任意角的概念--公开课
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任意角完整公开课PPT课件
任意角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），弧度（rad）和密位（mil）。
度量工具
量角器、圆规、直尺等。
度量方法
通过量角器或使用三角函数值进行计算。
象限角与轴线角
象限角
在平面直角坐标系中，按逆时针方向，第一象限角为0°~90° ，第二象限角为90°~180°，第三象限角为180°~270°，第四 象限角为270°~360°。
、航向和航速。
04
THANKS
感谢观看
和差公式的应用
在解决涉及两角和与差的三角函数问题时，和差公式是必不可少的工 具。
04
三角函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质
其图像是周期函数，呈现波浪
形。
正弦函数的性质包括：在每个 周期内，函数值从0增加到最 大值，然后又减小到0，如此
往复。
正弦函数的图像在y轴两侧对 称，其周期为360度。
01 02
任意角三角函数的定义
三角函数是描述三角形边与角之间关系的数学工具。对于任意角α，其 正弦函数sinα定义为“对边长度除以斜边长度”，余弦函数cosα定义 为“邻边长度除以斜边长度”，正切函数tanα定义为“对边长度除以 邻边长度”。
单位圆定义法
通过单位圆上点的坐标来表示三角函数值，其中正弦值等于y坐标，余 弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
正弦函数在每个周期内的变化 率是不同的，变化率最大的点
是函数的极值点。
余弦函数的图像与性质
余弦函数是三角函数的另一种形式， 其图像也是周期函数，呈现波浪形。
余弦函数的图像在y轴两侧对称，其 周期也为360度。
余弦函数的性质包括：在每个周期内 ，函数值从最大值减小到0，然后再 增加到最小值，如此往复。
任意角的概念课件
02
CATALOGUE
任意角的分类
正角
定义
正角是指角度大小在$0^{circ}$和 $360^{circ}$之间的角。在平面内， 正角通常表示为逆时针旋转形成的角 。
几何表示
应用
正角在几何、三角函数等领域有广泛 应用，如时钟指针的转动、物体的旋 转等。
正角可以用实线表示，起点在坐标轴 上，逆时针旋转到终点的角度即为正 角的大小。
角的大小由其终边位置决定，与旋转 方向无关。
终边相同的角
终边相同的角表示为 $alpha = beta + 2kpi$，其中 $alpha$ 和 $beta$ 是终边相同的角， $k$ 是整数。
当 $k=0$ 时，$alpha = beta$，即两个角相等；当 $k neq 0$ 时，$alpha$ 和 $beta$ 是互补角。
象限角的集合表示为 ${alpha | npi + (-1)^n cdot frac{pi}{2} < alpha < npi + (-1)^n cdot frac{3pi}{2}, n in Z}$。
04
CATALOGU义
正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(α)，其中α为锐角 。
负角
定义
负角是指角度大小在$360^{circ}$到$0^{circ}$之间的 角。在平面内，负角通常表示为
顺时针旋转形成的角。
几何表示
负角可以用虚线表示，起点在坐标 轴上，顺时针旋转到终点的角度即 为负角的大小。
应用
负角在物理学、工程学等领域有广 泛应用，如机械转动、电路分析等 。
零角
定义
零角是指角度大小为 $0^{circ}$的角。在平面 内，零角表示起点和终点 重合，没有旋转。
《高一数学任意角》课件
周期性应用
周期性概念在解决三角函数问题中具有重要应用，例如通过周期性质 判断函数的奇偶性、单调性等。
象限角的性质
第一象限角
第二象限角
第一象限角是指终边落在第一象限的角， 这些角的范围是$0° < 角 < 90°$，其正弦 值、余弦值和正切值均为正。
第二象限角是指终边落在第二象限的角， 这些角的范围是$90° < 角 < 180°$，其正 弦值为正，余弦值为负，正切值为负。
过的平面角。
角的度量单位是度（°），在国 际单位制中，角的度量单位是弧
度（rad）。
任意角的形成
任意角是由射线围绕其顶点旋转 形成的，旋转的角度可以是任意
的。
根据旋转的方向，角可以分为正 角和负角，正角是指逆时针旋转 形成的角，负角是指顺时针旋转
形成的角。
当射线绕顶点旋转一周后，与原 来的位置重合，此时形成的角称 为周角，周角的度数是360°或2π
正切函数的图像
正切函数的图像也是一个周期函 数，其图像在直角坐标系中呈现
直线形状。
三角函数值表的使用
01
三角函数值表的查询
三角函数值表是一种常用的工具，用于查询三角函数在不同角度下的值
。通过查询三角函数值表，可以方便地得到所需的角度和对应的三角函
数值。
02
三角函数值表的使用方法
在使用三角函数值表时，需要先确定所需查询的角度范围，然后查找相
正弦函数具有周期性、对 称性、单调性等性质，这 些性质在解决三角函数问 题中具有重要作用。
正弦函数的图像
正弦函数的图像是一个周 期函数，其图像在直角坐 标系中呈现波浪形状。
余弦函数
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形 式，定义为直角三角形中锐角的
周期性概念在解决三角函数问题中具有重要应用，例如通过周期性质 判断函数的奇偶性、单调性等。
象限角的性质
第一象限角
第二象限角
第一象限角是指终边落在第一象限的角， 这些角的范围是$0° < 角 < 90°$，其正弦 值、余弦值和正切值均为正。
第二象限角是指终边落在第二象限的角， 这些角的范围是$90° < 角 < 180°$，其正 弦值为正，余弦值为负，正切值为负。
过的平面角。
角的度量单位是度（°），在国 际单位制中，角的度量单位是弧
度（rad）。
任意角的形成
任意角是由射线围绕其顶点旋转 形成的，旋转的角度可以是任意
的。
根据旋转的方向，角可以分为正 角和负角，正角是指逆时针旋转 形成的角，负角是指顺时针旋转
形成的角。
当射线绕顶点旋转一周后，与原 来的位置重合，此时形成的角称 为周角，周角的度数是360°或2π
正切函数的图像
正切函数的图像也是一个周期函 数，其图像在直角坐标系中呈现
直线形状。
三角函数值表的使用
01
三角函数值表的查询
三角函数值表是一种常用的工具，用于查询三角函数在不同角度下的值
。通过查询三角函数值表，可以方便地得到所需的角度和对应的三角函
数值。
02
三角函数值表的使用方法
在使用三角函数值表时，需要先确定所需查询的角度范围，然后查找相
正弦函数具有周期性、对 称性、单调性等性质，这 些性质在解决三角函数问 题中具有重要作用。
正弦函数的图像
正弦函数的图像是一个周 期函数，其图像在直角坐 标系中呈现波浪形状。
余弦函数
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形 式，定义为直角三角形中锐角的
《任意角》公开课教学PPT课件高中数学件
教学方法是否得当，是否能够有效地传递知识给学生。
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
添加标题
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知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
任意角的概念说课课件ppt
角的性质
角的大小可以用度数、弧度等不同的度量单位来表示。根据 角的度数，角可分为锐角、直角、钝角等不同类型的角。此 外，还有与角相关的一系列性质，如角的平分线、角的和差 等。
为什么要引入任意角的概念
实际问题的需求
在现实生活中，很多实际问题涉及到不仅仅是0°到360°范围内的角，还可能涉 及到更大或者更小的角。因此，需要引入任意角的概念来描述这些角度。
数学理论的完善
引入任意角的概念有助于完善数学中关于角的理论体系，使其更加严密和完整 。
任意角的概念简介
01 02
任意角的定义
任意角是指大小不受限制的角，可以超过360°或小于0°。在平面直角坐 标系中，通常以x轴正方向与射线起点为参考，逆时针方向为正，顺时 针方向为负。
任意角的表示方法
任意角可以用角度、弧度两种不同的度量单位来表示。在三角函数中， 通常使用弧度作为角的度量单位。
工程技术中的任意角应用
机器人定位与导航
在机器人技术中，利用任意角可以表示机器人的朝向和位置，从 而实现精准的定位和导航。
航空航天技术
在航空航天领域，通过任意角可以描述飞行器的飞行方向和姿态， 对于飞行器的控制和导航具有重要意义。
电子工程中的相位差
在电子工程中，任意角可以用于描述信号的相位差，对于信号处理 、传输和接收等方面的研究具有重要价值。
练习1
在航海中，船只需要根据罗盘的指示来确定航向。罗盘上的度数与 任意角的概念有何关联？如何利用任意角的知识来解决航向问题？
练习2
在物理实验中，需要测量某物体做圆周运动时的角速度。如何通过 测量得到的数据，利用任意角的概念来计算物体的角速度？
练习3
在钟表中，时针、分针、秒针之间的角度关系如何运用任意角的知识 和计算来解决？
角的大小可以用度数、弧度等不同的度量单位来表示。根据 角的度数，角可分为锐角、直角、钝角等不同类型的角。此 外，还有与角相关的一系列性质，如角的平分线、角的和差 等。
为什么要引入任意角的概念
实际问题的需求
在现实生活中，很多实际问题涉及到不仅仅是0°到360°范围内的角，还可能涉 及到更大或者更小的角。因此，需要引入任意角的概念来描述这些角度。
数学理论的完善
引入任意角的概念有助于完善数学中关于角的理论体系，使其更加严密和完整 。
任意角的概念简介
01 02
任意角的定义
任意角是指大小不受限制的角，可以超过360°或小于0°。在平面直角坐 标系中，通常以x轴正方向与射线起点为参考，逆时针方向为正，顺时 针方向为负。
任意角的表示方法
任意角可以用角度、弧度两种不同的度量单位来表示。在三角函数中， 通常使用弧度作为角的度量单位。
工程技术中的任意角应用
机器人定位与导航
在机器人技术中，利用任意角可以表示机器人的朝向和位置，从 而实现精准的定位和导航。
航空航天技术
在航空航天领域，通过任意角可以描述飞行器的飞行方向和姿态， 对于飞行器的控制和导航具有重要意义。
电子工程中的相位差
在电子工程中，任意角可以用于描述信号的相位差，对于信号处理 、传输和接收等方面的研究具有重要价值。
练习1
在航海中，船只需要根据罗盘的指示来确定航向。罗盘上的度数与 任意角的概念有何关联？如何利用任意角的知识来解决航向问题？
练习2
在物理实验中，需要测量某物体做圆周运动时的角速度。如何通过 测量得到的数据，利用任意角的概念来计算物体的角速度？
练习3
在钟表中，时针、分针、秒针之间的角度关系如何运用任意角的知识 和计算来解决？
1.1.1任意角赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
注意下列四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号， 如k 3600-30°，应看成 k 3600+(-30°)
(4)终边相似的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相似，终边相似的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范畴内，找出与下列各角终边 相似的角，并判断它是哪个象限的角.
例2终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
变式训练 写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z}
4.培养学生用运动变化的观点审 视事物;通过与数的类比,理解正 角、负角和零角,让学生感受图 形的对称美、运动美 教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相似的角的表达办法 及鉴定
教学难点: 把终边相似的角用集合和符号语言 对的地表达出来
突破办法：
在平面内建立适宜的坐标系，通过数 形结合来认识角的几何表达和终边相 同的角集合
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小能够任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一种 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角含有代数和几何双重意义.
2.终边相似的角有无数个，在0°～360°范畴 内与已知角β终边相似的角有且只有一种. 用 β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α 必须是正数），则α即为所找的角.
1.掌握终边相似的角的 表达办法及鉴定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角； 第一象限角；锐角； 不大于900的角的区别
1.1.1任意角 课件(21张)(优秀经典公开课比赛课件)
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限， 就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
序号是 (1).(2).(4). .
5.在坐标平面内作出下列各角：30°，
390°，-330°;它们是 一 象限的角，
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并
把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素
写出来.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}. －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°.
。 由于月球和太阳的引潮力作用，使水面发生周期性涨落的潮汐现象
伦敦之眼
各种电波
现实世界中的很多运动，变化都有着循环往 复、周而复始的现象。如何用数学的方法来刻画这种 变化规律呢？
本章要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的 数学模型。
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线00 k 360 240 k 360,k Z} { 160 k 360 120 k 360,k Z}
2、若角、 满足下列条件，
求它们的关系式？
（1）终边关于x轴对称 k 360(k Z) （2）终边关于y轴对称 180 k 360(k Z) （3）终边互为反向延长线 (2k 1)180(k Z)
1.1.1任意角（一）
任意角的概念 公开课一等奖课件
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到
360的角与k(k∈Z)个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
6、若α是第四象限角，则180º －α是（ C ） A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（ D ）
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z
D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
8、若90º <β<α<135º ，则α－β的范围是 (0º ,45º ) ，α+β的范围是___________; (180º ,270º ) __________
9、若β的终边与60º 角的终边相同，那么在 [0º ,360º ]范围内，终边与角 的终边相同的角
3
为______________; 解：β=k· 360º +60º ，k∈Z. 所以
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语14பைடு நூலகம்分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
解：⑴∵－120º =－360º +240º ， ∴240º 的角与－120º 的角终边相同， 它是第三象限角． ⑵ ∵640º =360º +280º ， ∴280º 的角与640º 的角终边相同， 它是第四象限角．
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用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
角有正负之分 如：=210, = -150, =660。
角可以任意大
体操动作：旋转2周（360×2=720） 、3周（360×3=1080）
还有零角 一条射线，没有旋转。
注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负 规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正 负，就好象数零无正负一样。
与30°终边相同的角的一 般形式为： 30°＋k· 360°，（k ∈ Z）
1110°=30°+3x3600 ;
-1050°=30°+(-3)x3600; ... ...
4. 终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内所构成的 集合S可表示为， S={β |β =α ＋k·360°，k∈Z}
2. 锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？
锐角是第一象限角 30°、390°、-330°
30° 390°
y -3300 3900
300
-330°
o
x
390°=30°+360°=30°+1x360° -330°=30°+(-1)x360° =30°─1x360° 750°=30°+2x360° ; -690°=30°+(-2)x360° ;
B
终边 顶点
O
α 始边
A
2. 角的分类
为了区别旋转方向：
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；
说明：零 角的终边 与始边重 合
如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°
如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一个零角。
2100
6600
-1500
小结：
0°～360°的角
任意角
正 角 负 角
象 限 角
终 边 相 同 的 角源自S k 360o , k Z
作业：
P99 练习：1、2
如何校准？分针转过了多少度？
时钟快了1.25小时
（1小时15分钟），应如何
校准？分针转过了多少度？
转体三周
你知道她旋转了多少度？
生活中有很多实例如：
如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转 体1080°”、“转体1260°”这样的解说； 再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转
所成的角。
这些例子不仅角范围不在0º ～360º ，而且方向不同，有必 要将角的概念推广到任意角。
1. 任意角
任意角的定义：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成角α 。 旋转开始时的射线OA叫做角α 的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α 的终边，射线的端点O叫做角α 的顶点。 小写希腊字母表示角：α、β、γ。。。
第5章 三角函数
5.1 角的概念的推广
复习与回顾
1.在初中学习的角的定义是什么？
角的范围呢？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 0º至360º
2.你以前学过哪些角？
我们学过的角
0 90
锐角
90
直角
90 180
钝角
思考1：时钟慢了5分钟，应
解：（1）因为640°=280°+360°，所以640°的角与280°的角的终边相 同， 280°是第四象限角，所以640°是第四象限角。
（2）因为-950°=130°+（-3）×360°，所以-950°的角与130°的角的 终边相同，130°是第二象限角，所以-950°是第二象限角。
（3）因为-1180°=260°+（-4）×360°，所以-1180°的角与260°的角
y 终边 终 边 x o
40、-330
第一象限角 始边
310、 -60
终 边
终边
第四象限角 第三象限角
230、-120 135、-240 第二象限角等 0、90、180、-90 界限角
终 边
想一想
1. 指出它们是第几象限角： 420°、850°、-510°、-75° 一 二 三 四
用旋转来描述角，需要注意三个要素：
旋转中心、旋转方向、旋转量 旋转中心：作为角的顶点；
旋转方向：分为逆时针和顺时针两种；
旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º ，角度的 绝对值可大于360º ，于是就会出现720º ， -540º 等角度。
3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴， 那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，这样 的角叫做界限角。
的终边相同，260°是第三象限角，所以-1180°是第三象限角。
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中
在-360º～720º间的角写出来：(1) 60º；(2) -21º
解：(1) S={β |β =k·360º+60º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 -1×360º+60º=-280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º。 (2) S={β |β =k·360º－21º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 0×360º－21º=-21º；1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º。
即任一与α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个
周角的和。
终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍。
例题分析：
【例1】在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的
角，并判定它们是第几象限角。
（1） 640° （2）-950° （3）-1180°