统计学教案：离中趋势的代表值——极差、标准差
统计学试题B
统计学（B）一、单项选择题（每题2分，共20分）1、统计学自身的发展，沿着两个不同的方向，形成（）A、描述统计学与理论统计学B、理论统计学与推断统计学C、理论统计学与应用统计学D、描述统计学与推断统计学2、某地区为了掌握地区水泥生产的质量情况，拟对占该地区水泥总产量的80%的五个大型水泥厂的生产情况进行调查，这种调查方式是（）A普查B典型调查C抽样调查D重点调查3、用组中值与次数求坐标点连接而成的统计图是（）A直方图B条形图C曲线图D折线图4、离中趋势指标中，最容易受极端值影响的是（）A极差B平均差C标准差D标准差系数5、一组数据的偏态系数为1.3，表明该组数据的分布是（）A正态分布B平顶分布C左偏分布D右偏分布6、抽样平均误差说明抽样指标与总体指标之间的（）A实际误差B平均误差C实际误差的平方D允许误差7、假设检验是检验（）的假设是否成立。
A样本方差B总体指标C样本方差D样本平均数8、用组中值代表组内变量值的一般水平有一定的假定性，即（）A、各组的次数必须相等B、变量值在本组内的分布是均匀的C、组中值能取整数D、各组必须是封闭组9、总体平均数的假设检验方法，在小样本，且方差未知时，通常采用（）A、Z检验法B、t检验法C、2χ检验法D、F检验法10、年劳动生产率x（千元）和工人工资y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）A、增加70元B、减少70元C、增加80元D、减少80元二、多项选择题（每题2分，共10分）1、概率抽样调查（）A、是一种非全面调查B、其目的是根据抽样结果推断总体数量特征C、它具有经济性、时效性、准确性和灵活性等特点D、其调查单位是随机抽取的E、抽样推断的结果往往缺乏可靠性2、常用的样本指标有（）A样本平均数B样本成数C抽样误差D样本方差E标准差3、在什么条件下，加权算术平均数等于简单算术平均数（）。
A、各组次数相等B、各组变量值不等C、变量数列为组距数列D、各组次数都为1E、各组次数占总次数的比重相等国人口总量之比4、总体平均数的假设检验方法通常有（）A、Z检验法B、t检验法C、2χ检验法D、F检验法E、几何检验法5、中位数是（）A由标志值在变量数列中所处的位置决定的B根据标志值出现的次数决定的C总体单位水平的平均值D总体一般水平的代表值E不受总体中极端数值的影响三、填空题（每空2分，共20分）1、一个完整的统计工作过程可以划分为＿＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿四个阶段。
第四章 集中趋势和离中趋势 《统计学》 ppt课件
六种相对数指标的比较
不同时期
同一现象 比较
不同现象 比较
同一时期比较 同类现象比较
动态 相对数
不同总体 比较
强度
同一总体中
部分与部分 部分与总体实际与计划
相对数 比 较 比 较 比 较 比 较
比例 相对数
结 构 计划完成
相对数 相对数 相对数
五、计算和应用相对指标的原则
1、正确选择对比的基础（即分母） 2、保证分子、分母的可比性 3、注意相对指标与总量指标结合运用 4、多个相对指标结合运用
(xi x) 0
(xi x) f 0
（2）各个变量值与算术平均数的离差平方和为最 小值。
(xi x)2 min
II调和平均数（H）
与算术平均数没有本质区别，是算术平均数的变形。 是根据变量值ｘ的倒数计算的，又称为倒数平均数。 1、简单调和平均数：未分组资料
步骤：（1） x1、x2、、xn
计量单位表现为两种形式：
一种是复名数，即双重计量单位。在计算这种强度相对指标时，由 于其分子与分母的计量单位在计算时无法约去，故计算后仍保留 对比双方的单位，如人口密度用“人/平方公里”表示，人均国 民生产总值用“元/人”表示；
另一种是无名数，即无计量单位。在计算这种强度 相对指标时，由于其分子与分母的计量单位相同， 在计算时已约去，故计算后其无单位，一般用千 分数、百分数表示，如：人口出生率用千分数来 表示。
（2） 1 、1 、 、1
x1 x2
xn
（3）
1 x
n
（4）
H
n
1 x
2、加权调和平均数：
各组变量值x 各组标志总量 m=xf
将算术平均数公式变形，得：
H
第四讲 心理统计学-差异量数
15
三、四分位差
¾ 是百分位差的一种，表示符号为Q ¾ 指在一个次数分配中，中间50％的次数的全距
的一半。在一组数据中，它的值等于P25到P75距 离的二分之一
16
四分位差的计算公式 Q = Q3 − Q1 2
¾第二节 平均差、方差与标准差
40
（三）标准分数的优点
¾可比性 ¾可加性 ¾明确性 ¾稳定性
41
（四）标准分数的应用
¾ 1. 用于比较几个分属性质不同的观察值在各个 数据分布中相对位置的高低。 相对位置： 表示某原始数据以平均数为中心，以标准差为单 位所处距离的远近和方向； 表示某原始数据在该组数据分布中的位置，即在 该数据以下或以上的数据各有多少。
1
2
3
4
5
B
3
3
3
3
3
你认为应该选择哪个应聘者更合适？为什么？
4
平均数的代表性
AB 59 42 57 52 52 49 62 55 63 59
A、B两组成绩，孰好孰坏？
−
XA =5
−
XB =5
A
8 6 4 2 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B
5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
∑ ∑ ∑ s
2 T
=
Ni
s
2 i
+
Ni
d
2 i
Ni
∑ ∑ ∑ sT =
N
i
s
2 i
+
Ni
d
2 i
Ni
s2T 为 总 方 差 ， sT 为 总 标 准差， si为各小组标准差 Ni为各小组数据个数 di= X T − X i XT 表示为总平均数，
统计学第3章数据分布特征描述
3．分析现象之间的依存关系。 如研究劳动者文化程度与收入的关系。
4．（数值）平均指标是推断统计中的重要 统计量，是进行统计推断的基础。
几种常见的位置特征数
N
MH
N
i 1
1
1 xi
wi
wi
i 1
N
i 1
1 xi
wi
N
wi
i 1
MH
1 N1
N N1
i1 xi i1 xi
N
k0:几何平均数 加权
N
M G i 1w i x 1 w 1x2 w 2 xN w N
简单
M G N x 1x 2 x N
fi
i1
i 1(xifi)254 674 58 012 1110 ％ 01.7 1％
n(xifi) i1 xi
1 2％ 6 56 1 4％ 0 75 1 4％ 2 80 10350
（四）几何平均数（Geometric mean）
简单几何平均数— n个变量值连乘积的n次方根。
n（xi x)2 min
i1
性质（3）证明：
（三）调和平均数（Harmonic mean）
调和平均数，也称倒数平均数。 各变量值倒数（1/xi）的算术平均数的倒数。 计算公式为：
n
xHx11m1x12m12... x1nmn
m1m2... mn
m1m2 ... mn
与单项式分组资料一样，采用加权算术平均数计算。
标志变异指标
x甲 =
∑x
i =1
i
n
n
=
350 = 70(件) 5
σ甲 =
=
( xi − x ) 2 ∑
i =1
n
10 ≈ 1 . 414 （件） 5
n
日产量（件） 乙 组 日 产 量 60 70 80 90 50
-20 -10 0 10 20
x =
∑x
i =1
i
n
=
n
350 = 70(件) 5
i
σ乙 =
=
∑ (x
i =1
100 = 4 = 2(件) 25
i
小结
一、标志变异指标 1、定义 、 2、作用 、 二、标志变异指标值的计算方法 1、全距 、 2、标准差 、
课后作业
习题集：P46 24 习题集：
25（ ）（2 P47 25（1）（2）
全
距
R
全距也称为极差， 全距也称为极差，是变量分布中最大值与 最小值之差。 最小值之差。 全距（R)=最大变量值 最大变量值全距（R)=最大变量值-最小变量值
缺少上限 组中值 = 下限 +
邻组组距 2
缺少下限 组中值 = 上限 − 邻组组距 2
标志变异指标
定义
乙两组日产量组成两个数列， 甲、乙两组日产量组成两个数列， 甲数列： 甲数列： 68 乙数列： 50 乙数列： 69 60 70 70 71 80 72 90
x = 70
x = 70
甲数列集中程度大，乙数列离散程度大。 甲数列集中程度大，乙数列离散程度大。变量的离散趋 势越大，说明集中趋势越差，如乙数列； 势越大，说明集中趋势越差，如乙数列；变量的离散趋 势越小，说明集中趋势越强，如甲数列。 势越小，说明集中趋势越强，如甲数列。
极差方差标准差
极差方差标准差极差、方差和标准差是统计学中常用的三种测量数据离散程度的方法，它们在数据分析和研究中起着重要的作用。
本文将分别介绍极差、方差和标准差的概念、计算方法和应用场景，帮助读者更好地理解和运用这三种统计指标。
首先，我们来介绍极差。
极差是用来衡量数据的离散程度的指标，它是一组数据中最大值和最小值之间的差值。
计算极差的方法非常简单，只需将数据中的最大值和最小值相减即可得到极差。
例如，对于一组数据{3, 5, 7, 9, 11}，最大值为11，最小值为3，因此极差为11-3=8。
极差越大，说明数据的波动范围越大，反之则波动范围较小。
在实际应用中，极差常常用来描述一组数据的波动情况，例如股票价格的波动范围、温度的变化范围等。
接下来，让我们来了解方差。
方差是描述一组数据离散程度的统计量，它衡量的是每个数据点与数据集平均值的偏离程度。
方差的计算方法是将每个数据点与平均值的差的平方求和，然后除以数据点的个数。
简单来说，方差就是数据偏离平均值的程度的平均值。
方差越大，说明数据点偏离平均值的程度越大，数据的波动性也就越大。
在实际应用中，方差常用来衡量一组数据的稳定性和可靠性，例如在金融领域中用来衡量投资组合的风险。
最后，让我们来介绍标准差。
标准差是方差的平方根，它是描述一组数据离散程度的常用指标。
标准差可以帮助我们更直观地理解数据的波动情况，因为它的数值与原始数据的单位保持一致。
计算标准差的方法是先计算方差，然后将方差的平方根作为标准差。
标准差越大，说明数据的波动范围越大，反之则波动范围较小。
在实际应用中，标准差常用来衡量一组数据的稳定性和可靠性，例如在质量控制中用来衡量产品质量的稳定性。
综上所述，极差、方差和标准差是统计学中常用的三种测量数据离散程度的方法，它们分别从不同角度描述了数据的波动情况。
通过对这三种指标的理解和应用，我们可以更好地分析和理解数据，为决策提供有力的支持。
希望本文能够帮助读者更好地掌握极差、方差和标准差的概念和应用，提升数据分析能力。
心理统计学-课程讲义4
【课程讲义】第四章差异量数【教学目标】明确差异量数是描述数据离中趋势的一种量数，它与集中量数一起描述数据的全貌；明确标准差是所有差异量数中代表性最好的；掌握各种差异量数的概念、性质、计算方法、适用条件。
【学习方法】了解、理解、计算与应用。
【重点难点】差异量数的概念及适用条件；各种差异量数的计算方法；标准分数及百分等级的概念、适用条件及计算方法。
【讲义内容】前一章讨论的集中量数反映的是一组数据的集中趋势，代表一组数据的一般水平。
但是客观事物总是千差万别的，一组数据中不是所有的数值都与一般水平相等，而是有的高些，有的低些，彼此参差不齐。
描述一组数据波动情况的量数成为差异量数。
差异量数常用来衡量集中量数的代表性程度。
差异量数越大，则集中量数的代表性越小；差异量数越小，则集中量数的代表性越大。
差异量数分为：绝对差异量数和相对差异量数绝对差异量数：标准差，方差，四分差；相对差异量数：差异系数另外，本章还讲到相对地位量数：标准分数，百分等级。
第一节标准差一、标准差的概念及适用条件（一）概念标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差的平方和，除以总的数据个数，再求算术平方根。
标准差的计算公式为：n XS2)(X-∑=（4.1）X为算术平均数，n为数据的个数。
（二）适用条件1．与算术平均数配合使用，与算术平均数的适用条件相同。
即一组数据的一般水平适合用算术平均数描述时，其离散程度宜用标准差描述；2．计算其他统计量时，如差异系数，标准分数，相关系数等，需要用到标准差；3．在推论统计中，尤其是进行方差分析时，常用方差表示数据的离散程度。
二．标准差的计算方法（一）未分组资料标准差的计算方法1．基本公式法用标准差的定义n XS2)(X-∑=，计算标准差。
例1 某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派九名选手参加，成绩如下表。
试比较两个班的成绩。
4-1 四年级一班九名学生竞赛成绩统计表4-2 四年级二班九名学生竞赛成绩统计表解：先求年级一班的平均数和标准差。
教育统计学第四章 差 异 量
σ =
2 x
∑ (x
2 i
i
− x)
2
n
σ =
2 x
∑x
n
−
∑x
n
i
2
• 例1 求数据组{52，62，74，45，50， 71，81，85}的方差。 为了使方差与数据组中的数据具有相 同的单位，将方差开平方， 同的单位，将方差开平方，称为数据组的 标准差，用符号бx表示。 标准差，用符号 表示。 标准差的计算公式： 标准差的计算公式： 标准差等于方差的算术平方根
差异系数的计算公式为： 差异系数的计算公式为：
cv =
σx
x
× 100%
例1 某学校一年级学生体重与身高情况 如下述资料表： 如下述资料表：
表4-3 某学校一年级学生体重与身高情况资料表
平均数 体重 身高 21.40公斤 公斤 125.85cm
标准差 2.19公斤 公斤 4.67cm
计算差异系数： 解 计算差异系数：
cv体重
cv身高
2.19 = × 100% = 10.23% 21.40
4.67 = × 100% = 3.71% 125.85
某班期末考试数学平均分为95分 例2 某班期末考试数学平均分为 分， 标准差为10分 语文平均分为60分 标准差为 分；语文平均分为 分，标准差 为9分，试比较数学和语文分数的离散程度。 分 试比较数学和语文分数的离散程度。
频数分布表方差和标准差的计算公式： 频数分布表方差和标准差的计算公式：σ =2Fra bibliotekx∑fx
N
2 i i
−
−
∑fx
N
i i
2
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【课题】离中趋势的代表值——极差、标准差
【教学目标】
知识目标：1.理解离中趋势统计描述的意义与平均指标和离散程度指标
二者的辩证关系。
2.掌握极差、标准差的计算和分析。
能力目标：1.能理解和掌握极差、标准差的计算过程。
2.能利用极差、标准差的计算结果，对研究总体的离中趋势进行应用分析。
【教学重点、难点】
（参考配套教学用书《统计基础知识教学参考书》P32）
教学重点：离中趋势统计描述的意义、标准差的计算和分析
教学难点：加权式标准差的计算和分析
演示法、讲授法、分组讨论法。
【课时安排】
4课时
【教学过程】
第一环节导入
上一节我们讨论了描述某一变量集中趋势代表值的方法，平均指标反映现象的集中趋势，反映现象的一般水平。
为了揭示标志值间的差异，从相反的角度来揭示现象的离中趋势，应计算标志变异指标，它是变量数量特征的另一个方面。
现在我们一起察看如下例题：
例1:我校04级电算化（1）班的两组同学的英语成绩组成的两个数列如下：甲数列：68 69 70 71 72, x=70分
乙数列：50 60 70 80 90, x=70分
绘制成线段图
[教师提问，学生讨论]
两组同学的英语平均成绩（x）=70分，但有区别吗？你们认为哪一组的标志值分散？哪一组的平均值（x）代表性高？为什么？
第二环节新授课
一、离中趋势统计描述的意义
从例1的计算结果显示得知：由于甲数列变量的离散程度小，说明其集中趋势强，其均值的代表性就高。
（一）离差
1．概念：离差是指同质中各个单位中的某种变量值与中心位置的差异。
2．算术平均数与离差的关系
算术平均数是测定集中趋势最常用的代表值，它的实质是把正负离差相互抵消后反映变量集中趋势的中心点的代表值。
例如：甲数列：68 69 70 71 72, x=70
离差：-2 -1 0 1 2
乙数列：50 60 70 80 90, x=70
离差：-20 -10 0 10 20
（二）离中趋势统计描述的具体作用：
（1）能够反映总体各单位标志值分布的离中趋势；
（2）是衡量平均数代表性的尺度；
（3）可以说明和比较社会经济现象的均衡、稳定和协调性的高低；
（4）是推断统计的重要依据。
二、离中趋势代表值的计算方法：
离散程度测度：极差、标准差、离散系数。
（一）极差
[演示]幻灯片
极差也称为全距（R），是变量分布中最大值与最小值之差。
它是描述变量离散状况最简单的测量值。
其基本计算公式是：
1．根据单项式数列计算极差，公式为：全距(R)=最大变量值－最小变量值2．根据组距数列计算极差，公式为：全距(R)＝最高值组上限值－最低值组下限值
[教师举例讲解]
例如1：甲数列：68 69 70 71 72, x=70, R =72-68=4
乙数列：50 60 70 80 90, x=70, R=90-50=40
例如2：某车间40名工人日产量资料如表3-16所示。
表3－16 某车间40名工人日产量资料表
根据资料计算：R =100-50=50（件）
[分析]
用极差来评价变量离散状况是：极差值较小，说明变量值离散范围小，离
散程度也较小，变量值较集中，平均数的代表性较大；反之，极差值较大，说明变量值离散范围大，离散程度较大，变量值较分散，平均数的代表性较小。
因此甲数列均值的代表性高于乙数列。
[演示]幻灯片
（二）标准差
标准差是测定标志变动程度的主要指标。
标准差（σ）是总体单位各变量值与其平均数的离差平方的算术平均数的平方根。
标准差的计量单位与变量值的计量单位相同。
分为简单式标准差、加权式标准差。
（一）如果算术平均数是采用简单平均法计算的，则标准差也采用简单式。
其计算公式如下：
σ=
()
n
x x
∑-2
式中：σ——标准差。
[教师举例讲解]
例1：以甲、乙两个数列的例子来说明简单式标准差的计算方法。
表3－21 甲组日产量标准差计算表
表3－22 乙组日产量标准差计算表
（1） 705
350
1
==
=
∑=n
x
x n
i i
甲（件） （2）(
)
414.15
10
1
2
≈=
=
∑-=n
n
i i
x
x 甲
甲
σ（件） （3）705
350
1
==
=
∑=n
x
x n
i i
乙
（件） （4）(
)
14.145
1000
1
2
≈=
=
∑-=n
n
i i
x
x 乙
乙
σ（件） [分析]
计算结果表明，甲组标准差比乙组标准差小，所以甲组变量的离散程度比
乙组小，即甲组变量分布范围比乙组集中，甲组平均数的代表性大。
（二）如果算术平均数是采用加权平均法计算的，则标准差也就是加权式。
()
∑∑-==⋅=
n
i i
n
i i
f
f x
x 1
1
2
i σ
[教师举例讲解]
例： 某班组25名工人日产量分组资料如表3-19所示，试计算标准差。
表3－19 单项数列标准差计算表
x ＝
∑∑==n
i i
i
n
i i f
f
x 1
1＝
25
400
＝16（件） ()
∑∑-==⋅=
n
i i
n
i i
i
f
f x
x 11
2
σ=
2425
100
==（件）
表3－20 组距变量数列标准差计算表
==
=
∑∑==100
3100
1
1
n
i i
n
i i
i f
f
x x 31（千克） ()
∑∑-==⋅=
n
i i
n
i i
i
f
f x
x 11
2
σ=
100
4900
=7（千克） 第三环节 课堂练习.
计算题：配套习题集P46第24题，计算职工工资全距、标准差。
第四环节小结.
1．极差计算公式；
2．简单式标准差计算公式和计算过程
3．加权式标准差计算公式和计算过程
第五环节布置作业.：
使用配套《统计原理习题集》（第二版）：
（1）P46第41题，计算职工工资全距、标准差。
（2）P47~48第43题，计算标准差。