现代控制理论讲义(1,2.4)

第一章绪言1－1 自动控制发展历史简介自动控制思想及其实践可以说历史悠久。

它是人类在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的发展和科学水平的进步而不断发展。

早在公元前300年，古希腊就运用反馈控制原理设计了浮子调节器，并应用于水钟和油灯中。

在如图1－1所示的水钟原理图中，最上面的蓄水池提供水源，中间蓄水池浮动水塞保证恒定水位，以确保其流出的水滴速度均匀，从而保证最下面水池中的带有指针的浮子均匀上升，并指示出时间信息。

同样早在1000多年前，我国古代先人们也发明了铜壶滴漏计时器、指南车等控制装置。

首次应用于工业的自控器是瓦特（J.Watt）于1769年发明的用来控制蒸汽机转速的飞球控制器，如图1－2所示。

而前苏联则认为1765年珀尔朱诺夫（I.Polzunov）的浮子水位调节器最有历史意义。

图1－1 水钟原理图图图 1－2 飞球转速调节器原理图1868年以前，自控装置和系统的设计还处于直觉阶段，没有系统的理论指导，因此在控制系统的各项性能（如稳、准、快）的协调控制方面经常出现问题。

十九世纪后半叶，许多科学家开始基于数学理论的自控理论的研究，并对控制系统的性能改善产生了积极的影响。

1868年，麦克斯威尔（J.C.Maxwell）建立了飞球控制器的微分方程数学模型，并根据微分方程的解来分析系统的稳定性。

1877年，罗斯（E.J.Routh）提出了不求系统微分方程根的稳定性判据。

1895年，霍尔维茨（A.Hurwitz）也独立提出了类似的霍尔维茨稳定性判据。

第二次世界大战前后，由于自动武器的需要，为控制理论的研究和实践提出了更大的需求，从而大大推动了自控理论的发展。

1948年，数学家维纳(N.Wiener)的<<控制论>>(CYBERNETICS)一书的出版，标志着控制论的正式诞生。

这个“关于在动物和机器中的控制和通讯的科学”(Wiener所下的经典定义)经过了半个多世纪的不断发展，其研究内容及其研究方法都有了很大的变化。

图1－3所示为控制理论的主要发展历史。

图1－3 控制理论发展简史概括地说，控制论发展经过了三个时期：第一阶段是四十年代末到五十年代的经典控制论时期，着重研究单机自动化，解决单输入单输出（SISO-Single Input Single Output）系统的控制问题；它的主要数学工具是微分方程、拉普拉斯变换和传递函数；主要研究方法是时域法、频域法和根轨迹法；主要问题是控制系统的快速性、稳定性及其精度。

第二阶段是六十年代的现代控制理论时期，着重解决机组自动化和生物系统的多输入多输出（MIMO-Multi-Input Multi-Output）系统的控制问题；主要数学工具是一次微分方程组、矩阵论、状态空间法等等；主要方法是变分法、极大值原理、动态规划理论等；重点是最优控制、随机控制和自适应控制；核心控制装置是电子计算机；第三阶段是七十年代的大系统理论时期，着重解决生物系统、社会系统这样一些众多变量的大系统的综合自动化问题；方法是时域法为主；重点是大系统多级递阶控制；核心装置是网络化的电子计算机。

从控制论的观点看，人是最巧妙，最灵活的控制系统。

它善于根据条件的变化而作出正确的处理。

如何将人的智能应用于实际的自动控制系统中，这是个有重要意义的问题。

七十年代开始，人们不仅解决社会、经济、管理、生态环境等系统问题，而且为解决模拟人脑功能，形成了新的学科----人工智能科学，这是控制论的发展前沿。

计算机技术的发展为人工智能的发展提供了坚实的基础。

人们通过计算机的强大的信息处理能力来开发人工智能，并用它来模仿人脑。

在没有人的干预下，人工智能系统能够进行自我调节、自我学习和自我组织，以适应外界环境的变化，并作出相应的决策和控制。

1－2 现代控制理论的基本内容科学在发展，控制论也在不断发展。

所以“现代”两个字加在“控制理论”前面，其含义会给人误解的。

实际上，我们讲的现代控制理论指的是五六十年代所产生的一些控制理论，主要包括：用状态空间法对多输入多输出复杂系统建模，并进一步通过状态方程求解分析，研究系统的可控性、可观性及其稳定性，分析系统的实现问题；用变分法、最大（最小）值原理、动态规划原理等求解系统的最优控制问题；其中常见的最优控制包括时间最短、能耗最少等等，以及它们的组合优化问题；相应的有状态调节器、输出调节器、跟踪器等综合设计问题；最优控制往往要求系统的状态反馈控制，但在许多情况下系统的状态是很难求得的，往往需要一些专门的处理方法，如卡尔曼滤波技术来求得。

这些都是现代控制理论的范畴。

六十年代以来，现代控制理论各方面有了很大的发展，而且形成几个重要的分支课程，如线性系统理论，最优控制理论，自适应控制理论，系统辩识理论，等等。

对控制系统一定要进行定量分析，否则就没有控制论；而要进行定量分析，就必须用数学模型来刻划描述系统，也即建立系统的数学模型，这是一个很重要的问题。

经典控制论中常用一个高阶微分方程来描述系统的运动规律，而现代控制论中采用的是状态空间法，就是用一组状态变量的一阶微分方程组作为系统的数学模型。

这是现代控制理论与经典控制理论的一个重要区别。

从某种意义上说，经典控制中的微分方程只能描述系统的输入与输出的关系，却不能描述系统内部的结构及其状态变量，它描述的只是一个‘黑箱’系统。

而现代控制论中的状态空间法不但能描述系统输入与输出的关系，而且还能完全描述内部的结构及其状态变量的关系，它描述的是一个‘白箱’系统。

由于能够描述更多的系统信息，所以可以实现更好的系统控制。

第二章状态空间分析法2－1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组(一个或多个)独立的状态变量来描述。

设系统有n个状态变量x1，x2，…，x n，它们都是时间t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1，x2，…，x n为轴的n维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:X = (x1，x2，…，x n)T，X称作系统的状态向量。

设系统的控制输入为：u1，u2，...，u r，它们也是时间t的函数。

记：U = (u1，u2，...，u r)T，那么表示系统状态变量X(t)随系统输入U(t)以及时间t变化的规律的方程就是控制系统的状态方程，如式（2－1）所示。

………………………………………………………………（2－1）其中 F = (f1，f2，...，f n)T是一个函数矢量。

设系统的输出变量为y1，y2，...，y m，则Y = (y1，y2，...，y m)T 称为系统的输出向量。

表示输出变量Y(t)与系统状态变量X(t)、系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程，如式2－2所示。

…………………………………………………………. (2－2)其中 G = (g1，g2，...，g m)T是一个函数矢量。

在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。

根据函数向量F和G的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：线性定常(时不变)系统（LTI-Linear Time Invariant）；线性不定常(时变)系统；非线性定常系统；非线性时变系统。

在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。

这时，系统的动态方程可以表示如下：…………….（2－3）………………（2－4）写成矢量形式为：……………………………………………………………………………（2－5）上式中，A nxn称为系统矩阵，B nxr称为输入(或控制)矩阵。

A由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B则主要体现了系统输入的施加情况。

C mxn矩阵称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，D mxr矩阵称为直接转移矩阵，表示了控制向量U直接转移到输出变量Y的转移关系。

一般控制系统中，通常情况D=0。

将（2-5）式表示的系统动态方程用方块图表示为如图2-1所示。

系统有两个前向通道和一个状态反馈回路组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接转移。

图2－1 系统动态方程的方块图结构2－2 建立实际物理系统的动态方程一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。

要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程(组)、传递函数、动态方程等）。

根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。

[例2-1] 机械平移系统如图2-2为一加速度仪的原理结构图。

它可以指示出其壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度。

设:x i为壳体相对于惯性空间的位移;x0为质量m相对于惯性空间的位移;y= x i - x0为质量m相对于壳体的位移.根据牛顿第二定律，这个系统的运动方程为:将 x0 = x i- y代入,我们就可以得到关于加速度仪以变量y为输出的微分方程:以质量m相当于壳体的位移y作为状态变量x1，m相当于壳体的速度为状态变量x2，并将质量m相对于加速度仪外壳的位移y作为系统输出，以加速度仪外壳相对于地面的加速度作为系统输入u，那么有：写成矢量形式为：………………………………………（2－6）这就是图2-2所示加速度仪的动态方程。

当加速度为常数，且系统达到稳定状况时，有：所以我们可以通过y的读数，确定运动物体的加速度值。

【例2-2】 RLC电路如图2-3所示. 以e i作为系统的控制输入u(t)，e o作为系统输出y(t)。

建立系统的动态方程。

该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，我们可以取电容C两端电压和流过电感L的电流i作为系统的两个状态变量，分别记作x1和x2。

根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：整理得：写成矢量形式为：…………………………………………………………（2－7）这就是如图2-3所示RLC电网络的动态方程。

【例2-3】电枢控制式电机控制系统如图2-4所示. 其中R、L和i(t)分别为电枢回路的内阻、内感和电流，u(t)为电枢回路的控制电压，Kt为电动机的力矩系数，K b为电动机的反电动势系数。

根据电机原理，电机转动时，将产生反电势e b，其大小为：e b=K b*ω在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩T与电枢回路的电流成正比，即：T=K t*i(t)根据基尔霍夫电压定律，电枢回路有下列关系：对电机转轴，根据牛顿定律，有：取电枢回路电流i(t)、电机轴转角θ及其角速度ω为系统的三个状态变量x1、x2、x3，取电机轴转角θ为系统输出，电枢控制电压u(t)为系统输入，我们有：写成矢量形式为：…………………………………………………….（2－8）【例2-4】多输入多输出系统（MIMO）如图2-5所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1，x2。