概率论课件估计量的优良准则
点估计的优良性准则PPT学习教案
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评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据 一次试验的结果，而必须从某种整体性能 去衡量它 .
常用 标准
(1)相合性(一致性) (2)无偏性 (3)有效性
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一、无偏性
无 偏 性 的 意 义是： 用一个 估计量 去估计 未知参 数 , 有 时候 可能偏 高,有时 候可能 偏低,但 是平均 来说它 等于 .
点估计的优良性准则
会计学
1
对于同一个未知参数,用不同的方法得到的 估计量可能不同,于是提出问题：
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
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ˆ( X1,...,Xn ) 越接近 越好！
如何刻画？
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例：估计农大09级本科生高数的平均成绩：
方案一：设计一个抽样方案，取200个同学 的高数成绩，计算出他们的平均成绩，作为 真实成绩的估计； 方案二：随便取一个同学的成绩作为真实成 绩的估计。
优.
定义 设ˆ1和ˆ2 都是总体参数 的无偏估计量，
若对任意 ，有
Var(ˆ1) Var(ˆ2 )
且至少有一个 使上述不等号严格成立，
则称ˆ1 比ˆ2计
定义
设ˆ是的一个无偏估计量, 若对于的任一方差 存在的无偏估计量 , 在参数空间,都有
Var(ˆ) Var( ) 则称ˆ是 的一致最小方差无偏估计,记为UMVUE.
定义：设 ˆ ˆ(X1,...,Xn ) 是未知参数的估计， 若对任意 ，有 E(ˆ) 则称 ˆ为 的无偏估计.
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点估计值
解释：无偏性的意义
概率统计估计量的评价标准PPT课件
又
B2
1 n
n i 1
(Xi
X
)2
1 n
n i 1
(Xi2
2Xi
X
X
2)
1 n
n i 1
Xi2
X
2
A2
X
2,
( A2是样本二阶原点矩)
由大数定律知,
A2
1 n
n i 1
Xi2依概率收敛于E( X
2 ),
X
1 n
n i 1
Xi 依概率收敛于E(2 A2 X 2
由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条 件下也具有相合性. 估计量的相合性只有当样本 容量相当大时,才能显示出优越性, 这在实际中 往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和 有效性这两个标准.
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,
2
所以 2X 是 的无偏估计量.
因为 Xh max(X1, X2,, Xn )的概率密度为
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所以
E( Xh )
0
x
nx
n1
n dx
n ,
n1
故有
E
n
n
1
X
h
,
故
n
n
1
max(
X1
,
X
2
,,
X
n
)
也是
的
无偏估
计
量.
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例5 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
证
ˆ
2
1 n
n i 1
X
2 i
X
2
A2
X
第五讲估计量的优良性准则续-PPT精品文档
任一统计量，则对 T ( x ) p ( x , ) ，积分
分可交换次序，即 T ( x ) p ( x , ) dx dx 1 n T ( x ) p ( x , ) dx dx 1 n 当仅有（1）成立时，我们可以定义所谓的
2
2
2
1 所以由 由于 w 2 , 2 的值域包含内点， 2 定理4.2可知完全充分统计量为
T (x ) ( x x). i,
i 1 i 1 2 i n n
1n 而我们已经知道 x x 是 的无偏估 i n i 1 2 且是完全充分统计量 T( x)的函数， 故当 未
2
2
2 求参数 和 的 UMVUE 。 样本。
x ,x 是来自总体的 ( , ) 未知， 1, x 2, n
解
首先求完全充分统计量。 由于
2 1 ( x ) p ( x , ) exp 2 2 2
1 2
2 2 1 2 2 e exp x x
知时，的UMVUE为 x 。
x 都是 的 UMVU 。 注： 无论 2 是已知或未知，
n n 1 1 2 2 2 2 又 S ( x x ) x n x i i n 1 n 1 i 1 i 1
2
是 的无偏估计，且是 完全充分统 T ( x )
为直线上的一个开区间 。 满足下述条件的分布
设分布族为 { P , } ，密度函 p ( x , ) ，
Cramer-Rao正则族： 族 { P , } 称为
概率统计2估计量的评价标准(PPT课件)
证明 由D 于 (X)2, 故有D(X)2,
n
又因D 为 (Z)n22,
故D 有 (n)Z 2,
当n1时, D (n)Z D (X),
故 的无偏X估 较 n计 Z 有.量 效
15
例7 (续例4) 在例 4中已证 ˆ1明 2X
和ˆ2 nn1maxX1{,X2,,Xn}都是 的无偏估
计量 ,现证n当 2时, ˆ2较ˆ1有效 .
概率密 fmi(n 度 x;) nenx,
0,
x0, 其.他
故知 E(Z), E(n)Z,
n
所以 nZ也是 的无偏估 . 计量
由以上两例可知,一个参数可以有不同的无 偏估计量.
13
三、有效性
比较参 的数两个无偏 ˆ1和 估ˆ2计 ,如量 果 在样本n容 相量 同的情 ,ˆ1况 的下 观察值在真 的附近 ˆ2更 较密,则 集认ˆ1为 较ˆ2 有效 .
总X 体 的 k阶矩 kE(Xk)的相合 , 估计 进而若待 g(估 1,2, 参 ,n)数 其 , g中 为连 函,则 数 的矩估 ˆg(计 ˆ1,ˆ2,量 ,ˆn)g(A 1,A 2, ,A n)是 的相合 . 估计量
18
例8 试证:样本均值 X是总体均值的相合估计
量,
样本方差 S2
1n n1i1
2
二、无偏性
若 X 1,X 2, ,X n 为X 总 的体 一个
是包含在 X的 总分 体布中的, 待估 (是的取值)范围
若估计 ˆ量 (X1,X2,,Xn)的数学期 E(ˆ)存,在 且对于 任 有 意 E(ˆ), 则称 ˆ是的无偏.估计量
无偏估计的实际意义: 无系统误差.
3
例1 设总体X的k 阶矩k E(Xk)(k 1)存在,
优良估计量的标准
优良估计量的标准在统计学中，估计量是用来估计总体参数的统计量。
而优良的估计量则是指能够以较高的精确度和准确性估计总体参数的统计量。
为了确保估计量的优良性，统计学家们提出了一系列标准来评价估计量的好坏。
本文将从偏差、方差、一致性和有效性四个方面来探讨优良估计量的标准。
首先，一个优良的估计量应该具有小的偏差。
偏差是指估计量的期望值与真实参数值之间的差异。
一个具有小偏差的估计量意味着它在重复抽样下，平均而言能够较为接近真实参数值。
因此，我们通常会选择偏差较小的估计量作为优良估计量。
其次，一个优良的估计量应该具有小的方差。
方差是指估计量的离散程度，即在不同抽样下，估计量与其期望值之间的偏离程度。
一个具有小方差的估计量意味着它在重复抽样下，波动较小，具有较高的稳定性。
因此，我们也会考虑方差较小的估计量作为优良估计量。
第三，一个优良的估计量应该具有一致性。
一致性是指当样本容量趋于无穷大时，估计量收敛于真实参数值的性质。
换句话说，一个具有一致性的估计量在样本容量足够大时，能够较为准确地估计总体参数。
因此，一致性也是评价估计量优良性的重要标准之一。
最后，一个优良的估计量应该具有有效性。
有效性是指估计量的方差达到了克拉美-罗夫下界，即达到了最小方差的下界。
具有较小方差的估计量往往更为有效，因为它能够提供较为精确的估计结果。
综上所述，优良估计量的标准主要包括小偏差、小方差、一致性和有效性。
在实际应用中，我们需要综合考虑这些标准，选择出最为优良的估计量来进行参数估计。
同时，我们也需要注意，不同的统计方法和模型可能对应不同的估计量标准，因此在具体应用中需要结合实际情况进行选择。
希望本文能够对优良估计量的标准有所帮助，谢谢阅读。
2估计量的优良性准则
而
n ˆ 2
n1
S2
1 n1
n i1
(Xi
X）2,
即S2是2的无偏,估 故计通S常 2作 取 2的估.计
第7章 参数估计
例3 设总体X服从[0,]上的均匀分布，参数
0,X 1,X 2, ,X n是来 X 的 自 样本2X ，试
是 的无偏估计量.
证 因为
E(2X)2E(X)2E(X)
E ( X ) , V a r ( X ) 2 , 且 和 2 都 未 知 ， 试证
ˆ2
1n ni1(Xi
X)2不是
2 的无偏估计量。
证 ˆ2n 1i n 1(X iX )2=n 1i n 1X i2X 2
2
=A2 X ,
E (A 2)2E (X 2)2 2,
7.2 估计量的优良性准则
无偏性 有效性 相合性 小结 思考与练习
第7章 参数估计
希望估计量的值接近被估参数的真值，但 估计量是随机变量，对于不同的样本值就会得 到不同的估计值．需要考察估计量的期望、方 差等数字特征. 估计量的评选标准
无偏性
有效性
第7章 参数估计
相合性
一、无偏性
设 ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 未 知 参 数 的 估 计 量 ，
第7章 参数估计
例4 证明 样本标准差 S 不是总体标准
差 的无偏估计.
证 因 E(S2)2,
所以， V a r(S ) [E (S )]2 2,
由 Var(S)0, 知
[E (S )]22 V a r(S ) 2 ,
因此，E(S), 故S 不是 的无偏估计.
第7章 参数估计
浙大概率论与数理统计课件 概率7-3估计量的评选标准
n
P
k
i 1
g ( A1 , A2 ,, Ak )
g( μ1 , μ2 ,, μk )
P
其中 g 为连续函数 .
数理统计
故
Ak 1 n
k 为 E ( X ) μk ( k 1, 2,) 的相合 Xi
k i 1 n
估计量 . 若 g为连续函数,
则有
.
g ( A1 , A2 ,, Ak ) 为 g ( μ1 , μ2 ,, μk ) 的相合估计量
ˆ D( ˆ1) ≤D( 2)
且至少对于某个 θ 上式中的不等号成立，
ˆ 则称 ˆ1 较 2 有效 .
数理统计
例2 (续例1) 试证 当 n > 1 时 θ 的无偏估计量
X
较 Z m in ( X 1 , , X n ) 有效 . 证
D X θ ,
2
故有 而
D X D(
数理统计
证
E X θ,
E X θ
所以 X 是参数 θ 的无偏估计量 . 而
Z m in ( X 1 , , X n )
具有概率密度
n nx θ , x 0, e f min x; θ θ 0, 其它,
故知 E Z θ ,
数理统计
估计量的评选标准 在介绍估计量的评选标准之前，我们必须强 调指出： 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试 验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数, 是随机变量 . 因 此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计 值. 因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良 性.
ˆ E ( )
第18讲 估计量的优良性准则(new)
解：根据无偏估计的概念，E(S )= =D(X),
2 2
即
1 1 E ( S ) D( X )= 2 = 4
2
例3：设X1,X2,…,Xn 为来自二项分布总体 2 B(n,p)的简单随机样本， 与 分别为样本均 S X 2 2 X + kS 为 np 值与样本方差. 若 的无偏估计， 则k=_______.
ˆ X, 1 n ˆ i X j. n 1 j 1
j i
我们看到: 显然两个估计都是 的无偏 估计。计算二者的方差： 2 ˆ ) Var( X ) Var( , n 2 2 n 1 ˆ i ) Var( . Var( X j )
1 1 n 1 n (1) E ( X ) E X i E ( X i ) n ； n n i 1 n i 1
1 n 2 2 (2)首先化简 S X nX ( P128习题6.3结论) i i 1 n 1
2
i 1
2、有效性 定义2
ˆ 与 ˆ 都是未知参数的无偏估计, 设 1 2
若对于任意的 , 有 ˆ ) D ( ˆ ), D ( 1 2 ˆ比 ˆ 有效. 则称
1 2
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例5
设X 1，X 2， ，X n是取自总体X 的样本，
2
ˆ1 X， ˆ2 X 2 且E ( X ) ，D( X ) ，则
2 ( X i X ) X 2( X i ) X nX 2 i 1 n 2 i i 1
n
n
n
X i2 nX 2 ,
i 1
注意到
E ( X ) Var( X ) [ E ( X )]2
概率论与数理统计--- 估计量的评选标准
15
例3 设总体 X 的均值和方差均存在 ,nX1, „, Xn 是总体 X 的样本, C1 , C2 ,„ ,Cn 为不全相同且满足 C i 1 的任一组常数,
证明: (1) 样本的线性函数 Ci X i 是总体均值 的无偏估计量 ; i 1 n n 1 X 较 C X 有效. (2) 总体均值的无偏估计量 X n i i i i 1 i 1 n n n 证(1) E ( C i X i ) C i EX i C i
24
譬如，在估计湖中鱼数的问题中, 若我们根据一个 实际样本得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条.
但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也可能小于1000条. 若我们能给出一个区间, 在此区间内我们合 理地相信 N 的真值位于其中, 这样对鱼数的估计就有 把握多了.
也就是说, 我们希望确定一个尽可能小的区间, 使我们能以 • 比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
i 1 j 1
n
m
解:(1) E(T)=an+bm =(na+mb) 当na+mb=1时, E(T)=
此时,T是的无偏估计
(2) D(T)=a2n+b24m
1 na 2 na 4m( ) m 2 4(1 na ) 2 na m 8n(1 na ) dD 0 0 2na 令 m da 4 (4n+m)a=4 a 4n m D(a)>0 此时D(T)最小,即T最有效 4 1 a , b 4n m 4n m
定义:设ˆ (X1,X2,…,Xn)为的估计量,若E(ˆ) 存在,且有 ˆ E ( ) , 则称ˆ 为的无偏估计量
估计量的优良准则
估计量的优良准则
估计量是在统计学中非常重要的一个概念，它指的是通过观察样
本得出总体参数的方法。
在实际应用中，估计量的准确性直接关系到
数据分析的可靠性和有效性。
因此，如何评估估计量的优良性成为了
一个需要我们深入探讨的问题。
一、无偏性
一个估计量如果是无偏的，就意味着在无限次重复抽样的过程中，它的期望值等于真实总体参数值。
也就是说，这个估计量不会因为样
本的特殊性质而出现偏差，即使样本中存在异常或极端值，它也不会
影响估计量的准确性。
因此，无偏性是判断估计量优良性的重要准则。
二、有效性
一个好的估计量应该具有高效性，即通过它所估计的参数的方差
与真实值之间的差距要尽可能地小。
具体来说，我们需要评估估计量
的精度和准确性。
精度是指在多次重复实验中，估计量所得到的结果
的稳定性和可靠性；而准确性需要考虑估计量所估计的参数与真实值
之间的误差大小。
三、一致性
估计量的一致性是指，当样本容量趋向于无穷大时，估计量所得
到的结果应该和真实总体参数值越来越接近。
也就是说，估计量不能
受到样本容量大小的影响，这样才能保证在实际应用中的通用性和可靠性。
四、无关性
一个估计量应该与样本的具体性质无关，而只与样本所代表的总体性质相关。
如果一个估计量会受到样本属性特殊性的影响，那么它就无法成为一个优良的估计量。
总之，估计量的优良性取决于其是否具有无偏性、有效性、一致性和无关性。
在实际研究中，我们可以选择不同的估计量来比较它们的优良性，并根据不同的研究需求和数据特点选择最适合的估计量。