3-1二维随机向量的分布1

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二维随机变量及其分布函数

ppp
ppp
??
??
???
??
???.),(.
~1 ,
4,3,2,1
的分布律
的分布律的分布律
的分布数值
中等可能地取一
中等可能地取一中等可能地取一
中等可能地取一在
在在
在另一个随机变量
?∞?∞
?∞?∞
?∞?∞
?∞?∞
?∞→
→→
→
?∞
?∞?∞
?∞→
→→
→y
xFFy
x.
,),(也右连续
也右连续也右连续
也右连续关于
关于关于
关于右连续
右连续右连续
右连续关于
关于关于
关于即
即即
即yxyxF,,),,(),,(421212211
=
==
==
==
==
==
==
==
=
=
==
=二维随机变量
二维随机变量二维随机变量
二维随机变量( X,Y )的分布律也可表示为
的分布律也可表示为的分布律也可表示为
的分布律也可表示为.1,011=
==
=≥
≥≥
≥∑
∑∑
∑∑
是一个随机试验是一个随机试验
是一个随机试验
设
设设
设
YX
SeYYeXX
eSE
=
==
==
==
=
=
==
=一
一一
一、
、、

chap3-1 随机向量的联合分布和边缘分布

1
（2） P｛-1<X<1, -1<Y<1｝ 1 1 f ( x, y )dxdy
dx e y dy (1 e 2 )(1 e 1 ).
0 1
（3） P{ X Y 1}
1 1 x
2e ( 2 x y )dy dx 1 2e 1 e2 0 0
f ( x) 0

f ( x, y )dxdy 1

f ( x)dx 1
不难得出，对连续型r.v(X,Y)，其概率密度与分布函数的关系如下：
F ( x, y )
x

y
f (u, v)dudv
若 f (x, y)在（ x, y ）点连续，则有
F ( x, y ) f ( x, y ) xy

m j 1
pnj
p
i 1
n
im
1
二维随机变量（X,Y）连续型 X和Y 的联合密度函数
一维随机变量X 连续型 X的密度函数
f ( x , y) P{( x, y) A} f ( x, y )dxdy
Ax )dx
a
b
f ( x, y ) 0
一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率分布为
P( X xi ) pi pij , i 1,2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率分布为
P(Y y j ) p j pij ,
二维分布函数的性质 1. x,y R1 有 0≤F(x,y)≤1,

《概率论》二维随机变量及其分布函数的定义、基本性质

定义3-1 n个随机变量X1，X2，…，X n构成的整体X=(X1，X2，…，X n)称为一个n维随机变量或n维随机向量，X i称为X的第i(i=1，2，…，n)个分量.
定义3-2 设(x，Y)为一个二维随机变量，记
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}，-∞<z<+∞，-∞<y<+∞，< p="" style="padding: 0px; list-style: none;">
称二元函数F(x，y)为X与y的联合分布函数或称为(X，Y)的分布函数.
(X，Y)的两个分量X与y各自的分布函数分别称为二维随机变量(X，Y)关于X与关于y的边缘分布函数，记为F X(x)与F Y(y).
边缘分布函数可由联合分布函数来确定，事实上，一元函数
几何上，若把(X，Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(x，y)在(x，y)处的函数值就是随机点(X，Y)落在以(x，y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率.
分布函数F(x，y)具有下列性质：
(1)F(x，y)是变量x(或y)的不减函数.
(2)0≤F(x，y)≤l，
对任意固定的y，F(-∞，y)=0
对任意固定的x，F(x，-∞)=0;
F(-∞, -∞)=0，F(+∞，+∞)=1. (3)F(x，y)关于x和关于y均右连续，即F(x,y)=F(x+0,y);F(x，y)=F(x,y+0). (4)对任意固定的x1<x2，y1<y2
F(x2 ,y2)-F(x2,yl)-F(xl，y1)+F(x1+yl)≥0.。

3.1随机向量的分布

若 i j 5，有 PX i， Y j 0
若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
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例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
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§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
Fx， y pij xi x， y j y
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§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
解：
由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求得 ( X,Y ) 的分布律。
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i} 1 • 1 , i4
其中i 1,2,3,4, j i.
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概率论与数理统计第3章随机向量

解（1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布

3-1概率论

G
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6

2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。

《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布

P{a X b} = F(b) − F(a) + P{X = a}
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.

概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布

2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.

( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2

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三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3 对于二维随即向量(X,Y)的分布函数
F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y)
使得对于x, y R,有F( x, y) x
y
f (u,v)dudv
称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称
f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密
度函数，记作(X，Y)～f (x , y).
[注] ① f (x, y)的基本性质：
(1) f (x, y) 0
解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0, Y=0)=0 P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=0)=0 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
P(X=1, Y=i)=0, i=2,3; P(X=2, Y=0)=0 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0
2020/7/1
12
例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，
令X i
0 1
Y i Y i
(i 1,2)
求(X1, X2)的联合概率分布。
2020/7/1
13
例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求
(X,Y)的概率函数 .
2020/7/1
8
离散型随机向量的联合分布律
Y
X
y1
y2
ym
x1
p11 p12
p1m
x2
p21 p22
p2m
xn
pn1 pn2
pnm
2020/7/1
9
二维随机变量（X,Y）离散型联合分布
X和Y 的联合概率函数
P( X xi ,Y y j ) pij ,
i, j =1,2, …
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的联合分布律。
2020/7/1
11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:
1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所有取值数对;
2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数?
解: 由于 P(1 X 2,1 Y 2)
F(2,2) F(1,2) F(2,1) F(1,1)
1 1 1 0 1 0
所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数.
2020/7/1
7
二、离散型随机向量的联合分布律
（2）0 F( x, y) 1;
（3）固定x,有F( x,) 0; 固定y,有 F (, y) 0;
F(,) 0， F(,) 1，
但F(, y) 1, F( x,) 1.
（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续.
2020/7/1
6
例1 已知二元函数
1 x y 0 F ( x, y) 0 x y 0
第三章随机向量
二维随机向量的分布随机向量的数字特征二维正态分布大数定律与中心极限定理 n维随机向量
2020/7/1
1
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .
定义2 如果二维随机向量的每一个分量X和Y 都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散型随机向量。若 (X，Y)的所有可能值为
( xi , y j ) , i 1,2, ; j 1,2, 称P( X xi ,Y y j ) pij , i 1,2, ; j 1,2,
为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。
Y
(x1, y2 )
(x2, y2 )
2020/7/1
( x1 , y1 )

( x2 , y1 )
X
5
3) 联合分布函数F(x,y)的基本性质：
（1） F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,
x1 , x2 R, x1 x2 , 有F(x1 , y) F(x2 , y) 固定x, y1 , y2 R, y1 y2 ,有F(x, y1 ) F(x, y2 )
2020/7/1
2
§3.1 二维随机变量的分布一、二维随机向量及其联合分布
设X,Y是定义在同一个样本空间上的随机
变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维
随机向量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性
质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维
随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布
函数的概念.
2020/7/1
3
定义1 设(X，Y)为二维随机向量, 对于任意x，
y，二元函数F( x, y) P( X x,Y y)
称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合
分布函数.
Y
[注] 1)联合分布函数
(x, y)
F(x, y) P(X x,Y y)
的概率意义：
F(x, y)是随机点 (X ,Y ) O
落在以 (x, y) 为顶点的左
X
下方的无穷矩形的概率.
2020/7/1
图1
4
2)设 x1 x2 , y1 y2
则P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F(x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1 , y2） F( x1 , y1 )
P(X=3, Y=0)=1/8 P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3
2020/7/1
14
XY 0 1 2 3
0 0 0 0 1/8 1 0 3/8 0 0 2 0 3/8 0 0
3 0 0 0 1/8
XY 1 3
0 01/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8
2020/7/1
15
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(X xk ) pk ,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
2020/7/1
10
例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，
取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：
0 第一次取到白球 X 1 第一次取到黑球