31随机向量及其分布
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概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章 随机向量
概率论与数理统计
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随 机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于
这正是参数为
的 分布的概率密度。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
X
X
Y
Y
概率论与数理统计
解: (1)串联情况
X
Y
概率论与数理统计
(2)并联情况
X
Y
感谢聆听 批评指导
概率论与数理统计
二维正态分布 若(X.,Y)的概率密度为
概率论与数理统计
4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设 数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
概率论与数理统计
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
记作
或记为
.
第三章-多维随机向量的分布及数字特征
xi x y j y
一般求概率函数 P ( X , Y ) ( xi , y j ) 采用以下公式： P ( X , Y ) ( xi , y j ) PX xi P Y y j X xi 例3.3 整数 X 等可能的取值1,2,3,4，整数Y 等可能的取值 1~ X，求随机向量( X , Y )的概率分布列。 解: 由题目条件随机向量( X , Y )所有可能取值点为 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) 显然，当 y j xi时，P ( X , Y ) ( xi , y j ) 0 。 当 y j xi时，分别有 P ( X , Y ) (1,1) P X 1 P Y 1 X 1 1 1 1 4 4 P ( X , Y ) (2,1) P X 2 P Y 1 X 2
P x1 X x2 , y1 Y y2
X
pij
0 1
Y
0
1/4 1/4
1
1/4 1/4
0 x 0或y 0 1 / 4 0 x 1且0 y 1 F ( x, y ) PX x, Y y 1 / 2 0 x 1且y 1 1 / 2 x 1且0 y 1 1 x 1且y 1
表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二 维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推 广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨 论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，( x, y )为平面内任意一点，则
第二章多元正态分布的参数估计
就是剔除了 X2 Xk1, , X p 得(线性)影响之后,Xi和
Xj之间得协方差。
给定X2时Xi 和Xj得偏相关系数(partial correlation
coefficient)定义为: ij k1, , p
ij k1, , p
,
ii k1, , p jj k1, , p
其中 Σ11 2 ij k1, , p 。
μ12
μ1
Σ12
Σ
1 22
x2 μ2
Σ112
Σ11
Σ12
Σ
1 22
Σ
21
μ1·2和Σ11·2分别就是条件数学期望和条件协方差矩
阵,Σ11·2通常称为偏协方差矩阵。
这一性质表明,对于多元正态变量,其子向量得条件分布仍
就是(多元)正态得。
例5 设X~N3(μ, Σ),其中
1
16 4 2
μ
0 2
μ(1) μ(2)
11 Σ 21
31
12 22 32
13 23 33
Σ11
Σ
21
Σ12
22
则
X (1)
X1
X
2
~
N2 ( μ(1) ,
Σ11)
其中
μ (1)
1
2
Σ11
11 21
12
22
在此我们应该注意到，如果 X ( X1, X 2 , , X p ) 服从 p
aX
(0,1,
0)
X
2
X2
~
N (aμ, aΣa)
X3
1
aμ
(0,1,
0)
2
2
3
11 12 aΣa (0,1, 0) 21 22
概率论和数理统计(第三学期)第4章随机向量
φξ(x)、φη(y)分别是(ξ,η)的联合分布密度及边缘分 布密度，则ξ、η相互独立的充要条件是：对任意 点(x,y)，有
φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y)
证明
x, y x• y
Fx, y x y u,vdudv
x
y
u
v
dudv
x
u
du
y
v
dv
F x• F y
i 1
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正
品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不 放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
pij η
或η的概率分布称为它的边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)
关于ξ、η的边缘分布函数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边 缘分布函数为
F x P x P{ x, } Fx,
同F理y F , y
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确 定，但其逆并不一定成立。
（４）对任意两点(x1，y1) 、(x2，y2) ，若x1≤x2， y1≤y2，则 F(x2，y2)－ F(x2，y1) － F(x1，y2)＋ F(x1，y1) ≥0
§4.2 二维离散型随机向量
定义 若随机向量(ξ,η) 所有可能取值是有限对或
可列多对(xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(ξ,η)是二 维离散型随机变量；
我们可以证明：
φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y)
证明
x, y x• y
Fx, y x y u,vdudv
x
y
u
v
dudv
x
u
du
y
v
dv
F x• F y
i 1
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正
品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不 放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
pij η
或η的概率分布称为它的边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)
关于ξ、η的边缘分布函数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边 缘分布函数为
F x P x P{ x, } Fx,
同F理y F , y
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确 定，但其逆并不一定成立。
（４）对任意两点(x1，y1) 、(x2，y2) ，若x1≤x2， y1≤y2，则 F(x2，y2)－ F(x2，y1) － F(x1，y2)＋ F(x1，y1) ≥0
§4.2 二维离散型随机向量
定义 若随机向量(ξ,η) 所有可能取值是有限对或
可列多对(xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(ξ,η)是二 维离散型随机变量；
我们可以证明：
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
第三章 随机向量及其独立性
联合分布律的性 质 ≥ 0, i, j = 1,2,L (1) p .
ij
(2)∑pi j = 1.
i, j
第三章
随机向量及其独立性
二维离散型随机向量的联合分布律全面 地反映了向量(X,Y)的取值及其概率规律 的取值及其概率规律. 地反映了向量 的取值及其概率规律 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率 也具有自己的概率 而单个随机变量 分布. 分布 那么要问:二者之间有什么关系呢 那么要问 二者之间有什么关系呢? 二者之间有什么关系呢
第三章
随机向量及其独立性
实例2 实例
在平面坐标系中， 在平面坐标系中，一门大炮向目标发射 一发炮弹. 一发炮弹 炮弹落点位置由它的横坐标X和纵坐标 炮弹落点位置由它的横坐标 和纵坐标Y 和纵坐标 来确定. 来确定 X,Y 都是随机变量，称(X,Y )是二维随机 都是随机变量， 是二维随机 向量. 向量
第三章
随机向量及其独立性
二 离 型 机 量 设 维 散 随 向 (X,Y)的 有 所 可 取 值 (xi , yj ), i = 1,2,L j = 1,2,L 能 的 为 , .
记 pij = P{X = xi ,Y = yj }, i = 1,2,L j = 1,2,L , .
的联合分布律， 称上式为随机向量 ( X,Y ) 的联合分布律，也 称为概率分布. 称为概率分布 若随机向量 ( X,Y ) 的的概率分布的规律 性不强，或者不能用上式表示时， 性不强，或者不能用上式表示时，还可以用 表格的形式表示如下. 表格的形式表示如下
F(x1, x2,L xn ) = P{X1 ≤ x1, X2 ≤ x2,L Xn ≤ xn} , ,
x1 , x 2 , L , x n 为任意实数
3.4 随机向量的数字特征
cov(X ,Y )) cov(X ,Y
((x EX)( yy EY )f f((x,yyddxdy x EX )( EY ) x, )) xdy
(359) (359)
一、协方差
定义38(协方差) 设 (X Y) 为 二 维 随 机 向 量 EX EY 均 存 在 如 果 E[(XEX)(YEY)]存在 则称其为随机变量X与Y的协方差 记 作cov(X Y) 即 cov(X Y)E[(XEX)(YEY)] (357) 协方差的计算 我们常常通过将(357)化简为 cov(X Y)EXYEXEY 来计算协方差
2 2 1
定理36(随机变量线性组合的方差)
设(X1 X2 Xn)是 n 维随机向量 如果 Xi (i1 2 n)的方差 均存在 则对任意实向量(1 2 n) i X i 的方差必存在 且
i 1 n
D( i X i ) 2 DX i 2 i
解 容易求得X的概率分布为 P{X0}03 P{X1}045 P{X2}025 Y的概率分布为 P{Y1}055 P{Y0}025 P{Y2}02 于是有 EX00310452025095 EY(1)0550025202015 在例320中 我们已算得EXY0 于是 cov(X Y)EXYEXEY09501501425
矩阵(ij)nn称为随机向量(X1 X2 Xn)的协方差矩阵 简称协
差阵
如果记X(X1 X2 Xn) 其协差阵通常记作DX
容易验证 对任意实向量(12 n) 有 D(X)DX 由(366)知 对任意实向量(1 2 n) (366)
注： 若cov(X,Y) = 0
X 与Y 独立
推论(随机变量和的方差)
((x EX)( yy EY )f f((x,yyddxdy x EX )( EY ) x, )) xdy
(359) (359)
一、协方差
定义38(协方差) 设 (X Y) 为 二 维 随 机 向 量 EX EY 均 存 在 如 果 E[(XEX)(YEY)]存在 则称其为随机变量X与Y的协方差 记 作cov(X Y) 即 cov(X Y)E[(XEX)(YEY)] (357) 协方差的计算 我们常常通过将(357)化简为 cov(X Y)EXYEXEY 来计算协方差
2 2 1
定理36(随机变量线性组合的方差)
设(X1 X2 Xn)是 n 维随机向量 如果 Xi (i1 2 n)的方差 均存在 则对任意实向量(1 2 n) i X i 的方差必存在 且
i 1 n
D( i X i ) 2 DX i 2 i
解 容易求得X的概率分布为 P{X0}03 P{X1}045 P{X2}025 Y的概率分布为 P{Y1}055 P{Y0}025 P{Y2}02 于是有 EX00310452025095 EY(1)0550025202015 在例320中 我们已算得EXY0 于是 cov(X Y)EXYEXEY09501501425
矩阵(ij)nn称为随机向量(X1 X2 Xn)的协方差矩阵 简称协
差阵
如果记X(X1 X2 Xn) 其协差阵通常记作DX
容易验证 对任意实向量(12 n) 有 D(X)DX 由(366)知 对任意实向量(1 2 n) (366)
注： 若cov(X,Y) = 0
X 与Y 独立
推论(随机变量和的方差)
第三章随机向量及其独立性
yj}
j 1,2,
为 在X xi条 件 下Y的 条 件 分 布 律.
例2： 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为 p(0<p<1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行 到击中目标两次为止.设X表示到第一次击中目标时的射 击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合 分布和条件分布.
同理
P{ X = 1}= p1 j =1/4
j1
P{ X = 2}= p2 j =1/4
j 1
P{
X
=
3}=
p3 j
=1/4
j 1
P{
X
=
4}=
p4 j
=1/4
j 1
P{Y=1}=25/48, P{Y=2}=13/48
P{Y=3}=7/48 , P{Y=4}=3/48
可以用表格来说明联合分布律与边缘分布律的关系
表中,每一列的和表示Y的边缘分布,每一行的和表示X的
边缘分布.右下角的1是所有pij的和,也是X,Y各自边缘分
布的和.
例6:设二维随机变量(X,Y)的联合分布为
又P{Y=2}=1/3 求 (1)a,b
(2)求边缘分布律
解
(1)由
33
pij =1
可知 a+b=1/6
i1 j1
又P{Y=2}=1/6+a+1/12=1/3
例1: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。
问:X与Y相互独立吗？ 解: X与Y的边缘分布律分别为
逐一验证可知， pij= pi. ·p.j
(i=1,2,3,j=1,2,3) 从而X与Y相互独立。
2、条件分布
定 义6 设( X ,Y )是 二 维 离 散 型 随 机 变 量, 对 于 固 定 的j,
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概率。
3 矩形区域内的概率计算：
对于任意的x1＜x2，y1＜y2， P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2}＝F（x2, y2）-F(x2,y1)
-F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)
4 . F（x,y）的基本性质：
（1）F(x,y) 是x和y的单调不减函数。即 对于任意固定的y，当x1＜x2时，F（x1 ,y）≤F（x2 , y）；
i
j
三、 二维连续型随机向量的概率分布
1. 定义 设（X，Y）的分布函数为 F（x, y），如 果存在非负函数 f(x, y)，使得对于任意实数 x, y 有
yx
? ? F (,x y) ?
f (,u v)dudv
?? ??
则称（X，Y）为二维连续型随机向量，f(x, y)为
（X,Y）的（联合）概率密度或（联合）分布密度。
第三章 随机向量及其分布
定义 设E：Ω ={ω } ，X1，X2，…，Xn是定 义在Ω 上的n个随机变量，称随机变量组 （X1，X2，…，Xn）为定义在 Ω 上的n维随机
向量。考虑最多的是二维随机向量(X,Y)
X(e)
e Y(e)
随机向量的例子
1、体检时每个人有身高和体重两个指标,分别用X和Y表示。
B??
2
? ? ? ? ? P{X ??3,Y 4} ? F (3,4) ?
?
C?
1
2
9
2 ( 4 ? 2 )( 2 ? 4 ) ? 16
二、 离散型随机向量的概率分布
1. 定义 若随机向量（ X，Y）所有可能取值只有有限对或 可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机向量。
2. （X，Y）的联合分布列 若（X，Y）的所有可能取值为（xi, yj），
（4）(X,Y)的联合分布律可用下列形式的联合分布表表示：
Y X
y1
x1
p11
x2
p21
：
：
xi
pi1
xi+1 pi+11
：：
y2 … yj
p12 … p 1j
p22 … p 2j
：
：
yj+1 … p 1j+1 … p 2j+1 …
：
pi2 … pij
pi+12 … pi+1j
：
：
pij+1 … pi+1j+1 …
2、火箭在空中的飞行姿态，水平位置和高度，经度（X） ，纬度（Y），高度（Z）是定义在Ω 上的三个随机变量。即 每一个点对应三个实数值，称向量（X，Y，Z）为三维随机 向量。
二维随机向量的样本空间
(1) 二维随机向量（X，Y）的
一个可能值可以用平面上的一
个点表示
D
(2)样本空间是平面上的一些
离散点或者平面区域D
对于任意固定的x，当y1＜y2时，F（x ,y1）≤F( x, y2) （2）0≤F（x,y）≤1, F(-∞，-∞)=0，F（+∞，+∞）=1
对任意固定的y，F（-∞，y）=0 对任意固定的x，F（x，-∞）=0 （3）F（x,y）关于 x 右连续，关于 y 也是右连续的，即
F（x+0,y）=F（x,y），F（x,y+0）= F（x,y） （4）对于任意的x1＜x2, y1＜y2有下列不等式
1 1/4
0
0
0
2 1/8 1/8
0
0
3 1/12 4 1/16
1/12 1/16
1/12 0 1/16 1/16
例4 一袋中有四个球，上面分别标有数字 1，2，2，3
从袋中任取一球后不放回， 再从袋中任取一个球，以
X , Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，
求 ( X,Y) 的分布列。
解 X 可能取值分别都为 1，2，3 由乘法公式得
i,j =1,2,…；且取这些值时的概率表示为
pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…)， 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律。
3. （X，Y）的联合分布律 pij 的性质：
（1）pij≥0；i,j=1,2,…;
?
?
?
?
pij ? 1
(2)
i?1 j?1
F（x2 , y2）-F（x2 , y1）-F（x1 ,y2）+ F（x1 ,y1）≥0
思考: F(-? ,+)? =?
例1、设（X，Y）的分布函数
F (x,
y)
?Hale Waihona Puke A( B?arctan
x 3
)(C
?
arctan
x) 4
求 A,B,C 的值及概率P{X≤3,Y≤4}
(?? ? x ? ? ,?? ? y ? ?
解: 由分布函数的性质,
F (? ? , ? ? ) ? 1, F (? ? , ? ? ) ? 0, F (? ? , ? ? ) ? 0, 得
A(B ? ? )(C ? ? ) ? 1
2
2
A(B ? ? )(C ? ? ) ? 0
2
2
A(B ? ? )(C ? ? ) ? 0
2
2
1 解得 A ? ? 2
p1 1? P{X ? 1, Y ? 1}
? P{X ? 1}P{Y ? 1 | X ? 1} ? 1 ? 0 ? 0
4
p12 ? P{X ? 1, Y ? 2}
? P{X ? 1}P{Y ? 2 | X ? 1} ? 1 ? 2 ? 1
p13
?
1 ?
4
1 3
?
1 12
43 6
同理可得
p21
?
2? 4
一、二维随机向量（X，Y）的联合分布函数
1. 定义：设 （X，Y），x、y为两个任意实数，则称二
元函数
F（x, y）=P{X≤x, Y≤y}
为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称X、Y的 联合分布函数。
2. 几何意义： F（x,y）表示随机点（ X，Y）落在以 （x,y）为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的
1 3
?
1 6
11 1
p31
?
? 4
3
?
12
p22
?
2 ?
4
1 3
?
1 6
12 1
p32
?
? 4
3
?
6
p23
?
2 ?
4
1 3
?
1 6
p33
?
1?0 4
?
0
所以 ( X,Y) 的分布列为
XY 1
2
1
0
1/ 6
3 1 / 12
可见
pij ? 0
2
1/ 6
1/ 6
1/ 6 ? ? pij ? 1
3
1/12 1/ 6 0
2 .概率密度 p(x, y) 的性质
（1）f（x, y）≥0
?? ??
?? (2)
f ( x,)y dxdy ? F (? ? , ? ? )1?
：
? ? （5）（X，Y）的联合分布函数为：F ( x, y ) ?
p ij
其中和式是对一切满足xi≤x，yj≤y的i, j来求和的xi。? x y j ? y
例题3
设随机变量X在1，2，3，4四个数中等可能地取一个
数，另一个随机变量Y在1～X中等可能地取一个数，
试求（X，Y）的分布律
y
x
1
2
3
4
3 矩形区域内的概率计算：
对于任意的x1＜x2，y1＜y2， P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2}＝F（x2, y2）-F(x2,y1)
-F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)
4 . F（x,y）的基本性质：
（1）F(x,y) 是x和y的单调不减函数。即 对于任意固定的y，当x1＜x2时，F（x1 ,y）≤F（x2 , y）；
i
j
三、 二维连续型随机向量的概率分布
1. 定义 设（X，Y）的分布函数为 F（x, y），如 果存在非负函数 f(x, y)，使得对于任意实数 x, y 有
yx
? ? F (,x y) ?
f (,u v)dudv
?? ??
则称（X，Y）为二维连续型随机向量，f(x, y)为
（X,Y）的（联合）概率密度或（联合）分布密度。
第三章 随机向量及其分布
定义 设E：Ω ={ω } ，X1，X2，…，Xn是定 义在Ω 上的n个随机变量，称随机变量组 （X1，X2，…，Xn）为定义在 Ω 上的n维随机
向量。考虑最多的是二维随机向量(X,Y)
X(e)
e Y(e)
随机向量的例子
1、体检时每个人有身高和体重两个指标,分别用X和Y表示。
B??
2
? ? ? ? ? P{X ??3,Y 4} ? F (3,4) ?
?
C?
1
2
9
2 ( 4 ? 2 )( 2 ? 4 ) ? 16
二、 离散型随机向量的概率分布
1. 定义 若随机向量（ X，Y）所有可能取值只有有限对或 可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机向量。
2. （X，Y）的联合分布列 若（X，Y）的所有可能取值为（xi, yj），
（4）(X,Y)的联合分布律可用下列形式的联合分布表表示：
Y X
y1
x1
p11
x2
p21
：
：
xi
pi1
xi+1 pi+11
：：
y2 … yj
p12 … p 1j
p22 … p 2j
：
：
yj+1 … p 1j+1 … p 2j+1 …
：
pi2 … pij
pi+12 … pi+1j
：
：
pij+1 … pi+1j+1 …
2、火箭在空中的飞行姿态，水平位置和高度，经度（X） ，纬度（Y），高度（Z）是定义在Ω 上的三个随机变量。即 每一个点对应三个实数值，称向量（X，Y，Z）为三维随机 向量。
二维随机向量的样本空间
(1) 二维随机向量（X，Y）的
一个可能值可以用平面上的一
个点表示
D
(2)样本空间是平面上的一些
离散点或者平面区域D
对于任意固定的x，当y1＜y2时，F（x ,y1）≤F( x, y2) （2）0≤F（x,y）≤1, F(-∞，-∞)=0，F（+∞，+∞）=1
对任意固定的y，F（-∞，y）=0 对任意固定的x，F（x，-∞）=0 （3）F（x,y）关于 x 右连续，关于 y 也是右连续的，即
F（x+0,y）=F（x,y），F（x,y+0）= F（x,y） （4）对于任意的x1＜x2, y1＜y2有下列不等式
1 1/4
0
0
0
2 1/8 1/8
0
0
3 1/12 4 1/16
1/12 1/16
1/12 0 1/16 1/16
例4 一袋中有四个球，上面分别标有数字 1，2，2，3
从袋中任取一球后不放回， 再从袋中任取一个球，以
X , Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，
求 ( X,Y) 的分布列。
解 X 可能取值分别都为 1，2，3 由乘法公式得
i,j =1,2,…；且取这些值时的概率表示为
pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…)， 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律。
3. （X，Y）的联合分布律 pij 的性质：
（1）pij≥0；i,j=1,2,…;
?
?
?
?
pij ? 1
(2)
i?1 j?1
F（x2 , y2）-F（x2 , y1）-F（x1 ,y2）+ F（x1 ,y1）≥0
思考: F(-? ,+)? =?
例1、设（X，Y）的分布函数
F (x,
y)
?Hale Waihona Puke A( B?arctan
x 3
)(C
?
arctan
x) 4
求 A,B,C 的值及概率P{X≤3,Y≤4}
(?? ? x ? ? ,?? ? y ? ?
解: 由分布函数的性质,
F (? ? , ? ? ) ? 1, F (? ? , ? ? ) ? 0, F (? ? , ? ? ) ? 0, 得
A(B ? ? )(C ? ? ) ? 1
2
2
A(B ? ? )(C ? ? ) ? 0
2
2
A(B ? ? )(C ? ? ) ? 0
2
2
1 解得 A ? ? 2
p1 1? P{X ? 1, Y ? 1}
? P{X ? 1}P{Y ? 1 | X ? 1} ? 1 ? 0 ? 0
4
p12 ? P{X ? 1, Y ? 2}
? P{X ? 1}P{Y ? 2 | X ? 1} ? 1 ? 2 ? 1
p13
?
1 ?
4
1 3
?
1 12
43 6
同理可得
p21
?
2? 4
一、二维随机向量（X，Y）的联合分布函数
1. 定义：设 （X，Y），x、y为两个任意实数，则称二
元函数
F（x, y）=P{X≤x, Y≤y}
为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称X、Y的 联合分布函数。
2. 几何意义： F（x,y）表示随机点（ X，Y）落在以 （x,y）为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的
1 3
?
1 6
11 1
p31
?
? 4
3
?
12
p22
?
2 ?
4
1 3
?
1 6
12 1
p32
?
? 4
3
?
6
p23
?
2 ?
4
1 3
?
1 6
p33
?
1?0 4
?
0
所以 ( X,Y) 的分布列为
XY 1
2
1
0
1/ 6
3 1 / 12
可见
pij ? 0
2
1/ 6
1/ 6
1/ 6 ? ? pij ? 1
3
1/12 1/ 6 0
2 .概率密度 p(x, y) 的性质
（1）f（x, y）≥0
?? ??
?? (2)
f ( x,)y dxdy ? F (? ? , ? ? )1?
：
? ? （5）（X，Y）的联合分布函数为：F ( x, y ) ?
p ij
其中和式是对一切满足xi≤x，yj≤y的i, j来求和的xi。? x y j ? y
例题3
设随机变量X在1，2，3，4四个数中等可能地取一个
数，另一个随机变量Y在1～X中等可能地取一个数，
试求（X，Y）的分布律
y
x
1
2
3
4