概率7-1

一、离散型随机变量的数学期望
32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 1、概念的引入： 17天每天出两件废品; 某车间对工人的生产情况进行 21天每天出三件废品;
考察. 车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量. 如何定义X 的平均 值呢？ 若统计100天,可以得到这100天中每天的平均废品数 为，
|
1 注: (a b)是[a , b]的中点，即均匀分布的期望值 2
是a，b的平均值.
例：X 服从指数分布,
求E ( X ), E ( X ).
E ( X ) xe
0 x 0
2
e f ( x) 0
x
x
x0 x0
dx xde

e e


例:设 X 的分布律如下, 求EX , EX .
X p X2 p 0 1 2
2
1/4 1/4 1/2
0 1
1 1 1 1 EX 0 1 2 1 4 4 2 4
1 1 1 1 EX 0 1 4 2 4 4 2 4
2
４ 1/2
2
1 z 2, dxdy 1 . D 4
f Z ( z ) FZ ( z )
.
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及 其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布， 那么X 的全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较 难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不 需要知道随机变量的一切概率性质，只要知 道它的一些综合指标就够了.比如分布的中心 位置，散布程度等，将这些称为数字特征。
xe x (1 y ) x 0, y 0 f (x, y ) = , 0 其他 求Z = XY 的 概率密度.
FZ ( z ) P ( XY z ) z 0, FZ ( z ) 0;
z
xy z

f ( x , y )dxdy
z 0, FZ ( z )
E ( X ) x k pk
k 1

32 30 17 21 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝 0 1 2 3 1.27 100 .数学期望简称期望、均值。 100 100 100 对收敛的级数的和
随机变量的数学期望是随机变量的取值以概率为权 的加权平均。
在经济管理中，Ex也经常表现为正常生产
可概括为 , x i f i , 其中x i 为不同的废品件数 (0,1,2,3),
i
32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100 100 100
32 30 17 21 f i 为取值x i 的频率( , , , ) 100 100 100 100
y y exp( )dy 2 2 2

1
1
2
o
μ
x

二维随机变量( X , Y )的函数的数学期望 : ( X , Y )为离散型：E ( g( x , y )) g( xi , y j ) pij ,
ij
g( x , y ) p
i j ij
ij


( X , Y )为连续型：E ( g( x , y ))
1/4 1/4
设X是一个随机变量，Y=g(X)，则
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk ,
k 1
要求: " g( xk ) pk "
k 1

补充题: 某射击队共有9名队员，技术不相上下，每人射 击中靶的概率均为0.8，各自打中靶为止，但限
制每人最多打3次，问大约要为他们准备多少发
在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是
数学期望和方差
定义1 设X 是离散型随机变量，它的分布律 是:P(X=xk)=pk , k =1,2,… 如果 x k p k 绝对收敛,定义X 的数学期望
k 1
Expectation

k 1
x k p k 收敛
Ex =10×0.1+11×0.2+12×0.4+13×0.2+14×0.1 =12. 即Ex = 12，这表明生产是正常的，而且表明12mm 正是大家的期望，这也是期望名称的由来. 随机变量的数学期望是个实数，与随机变量有相同 的单位.数学期望反映了随机变量取值的平均水平，它
的统计意义是对随机变量进行大量观测后得到的理论
0 0
0
x
x y 1 0
1 EX= xf ( x, y)dxdy dx x 2dy 3 1 1 x 0 0 1 E(-3X+2Y)= dx 2(3x 2 y)dy 3 1 x 1 0 0 1 EXY= xyf ( x, y)dxdy dx x 2 ydy 12 1 1 x
f ( xi )( xi 1 xi )
f ( xi )xi
小区间 [xi, xi+1)
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi , xi+1)中的 值可以用 xi 来近似代替.
pi )xi 取值xi的离散型 因此 X 与以概率 f ( x 近似,该离散型随机变 量的数学期望是
阴影面积 近似为
1.24
E (x ) Ex E
二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x), 在数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落 在小区间[xi , xi+1)的概率是
x
xi 1
i
f ( x )dx
阴影面积 近似为 f ( x i )x i
习题六12题
设 ( X , Y )在正方形区域D上服从均匀分布， D : x 0, y 0. x 2, y 2，求X Y 的分布 函数和概率密度. 1 f ( x, y) 4 0 0 x 2, 0 y 2 其他
2-(-z) 2
D
2
,
FZ ( z ) P ( X Y z ) f ( x , y )dxdy z 2, f ( x , y ) 0, FZ ( z ) 0; 2 z 0,
x 0
E ( X ) x f ( x )dx


xe
e
0

x
1 dx .
E ( X 2 ) x 2 e x dx x 2 de x
0


x e
2
x 0
2 xe
0

0
x
2 dx 2

0
dx xe x (1 y )dy
0 z
x


0
dx[ e x

0
x
e xy d ( xy )]


0
(1 e z )e x dx
1 e z e z (z) Z = XY 的 概率密度: f Z ( z ) FZ 0 z0 其他 ,
例：X ~ N ( , )，求E ( X ).
2

E ( X ) x f ( x )dx


( x )2 解：E ( X ) x exp( )dx 2 2 2 x 1 y2 设 y EX ( y ) exp( )dy 2 2 2 1 y f ( x) exp( )dy 2 2 1


也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的积分. 同于离散型,
Y g ( X )，E ( g ( X )) 要求


g ( x ) f ( x )dx ,
g ( x ) f ( x )dx .
例
（均匀分布的期望值）设 x 在区间[a , b]上服从


g( x, y ) f ( x, y )dxdy,


g ( x , y ) f ( x , y )dxdy
例 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴， y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 y 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
2, ( x, y ) A 解： f ( x, y ) 0, 其它；
P(X=k)= 1/n , k
n
n n1 1 1 P ( X 2 ) , n n1 n n1 n 2 1 1 P ( X 3) =1,2,…, n n n1 n 2 n
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k n n 2 2 k 1
均匀分布，求 x 的期望值. 解 由于 x 的概率密度函数为
1 f ( x) b a 0
a, b x [a b]
其他
则由公式 Ex



x f ( x )dx 得 x
2 2 b 1 1 b b a ab 1 2 Ex a x b a dx b a 2 x a 2(b a ) 2 .
x f·( x )x
i i i
f ( xi )xi
i
这正是
x f ( x )dx
小区间[Xi, Xi+1)

的渐近和式.
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函 数为 f (x),如果


| x | f ( x )dx
有限,定义X的数学期望为
E ( X ) x f ( x )dx