抽样误差和t分布4444
统计学中的抽样误差分布
统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。
抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。
本文将介绍统计学中的抽样误差分布。
一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。
由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。
2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。
样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。
3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。
当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。
二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。
这也是许多统计推断方法的基础。
2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。
3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。
当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。
4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。
当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。
三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。
抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。
2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。
抽样误差的分布决定了p值的计算方式。
3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。
抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。
标准误、t 分布
教 学 内 容 标准误 t分布
二、 t 分布： 三)、应用： 2、t 检验--- 3)、两样本均数的比较： A)、两小样本比较： 检验步骤： 1、建立假设，确定检验水准α 及单双侧 H0：无效假设：(两总体相同)该地急性克山病患者和健康人 的血磷值是否相同， μ 1= μ 2 H1：备择假设：(两总体不同) μ 1 ≠ μ 2 α =0.05 (双侧) 2、选择和计算统计量值： SX1-X2 = t = ( X1-X2 )/SX1-X2 [SC2(1/n1+1/n2)]1/2 = (1.521-1.085)/0.1729 =2.522 3、确定P值：按 v = v1+v2 = n1+n2-2 = 11+13-2 = 22 查t界值 表，得： P < 0.02 4、判断结果： P < 0.05 (α )， 故H1成立， 即该地急性克山病患者和健康人 的血磷值不同。
教 学 内 容 标准误 t分布
二、 t 分布： 三)、应用： 2、t 检验： 3)、两样本均数的比较： A)、两小样本比较： t = (X1-X2)/SX1-X2 B)、两大样本比较： t = (X1-X2)/SX1-X2
v=n1+n2-2 v=n1+n2-2
SX1-X2 = ( S12/n1+S22/n2 )1/2 例： 抽查了25--29岁正常人群的RBC数(mmol/L) 其中男性156人，得均数为4.561，标准差为0.548 ；女性74人，得均数为4.222，标准差为0.442。问 该人群男、女的RBC数有无不同？ 已知样本1 已知样本2 问题： 两样本所属总体 均数是否相同？(μ 1= μ 是否成立 ？)
教 学 内 容 标准误 t分布
二、 t 分布： 三)、应用： 2、t 检验--- 1)、样本均数与总体均数比较：
统计学中的抽样误差和非抽样误差
统计学中的抽样误差和非抽样误差统计学是研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，抽样是一种常见的数据收集方法。
在进行抽样时，我们常常会遇到抽样误差和非抽样误差。
本文将详细介绍这两种误差的概念、影响以及如何减少它们的方法。
一、抽样误差抽样误差是由于从总体中选择一个样本而引起的误差。
当我们使用一个相对较小的样本来代表整个总体时，会产生抽样误差。
抽样误差可能是由于选择的样本不具有代表性，或者从样本中得到的信息不完整而引起的。
抽样误差是统计研究中常见的问题，它会对结果的准确性产生影响。
抽样误差的大小取决于多个因素，包括样本容量、抽样方法和总体变异性等。
较小的样本容量会增加抽样误差的可能性，因为小样本可能无法准确地反映总体的特征。
不同的抽样方法也会对抽样误差产生不同的影响。
如果抽样方法不具有随机性或没有明确定义的抽样框架，那么可能会引入更多的抽样误差。
此外，总体的变异性越大，抽样误差也会相应增加。
减少抽样误差的方法是增加样本容量和改进抽样方法。
通过增加样本容量，我们可以更好地捕捉总体的特征，从而减少抽样误差。
而改进抽样方法可以通过采用随机抽样方法、明确的抽样框架以及适当的样本分层等，来提高样本的代表性，从而减少抽样误差的可能性。
二、非抽样误差非抽样误差是指在数据收集、整理、分析和解释过程中引入的各种其他误差。
相比抽样误差，非抽样误差更难以控制，因为它通常是由于研究设计、数据质量、调查方法和数据处理等方面的问题引起的。
非抽样误差可以包括如下几个方面的问题：1. 问卷设计：不合理的问题设计、问题表述不清、问题顺序不当等都会引入非抽样误差。
2. 非回答误差：指调查对象拒绝参与或者没有回答所有问题而引入的误差。
3. 测量误差：包括测量工具的不准确性、调查员的主观判断等因素导致的误差。
4. 数据处理误差：在数据录入、清洗、整理和分析等过程中出现的错误和失误。
非抽样误差的控制需要从研究设计和数据处理等方面入手。
统计学中的抽样误差分布类型
统计学中的抽样误差分布类型统计学中的抽样误差是指由于选取抽样方法的随机性引起的样本与总体之间的差异。
在统计学中，我们常常利用抽样方法来研究总体的特征。
然而，由于抽样的随机性，样本很可能无法完全准确地反映总体的真实情况。
因此，了解抽样误差的分布类型对于正确解释样本数据的意义至关重要。
在统计学中，有多种类型的抽样误差分布。
本文将介绍其中的三种常见类型：正态分布、均匀分布和偏态分布，并探讨它们对样本数据的影响。
一、正态分布正态分布也被称为高斯分布，是抽样误差最常见的分布类型之一。
正态分布呈钟形曲线，以均值为中心对称，标准差决定了曲线的幅度。
在正态分布中，抽样误差呈现出对称的模式分布，均值为零。
这意味着样本数据中的大部分值都接近总体的真实值。
正态分布的特点使得它在许多应用中非常有用。
例如，在对人体身高进行抽样调查时，正态分布可以很好地描述不同个体的身高分布情况。
不过需要注意的是，当样本量较小时，正态分布的逼近效果可能会受到一定的影响。
二、均匀分布均匀分布是另一种常见的抽样误差分布类型。
均匀分布呈矩形形状，表示样本中每个值的概率是相等的。
在均匀分布中，抽样误差的分布是连续而平均的，不会出现严重的偏差。
均匀分布的特点在一些特定场景中非常适用。
例如，在调查抛硬币结果的分布时，当我们进行大量的抛硬币试验时，得到正面和反面的概率应该是接近均匀分布的。
然而需要注意的是，均匀分布并不适用于所有情况，特别是当总体分布是非均匀的时候。
三、偏态分布偏态分布是一种常见的非对称抽样误差分布类型。
在偏态分布中，曲线的形状倾斜向某一侧。
偏态分布可以进一步分为正偏态和负偏态两种类型。
正偏态分布指的是曲线的尾部偏向较大的一侧，而负偏态分布则相反。
偏态分布的特点使得它在某些情况下更适合描述抽样误差。
例如，在研究收入分布时，负偏态分布可能更符合实际情况，因为大多数人的收入可能集中在低收入水平。
然而，需要注意的是，偏态分布会导致样本数据的误差，因此在解释数据时需要谨慎。
第04章.抽样误差
100次抽样，可以求得100个t值，100个t
值编成频数表，可以绘制成频数分布图。
由于sx受 n的影响, 严格讲，受(n-1)的影响，
(n-1) 称为自由度。
= n-1 如下图。
◆
t分布的图形
2. 分布的特征(与正态分布比较)
① 单峰分布，以t=0为中点，两侧对称(高峰
位置）
②样本(自由度)越小，t分布曲线峰值越低，t
的概率。
精确度：由区间的宽度反映，越窄越好。
在n确定的时，二者无法兼顾，一般95%CI更
为常用，可信度确定的情况下，增加n可减小区 间宽度，即提高精确度。
思考！
均数置信区间与参考值范围的区别
意义：95%的参考值范围指同质的总体内包括
95%的个体值范围，对于正态分பைடு நூலகம்总体，按
X±1.96S计算。
95%的CI指按95%的可信度估计总体均数
x1 x2 x3 x4 x100
映个体变异的标准差相区别)
标准误用 表示，它是说明均数抽样误差的大小
x
◆
3.抽样误差的分布
理论上可以证明：若从正态总体 N( , 2 ) 中，反 复多次随机抽取样本含量固定为n 的样本，那么 这些样本均数 X 也服从正态分布，即 X 的总体均 数仍为，样本均数的标准差为 / n 。
2.均数的抽样误差与标准误的概念
从N(,2)的总体中做随机抽样，每次抽样样本含 量为n,样本均数为x，标准差为s。如下: 1 n x1 s1 s t1 可知：每一个样本均数与 2 n x2 s2 s t2 不一定相等，它们之差别是 3 n x3 s3 s t3 由抽样所造成的；另外，这 4 n x4 s4 s t4 100个样本均数大小也不尽 相同，它们之间的变异程度 … … … … … … 可以用样本均数的标准差来 100 n x100 s100 s t100 表示，即标准误(为了与反
抽样分布公式t分布卡方分布F分布
抽样分布公式t分布卡方分布F分布抽样分布公式：t分布、卡方分布、F分布抽样分布是统计学中的重要概念，用于推断总体参数以及进行假设检验。
本文将重点介绍三种常见的抽样分布公式：t分布、卡方分布和F分布。
一、t分布公式t分布是用于小样本情况下进行参数估计和假设检验的重要分布。
它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，总体的均值和标准差未知。
如果从该总体中随机抽取一个样本，计算样本均值与总体均值的差异，用t 值来衡量。
那么，t值的概率分布就是t分布。
t分布的公式如下：t = (x - μ) / (s / √n)其中，x为样本均值，μ为总体均值，s为样本标准差，n为样本容量。
t分布的自由度为n-1。
在实际应用中，可以利用t分布表或统计软件来查找不同自由度下的t值对应的概率。
二、卡方分布公式卡方分布是应用于统计推断的重要分布，主要用于分析分类资料或定类变量的相关性。
它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，比较观察值与理论值之间的差异。
我们将差异的平方进行求和，并除以理论值，得到统计量，称为卡方统计量。
卡方分布的公式如下：χ^2 = Σ((O - E)^2 / E)其中，O为观察值，E为理论值。
卡方分布的自由度取决于总体参数的个数减去估计的参数个数。
在实际应用中，同样可以利用卡方分布表或统计软件来查找不同自由度下的卡方值对应的概率。
三、F分布公式F分布是应用于统计推断的另一重要分布，主要用于比较两个或多个总体方差是否相等。
它的定义如下：假设有两个总体A、B，分别进行抽样，计算两个样本方差的比值，得到F统计量。
F分布的公式如下：F = (s1^2 / σ1^2) / (s2^2 / σ2^2)其中，s1^2和s2^2分别为样本A和样本B的方差，σ1^2和σ2^2分别为总体A和总体B的方差。
F分布的自由度取决于样本容量和总体个数。
在实际应用中，同样可以利用F分布表或统计软件来查找不同自由度下的F值对应的概率。
抽样误差
t分布界值示意图，α表示阴影的面积 分布界值示意图， 分布界值示意图
t分布曲线下面积 分布曲线下面积
规律： 值增加， 规律：1. 同一ν下，t值增加，P值减小 值下， 增加， 反向关系 2. 同一P值下，ν增加，t值减小 双侧t 单侧t 双侧 0.05/2，∞＝1.96 ＝单侧 0.025，∞ ， ，
抽 样 实 验
表1 正常成年男子红细胞计数抽样实验结果
样本号 1 2 3 4 ： 100 5.16 4.49 5.59 4.65 4.56 4.08 5.11 红细胞计数 4.26 5.11 5.70 4.53 4.88 4.74 … 5.55 4.46 … 5.32 4.53 … 4.23 4.65 … 5.33 ： 5.02 ：
抽 样 误 差
由于抽样而引起的样本指标（统计量） 由于抽样而引起的样本指标（统计量）与 样本指标 总体指标（参数）的差异。 总体指标（参数）的差异。 属随机误差： 属随机误差：
特点： 无倾向性； 不可避免。 特点：①无倾向性；②不可避免。
统计学的分析思路
总体 population sampling inferring
标准差
内容 性质 控制 方法
VS
标准误
SD SE 统计量的标准差 表示抽样误差大小 增大样本含量可减少
表示个体变异大小 个体变异或自然变异， 个体变异或自然变异，不可通过统计 方法来控制。 方法来控制。
算式 用途 随n 增大
S=
∑ X − (∑ X )
2
2
/n
n −1
求参考值范围 渐趋于稳定
SX = S /
第七章 参数估计
Sampling Error & Estimation of Parameter
抽样误差
抽样误差和抽样分布
Sampling Error and Sampling Distribution
Department of Epidemiology and Biostatistics
School of Public Health, Nanjing Medical University
主要内容
1.0 1.0
0.8
ν 1＝5 ν 2＝10
0.8
0.6
ν 1＝1 ν 2＝10
0.4
0.6
ν 1＝10 ν 2＝∞
0.4
0.2
0.2
ν 1＝10 ν 2＝1
0.0 0 1 2 3 4 5
0.0 0 1 2 3 4 5
F分布的应用
方差齐性检验 方差分析
n2 1 2 n1 1 s F 2 2 2 s2 2 s n1 1 n2 1 s2 2 n2 1 2
t界值表
单侧： P(t <=-tα,ν)= α或 P(t >=tα,ν)= α 双侧： -t P(t <=-tα,ν)+ P(t >=tα,ν)= α 即:P(-tα,ν<t <tα,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式 t 0.05,10=2.228 (双侧） t 0.05,10=1.812 (单侧）
2=u12+ u22+……+ uv2
0.5
=1
0.4
f(2)
0.3
=2 =3
0.2
=4
=5
=6
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12
2
χ2分布的作用
方差的抽样分布研究 样本分布与理论分布的拟合优度检验 率或构成比的比较
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抽样误差和t分布4444
标准差与标准误的联系和区别
¬ 联系
–都是变异指标。S反映个体观察值的变异；反映统
计量的变异。 –当n不变时，标准差↑，标准误↑
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t分布
¬ 设从正态分布N(,2)中随机抽取含量为n的样本，样本均数和标
准差分别为 和s，设：
¬ 则t值服从自由度为n-1的t分布(t-distribution)。Gosset于1908年在 《生物统计》杂志上发表该论文时用的是笔名“Student”，故t 分布又称Student t分布。
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• f(t) •0.3
• =∞（标准正态曲线） • =5 • =1
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均数的抽样误差及标准误
¬ 表现一：样本均数与总体均数之差值 ¬ 表现二：多个样本均数间的离散度
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中心极限定理(central limit theorem)
¬ 从均数为、标准差为的总体中独立随机抽样，当样
本含量n增加时，样本均数的分布将趋于正态分布， 此分布的均数为，标准差为 。
•0.2
•0.1
•-4
•-3
•-2
•-1
•0
•1
•2
•3
•4
•图3.2 自由度分别为1、5、∞时的t分布
t分布的特征
¬ t分布为一簇单峰分布曲线 ¬ t分布以0为中心，左右对称
¬ t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低，
而两侧尾部翘得越高，；自由度逐渐增大时，t分布 逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分 布就是标准正态分布。
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2020/11/20
抽样误差和t分布4444
抽样误差的概念
¬ 由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差异 ¬ 两种表现形式
–样本统计量与总体参数间的差异 –样本统计量间的差异
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•抽样误差产生的条件
¬ 抽样研究 ¬ 个体变异
¬ 因为标准差s随样本含量的增加而趋于稳定，故增加 样本含量可以降低抽样误差。
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¬ 中心极限定理表明，即使从非正态总体中随机抽样， 只要样本含量足够大，样本均数的分布也趋于正态分 布 ，见图3.1 。PPT文档演模板抽样误差和t分布4444
¬ 图3.1描述了来自不同总体的样本均数之抽样误差和 抽样分布规律。事实上，任何一个样本统计量均有其 分布。统计量的抽样分布规律是进行统计推断的理论 基础。
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标准误(standard error，SE)，
¬ 样本统计量的标准差称为标准误，用来衡量 抽样误差的大小。
¬ 样本均数的标准差称为标准误。此标准误与
个体变异 成正比，与样本含量n的平方根成
反比。
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¬ 实际工作中， 往往是未知的，一般可用样本标准差 s代替 ：
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3rew
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再见，see you again
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2020/11/20
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