锐角三角函数(2)ppt
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锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)
c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个 锐角的正弦等于它余角的余 弦，sinA=cosB；一个锐角的 余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与 斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一： 正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序
一般锐角的三角函数值PPT课件(沪科版)
这里的tan42°是多少呢？
A
42°
D
C
1.6m
E
20m
B
新知探究
一 用计算器求一个锐角的三角函数值
1.求sin18°． 第一步：按计算器 sin 键， 第二步：输入角度值18，按 = 键. 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
新知探究
∠A=78°19′58″
∠B=41°23′58″
随堂小测
2.下列各式中一定成立的是（ A） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°﹥sin15°
2.求 tan30°36'. 第一种方法： 第一步：按计算器 tan 键， 第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 D.M′S 键）， 第三步：按=键 屏幕显示答案：0.591 398 351
第二种方法： 第一步：按计算器 tan 键， 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 第三步：按=键 屏幕显示答案：0.591 398 351
分析（1）题 的结果，你 能得出什么 猜想，你能 说明你的猜 想吗？
新知探究
归纳：在锐角三角函数中 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小数值. 2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角. 3.在锐角三角函数中 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
A
42°
D
C
1.6m
E
20m
B
新知探究
一 用计算器求一个锐角的三角函数值
1.求sin18°． 第一步：按计算器 sin 键， 第二步：输入角度值18，按 = 键. 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
新知探究
∠A=78°19′58″
∠B=41°23′58″
随堂小测
2.下列各式中一定成立的是（ A） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°﹥sin15°
2.求 tan30°36'. 第一种方法： 第一步：按计算器 tan 键， 第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 D.M′S 键）， 第三步：按=键 屏幕显示答案：0.591 398 351
第二种方法： 第一步：按计算器 tan 键， 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 第三步：按=键 屏幕显示答案：0.591 398 351
分析（1）题 的结果，你 能得出什么 猜想，你能 说明你的猜 想吗？
新知探究
归纳：在锐角三角函数中 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小数值. 2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角. 3.在锐角三角函数中 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
24.3.1锐角三角函数2
2 cos A 3 0.5 cos A
4 cos A 5 sin A cos A 4 5 tan A 2 cos A 3 sin A cos A 2 3 tan A
3 7
4 5 0.5 1.5 3 原式 2 3 0.5 3.5 7
1.sinA与cosA有何关系？ tanA与cotA的关系？
2.tanA与sinA、cosA之间的关系： cotA与sinA、cosA之间的关系： 商的关系
作者:李先贵(平昌县信义小学)
4
探索一：sinA与cosA的平方和关系
证明
∵∠C=900
a b c
2 2
2
a sin A , c
华东师大版九年级（上册）
第二课时
执教人:李先贵
作者:李先贵(平昌县信义小学) 1
锐角三角函数是如何定义的？
sinA = cosA = tanA = cotA =
A的对边 斜边
A的邻边 斜边
A的对边 A的邻边
A的邻边 A的对边
锐角A的正弦、余弦、和正切、余切统称∠A的三角函数
作者:李先贵(平昌县信义小学)
cotA与sinA、cosA间商的关系
cot A
1 tan A
sin A cos A . cos A sin A
cos A . sin A
a sin A , cos A b , tan A a , b c c sin A a b a c a cos A c c c b b
tan A cot A
B
cot A b . a
c a
┌
tan A cot A 1.
4 cos A 5 sin A cos A 4 5 tan A 2 cos A 3 sin A cos A 2 3 tan A
3 7
4 5 0.5 1.5 3 原式 2 3 0.5 3.5 7
1.sinA与cosA有何关系？ tanA与cotA的关系？
2.tanA与sinA、cosA之间的关系： cotA与sinA、cosA之间的关系： 商的关系
作者:李先贵(平昌县信义小学)
4
探索一：sinA与cosA的平方和关系
证明
∵∠C=900
a b c
2 2
2
a sin A , c
华东师大版九年级（上册）
第二课时
执教人:李先贵
作者:李先贵(平昌县信义小学) 1
锐角三角函数是如何定义的？
sinA = cosA = tanA = cotA =
A的对边 斜边
A的邻边 斜边
A的对边 A的邻边
A的邻边 A的对边
锐角A的正弦、余弦、和正切、余切统称∠A的三角函数
作者:李先贵(平昌县信义小学)
cotA与sinA、cosA间商的关系
cot A
1 tan A
sin A cos A . cos A sin A
cos A . sin A
a sin A , cos A b , tan A a , b c c sin A a b a c a cos A c c c b b
tan A cot A
B
cot A b . a
c a
┌
tan A cot A 1.
28.1锐角三角函数--余弦、正切ppt
AB 5
BC 3
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，
AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． B
解：在RtABC中，
3
2
AC AB2 BC2 32 22 5,
A
C
sin A BC 2，cos A AC 5 ，tan A BC 2 2 5 .
AB 3
AB 3
∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m 即旗杆的高度是19.61m.
练习:
使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到 0.01）
（1）sin20°，cos70°； sin35°，cos55°； sin15°32′，cos74°28′；
（2）tan3°8′，tan80°25′43″；
新知探索:60°角的三角函数值
B
2
3
60.0
A
C
1
sin60°= A的对边 3
斜边
2
cos60°= A的邻边 1 斜边 2
tan60°= A的对边 3 A的邻边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切 值如下表：
锐角a 三角函数
30°
45°
60°
sin a
1
2
3
2
2
2
cos a
3
2
1
28.1锐角三角函数（2）
——正弦 正切
复习与探究：
在 RtABC中， C 90
B 1.锐角正弦的定义
c
A
b
a
∠A的正弦：
s
inA
A的对边 斜边
BC AB
a c
C
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之 确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为 什么？
中考数学第四单元三角形第22课时锐角三角函数2
.
[答案] (1) 2 (2)- 2 (3)2 (4) 3-1
4
2019/8/9
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
6
榜题名。万事如意！开心每一天！
课前双基巩固
4.[九下 P85 复习题 28 第 11 题改编] 如图 22-1,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的 点 F 处.已知折痕 AE=5 5 cm,且 tan∠EFC=3.则
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
12
榜题名。万事如意！开心每一天！
课堂考点探究
4.[2018·德州] 如图 22-4,在 4×4 的正方形方格图形中,小正方
形的顶点称为格点,△ ABC 的顶点都在格点上,则∠BAC 的正
弦值是
.
[答案]
5 5
[解析] 因为 AC=2 5,BC= 5,AB=5,
所以 AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°, 所以 sin∠BAC=������������= 5.
B.
3 2
C.1 D. 3
6.在△ ABC 中,AB=2,AC=3,∠B=45°,则 sinC 的值是
.
[答案] 5.B
6.
2 3
2019/8/9
遇上你是缘分，祝你学业有成，金
9
榜题名。万事如意！开心每一天！
课堂考点探究
探究一 求锐角三角函数值
【命题角度】 (1)已知直角三角形的边长,直接求锐角三角函数值; (2)在网格中求锐角三角函数值. 例 1 [2019·原创] 如图 22-2,在 Rt△ ABC 中,∠BAC=90°,
∴BD=6 3.在 Rt△ ACD 中,tanA=3,CD=6,
4
28,1 锐角三角函数 第二课时-九年级数学下册课件(人教版)
A. 3
12
B. 3
6
C. 3
3
D.
3 2
4 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB＝∠ACB， 过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝ 7 ，
8
求线段OE 的长．
(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴)， ∴cos α＝ 1 .
2
常见错解：∵方程2x
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
，
∴cos α＝2或cos α＝ 1 .忽略了cos α (α 为锐角)
2
的取值范围是0＜cos α＜1.
易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.
1 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD，BC 相交于点P， 如果∠DPB＝α，那么 CD 等于( B )
∴ ▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD.
(2)解：在Rt△AOB 中，cos ∠OAB＝ AO 7 ，AB＝14，
AB 8
∴AO＝
7 8
AB＝
49 4
.
在Rt△ABE 中，cos ∠EAB＝ AB 7 ，
AE 8
AB＝14，∴AE＝
8 7
AB＝16，
∴OE＝AE－AO＝16－
BC 5
C
（1）
解： AB AC2 BC2 22 32 13,
┌
所以
sin A BC
3
3
13 ,
sin B AC
2
2 13 ,
AB 13 13
AB 13 13
cos A AC 2 2 13 , AB 13 13
tan A BC 3 .
2022秋九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系1锐角三角函数2正弦与余弦课件鲁教版五四制
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝nx＋ 2(n≠0)的图象与反比例函数 y＝mx (m≠0)在第一象 限内的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B，线段 OA ＝5，C 为 x 轴正半轴上一点，且 sin ∠AOC＝45. (1)求一次函数和反比例函数的表达式；
解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D.∵sin ∠AOC＝AODA＝45，OA＝5， ∴AD＝4.则 DO＝ OA2－AD2＝3. ∵点 A 在第一象限，∴点 A 坐标为(3，4)．将 A(3，4)的坐标代入 y ＝mx ，解得 m＝12，∴反比例函数的表达式为 y＝1x2.将 A(3，4)的坐 标代入 y＝nx＋2，解得 n＝23，∴一次函数的表达式为 y＝23x＋2.
cos A，所以 A 选项错误；因为 45°＜∠A＜90°，所
以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以 BC＞AC，所以BACB
＞AACB，即 sin A＞cos A，所以 B 选项正确，D 选项
错误；tan A＝ABCC＞1，sin A＜1，所以 C 选项错误．
12．已知x＝cos α(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，
13．【中考•潍坊】如图，点M是正方形ABCD边CD上 一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于 点F，连接BE.
(1)求证：AE＝BF； 解：证明：∵∠BAF＋∠DAE＝90°，∠ADE＋ ∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE. 在△ DEA 和△ AFB 中，∠∠ADDEEA＝＝∠∠BAAFFB，，
(2)求△ABC的三边长．
解：∵△ABC 是直角三角形，∴sin A＝ac. 将其代入 9c＝25asin A，得 9c＝25a·ac，∴9c2＝25a2.
∴3c＝5a.∴c＝53a.∴b＝ c2－a2＝ 53a2－a2＝43a. 将 b＝43a，c＝53a 代入 a＋b＝c＋4，解得 a＝6. ∴b＝43×6＝8，c＝53×6＝10，即△ ABC 的三边长分别为 6，8，10.
冀教版九年级数学上册《锐角三角函数的计算》PPT精品课件
9
8
1
观察计算的结果,当α增大时,角α的正弦值、余弦值、正切值怎样变化?
正弦值随着角度的增大（或减ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
知识讲解
2.已知一个锐角三角函数的值求锐角的度数
例2 用计算器求下列各锐角的度数:(结果精确到1″) (1)已知cosα=0.5237,求锐角α; (2)已知tanβ=1.6480,求锐角β.
知识讲解
(2)在计算器开机状态下,按键顺序为
2ndF tan-1 1 . 6 4 显示结果为58.750 786 43. 即β≈58.750 786 43°.
80=
再继续按键: 2ndF
DEG
显示结果为58□45□2.83.
即β≈58°45‘ 3″.
知识讲解
例3 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.
2.已知 sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（ A ）
A．32°
B．58°
C．68°
D．以上结论都不对
3.用计算器验证，下列各式中正确的是（ D ） A．sin18°24′+sin35°26′=sin45° B．sin65°54′-sin35°54′=sin30° C．2sin15°30′=sin31° D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
2.求cos72°的值． 第一步：按计算器 cos 键，
第二步：输入角度值72， 第三步：输入 键， 屏幕显示结果为0.309 016 994.
即cos 72°=0.309 016 994.
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思考题
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 求（sinA）2 +（sinB）2 的值。 求（sinA）2 +（cosA）2 的值。 B C A
小结
A的邻边 b 1.余弦的定义：cos A 斜边 c
A的对边 b 2.正切的定义： tan A A的邻边 a
3.三角函数的定义
A.
9 25 4 B. 5
C.
3 516 D. 25 Nhomakorabea 范例例2、如图，在四边形ABCD中，∠BAD = ∠BDC=90°，且AB=4，cos∠ABD 12 4 = ，sin∠DBC= ，求AD、BC、 13 5 CD的长。 D C A B
巩固
4、已知锐角α的始边在x轴的正半轴 上(顶点在原点)，终边上一点的坐标为 (2，3)，求角α的三个三角函数值。 y
B 斜边c A 邻边b 对边a
C
归纳 余弦的定义： 在Rt△ABC中，∠C=90°， 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做 ∠ A的余弦。记作cosA，即 A的邻边 b cos A 斜边 c 正切的定义： 在Rt△ABC中，∠C=90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠ A的正切。记作tanA，即 A的对边 a tan A A的邻边 b
α
P(2,3)
o
x
巩固
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 3 AC=8，tanA= ，求sinA、cosB的值。 4 B C A
巩固
6、如图，为测河两岸相对两电线杆A、 B的距离，在距A点17米的C处(AC⊥ AB)测得∠ ACB=50°，则A、B间的 距离为( ) A. 17sin50°米 B A B. 17cos50°米 C. 17tan50°米 D. 34sin50°米 C
A
巩固 2、如图，在Rt△ABC中，如果各边长 都扩大2倍，那么锐角A的余弦值和正 切值有什么变化？为什么？ B
A C
B’ A’ C’
巩固 3、直角三角形的斜边和一条直角边的 比为25∶20，则其中最小的角的正弦 值为 。 3 4、如果α是锐角，且cosα= ，那么 5 sin(90°-α)的值等于( )
归纳 三角函数的定义：
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做 锐角三角函数。
范例
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 3 BC=6，sinA= ，求cosA、tanB的值。 5 B A 6 C
巩固 1、如图，分别求出下列两个直角三角 形两个锐角的余弦值和正切值。
C B 12 A B
13
3
2 C
探究
一、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。 B 斜边c 对边a
邻边b 当∠A确定时，∠A的对边与斜 边的比就确定，此时，其他边之间 的比是否也确定呢？
A
C
探究 二、如图，Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’=α，那么 AC AC 与 有什么关系？ AB AB B’ B A α
锐角三角函数(2)
复习 1、如图，分别求出下列两个直角三角 形两个锐角的正弦值。
C B 12 A 3 A
13
B C 2
复习 2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。 (1)如果A的度数一定，则 是 一个固定值； B (2)什么叫做正弦？ A C
直角三角形的性质： 在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都等于一个固定值。 正弦的定义： 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们 把锐角A的对边与斜边的比叫做∠ A的 正弦。记作sinA，即 A的对边 a sin A 斜边 c
α
C A’
C’
探究
三、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。 B 斜边c 对边a
邻边b 当∠A确定时，∠A的对边与斜 边的比就确定，此时，其他边之间 的比也是确定的。
A
C
新授
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。
A的邻边 cos A 斜边 b c A的对边 tan A A的邻边 a b