3.1二维随机向量的分布

PX 1, Y 0
C
1 1
C
3 3
1
任取4个
C
4 6
15
PX 1,Y 1
C
1 1
C
1 2
C
2 3
C
4 6
6 15
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PX 1,Y 2
C
1 1
C
2 2
C1 3C4 Nhomakorabea63 15
Y X
0
1
2
0 023 15 15
163 1 15 15 15
F0.5, 2PX0.5,Y 2 5
15
F3,1PX 3,Y 1 9
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§3.1 随机向量的分布
一、随机向量及其分布
定义3.1 设 X1,X2,...,Xn是定义在概率空间
(, P) 上的n个随机变量，则称 X 1,X 2,...,X n是
(, P) 上的一个维n 随机向量.
例如, 设 X ,Y分别表示 一个人的身高和体重,
则 X, Y 是二维随机向量.
15
PXY2 3 3 8
15 15 15 15
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Y X
0
1
2
0 023 15 15
163 1 15 15 15
X 的分布为: X 0 1
5 10 P 15 15
称为关于 X的边缘分布.
Y的分布为: Y
P
0 1 2称为关于Y的边缘分布.
1 86 15 15 15
PX0PX 0, Y0,1,2 任取4个
设 X1,X2分,X别3 表示 任一钢块的长、宽、高,
则 X1,X2,X3是三维随机向量.
设 X1,X2,X 分3,别X4 表示
任一考生的语、数、外
及综合的考试分数, X 1,X 2,X 3,X 4是四维随机向量. 2020/5/7
定义3.2 设X X 1,X 2,...,X n是n维随机向量,
n元函数
F (x 1,x 2,...,x n ) PX1x1, X2 x2, ..., Xn xn
(x1,x2,...,xn) R n
称为随机向量 X X 1 ,X 2 ,...,X n 的分布函数. 或
n个随机变量 X1,X2,...,Xn的联合分布函数.
例如, 设 X1,X2,X 分3,别X4 表示
PX0,Y 0PX0,Y 1PX0,Y 2 5
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PX1PX 1, Y0,1,2 1 0
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1. 联合分布
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定义3.4 设 ( X , Y )是二维离散型随机向量, 可能
（3）F(x, y) 关于 x , y 均右连续. 即对任意实数a ,
l i m F(x, y)F(a,y)
（4）
x a
记
l i m F(x, y)F(x,a)
y a
记
F(,y)l i m F(x, y) 0 F(x,)l i m F(x, y) 0
x
y
记
记
F( , )l i m F(x, y) 0 , F( ,)l i m F(x, y) 1
任一考生的
语、数、英及综合的考试分数, X 1,X 2,X 3,X 4
是四维随机向量.
F (8 0 ,7 0 ,9 0 ,8 5 ) PX180,X2 70, X3 90, X4 85
2020/5/7
定义3.2 设X X 1,X 2,...,X n是n维随机向量,
n元函数
F (x 1,x 2,...,x n ) PX1x1, X2 x2, ..., Xn xn
x
x
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y
y
对任意固定的 x , 当 y1 y2时，有
F(x, y1)F(x,y2)
证 当 y1 y2时，
X x, Y y1
X x, Y y2
• y2
X x, Y y1 X x, Y y2
• y1
P X x, Y y1 P X x, Y y2
在概率论中, 如果试验的每一个基本结果都对 应一个实数, 则为一维随机变量;
如果试验的每个基本结果 都对应一对有序实数 ( X,Y ), 则称为二维随机向量;
如果试验的每个基本结果 都对应三个有序实数 (X,Y,Z), 则称为三维随机向量;
一般地,如果试验的每个基本结果 都对应 n 个
有序实数 X 1,X 2,...,X n,则称为 n 维随机向量.
例 袋中装有1个红球,2个白球,3个黑球. 从中任 取4个, X 和 Y 分别表示4球中 红球及白球的个数.
Y 0 1 2 PX 0,Y 0 0
X 0 1
0
2 15
16
15 15
3 15
3 15
PX 0, Y 1
C
1 2
C
3 3
C
4 6
2 15
PX 0,Y 2
C
2 2
C
2 3
C
4 6
3 15
•
x
FY(y) PY y P X, Y y lim F(x, y) x
F(,y)
称为分布函数 F(x, y)关于Y的边缘分布函数.
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二、离散型随机向量的概率分布 定义3.3 如果二维随机向量(X,Y)的全部取值 为有限个或至多可列个则, 随机向量 (X,Y)为 离散型的.
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F(x, y1) F(x, y2) ∴ F(x, y)关于y单调不减.
2020/5/7
如果 ( X ,Y的)分布函数 F(x, y) 已知，则
随机变量 X 的分布函数为：
FX(x)PXxPXx,Y
lim F(x, y)
y
F(x,)
称为分布函数 F(x, y)关于X的边缘分布函数.
•y
随机变量 Y 的分布函数为：
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联合分布函数具有性质： F(x,y)PX x,Y y
（1）0F(x, y) 1
（2）F(x, y) 关于 x , y 均单调不减. 对任意固定的 x, 当 y1 y2 时，有F(x,y 1 ) F(x, y 2 )
对任意固定的 y , 当 x1 x2 时，有F(x 1 , y) F(x 2 , y)
Ch3 随机向量
例1 任选一个人, 设X表示其身高，Y表示其体重,
X,Y 描述了任一个人的体形特征.
例2 设任一炮弹弹着点的横坐标为X,纵坐标为Y,
X,Y 可确定炮弹的弹着点.
例3 设 X1,X2分,X别3 表示 任一钢块的长、宽、高,
X1,X2,X3描述了任一
钢块的形状.
Y
X,Y
X
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(x1,x2,...,xn) R n
称为随机向量 X X 1 ,X 2 ,...,X n 的分布函数.
当n 时2 , 二维随机向量 ( X ,Y ) 的分布函数为
F(x,y)PX x,Y y
b
例如
(x, y)R2
F(160,50)PX160,Y 50
F (2,4)PX2,Y 4
a
F(a,b)PX a,Y b