中考数学复习之因式分解专题

中考数学复习之因式分解专题
1．分解因式：（x﹣1）2+2（x﹣5）．
2．（1）计算：（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|；
（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．
3．（8分）（1）计算：sin30°+﹣（3﹣）0+|﹣|
（2）因式分解：3a2﹣48
4．（8分）（1）计算：（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|
（2）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）
5．（8分）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞．
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？
（2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？
6．（8分）先因式分解，再计算求值：2x3﹣8x，其中x＝3．
7．（8分）（1）计算：（）﹣2+（﹣）0﹣2cos60°﹣|3﹣π|
（2）分解因式：6（a﹣b）2+3（a﹣b）
8．（8分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
9．（8分）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）＝．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．
（1）填空：f（6）＝；f（9）＝；
（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；
（3）填空：
①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；
④f（25×3×5×7）＝．
10．（8分）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A）
∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）（B）
∴c2＝a2+b2（C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；
（2）错误的原因为：；
（3）本题正确的结论为：．
11．（8分）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
12．（8分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．
例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．
13．（8分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．
14．（8分）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b ＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．
15．（8分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝；
②若﹣＝26，则y＝；
③若+＝，则t＝；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被整除，﹣一定能被整除，•﹣mn一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．。