随机向量及其分布
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第三章-多维随机向量的分布及数字特征
xi x y j y
一般求概率函数 P ( X , Y ) ( xi , y j ) 采用以下公式： P ( X , Y ) ( xi , y j ) PX xi P Y y j X xi 例3.3 整数 X 等可能的取值1,2,3,4，整数Y 等可能的取值 1~ X，求随机向量( X , Y )的概率分布列。 解: 由题目条件随机向量( X , Y )所有可能取值点为 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) 显然，当 y j xi时，P ( X , Y ) ( xi , y j ) 0 。 当 y j xi时，分别有 P ( X , Y ) (1,1) P X 1 P Y 1 X 1 1 1 1 4 4 P ( X , Y ) (2,1) P X 2 P Y 1 X 2
P x1 X x2 , y1 Y y2
X
pij
0 1
Y
0
1/4 1/4
1
1/4 1/4
0 x 0或y 0 1 / 4 0 x 1且0 y 1 F ( x, y ) PX x, Y y 1 / 2 0 x 1且y 1 1 / 2 x 1且0 y 1 1 x 1且y 1
表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二 维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推 广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨 论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，( x, y )为平面内任意一点，则
第二章随机向量总结
f X (x) f1 ( x) f (x, y)dy
fY ( y) f 2 ( y) f ( x, y)dx
事实上, (1)f1(x)≥0, (2) 若a<b,则
b
P{a<X<b}= P{a<X<b,-∞<Y<+∞}= dx f ( x, y )dy
返回
例2.1.2.设随机变量Y~N（0，1），令
0, | Y | 1
0, | Y | 2
X 1 1,
|Y
|
, 1
X
2
1,
| Y | 2
求（X1，X2）的联合概率分布。
解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2) =1-P(|Y|<2) =-2Φ(2)=0.0455
i
一般地,记: P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
分布表如下:
返回
Y X
y1 y2 y j
p. i.
x1 p11 p12 p1 j p1. x2 p21 p22 p2 j p2.
xi pi1 pi2 pij pi.
返回
二维联合概率分布区域图: Y
2
1
P(X≤1,Y≤1}
-1
0
P{X≥0,Y≤1}
1
X
返回
3、边缘概率分布
(1) 定义:随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关
于Xi的边缘分布。
(2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。
fY ( y) f 2 ( y) f ( x, y)dx
事实上, (1)f1(x)≥0, (2) 若a<b,则
b
P{a<X<b}= P{a<X<b,-∞<Y<+∞}= dx f ( x, y )dy
返回
例2.1.2.设随机变量Y~N（0，1），令
0, | Y | 1
0, | Y | 2
X 1 1,
|Y
|
, 1
X
2
1,
| Y | 2
求（X1，X2）的联合概率分布。
解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2) =1-P(|Y|<2) =-2Φ(2)=0.0455
i
一般地,记: P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
分布表如下:
返回
Y X
y1 y2 y j
p. i.
x1 p11 p12 p1 j p1. x2 p21 p22 p2 j p2.
xi pi1 pi2 pij pi.
返回
二维联合概率分布区域图: Y
2
1
P(X≤1,Y≤1}
-1
0
P{X≥0,Y≤1}
1
X
返回
3、边缘概率分布
(1) 定义:随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关
于Xi的边缘分布。
(2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。
概率论和数理统计(第三学期)第4章随机向量
φξ(x)、φη(y)分别是(ξ,η)的联合分布密度及边缘分 布密度，则ξ、η相互独立的充要条件是：对任意 点(x,y)，有
φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y)
证明
x, y x• y
Fx, y x y u,vdudv
x
y
u
v
dudv
x
u
du
y
v
dv
F x• F y
i 1
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正
品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不 放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
pij η
或η的概率分布称为它的边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)
关于ξ、η的边缘分布函数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边 缘分布函数为
F x P x P{ x, } Fx,
同F理y F , y
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确 定，但其逆并不一定成立。
（４）对任意两点(x1，y1) 、(x2，y2) ，若x1≤x2， y1≤y2，则 F(x2，y2)－ F(x2，y1) － F(x1，y2)＋ F(x1，y1) ≥0
§4.2 二维离散型随机向量
定义 若随机向量(ξ,η) 所有可能取值是有限对或
可列多对(xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(ξ,η)是二 维离散型随机变量；
我们可以证明：
φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y)
证明
x, y x• y
Fx, y x y u,vdudv
x
y
u
v
dudv
x
u
du
y
v
dv
F x• F y
i 1
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正
品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不 放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
pij η
或η的概率分布称为它的边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)
关于ξ、η的边缘分布函数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边 缘分布函数为
F x P x P{ x, } Fx,
同F理y F , y
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确 定，但其逆并不一定成立。
（４）对任意两点(x1，y1) 、(x2，y2) ，若x1≤x2， y1≤y2，则 F(x2，y2)－ F(x2，y1) － F(x1，y2)＋ F(x1，y1) ≥0
§4.2 二维离散型随机向量
定义 若随机向量(ξ,η) 所有可能取值是有限对或
可列多对(xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(ξ,η)是二 维离散型随机变量；
我们可以证明：
概率论与数理统计第3章随机向量
解 （1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的 联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布
随机向量及其分布【概率论及数理统计PPT】
n 维随机向量是一维随机变量的推广 一维随机变量及其分布
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
随机向量精品PPT课件
二、协方差矩阵
❖ 协方差定义为
Cov x, y E x E x y E y
❖ 若Cov(x,y)=0，则称x和y不相关。 ❖ 两个独立的随机变量必然不相关，但两个不相关的
随机变量未必独立。 ❖ 当x=y时，协方差即为方差，也就是
Cov x, x V x
❖ x x1, x2, , xp 和y y1, y2, , yq 的协方差矩阵 （简称协差阵）定义为
x1 | x2
f2
x2
六、独立性
❖ 两个连续型随机向量的独立
f x, y fx x fy y
❖ n个连续型随机向量的独立
f x1, , xn f1 x1 fn xn
❖ 在实际应用中，若随机向量之间的取值互不影响，
则认为它们之间是相互独立的。
数字特征
❖ 一、数学期望（均值） ❖ 二、协方差矩阵 ❖ 三、相关矩阵
❖ 当p=1时，上述等式就是我们熟知的如下等式：
V ax b a2V x
❖ 例2.3.2 设随机向量x=(x1,x2,x3)′的数学期望和 协方差矩阵分别为
5
4 1 2
μ
2 7
和
Σ
1 2
9 3
253
令y1=2x1−x2+4x3, y2=x2−x3, y3=x1+3x2−2x3, 试求y=(y1,y2,y3)′的数学期望和协方差矩阵。
一、数学期望（均值）
❖ 随机向量 x (x1, x2, , xp )的数学期望
E x E x1 , E x2 , , E xp
记为μ=(μ1,μ2,⋯,μp)′。
❖ 随机矩阵X=(xij)的数学期望
E
x11
E X E xij
【学习课件】第三章概率论与数理统计
解 确定随机变量的取值：
及F(2,2).
p i j P Xi,Yj
F ( x , y) = P { X x , Y y}
{ P X { X i , Y i } j } { Y { X j } i } { Y j } pij
P Y j|X iP X i
xi x yjy
为 X, Y的 分 布 函 数 ， 或 X与 Y的 联 合 分 布 函 数 。
X x ,Y y X x Y y
几 何 意 义 ： 分 布 函 数 Fx0,y0表 示 随 机 点 X,Y落 在 区 域
x,y,xx0,yy0
中 的 概 率 。 如 图 阴 影 部 分 所 示 ：
y
x0, y0
X＝xi ,Y y j
P X＝xi
pij , j＝1, 2, pi
为给定条件X xi时，Y的条件概率分布律。
3、条件概率分布律
给定条件Yyj时，X的条件概率分布律记作：
X|Yyj
P X＝xi |Yyj
pij ,i＝ 1, 2, pj
X |Y yj
P X |Y y j
x1
p1 j
X , Y ～P X＝xi, Y＝y j pij , i, j＝1, 2,
则称 P X＝xi | Y y j
P X＝xi ,Y y j P Y＝y j
pij , i＝1, 2, p j
为给定条件Y y j时，X的条件概率分布律；
P Y＝y j | X＝xi
P
= limPX x,Y y lim Fx, y
y
y
0, x 0; =x2, 0 x 1;
1, 1 x.
FYy PY yPX ,Y y
= limPX x,Y y limFx, y
大学概率论第三章----随机向量
大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。
简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。
设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。
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P(Y y j ) P({X xi , Y y j }) pij p j , j 1, 2,.
i i
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率分布
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第 14 页
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
F(x1, x2, … , xn) = P(X1≤x1, X2≤x2, … , Xn≤xn) 称为随机向量（X1, X2, … , Xn）的联合分布函数。
上面的 (x1, x2, … , xn) 为 Rn 中任一点，X1≤x1, … , Xn≤xn 表示 n 个事件 { X1≤x1 } , … , { Xn≤xn } 的积事件。
FXi ( xi ) F (,, , xi , ,, ) , i 1,2,, n .
FX i ( xi ) 称为随机向量 ( X1, X2, … , Xn ) 关于 Xi 的边缘分布函数。
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第 11 页
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
表3-1-1 ( X,Y ) 的联合概率分布表 Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … … P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X
p21
p22
…
…
p2j
…
…
2j
§3.1 随机向量及其分布
第5页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
随机向量( X,Y )的联合分布函数 F(x, y) = P ( X≤x,Y≤y ), (x,y)∈R2。 且有： ⑴ 0≤F(x, y)≤1； ⑵ F(x, y)关于 x 和 y 均单调不减、右连续； ⑶ F (, y ) lim F ( x, y ) 0, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0, x y F (, ) lim F ( x, y ) 0, F (, ) lim F ( x, y ) 1. ⑷ 对任意的 x1≤x2,y1≤y2, 有 P(x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)。
p p
j j
1j
x2
X
p21
p22
…
…
p2j
…
…
2j
xi
p i1
p i2
pij
p
j
ij
P(Y=yj )
j
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
P( X xi ) P({X xi , Y y j }) pij pi , i 1, 2,; (X,Y)关于X 的边缘概率分布
随机变量 X 和随机变量 Y 各自的分布函数 FX(x) 和 FY(y)：
如果( X,Y )的联合分布函数 已知，则由可导出随机变量 X 和 随机变量 Y 各自的分布函数：
FX(x) = P(X≤x) = P ( X≤x,Y＜+∞ ) = F ( x,+∞ )； FY(y) = P(Y≤y) = P ( X＜+∞,Y≤y ) = F ( +∞, y )。
i j
Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … …
P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X
p21
p22
…
…
p2j
…
…
2j
xi
p i1
p i2
pij
p
j
ij
P(Y=yj )
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
对离散型随机向量而言，联合概率分布比联合分布函数更加 直观，更容易确定 ( X,Y ) 取值于区域 D 上的概率。
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
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§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
通常将FX(x) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 X 的边缘分布函数， 将FY(y) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数。
如果( X,Y )的联合分布函数 F(x, y)已知，则由 F(x, y)可导出
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
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§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
通常将FX(x) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 X 的边缘分布函数， 将FY(y) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数。 一般地，由( X1, X2, … , Xn ) 的联合分布函数 F(x1, x2, … , xn) 可导出 n 个随机变量 X1, X2, … , Xn 各自的分布函数：
表3-1-1 ( X,Y ) 的联合概率分布表 Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … … P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X
p21
p22
…
…
p2j
…
…
2j
xi
p i1
p i2
pij
p
j
ij
P(Y=yj )
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
1。
F(x1, x2, … , xn) = P(X1≤x1, X2≤x2, … , Xn≤xn) 称为随机向量（X1, X2, … , Xn）的联合分布函数。
易见，随机变量可以看成一维随机向量；而对于二维随机向 量，为简单起见，往往记为( X,Y )。
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§3.1 随机向量及其分布
第4页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
随机向量( X,Y )的联合分布函数 F(x, y) = P ( X≤x,Y≤y ), (x,y)∈R2。 定义3.1.2 设（X1, X2, … , Xn ）是（Ω，ℱ，P）上的一个 n 维随机向量，则 n 元函数
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§3.1 随机向量及其分布
第 16 页
例3.1.1
从一个装有 2 个红球，3 个白球和 4 个黑球的袋中
随机地取 3 个球，设 X 和 Y 分别表示取出的红球数和白球数。 ⑴ 求 ( X,Y ) 的联合概率分布； ⑵ 求 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘概率分布； ⑶ 求“ 3 个球中恰有 1 个黑球”的概率。
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第8页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
通常将FX(x) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 X 的边缘分布函数， 将FY(y) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数。 一般地，由( X1, X2, … , Xn ) 的联合分布函数 F(x1, x2, … , xn) 可导出 n 个随机变量 X1, X2, … , Xn 各自的分布函数：
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第3页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
定义3.1.1 设 X1, X2, … , Xn 是定义在概率空间（Ω，ℱ，P） 上的 n 个随机变量，则称（X1, X2, … , Xn）是（Ω，ℱ，P）上的 一个 n 维随机向量。 定义3.1.2 设（X1, X2, … , Xn ）是（Ω，ℱ，P）上的一个 n 维随机向量，则 n 元函数
FXi ( xi ) F (,, , xi , ,, ) , i 1,2,, n. 如果( X,Y )的联合分布函数 已知，则由可导出随机变量 X 和 随机变量 Y 各自的分布函数： FX(x) = P(X≤x) = P ( X≤x,Y＜+∞ ) = F ( x,+∞ )； FY(y) = P(Y≤y) = P ( X＜+∞,Y≤y ) = F ( +∞, y )。
第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第1页
§3.1 随机向量及其分布目录
§3.1.1 随机向量及其分布函数
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
§3.1.3 二维连续型随机向量及其联合概率密度
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第2页
§3.1 随机向量及其分布
随机变量 X 和随机变量 Y 各自的分布函数 FX(x) 和 FY(y)：
如果( X,Y )的联合分布函数 已知，则由可导出随机变量 X 和 随机变量 Y 各自的分布函数：
FX(x) = P(X≤x) = P ( X≤x,Y＜+∞ ) = F ( x,+∞ )； FY(y) = P(Y≤y) = P ( X＜+∞,Y≤y ) = F ( +∞, y )。
i i
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率分布
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第 14 页
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
F(x1, x2, … , xn) = P(X1≤x1, X2≤x2, … , Xn≤xn) 称为随机向量（X1, X2, … , Xn）的联合分布函数。
上面的 (x1, x2, … , xn) 为 Rn 中任一点，X1≤x1, … , Xn≤xn 表示 n 个事件 { X1≤x1 } , … , { Xn≤xn } 的积事件。
FXi ( xi ) F (,, , xi , ,, ) , i 1,2,, n .
FX i ( xi ) 称为随机向量 ( X1, X2, … , Xn ) 关于 Xi 的边缘分布函数。
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第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第 10 页
第 3 章 随机向量
§3.1 随机向量及其分布
第 11 页
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
表3-1-1 ( X,Y ) 的联合概率分布表 Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … … P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X
p21
p22
…
…
p2j
…
…
2j
§3.1 随机向量及其分布
第5页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
随机向量( X,Y )的联合分布函数 F(x, y) = P ( X≤x,Y≤y ), (x,y)∈R2。 且有： ⑴ 0≤F(x, y)≤1； ⑵ F(x, y)关于 x 和 y 均单调不减、右连续； ⑶ F (, y ) lim F ( x, y ) 0, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0, x y F (, ) lim F ( x, y ) 0, F (, ) lim F ( x, y ) 1. ⑷ 对任意的 x1≤x2,y1≤y2, 有 P(x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)。
p p
j j
1j
x2
X
p21
p22
…
…
p2j
…
…
2j
xi
p i1
p i2
pij
p
j
ij
P(Y=yj )
j
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
P( X xi ) P({X xi , Y y j }) pij pi , i 1, 2,; (X,Y)关于X 的边缘概率分布
随机变量 X 和随机变量 Y 各自的分布函数 FX(x) 和 FY(y)：
如果( X,Y )的联合分布函数 已知，则由可导出随机变量 X 和 随机变量 Y 各自的分布函数：
FX(x) = P(X≤x) = P ( X≤x,Y＜+∞ ) = F ( x,+∞ )； FY(y) = P(Y≤y) = P ( X＜+∞,Y≤y ) = F ( +∞, y )。
i j
Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … …
P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X
p21
p22
…
…
p2j
…
…
2j
xi
p i1
p i2
pij
p
j
ij
P(Y=yj )
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
对离散型随机向量而言，联合概率分布比联合分布函数更加 直观，更容易确定 ( X,Y ) 取值于区域 D 上的概率。
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§3.1 随机向量及其分布
第7页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
通常将FX(x) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 X 的边缘分布函数， 将FY(y) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数。
如果( X,Y )的联合分布函数 F(x, y)已知，则由 F(x, y)可导出
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§3.1 随机向量及其分布
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§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
通常将FX(x) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 X 的边缘分布函数， 将FY(y) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数。 一般地，由( X1, X2, … , Xn ) 的联合分布函数 F(x1, x2, … , xn) 可导出 n 个随机变量 X1, X2, … , Xn 各自的分布函数：
表3-1-1 ( X,Y ) 的联合概率分布表 Y
y1 x1 p11 y2 p12 … … yj p1j … … P(X=xi )
p p
j j
1j
x2
X
p21
p22
…
…
p2j
…
…
2j
xi
p i1
p i2
pij
p
j
ij
P(Y=yj )
p
i
i1
p
i
i2
…
p
i
ij
…
1。
F(x1, x2, … , xn) = P(X1≤x1, X2≤x2, … , Xn≤xn) 称为随机向量（X1, X2, … , Xn）的联合分布函数。
易见，随机变量可以看成一维随机向量；而对于二维随机向 量，为简单起见，往往记为( X,Y )。
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§3.1 随机向量及其分布
第4页
§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
随机向量( X,Y )的联合分布函数 F(x, y) = P ( X≤x,Y≤y ), (x,y)∈R2。 定义3.1.2 设（X1, X2, … , Xn ）是（Ω，ℱ，P）上的一个 n 维随机向量，则 n 元函数
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§3.1 随机向量及其分布
第 16 页
例3.1.1
从一个装有 2 个红球，3 个白球和 4 个黑球的袋中
随机地取 3 个球，设 X 和 Y 分别表示取出的红球数和白球数。 ⑴ 求 ( X,Y ) 的联合概率分布； ⑵ 求 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘概率分布； ⑶ 求“ 3 个球中恰有 1 个黑球”的概率。
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§3.1 随机向量及其分布
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§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
通常将FX(x) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 X 的边缘分布函数， 将FY(y) 称为随机向量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数。 一般地，由( X1, X2, … , Xn ) 的联合分布函数 F(x1, x2, … , xn) 可导出 n 个随机变量 X1, X2, … , Xn 各自的分布函数：
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§3.1 随机向量及其分布
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§3.1 随机向量及其分布
§3.1.1 随机向量及其分布函数
定义3.1.1 设 X1, X2, … , Xn 是定义在概率空间（Ω，ℱ，P） 上的 n 个随机变量，则称（X1, X2, … , Xn）是（Ω，ℱ，P）上的 一个 n 维随机向量。 定义3.1.2 设（X1, X2, … , Xn ）是（Ω，ℱ，P）上的一个 n 维随机向量，则 n 元函数
FXi ( xi ) F (,, , xi , ,, ) , i 1,2,, n. 如果( X,Y )的联合分布函数 已知，则由可导出随机变量 X 和 随机变量 Y 各自的分布函数： FX(x) = P(X≤x) = P ( X≤x,Y＜+∞ ) = F ( x,+∞ )； FY(y) = P(Y≤y) = P ( X＜+∞,Y≤y ) = F ( +∞, y )。
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§3.1 随机向量及其分布目录
§3.1.1 随机向量及其分布函数
§3.1.2 二维离散型随机向量及其联合概率分布
§3.1.3 二维连续型随机向量及其联合概率密度
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§3.1 随机向量及其分布
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§3.1 随机向量及其分布
随机变量 X 和随机变量 Y 各自的分布函数 FX(x) 和 FY(y)：
如果( X,Y )的联合分布函数 已知，则由可导出随机变量 X 和 随机变量 Y 各自的分布函数：
FX(x) = P(X≤x) = P ( X≤x,Y＜+∞ ) = F ( x,+∞ )； FY(y) = P(Y≤y) = P ( X＜+∞,Y≤y ) = F ( +∞, y )。