矛盾,因此a,b,c中至少有一个不小于2.7.【解析】选B.设t=x+y-2,则要使2x+y-2取得最大值,只要t取到最大值即可,如图,画出可行域,可知当x=1,y=2时t取到最大值1,因此2x+y-2的最大值等于2.8.【解析】选B.由x+y-x2y2=4可得x+y=x2y2+4,因此+===xy+≥2=4,当且仅当xy=2时取等号,故+的最小值等于4.【变式备选】当x>0时,函数f(x)=x++的最小值为.【解析】因为x>0,所以t=x+≥2,于是f(x)=x++=t+=g(t),由于g(t)=t+在[1,+≦)上单调递增,所以其最小值等于g(2)=2+=.答案:9.【思路点拨】采用分离参数法,将参数m分离到不等式的一边,用函数的单调性求出不等式另一边的最值,得到m的取值范围.【解析】选B.不等式f(x)≥g(x),即x2≥()x-m,因此m≥()x-x2.令h(x)=()x-x2,由于h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)的最大值是h(1)=-,因此实数m的取值范围是[-,+≦).10.【解析】选A.平均销售量y===t++10≥18.当且仅当t=,即t=4∈[1,30]时等号成立,即平均销售量的最小值为18.11.【思路点拨】先由目标函数的最大值为,结合可行域,求出最优解,得到a,b 满足的关系式,然后利用基本不等式求最值.【解析】画出可行域,由z=ax+by得y=-x+,因此当直线y=-x+经过可行域中的点M(1,2)时,z取最大值,所以有a+2b=.又因为a>0,b>0,所以a+2b=≥2,解得ab≤,当且仅当a=2b=时取得.故ab的最大值为.答案：【变式备选】使可行域为的目标函数z=ax+by(ab≠0)在x=2,y=2取得最大值的充要条件是( )(A)|a|≤b (B)|a|≤|b|(C)|a|≥b (D)|a|≥|b|【解析】选A.画出可行域,如图,直线l:ax+by=0的斜率为-,要使目标函数在x=2,y=2取得最大值,必须且只需|-|≤1,且直线向上平移时,纵截距变大,所以必须且只需|-|≤1且b>0,因此|a|≤b.【方法技巧】解决线性规划问题的步骤(1)画出可行域.(2)确定目标函数的斜率.(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线.(4)平移直线,确定满足最优解的点.(5)求满足最优解的点的坐标.12.【解析】设A={x|4-x2>0}={x|-2<x<2},B={x|b-1<x<b+1},则依题意知,B是A 的真子集,因此或解得-1≤b≤1.答案：-1≤b≤113.【解析】由3x-3m≤-2m,≨x≤,≨4≤<5,≨12≤m<15.答案：[12,15)14.【解析】设第100项所属数字段前面数字段的数字为n,则由<100(n∈N+),解得n的最大值为13,则第100项是13+1=14.故第100项为14.答案：1415.【思路点拨】先利用线性规划的方法,借助斜率模型,求出的最大值,然后根据不等式恒成立,只需2a大于或等于这个最大值即可.【解析】画出可行域(如图).由于==-1,其中表示可行域中的点(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率k,由图形可知k∈[,5],所以-1∈[-,4],因此当≤2a恒成立时,应有2a≥4,解得a≥2.答案：[2,+≦)【方法技巧】恒成立问题的求解技巧解决恒成立问题的关键是分离参数求最值,即把要求范围的参数分离到不等式的一边,然后求出不等式另一边的最值(或取值范围),即可得到参数的取值范围.16.【证明】要证<a,只需证b2-ac<3a2,≧a+b+c=0,只需证b2+a(a+b)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0.因为a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,所以(a-b)(a-c)>0显然成立.故原不等式成立.17.【解析】(1)当a=时,不等式即为x(x-1)>(x-1),即x2-3x+1>0,解得x>或x<,即不等式的解集为{x|x>或x<}.(2)不等式x(ax-1)>a(x-1)可化为:ax2-(a+1)x+a>0,显然当a=0时,不合题意;因此应有解得a>1.18.【解析】(1)先改写第k项:k(k+1)(k+2)=[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],于是有:1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4),…,n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3) -(n-1)n(n+1)(n+2)],相加得1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3).(2)下面用数学归纳法证明上述等式成立.①当n=1时,左边=1×2×3=6,右边=×1×2×3×4=6,左边=右边,所以等式成立;②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3),则当n=k+1时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4),因此等式成立,由①②知等式成立.19.【思路点拨】对k的取值进行讨论,分k≥0和k<0两种情况进行求解. 【解析】由于k的不同取值将影响不等式所表示的平面区域,故应对k的取值进行讨论.①若k≥0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图),由于z=x+3y,所以y=-x+z,因此当直线y=-x+z经过区域中的点A(0,-k)时,z取到最大值,等于-3k,令-3k=12,得k=-4,这与k≥0相矛盾,舍去.②若k<0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图),这时,当直线y=-x+z经过区域中的点A(-,-)时,z取到最大值,等于-,令-=12,得k=-9.综上,所求k的值为-9.20.【解析】(1)由已知xy=3000,y=,x∈(6,500),S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a,≧2a+6=y,≨a=-3=-3,≨S=(2x-10)(-3)=3030-(+6x),x∈(6,500).(2)S=3030-(+6x)≤3030-2=3030-2×300=2430,当且仅当=6x,x=50∈(6,500)时取等号,≨设计x=50m,y=60m时运动场地面积最大,最大值为2430平方米.21.【解析】(1)由a 1=2,得a2=-a1+1=3,由a 2=3,得a3=-2a2+1=4,由a 3=4,得a4=-3a3+1=5,由此猜想{a n}的一个通项公式:a n=n+1(n∈N+).(2)①用数学归纳法证明:(i)当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立.(ii)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立,即a k≥k+2,那么a k+1=a k(a k-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2k+5>k+3.也就是说,当n=k+1时,a k+1>(k+1)+2.由(i)和(ii)得对于所有n≥1,有a n≥n+2.②由a n+1=a n(a n-n)+1及①,对k≥2,有a k=a k-1(a k-1-k+1)+1≥a k-1(k-1+2-k+1)+1=2a k-1+1,迭代得a k≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1,故结论成立.关闭Word文档返回原板块。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.2抛物线方程及性质的应用课堂达标效果检测 新人教A版选修2-1
"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.2抛物线方程及性质的应用课堂达标效果检测新人教A版选修2-1 "1.设抛物线y2=2x与过焦点F的直线交于A,B两点,则·的值是( )A. B.- C.3 D.-3【解析】选B.特例法,F(,0),取A,B的横坐标x=,则不妨令A(,1),B(,-1),所以·=-1=-.2.若动圆的圆心在抛物线x2=12y上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点( ) A.(0,2) B.(0,-3)C.(0,3)D.(0,6)【解析】选C.直线y+3=0为抛物线的准线,由抛物线定义知圆心到直线y=-3的距离与到点F(0,3)的距离相等,因此此圆恒过定点(0,3).3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为( )A.4B.8C.16D.32【解析】选B.因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,所以K(-2,0),设A(x0,y0),如图所示,过点A向准线作垂线,垂足为B,则B(-2,y0).因为|AK|=|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,所以由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,y0=±4,所以△AFK的面积为|KF|·|y0|=×4×4=8.4.若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的中点坐标是.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与抛物线得方程组整理得x2-8x+4=0,所以x1+x2=8,y1+y2=x1+x2-4=4,所以中点坐标为(4,2).答案:(4,2)5.(1)设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,求k的值.(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标. 【解析】(1)由得4x2+(4k-4)x+k2=0,设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点.当Δ=(4k-4)2-4×4k2>0,即k<时,x1+x2=1-k,x1·x2=,所以|AB|====.因为|AB|=3,所以=3,即k=-4.(2)因为三角形的面积为9,底边长为3,所以三角形高h==.因为点P在x轴上,所以设P点坐标是(x0,0),则点P到直线y=2x-4的距离就等于h,即=,解得x0=-1或x0=5, 即所求P点坐标是(-1,0)或(5,0).。
高中数学全程学习方略配套课件：2.3.1等差数列的前n项和(人教A版必修5)
故n=13时，Sn有最大值169.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（6 a1 a6）＝6＝（340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
1 099 100
11=0 -110190. (
2
11 50
)
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+102 9·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120.
②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10， 求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100， S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程 组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性 质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为 k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.
(新教材)20《高中全程学习方略》必修一课件：1.1.2(数学)
1. 1.2集合的基本关系汉聲提示如果您在现石木年件旳辻芳中出"••字他泉・折吳同幷宥幻灯片・可正*恋・新版课程标准学业水平要求★水平一I.能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念・（数学抽象）1.理解集合之间包含与相等的含义•能识别给定集2.能识别给定集合的子集、真子集・（逻辑推理）合的子集:3.会判断集合间的关系•并能用符号和维恩图表小.（直观想象）2•能使用维恩图表达集合的皋本关系•体会图形对★水平二理解抽象概念的作用；1・掌握列举冇限集的所冇子集的方法•（逻辑推理）2 •能根据集合之间的关系•利用数形结合的思想求参数的值或取1必备知识•素养奠基1・维恩图用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合的示意图.2 •子集和真子集【思考】(1) 任意两个集合之间是否有包含关系?提示：不一定,如集合A={1 z 3} z B={2 , 3} z这两个集合就没有包含关系.(2) 符号与乜”有什么区别?提示：① y 是表示元素与集合之间的关系,比如IWN , -ieN.②y”是表示集合与集合之间的关系，比如NUR ,{1,2, 3}C{3 , 2 , 1}・③的左边是元素，右边是集合，而 V 的两边均为集合.3 •关于子集和真子集的结论⑴空集是任意一个集合A 的子集，即0CA.(2) 对于集合A, B, C,如果A C B, B C C,(3) 对于集合A, B, C,如果A B, B C,呈辜 2贝ijAcC.4 •集合相等与子集的关系⑴如果ACB且BCA,贝iJA=B. ⑵如果A=B,贝iJAcB-SBcA.【素养小测】1 •思维辨析(对的打“十'，错的打“X”)(1) 任何集合至少有两个子集. ((2) {0, 1, 2}c{2, 0, 1}.()(3) 若AcB,且AHB,则A B. ((4) 集合{0, 1}的子集是{0},⑴，{0, 1}.提示：⑴x.0只有一个子集.z2}c (2)<{0 , 1 , 2}={2 ,0,1},所以{0 , 1 {2,0,1}.⑶7.若AcB z且AHB z则A B.(4) x.0也是集合{0 , 1}的子集.2下列图形中，表示MCN的是（）C D【解析］选C・根据题意可知z M中的任意一个元素都是N中的元素,故C正确.3•已知集合A={・1, 3, m}, B={3, 4},若BcA,则实数________________【解析】因为BCA , B={3 z 4} z A={-1 , 3 z m} z比较A , B中的元素可知m=4. 答案：4关键能力类型一集合间夫:乐tl'J刊助【典例】1 •下列各个关系式中，正确的是A.0={O} B. WQC.{3, 5}#{5, 3}D.{1}C{X|X2=X}•素养形成^三()2•己知集合A={x|x<-2或x>0}, B={x|0<x<1},则（A.A=B B.A BC.B AD.AcB辜3 •判断下列各组中集合之间的关系：(1)A={x|x是12的约数}, B={x|x是36的约数}；6= Rix2+1 =01 •⑶A={x|x是平寻四边形}, B={x|x是爰形}, C={x|x是四边形}, D={x|x是正方形}；(4)M= f , N=< xlx=-, neZ >2< xlx=一- n, neZ2【思维•引】1 •先确定是元素与集合的关系还是集合与集合的关系，然后根据集合中元素的特征逐项判断.2画出数轴，观察数轴判断集合A与B的关系.3•首先确定集合由哪些元素构成，然后判断集合之间的关系.【解析】1 •选D•因为0 {0} , GQ, {3 , 5}={5 , 3} z所以A , B z C错误,{x|xM={0 , 1] 所以{1}C{X|X2=X}成立2选C.由数轴知B A.Bo --------- 1 ------- 6 -------- 6-23.(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A B.(2) 因为A={x|x2-x=0}={0, 1}, B={xeR|x2+1=O}=0, 所以B A.(3) 由图形的特点可画出维恩图如图所示,从而C A BD.呈w(4) 方法一：对于集合M ,其组成元素是，分子部分表示所有的整数；对于集合N ,其组成元素是H + n二，分子部分表示所有的奇数•由真子集的概- 念知z N M. 212n+l2方法二：用列举法表示集合如下：M=N= 所以N M.< ---1 -1 0 - 1 - 2 -〔2 2 2 2 2[3 113 5 ]I・・・・・・,,2 2 2 2 2…厶【内化•悟】1・区别属于关系和包含关系的关键是什么？提示:关键是结合具体情境识别集合还是元素.2当集合中元素有无限多个时，常用哪些方法判断集合之间的关系?提示：常用的方法有以下两种(1)画数车由，⑵适当变韧寻找联系，例如：对于集合 A= B= /将集合A 变为A= 不难观察出A B.2k X = 一 6< x x 二一，kwZ> 1 6 J【类题•通】1 •集合间基本关系判定的两种方法和一个关键2证明集合相等的两种方法(1)用两个集合相等的定义，证明两个集合A, B中的元素全部相同，即可证明心8・⑵证明A C B,同时B C A,推出A=B.【习练•破】1 •已知集合A={x|x=3k, kGZ}, B={x|x=6k, kGZ}, 则A与B之间最适合的关系是（）A.AcBB.AaBC.A BD.A B【解析】选D.因为A中元素是3的整数倍，而B中元素是3的偶数倍z所以集合B是集合A的真子集.2已知集合U, S, T, F之间的关系如图所示，下列关系中错误的有____________ ・（只填序号）2T；F； )F s ②④ — s s F【解析】根据子集、真子集的定义, 由维恩图的关系，可以看出S U,S T ②④错误.答案：②④,F U正确，【加练個】1 •已知集合A=B=则集合A, B的关系为< xlx 壬1』3Vxlx = 2n + l,neZ。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例)4.2平面向量的分解与向量的坐标运算课件 理 新人教B版
①
②
将②代入①得 a d 1 ）［c 1 a）］ （ （
2
∴ a 4 d 2 c, 代入②
3
3 得 b c 1 ）（ 4 d 2 c） 4 c 2 d. （ 2 3 3 3 3 ∴ AB 4 d 2 c,AD 4 c 2 d. 3 3 3 3
实数与 向量的 积
向量的 坐标
若a x, y）， R，则a （x，y） （ _________
若起点A（x1，y1），终点B（x 2，y 2），则AB
（x 2 x1，y2 y1） ______________
【即时应用】(1)已知 a=(1，1)，b =(1，-1)，则 a b= .
【解题指南】直接用 c, d 表示 AB 、 有难度，可换一个角度， AD
由 AB ， 表示 AN,AM, 进而求 AB,AD. AD
【规范解答】方法一:
设 AB a,AD b.
2.平面向量的正交分解及坐标 (1)正交分解
向量正交分解是把一个向量分解为两个 互相垂直的向量.
(2)平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
e1 , e2 作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量
由于 a与数对(a1,a2)是一一对应的，因 a可表示成 a a1e1 a 2e2， 此向量 a的坐标是 (a1,a2)，记作 a=(a1,a2) ，其中 a在x轴上的坐 标是a1 ，a 在y轴上的坐标是 a2 ．
答案：(1)
1 3
(2)-1
平面向量基本定理及其应用 【方法点睛】 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决. 【提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)4.3平面向量的数量积课件 理 新人教B版
【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量 a=(1,2),b =(1,-1), 则2 a b 与 a b 的夹角等于 (
1 2 AD AB AC ， AE AB AC AB BE ， 2 3 1 2 ADBE (AB AC) ( AC AB) 2 3 1 2 1 2 1 AC AB AB AC 3 2 6
量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直，是重点也是难
点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识 点交汇则以解答题为主.
1.平面向量的数量积
(1)向量的夹角 非零向量 ①定义：如图，已知两个________ a 和 b ，作 OA＝a,OB b，
则向量 a与 b的夹角是_________ ,记作〈 a, b〉. θ 或∠AOB
答案：-140
【反思·感悟】向量的数量积运算是向量之间的一种运算，结 果是一个数量.平面向量的数量积运算类似于多项式的乘法.在 进行数量积运算时，要认清向量的模和夹角，正确地进行数量 积的运算，避免错用公式，如 | ab｜ | a || b | . ≠
平面向量的垂直问题
【方法点睛】 两向量垂直的判断方法及应用 (1)若a,b为非零向量，则a ⊥b ab =0；若非零向量
a=(x1,y1),b =(x2,y2),则 a⊥b x1x2+y1y2=0.
(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性
运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径. 【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可 用来解决几何中的线线垂直问题.
1 3 【例2】已知 a=(- , )， = a b,OB a b, 若△AOB是以O为直 OA 2 2
【全程复习方略】(湖南专用)2014版高中数学 优选法与试验设计初步课时提能训练 理 新人教A版
【全程复习方略】（某某专用）2014版高中数学优选法与试验设计初步课时提能训练理新人教A版1.用对分法进行试验时，3次试验后的精度为______.2.有一个优选法问题，存优X围为［10，20］，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好是______.3.某车床的走刀量(单位：mm/r)共有如下13级0.3,0.33,0.35,0.40,0.45,0.48,0.50,0.55,0.60,0.65,0.71,0.81,0.91.那么第一次和第二次的试点分别为______、______.4.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第3次试验时葡萄糖的加入量是______.5.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优X围缩小为原来的______倍.6.某设施需要加入大量抗腐蚀剂的特种混凝土预制件. 该种混凝土预制件的质量受混凝土搅拌时间的影响比较大，搅拌时间不同，混疑土预制件的强度也不同. 根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数. 为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从20个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是______.7.（2011·某某高考）已知某试验X围为[10,90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是______.8.设一优选问题的试验因素X围是［0，130］，现用分数法试验，假设最优点是70，则第三个试点为______.9.在0.618法、对分法、均分分批试验法、比例分割分批试验法中，每次(批)试验后都能将存优X围缩小为相同比例的是______.10.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60℃与70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为______℃.11.某冶炼厂准备对一金属产品进行技术改造，决定优选加工温度，假定最佳温度在1 160℃到1 181℃之间．现用分数法进行优选，则第二次试点的温度为______℃.12.为了得到某种特定用途的钢，用黄金分割法考察特定化学元素的最优加入量，若进行若干次试验后存优X围［1 000,m］上的一个好点为1 618，则m可以是______.13.为了调制一种饮料，在每10 kg半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500 g到1 500 g之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在______g.14.某单因素单峰试验X围是(3,18)，用均分分批试验法寻找最佳点，每次安排4个试验.若第一批试点中从左到右的第3个试点是好点，则第一批试验后的存优X围是______.15.关于优选法有如下说法：(1)纵横对折法是在每一步确定好点后，都将试验的矩形区域舍弃一半.(2)爬山法中的步法常常采用“两头慢，中间快”的办法.(3)平行线法中，可以多次采用“平行线加速”求后续最佳点.(4)对分法的要点是每个试点都取在因素X围的中点.其中说法正确的序号是______.16.为了炼出某种特定用途的钢材，炼钢时需要加入一定量的某种化学元素.已知每吨这种钢需要加入这种化学元素的量在区间［1 000,2 000］（单位：g）内，现在用0.618法确定最佳加入量，设第1，2，3个试点的加入量分别为x1,x2,x3，若第2个试点比第1个试点好，则x3的值为______.17.对试验X围是(1,8)的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点值分别是______.18.有一条输电线路出现了故障,在线路的开始端A处有电,在末端B处没有电,要检查故障所在位置,宜采用下列哪种优选法:______.(填序号)①0.618法②分数法③对分法④盲人爬山法19.一个试验所要求的温度在59℃～80℃,精确度要求为1℃,用0.618法优选安排的次数与用分数法优选安排的次数分别为______.20.用对分法求方程2x+3x-7=0的一个根，达到精确度为0.1的要求，则根的值为______（只填一个即可），需要进行______次试验.21.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.若g(x)=f(x)-3x在［-1,4］上是单峰函数，则a的取值X围是______.答案解析1.【解析】由对分法可知，每次试验后存优X围缩小为原来的一半，所以3次试验后的精度为0.53=0.125. 答案：0.1252．【解题指南】在优选过程中，安排的两个试点最好关于存优X围的中点对称.【解析】x=10+20-16=14.答案：143.【解析】该已知条件符合分数法的优选要求.∴第一次应优选0.55，第二次应优选0.45.答案：0.55 0.454．【解题指南】由于第1试点是差点，故第2试点在存优X围内，则第3试点用“加两头，减中间”来计算.【解析】由黄金分割法原理得x1=10+0.618×(110-10)=71.8;x2=10+110-71.8=48.2.由于第2点是好点，所以存优X围为［10，71.8］.所以x3=10+71.8-48.2=33.6.答案：33.6 mL5.【解题指南】由0.618法精度公式δn=0.618n-1可算.【解析】当n=4时，δ4=0.6184-1=0.6183.答案：0.61836.【解题指南】在分数法中，通过n次试验，最多能从(F n+1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.【解析】因为20=21-1=F7-1=F6+1-1，所以用分数法安排试验时，最多只需做6次试验就能找到其中的最佳点.答案：6次7.【解析】x1=10+(90-10)×58=60或x1=90+(10-90)×58=40，则x2=(10+90)-60=40或x2=(10+90)-40=60.答案：40或608.【解题指南】最优点总在存优X围内，所以可根据最优点是70来确定存优X围.【解析】由分数法得x1=0+813×(130-0)=80,x2=0+130-80=50，因为最优点是70，所以存优X围为［50，130］,故x3=50+130-80=100. 答案：1009.【解析】对分法每次试验后都能将存优X围缩小为原来的12，其余三种方法都是从第2次（批）起，每次（批）试验后将存优X围缩小为相同比例.答案：对分法10.【解析】x2=60+0.382×(70-60）=63.82.答案：63.8211.【解题指南】把温度区间等分成21段，将每段由小到大编号，然后用分数法试验.【解析】把区间分成21段，则第二试点在821处,所以其对应的温度为1 160+821(1 181-1 160)=1 168(℃).答案：1 16812.【解题指南】注意题中条件“若进行若干次试验后存优X围”说明本题有多种可能.【解析】有两种可能，若好点在存优X围的0.618处，则有1 000+0.618（m-1000）=1 618,故m=2 000; 若好点处在存优X围的0.382处，则有1 000+0.382·（m-1000）=1 618,故m≈2 618.答案：2 000或2 61813.【解析】利用0.618法时，第一个试点选在500+0.618×(1 500-500)=1 118，则第二个试点是:500+1 500-1 118=882 (g).答案：88214.【解析】均分分批试验法要求试点等分试验区间，每次安排4个试验，则把试验区间分成5段，每段的长度是：18335-=，则第一批试点是6，9，12，15,由于从左到右的第3个试点是好点，即12是好点，也就是说9和15是差点，那么最佳点在区间(9，15)内.答案：(9,15)15.【解析】爬山法中步法常常采用“两头快，中间慢”的办法.答案：(1)(3)(4)16.【解析】x1=1 000+0.618×(2 000-1 000)=1 618,x2=1 000+2 000-x1=1 382.因为第2个试点是好点，则存优X围是［1 000,1 618］，所以x3=1 000+1 618-1 382=1 236.答案：1 23617.【解析】比例分割试验法每批做试验的次数相等.而试点分别是2,3,4,5,6,7,第一批做2个试验,试点在4,5.答案：4，518.【解题指南】由于要迅速查出故障，所以每次都要尽快缩小故障点所在的X围，又不能重复去找试点. 【解析】宜采用对分法.第一次检查点是线段AB的中点C,若有电则检查CB的中点,若没电,则检查AC的中点,以此类推.答案：③19.【解析】由题知0.618n-1≤121≈0.05,∴n ≥lg0.05lg0.618+1≈7.22. 于是只要安排8次试验,就能保证精度达到0.05,精确度为1℃.若用分数法,第一次试验做在:59+1321×(80-59)=72,第二个试点是:59+80-72=67,比较两个点,若67是好点,去掉72右边部分,最佳点在X 围59～72之间,第三个试点是:59+72-67=64,比较后若64是好点,则第四个试点是:59+67-64=62,比较后若62是好点,则最佳点在59～64之间,第五个试点是:59+64-62=61,同理第六个试点是59+62-61=60,比较,若60是好点,则存优X 围是59～61,若好点是61,则存优X 围是60～62,此时精确度都是1,∴应填:8,6.答案：8,620.【解析】设f(x)=2x +3x-7,由f(1)=-2,f(2)=3知根的X 围为(1,2),取x 1=122+=1.5, 由f(1.5)=0.33知，根的X 围为（1,1.5）, 取211.5x 1.25,2+== 由f(1.25)=-0.87知,根的X 围为(1.25，1.5), 取31.251.5x 2+==1.375, 由f(1.375)=-0.28知,根的X 围为(1.375,1.5), 取41.3751.5x 2+==1.437 5, 由|1.375-1.437 5|=|1.437 5-1.375|=0.062 5＜0.1,故原方程的根可取为1.437 5.需要进行4次试验.答案：1.437 5 421.【解析】由g ′(x)=f ′(x)-3=3x 2+6ax=3x(x+2a),由g(x)=0可得x=0或x=-2a.因为0∈(-1,4)，所以-2a (-1,4),所以-2a≤-1或-2a≥4，即a≥12或a≤-2.故a的取值X围是(-∞,-2］∪［12,+∞).答案：(-∞,-2］∪［12,+∞)。
人教版高中数学教材(2014)目录
人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修一第一章集合与函数概念1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数2.2对数函数2.3幂函数第三章函数的应用3.1函数与方程3.2函数模型及其应用必修二第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4.1圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系必修三：第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例第二章统计2.1随机抽样2.2用样本估计总体2.3变量间的相关关系第三章概率3.1随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2古典概型3.3几何概型阅读与思考概率与密码必修四：第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质1.5函数sin()y A xωϕ=+1.6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2简单的三角恒等变换必修五：第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.42 a b+≤选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2双曲线2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2.2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图选修2-1:第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3双曲线探究与发现2.4抛物线探究与发现阅读与思考第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法选修2-2:第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-1:第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4:第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1:第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2:第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5:第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4-7:第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例。