5.1.1 任意角的概念
5.1.1 任意角
终边在终边在射线 y = -x 上的角的集合是
B 2250 k 3600 , k Z
所以终边在Y=x上的角的集合是 S | 2250 k 3600 , k Z
| 45 k 360 , k Z
k 180 , k Z
0
o
x
• 写出终边在坐标轴上的角的集合y
k 180 , k Z 90 k 180 , k Z o x k 90 , k Z
0 0 0 0
•解:终边在终边在射线 y = x 上的角的集合是
B α
始边
O A
终边
顶点
思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮 是按相反方向旋转的.一般地，一条射线 绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋 转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 所形成的角，与按顺时针方向旋转600所 形成的角是否相等？
思考4：为了区分形成角的两种不同的旋 转方向，可以作怎样的规定？如果一条 射线没有作任何旋转，它还形成一个角 吗？
0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
o
x
| 90 180 2k 180 ,kZ
0 0 0
| 90 2k 180 , k Z
0 0
| 90 (2k 1)180 ,kZ
0 0
| 900 n1800 ,nZ
巩固与提高
y
• 写出终边在X轴上的角的集合
0
(4)终边相同的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相同，终边相同的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
高考数学复习知识点讲义课件34---任意角
知结构体系
(一)任意角 1．角的定义及分类 (1)角的概念：角可以看成平面内一条 射线绕着它的端点 旋转所成的图形 ． (2)角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”， 始边： OA ，终边： OB ，顶点 O .
(3)角的分类
名称 正角 负角 零角
定义 一条射线绕其端点按 逆时针 方 向旋转形成的角 一条射线绕其端点按 顺时针 方 向旋转形成的角 一条射线 没有 做任何旋转形成 的角
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是
A．－37°
B．143°
C．379°
D．－143°Biblioteka () ()[解析] (1)角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝ 120°＋k·180°，k∈Z.
(二)象限角与终边相同的角 1. 象限角与终边相同的角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 原点 重合，角的始 象 边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 终边 在第几象限，就说 限 这个角是第几 象限角 ；如果角的终边在 坐标轴上 ，就认为这
角 个角不属于任何一个象限
终边 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ 相同 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表 的角 示成角α与整数个周角的和
答案：D
3．2 020°是
()
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：2 020°＝5×360°＋220°，所以2 020°角的终边与220°角的终边相同，为 第三象限角．
【课件】任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入（1）
图5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于750°；图5.1-3（2）中，
正角α=210°，负角β=-150°，γ=-660°.正常情况下，如果以零
时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解（1）
都有着循环往复、周而复始的规
律，这种变化规律称为周期性，
例如：地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化，
月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀
速圆周运动时的位置变化，物体
做简谐运动时的位移变化，交变
电流变化等，这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法：设α，β是任意两个角，我们规
定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对
应的角是a+β.
相反角：类似于实数a的相反数是-a，我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图，我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，
概念的理解（1）
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
5.1.1任意角
S= β β=-32o +k360o ,k Z
思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意：
(1) K∈Z,α是任意角。
(2) K·360°与α 之间是“+”号， 如 K·360°－30°应看成K·360°+ （-30°）
正角：按逆时针方向旋转形成的角。 我们规定： 负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线不作旋转时形成的角。
记法：角 或∠ 可以简记为
如图，正角 210 ，负角 150 ,负角 660
2、相等、相反角，角的加减
角与角的旋转方向相同且旋转 量相等，那么就称 。
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。
4、终边相同的角
y
思考1： -32°，328°，-392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？ 不难发现，-32°，328°，-392°的终边都在第四象限，而且都是OB。
328°
o －32°
x
-32°
-392°
B
思考２：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
角的相反角记为.
设，是任意两个角，规定：把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是 。
那么： （ ）这样，角的减法可以转化为角的加法。
B
例如：50 80
C B
80
1300 50
O
问题探究：50 80 呢？
50°－80°= 50°+(－80°)
O
2024-2025学年高中数学第五章三角函数5.1.1任意角教案新人教A版必修第一册
2. 利用多媒体手段，直观展示任意角的形象，帮助学生理解。
3. 实例分析，让学生通过实际问题体会任意角的应用。
教学过程：
1. 导入：回顾角度的基本概念，引出任意角的概念。
2. 新课讲解：讲解任意角的定义，引导学生掌握用弧度制表示角的方法。
3. 课堂互动：进行角度转换练习，让学生巩固所学知识。
4. 应用拓展：通过实例分析，让学生了解任意角在实际问题中的应用。
5. 总结：回顾本节课的主要内容，强调任意角的概念及表示方法。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
教学反思：
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生的学习兴趣和效果。同时，关注学生在学习过程中的问题，及时进行解答，确保学生能够熟练掌握任意角的概念及表示方法。
教学目标：
1. 理解任意角的概念，掌握用弧度制表示角的方法。
2. 了解任意角与标准角的关系，能进行简单的角度转换。
3. 培养学生的空间想象力，提高学生的数学思维能力。
教学重点：
1. 任意角的概念及表示方法。
2. 任意角与标准角的关系。
教学难点：
1. 任意角的概念的理解。
2. 弧度制的应用。
教学方法：
2024-2025学年高中数学 第五章 三角函数 5.1.1 任意角教案 新人教A版必修第一册
主备人
备课成员
教材分析
本节课为人教A版必修第一册第五章《三角函数》的5.1.1节“任意角”。本节内容主要介绍任意角的概念及其表示方法，是学习三角函数的基础。通过本节课的学习，学生应掌握任意角的定义，了解用弧度制表示角的方法，并理解任意角与标准角的关系。
任意角ppt课件
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
高一数学组
学习目标
1. 了解任意角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义． 2. 能在规定范围内，找到与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角． 3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合，能表示特殊位置(或给定区域 内)的角的集合．
新课引入
探究新知识
练习2 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴的负半 轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴上的角的集合怎样表示？
解： 终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边 落在x轴的负半轴上的角的集合为{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}，终边落 在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}．
（2）始边重合于x轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
新课引入
探究新知识
思考1 将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的 一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB (如图)，
以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
分析 不唯一，如果－32°角的终边是OB，那么 328°，－392°，…角的终边都是OB，即所有与 角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集
新课引入
探究新知识
2．运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360＋α，k∈Z表示，在运用时 需注意以下四点： (1) k是整数，这个条件不能漏掉． (2) α是任意角． (3) k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个， 它们相差周角的整数倍．
5.1.1 任意角
5.1.1任意角(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、教学目标1.了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养．2.理解角的加减运算以及相反角的概念．3.掌握与角α终边相同的角的表示方法．二、教学重难点1.将0︒到360︒范围的角扩充到任意角.2.任意角概念的构建，用集合表示终边相同的角.三、教学过程1.呈现背景 提出问题现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性.例如：地球自转、地球于太阳公转，月亮圆缺、潮汐变化等，数学中的圆周运动也是一种常见的周期性变化现象.问题1：如图，O 上的点P 以A 为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P 的位置变化呢？【预设的答案】我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．在图中，射线的端点是圆心O ，它从起始位置OA 按逆时针方向旋转到终止位置OP ，形成一个角，射线OA ，OP 分别是角α的始边和终边，点P 是终边OP 与O 的交点．可以借助角α的大小变化刻画点P 的位置变化．【设计意图】创设情境，以圆为载体研究周期性变化对理解角的扩充更有帮助．由初中知识可知，射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0~360︒︒范围内的角．如果继续旋转，那么所得到的的角就超出这个范围了．所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围．AA PO2.任意角的概念、运算及分类现实生活中随处可见超出0~360︒︒范围的角．例如,体操中有“前空翻转体540度”,“后空翻转体720度”，齿轮的旋转等.问题2：这些角有哪些不同，体现在哪几个方面？【预设的答案】不同体现在旋转量和旋转方向.【设计意图】引导学生从生活实际出发用数学的眼光分析问题，归纳刻画角的两个方面——旋转量和旋转方向．很显然，0~360︒︒角难以满足我们的需要，所以我们需要对角的概念进行推广.2.1角的概念类比实数的学习，我们对角的范围进行扩充：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．2.2角的表示与作图【数学情境】你能分别作出750°、210°、-150°、-660°吗？【设计意图】再次强调决定一个角的要素是旋转方向和旋转量.2.3角的运算问题3：类比实数，思考下列问题：（1）你认为相等的两个角应该怎样规定？（2）两角相加又是怎样规定的？（3）你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？【预设的答案】（1）旋转方向相同且旋转量相等.+.（2）角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ（3）类似于实数中的相反数我们引入相反角的概念．我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．类似于实数a的相反数是a-，角α的相反角记为α-．类似实数减法中“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减去一个角等于加上这个角的相反角．即()αβαβ-=+-．【设计意图】让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性．2.4象限角角的范围扩充后，为了讨论的方便，我们通常在直角坐标系中研究角.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．问题4：根据终边位置的不同，可以把角分为哪几类？【预设的答案】根据角的终边所在象限，将角分为第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角．【设计意图】让学生体会在直角坐标系中研究角是自然和合理的．这样我们得到了象限角的概念：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，也称为轴线角.问题5：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？【预设的答案】因为锐角是指大于0︒且小于90︒的角，所以锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角．【设计意图】让学生明确“锐角”“第一象限角”之间的关系，避免混淆．2.5终边相同的角问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么与32-︒角终边重合的角还有哪些？有多少个？【预设的答案】328°，688°，－392°，－752°；无数个追问：它们与32-︒角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？【预设的答案】相差360°的整数倍，可以用{}32360,S k k ββ==-︒+⋅︒∈Z 表示． 追问：将32-︒推广到一般角α，结论应该是什么？【预设的答案】{}360,S k k ββα==+⋅︒∈Z .【设计意图】通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论，符合学生由特殊到一般的认知规律，并且培养了学生的数学抽象素养．一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}360,S k k ββα==+⋅︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．3.典例分析例1 在0~360︒︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．（1）－120º；（2）640º；（3）－950º12′.【预设的答案】（1）与－120º终边相同的角为240º，它是第三象限角.（2）与640º终边相同的角为280º，它是第四象限角.（3）与－950º12′终边相同的角为129º48'，它是第二象限角.【设计意图】利用终边相同的角判定其象限，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．例2 写出终边在y 轴上的角的集合．【预设的答案】终边落在y 轴非负半轴上的角构成集合：{}190360,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，终边落在y 轴非正半轴上的角构成集合{}2270360,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，观察发现，12S S 中的角均相差180︒的整数倍，用集合表示是{}90180,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ．另外，我们还可以用这种方式求出12S S ：12=|=90360|=270360=|=902180|=901802180|=902180|=9021180|=90180S S S k k k k k k k k k k k k n n ββββββββββββββ=︒+⋅︒∈︒+⋅︒∈︒+⋅︒∈︒+︒+⋅︒∈=︒+⋅︒∈︒++⋅︒∈=︒+⋅︒∈Z Z Z Z Z Z Z {，}{，}{，}{，}{，}{()，}{，}．【设计意图】引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．例3 写出终边在直线y x =上的角的集合S ．S 中满足不等式360720β-︒≤<︒的元素β有哪些？【预设的答案】在0~360︒︒范围内，终边在直线=y x 上的角有两个：45︒，225︒． 因此，终边在直线=y x 上的角的集合=|=45360|=225360=|=452180|=4521180=|=45180S k k k k k k k k n n ββββββββββ︒+⋅︒∈︒+⋅︒∈︒+⋅︒∈︒++⋅︒∈︒+⋅︒∈Z Z Z Z Z {，}{，}{，}{()，}{，}．S 中适合不等式360720β- ︒︒≤＜的元素β有452180=315︒-⨯︒-︒，451180=135︒-⨯︒-︒，450180=45︒+⨯︒︒，451180=225︒+⨯︒︒，452180=405︒+⨯︒︒，453180=585︒+⨯︒︒．【设计意图】巩固终边相同的角的表示．4.归纳小结四、课外作业1．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）420°； （2）-75°； （3）855°； （4）-510°．2．写出终边与-225°终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式720360β- ︒︒≤＜的元素β．。
安徽省对口高考复习第五章三角函数
第五章 三角函数（基础模块∙上）一、知识点节次知识点 5.1角的概念推广5.1.1任意角的概念角角的始边 角的终边 角的顶点 正角 负角 零角第几象限角 界限角5.1.2终边相同的角定义表示（象限角、界限角） 5.2弧度制5.2.1弧度制1弧度的角 弧度制角度与弧度的换算公式 特殊角的换算 5.2.2应用举例机械传动 公路弯道5.3任意角的三角函数5.3.1任意角的三角函数的概念 三角函数定义域已知终边上一点 5.3.2各象限角的三角函数值的正负号象限表示5.3.3界限角的三角函数值特殊角的三角函数值 5.4同角三角函数的基本关系 5.4.1同角三角函数的基本关系式单位圆 平方关系 商的关系 5.4.2含有三角函数的式子的求值与化简商的关系5.5诱导公式5.5.1()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式5.5.2 －α的诱导公式－α的诱导公式5.5.3 180°α±的诱导公式 180°α±的诱导公式 5.5.4 利用计算器求任意角的三角函数值5.6三角函数的图像和性质5.6.1正弦函数的图像和性质周期现象 周期函数 周期最小正周期 正弦曲线有界性 有界函数无界函数 正弦函数性质 五点法作图5.6.2余弦函数的图像和性质余弦曲线 余弦函数性质 5.7已知三角函数值求角 5.7.1已知正弦函数值求角 5.7.2已知余弦函数值求角 5.7.3已知正切函数值求角 阅读与欣赏 光周期现象及其应用第一章 三角公式（拓展模块）节次知识点1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式1.1.1两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 1.1.2两角和与差的正弦公式 两角和与差的正弦公式 1.1.3两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 1.1.4二倍角公式二倍角公式 1.2正弦型函数1.2.1正弦型函数的周期 正弦型函数 计算公式1.2.2正弦型曲线正弦型曲线正弦型曲线变化规律 正弦型曲线五点规律 振幅、频率、相位、初相 a sin x +b cos x 的转化 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 正弦定理 1.3.2余弦定理余弦定理1.3.3正弦定理与余弦定理应用举例阅读与欣赏 刘徽与《海岛算经》二、结构展示三角函数三角公式角的度量 三角函数角概念推广 弧度制 终边相同角 定义、单位圆特殊角诱导公式同角函数 三角函数符号三、考纲解读1、角度概念，弧度制了解角的概念，理解弧度制；终边相同的角的关系是重要的考点之一。