任意角的概念--公开课
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如何校准？分针转过了多少度？
时钟快了1.25小时
（1小时15分钟），应如何
校准？分针转过了多少度？
转体三周
你知道她旋转了多少度？
生活中有很多实例如：
如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转 体1080°”、“转体1260°”这样的解说； 再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转
的终边相同，260°是第三象限角，所以-1180°是第三象限角。
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中
在-360º～720º间的角写出来：(1) 60º；(2) -21º
解：(1) S={β |β =k·360º+60º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 -1×360º+60º=-280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º。 (2) S={β |β =k·360º－21º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 0×360º－21º=-21º；1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º。
所成的角。
这些例子不仅角范围不在0º ～360º ，而且方向不同，有必 要将角的概念推广到任意角。
1. 任意角
任意角的定义：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成角α 。 旋转开始时的射线OA叫做角α 的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α 的终边，射线的端点O叫做角α 的顶点。 小写希腊字母表示角：α、β、γ。。。
解：（1）因为640°=280°+360°，所以640°的角与280°的角的终边相 同， 280°是第四象限角，所以640°是第四象限角。
（2）因为-950°=130°+（-3）×360°，所以-950°的角与130°的角的 终边相同，130°是第二象限角，所以-950°是第二象限角。
（3）因为-1180°=260°+（-4）×360°，所以-1180°的角与260°的角
B
终边 顶点
O
α 始边
A
2. 角的分类
为了区别旋转方向：
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；
说明：零 角的终边 与始边重 合
如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°
如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一个零角。
2100
6600
-1500
y 终边 终 边 x o
40、-330
第一象限角 始边
310、 -60
终 边
终边
第四象限角 第三象限角
230、-120 135、-240 第二象限角等 0、90、180、-90 界限角
终 边
想一想
1. 指出它们是第几象限角： 420°、850°、-510°、-75° 一 二 三 四
2. 锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？
锐角是第一象限角 30°、390°、-330°
30° 390°
y -3300 3900
300
-330°
o
x
390°=30°+360°=30°+1x360° -330°=30°+(-1)x360° =30°─1x360° 750°=30°+2x360° ; -690°=30°+(-2)x360° ;
第5章 三角函数
5.1 角的概念的推广
来自百度文库
复习与回顾
1.在初中学习的角的定义是什么？
角的范围呢？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 0º至360º
2.你以前学过哪些角？
我们学过的角
0 90
锐角
90
直角
90 180
钝角
思考1：时钟慢了5分钟，应
即任一与α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个
周角的和。
终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍。
例题分析：
【例1】在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的
角，并判定它们是第几象限角。
（1） 640° （2）-950° （3）-1180°
小结：
0°～360°的角
任意角
正 角 负 角
象 限 角
终 边 相 同 的 角
S k 360o , k Z
作业：
P99 练习：1、2
用旋转来描述角，需要注意三个要素：
旋转中心、旋转方向、旋转量 旋转中心：作为角的顶点；
旋转方向：分为逆时针和顺时针两种；
旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º ，角度的 绝对值可大于360º ，于是就会出现720º ， -540º 等角度。
3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴， 那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，这样 的角叫做界限角。
与30°终边相同的角的一 般形式为： 30°＋k· 360°，（k ∈ Z）
1110°=30°+3x3600 ;
-1050°=30°+(-3)x3600; ... ...
4. 终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内所构成的 集合S可表示为， S={β |β =α ＋k·360°，k∈Z}
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
角有正负之分 如：=210, = -150, =660。
角可以任意大
体操动作：旋转2周（360×2=720） 、3周（360×3=1080）
还有零角 一条射线，没有旋转。
注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负 规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正 负，就好象数零无正负一样。
时钟快了1.25小时
（1小时15分钟），应如何
校准？分针转过了多少度？
转体三周
你知道她旋转了多少度？
生活中有很多实例如：
如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转 体1080°”、“转体1260°”这样的解说； 再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转
的终边相同，260°是第三象限角，所以-1180°是第三象限角。
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中
在-360º～720º间的角写出来：(1) 60º；(2) -21º
解：(1) S={β |β =k·360º+60º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 -1×360º+60º=-280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º。 (2) S={β |β =k·360º－21º,k∈Z}， S中在-360º～720º间的角是 0×360º－21º=-21º；1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º。
所成的角。
这些例子不仅角范围不在0º ～360º ，而且方向不同，有必 要将角的概念推广到任意角。
1. 任意角
任意角的定义：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成角α 。 旋转开始时的射线OA叫做角α 的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α 的终边，射线的端点O叫做角α 的顶点。 小写希腊字母表示角：α、β、γ。。。
解：（1）因为640°=280°+360°，所以640°的角与280°的角的终边相 同， 280°是第四象限角，所以640°是第四象限角。
（2）因为-950°=130°+（-3）×360°，所以-950°的角与130°的角的 终边相同，130°是第二象限角，所以-950°是第二象限角。
（3）因为-1180°=260°+（-4）×360°，所以-1180°的角与260°的角
B
终边 顶点
O
α 始边
A
2. 角的分类
为了区别旋转方向：
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；
说明：零 角的终边 与始边重 合
如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°
如果一条射线没有做任何旋转，称它形成了一个零角。
2100
6600
-1500
y 终边 终 边 x o
40、-330
第一象限角 始边
310、 -60
终 边
终边
第四象限角 第三象限角
230、-120 135、-240 第二象限角等 0、90、180、-90 界限角
终 边
想一想
1. 指出它们是第几象限角： 420°、850°、-510°、-75° 一 二 三 四
2. 锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？
锐角是第一象限角 30°、390°、-330°
30° 390°
y -3300 3900
300
-330°
o
x
390°=30°+360°=30°+1x360° -330°=30°+(-1)x360° =30°─1x360° 750°=30°+2x360° ; -690°=30°+(-2)x360° ;
第5章 三角函数
5.1 角的概念的推广
来自百度文库
复习与回顾
1.在初中学习的角的定义是什么？
角的范围呢？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 0º至360º
2.你以前学过哪些角？
我们学过的角
0 90
锐角
90
直角
90 180
钝角
思考1：时钟慢了5分钟，应
即任一与α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个
周角的和。
终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍。
例题分析：
【例1】在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的
角，并判定它们是第几象限角。
（1） 640° （2）-950° （3）-1180°
小结：
0°～360°的角
任意角
正 角 负 角
象 限 角
终 边 相 同 的 角
S k 360o , k Z
作业：
P99 练习：1、2
用旋转来描述角，需要注意三个要素：
旋转中心、旋转方向、旋转量 旋转中心：作为角的顶点；
旋转方向：分为逆时针和顺时针两种；
旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º ，角度的 绝对值可大于360º ，于是就会出现720º ， -540º 等角度。
3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴， 那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，这样 的角叫做界限角。
与30°终边相同的角的一 般形式为： 30°＋k· 360°，（k ∈ Z）
1110°=30°+3x3600 ;
-1050°=30°+(-3)x3600; ... ...
4. 终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内所构成的 集合S可表示为， S={β |β =α ＋k·360°，k∈Z}
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
角有正负之分 如：=210, = -150, =660。
角可以任意大
体操动作：旋转2周（360×2=720） 、3周（360×3=1080）
还有零角 一条射线，没有旋转。
注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负 规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正 负，就好象数零无正负一样。