二维随机变量的联合分布
二维离散型随机变量及其分布
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘 分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律 边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变 量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球 表示第二次取白球
第3章作业参考答案
λ2l
l!
e− λ2 ,
l = 0,1,2,"
P( X + Y = n) = ∑ P{ X = k}P{Y = n − k}
k =0
=∑
k =0
n
λ1
k
k!
e −λ1
λ2
n−k
(n − k )!
e −λ2 =
e −( λ1+λ2 ) n λ1 λ2 e −( λ1+λ2 ) n k k n−k e −( λ1+λ2 ) n ! = ∑ ∑ Cn λ1 λ2 = n! (λ1 + λ2 )n n! k =0 k! (n − k )! n! k =0
18. 设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为
λ1k
e
−λ1
λ2n−k
e−λ2
⎛ λ2 ⎞ ⎜ ⎜λ +λ ⎟ ⎟ ⎝ 1 2⎠
n−k
f ( x, y ) =
1 − 2 (x2 + y2 ) e , ( x, y ) ∈ R 2 2π
1
计算概率 P{− 2 < X + Y < 2 2} 。 解：
19. 随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 λ 的指数分布，Y~U(0, h), 求 X+Y 的概率密 度。 解：
20. 一射手向某个靶子射击，设靶心为坐标原点，弹着点坐标（X，Y）服从二维正态分布 N(0,1;0,1;0). 求弹着点与靶心的距离 Z 的概率密度函数。 解： （X，Y）的联合概率密度为
f ( x, y ) =
1 − 2(x2 + y2 ) e , ( x, y ) ∈ R 2 2π
1
弹着点与靶心的距离 Z 的分布函数为
二维随机变量及其联合分布函数
E-mail: xuxin@
实例1 炮弹的弹着点的 位置 (X,Y) 就是一个二维 随机变量. 实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就 构成二维随机变量(H,W). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
0
+∞
−2 x
(1 − e )dx = [−e
−x
−2 x
2 −3x +∞ 2 1 + e ] |0 = 1 − = . □ 3 3 3
本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计 算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零 区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。 与所求概率的
E-mail: xuxin@
( x, y ) 处的函数值就是事件
“随机点(X,Y)落在以点
( x, y )为右上顶点的角形区
域”的概率.
E-mail: xuxin@
分布函数具有下列基本性质:
（1）0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1 (−∞ < x < +∞, −∞ < y < +∞) F 且对于任意固定的y， (−∞, y) = xlim F ( x, y ) = 0, →−∞
P{( X , Y ) ∈ G} =
( xi , y j )∈G
∑ P{ X = x , Y = y }
i j
F ( x, y )
E-mail: xuxin@
三、二维连续型随机变量
1、概念
定义5 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y ) 如果存在非负函数 f ( x, y )，使得对任意的X， Y均有 y x
二维随机变量(X,Y)的联合分布
上页 下页 返回
解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1, , i .
则： P( X i,Y j)
定义 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数 为F(x,y),分别把X和Y的分布函数记为FX(x)和FY(y)， 叫做二维随机变量(X,Y) 关于X和Y的边缘分布函数.
即: FX (x) P{X x} PX x,Y F(x,)
FY ( y) P{Y y} PX ,Y y F(, y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任 意实数 x，y 有
x
y
F( x, y)
f (u, v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）
称为（X，Y）的联合概率密度函数。
上页 下页 返回
说明
(1) 分布函数 F( x, y) 是连续函数. (因为 F( x, y)
是积分上限函数)
(2)
的性质
(i) f (x, y) 0
(ii)
f ( x, y)dxdy F (,) 1
(注：从几何上看，z f ( x, y)表示空间的一个曲面，
介于它和XOY面的空间区域的体积为1）
上页 下页 返回
xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
几何意义
(X,Y)平面上随机点的坐标
F (x, y) P { X x,Y y }
3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设X,Y是二维
3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设(X, Y)是二维随机变量，(x,y)∈R 2,则称F(x,y)=P{X<x,Y<y}为(X,Y)的分布函数，或X 与Y 的联合分布函数。
几何意义：分布函数F(00,y x )表示随机点(X,Y)落在区域{}00,),(y y x x y x <<-∞<<∞-中的概率。
如图阴影部分： 对于(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),则P{x 1≤X<x 2，y 1≤y<y 2}＝F(x 2,y 2)－F(x 1,y 2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)2、分布函数F(x, y)具有如下性质(p119)：(1)归一性：对任意(x,y)∈R 2, 0≤F(x,y)≤1,(2)单调不减：对任意y ∈R,当x 1<x 2时，F(x 1,y)≤F(x 2,y)；对任意x ∈R ，当y 1<y 2时，F(x,y 1)≤F(x,y 2)。
(3)左连续：对任意x ∈R,0y ∈R,1),(lim ),(==∞∞∞→∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞-∞→-∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F y F x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F x F y ).,(),(lim )0,(000y x F y x F y x F y y ==--→(4)矩形不等式：对于任意(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),F(x 2,y 2)－F(x 1,2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)≥0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
例1:已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为:1)求常数A ，B ，C ；2)求P{0≤X<2,0≤Y<3}。
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨摘要本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。
掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。
利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。
将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。
运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。
本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。
关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布AbstractIn this paper，we first understand the concept and properties of the joint distribution of two-dimensional random variables and their two basic expressions: joint probability distribution of discrete two-dimensional random variables and joint probability density of continuous two-dimensional random variables. The method of finding the edge distribution of the joint distribution of two known random variables is mastered. On the basis of literature research， a formal extension model of two-dimensional random variable distribution and edge distribution is established by using random event element and random element set. By using extension transformation and conduction transformation combined with formalized knowledge of extension reasoning，the conduction and distribution models of two-dimensional random variables under extension transformation are studied. The random event element，random event set，extension transformation and extension reasoning knowledge are introduced into the study of two-dimensional random variable distribution，making the analysis more formalized and logical. The extension model of the distribution of two dimensional random variables is established by using the random event element and the set of random element. This special case is studied in depth. The structure and nature of the two-dimensional density f (x，y) with this property is analyzed，which helps us to better understand the special properties of normal distribution.Key words:two-dimensional random variables; edge distribution; joint distribution目录摘要 (I)Abstract (II)1 随机变量独立性及其判定 (1)1.1 随机变量独立性定义 (1)1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义 (1)1.1.2随机变量独立性的两个简单定理 (2)1.2 离散型随机变量独立性的判定 (4)1.2.1离散型随机变量判别法一 (4)1.2.2离散型随机变量判别法二 (8)1.3 连续型随机变量独立性的判定 (12)1.3.1连续型随机变量判别法一 (12)1.3.2连续型随机变量判别法二 (13)2 边缘分布与联合分布关系探讨 (16)2.1 二维随机变量的分布函数 (16)2.2 二维离散型随机变量 (17)2.3 二维连续型随机变量 (18)2.4 随机变量的独立性 (18)2.5条件分布 (19)2.6 二维随机变量函数的分布 (20)结论 (21)致谢 (21)参考文献 (22)0 引言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而随机现象是相对于决定性现象而言的。
二维随机变量的联合分布函数
二维随机变量的联合分布函数随机变量是概率论和数理统计中的重要概念之一，它可以描述一个随机事件以及该事件可能出现的结果。
二维随机变量则是另一种更为复杂的随机变量类型，它可以同时描述两个随机事件之间的关系。
在二维随机变量中，我们有一个联合分布函数，它描述了两个随机变量的值同时出现的可能性，也就是两个随机变量之间的联合关系。
二维随机变量的联合分布函数定义为：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
其中，X和Y是两个二维随机变量，F(x,y)表示X≤x且Y≤y的概率。
联合分布函数可以用来描述两个随机变量之间的关系，从而可以计算出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。
在实际应用中，联合分布函数也可以用于概率分布估计、预测和建模等问题。
例如，如果我们有两个随机变量X和Y，它们分别表示某个商品的价格和销量。
我们可以通过计算它们之间的联合分布函数，来研究价格和销量之间的关系。
如果联合分布函数的曲线表现为随价格上升而
销量下降的趋势，那么我们可以得出这个商品的价格和销量之间是负
相关的。
另外，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数。
边际分布函数指的是某一个随机变量的概率分布函数，而条件分布函
数则指的是在已知另一个随机变量取某一值的情况下，另一个随机变
量的概率分布函数。
总之，二维随机变量的联合分布函数是概率论和数理统计中重要
的概念之一。
通过联合分布函数，我们可以研究和描述两个随机变量
之间的相互关系，从而得出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。
同时，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数，有助于在实际应用中进行概率分布估计、预测和建模等问题的解决。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.概率计算
求( X , Y )落在某个正方形区域的 概率
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 若x1 x2 , y1 y2
P (( X , Y ) G ) F ( x2 , y2 ) F ( x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1) 0
F y' ( x x , y ) F y' ( x , y )
lim
x 0
x
' Fyx ( x, y )
联合密度函数与联合分布函数的关系
2 F ( x, y) f ( x, y ) xy
F ( x, y )
x
y
f ( x, y )dydx
联合密度函数的性质：
2 X Y 4
0 0 0
3
4
0 0
0
i 4 i j C3 C5j C2 P( X i , Y j ) • 定义：设(X,Y)是一个二维随机向量，对于任意的实数x,y，
F ( x, y) P( X x, Y y)
叫做随机变量X和Y的联合分布函数。
1. f ( x, y ) 0
2.
f ( x, y)dxdy 1
如果随机点定义域是区 域S，则
( X ,Y )S
f ( x , y )dxdy 1
3. P ( X , Y ) D
( X ,Y )D
f ( x, y )dxdy
随机点落在区域D上的概率等于密 度函数在区域D上的双重积分！
b
a
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x , y )dydx
yd
y型区域： D {c y d , x1 ( y ) x x 2 ( y )}
x2 ( y)
x1 ( y )
yc
f ( x , y )dxdy
D
d
c
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dxdy
0 X 3 0Y 5
0 X Y 4 2 X Y 4 X Y Z 4
X
Y
0 0 0
10 210 20 210 5 210
1
2
3 210 30 210 30 210
3
2 210 5 210
0 X 3 0Y 5
0
1 2
0
15 210 60 210 30 210
第二章 第二部分
随机向量及其分布
• 对某一地区的学龄前儿童进行调查，希望了解儿童 的发育情况。对于每一个儿童，测量他的身高X和 体重Y.
• 样本空间Ω ={e}={某地区的全部学龄前儿童}。
• X(e)和Y(e)是定义在Ω 上的随机变量。
• (X,Y)构成一个二维随机向量。 对于二维随机向量(X,Y),分别研究X或Y的性质 是不够的，还要考虑到X和Y之间的关系，所 以要将(X,Y)作为一个整体来研究。
4
3 2 1
G
0 2
Y值 4
x, y G
其他
0 -4 -2
在坐标系中作出区域G
S (G )
( x , y )G
dydx
2
1 x 2
x 2
9 dydx 1 ( x 2 x )dx 2
2
2
2 f ( x, y) 9 0
1 x 2, x 2 y x 2 其他
3
2 210 5 210
3 30 15 F ( 2,1) 210 210 210
0
1 2
0
15 210 60 210 30 210
0 0 0
3
4
0 0
0
6.二维连续随机向量的分布函数
F ( x, y )
x
y
f ( x, y )dydx
密度函数
2.9.3连续型随机向量的联合密度函数
( x2 , y2 )
G
( x1 , y1 )
• 5.二维离散随机变量的分布函数
F ( x, y ) p X xi , Y y j
xi x y j y
X
Y
例1 ，求F (2,1)
0 0 0
10 210 20 210 5 210
1
2
3 210 30 210 30 210
2.9 二维随机向量
联合分布 二维随机向量的联合分布函数 二维连续随机向量的联合密度
二维离散随机向量的联合分布律
二维随机向量的边缘分布函数 边缘分布 二维连续随机向量的边缘密度
二维离散随机向量的边缘分布律
2016/12/4
2.9.1 离散型随机向量的联合分布律
dxdy 1
区域R的面积
例2：二维随机变量 (X,Y)在抛物线 y x 2与直线 y x 2所围成的区域 G 上服从均匀分布，求：
Y值
5
(1)( X , Y )的联合密度函数； （2）概率P ( X Y 2)
1 (1)解：f ( x, y) S (G) 0
0 x 1, y 0 其他
求( X , Y )的联合分布函数 F ( x, y ).
解：当0 x 1, y 0
F ( x, y )
x x
y
f ( x, y )dydx
y y 0 x 0
x
0
y
0
e y dydx
e
0
y) dx (1 e y） x ( 1 e dx
p21 p22 p2j
… …
pi1 pi2 pij
… … … …
… …
… …
… …
… …
… …
…
• 例1：已知10件产品中有3件一等品，5件二 等品，2件三等品。从这批产品任取4件， 求其中一等品，二等品件数的二维联合分 布律。
解：用 X和Y表示取到一等品的件数 和二等品的件数。
用Z表示取到三等品的件数 。
（x,y）
P
2016/12/4
F(x,y)就是随机点(X,Y)落在点 (x,y)左下方无穷区域的概率。
联合分布函数的性质
• 1.单调性：任意固定x,F(x,y)是y的单调 不减的右连续函数，任意固定y, F(x,y) 是x的单调不减的右连续函数。 • 2.值域：0≤F(x,y)≤1, • 3.边界值
例2：二维随机变量 (X,Y)在抛物线 y x 2与直线 y x 2所围成的区域 G 上服从均匀分布，求： （2）概率 P( X Y 2)
2 解： f ( x, y ) 9 0
1 x 2, x 2 y x 2 其他
在坐标系中作出区域G 中 X Y 2 的部分
x
当x 1, y 0时，F ( x, y )
y
f ( x , y )dydx
1
0 0
y
e y dydx 1 e y
当x 0或y 0时，F ( x, y ) 0
作业
• 2.40（1）（2） • 2.41（1）（2）（5）
二维均匀分布
• 如果二维随机变量(X,Y)服从区域R上的均匀分布，那么密 度函数为：
C f ( x, y ) 0
( x, y) R
其他
1 C S ( R)
( X ,Y )R
f ( x , y )dxdy 1
( X ,Y )R
Cdxdy 1
C
( X ,Y )R
设( X, Y)的所有可能取值为 ( xi , y j )
i , j 1,2,...
称 P{ X xi ,Y y j } pij
i , j, 1,2,...
为( X, Y)的联合分布律。
pij 0
p
i, j
ij
1
表格形式
Y X x1 x2 … xi …
y1 y2 yj
p11 p12 p1j
F ( x x, y y) F ( x x, y) F ( x, y y) F ( x, y) x0 xy y 0
F ( x x, y y ) F ( x x, y ) F ( x, y y ) - F ( x, y ) y y f ( x, y ) lim x 0 x y 0
F ( x x, y y) F ( x x, y) F ( x, y y) F ( x, y) f ( x, y) lim x0 xy y 0
( X , Y )的联合密度函数
" Fxy ( x, y)
2016/12/4
f ( x, y) lim
考虑二维随机变量 ( X , Y )落在小区域 ( x, x x; y, y y)的概率。
P( x X x x, y Y y y)
F ( x x, y y) F ( x x, y) F ( x, y y) F ( x, y)
5 4 3 2 1 0 -4 -2 0 2 4
2 P ( X Y 2) dxdy 9 ( x , y )G
x y 2
1 2 x2 2 2 dydx 2 dydx 0 2 x 9 1 x 9 x2
Y值
13 27
e y 例3： 已 知 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 ： f ( x, y) 0