[原创]2011年《随堂优化训练》数学 北师大版 九年级 第一章 2.直角三角形 [配套课件]
北师版九年级上数学第一章随堂练习85
北师版九年级上数学第一章随堂练习85一、选择题（共5小题；共25分）1. 在平行四边形中，如果，那么的度数是A. B. C. D.2. 已知四边形和对角线，，顺次连接各边中点得四边形，给出以下个命题：①若所得四边形为矩形，则原四边形为菱形；②若所得四边形为菱形，则原四边形为矩形；③若所得四边形为矩形，则；④若所得四边形为菱形，则；⑤若所得四边形为矩形，则；⑥若所得四边形为菱形，则．以上命题中，正确的是A. ①②B. ③④C. ③④⑤⑥D. ①②③④3. 已知在梯形中，，对角线，且，，那么这个梯形中位线的长等于A. B. C. D.4. 已知四边形是平行四边形，再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是A. 选①②B. 选①③C. 选②④D. 选②③5. 下列命题中，能判断四边形是矩形的是A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线相等且互相平分D. 对角线互相垂直二、填空题（共4小题；共20分）6. 如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点．若，则矩形的面积为．7. 工人师傅在做门框或矩形零件时，常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度，工人师傅根据的几何道理是．8. 如图，在等腰梯形中，，，，则．9. 如图，圆圈内分别标有，，，，，，这个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“”的圆圈开始，按逆时针方向跳了次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是．三、解答题（共4小题；共52分）10. 用四块如图①所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图②、图③、图④中各画出一种拼法．（要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形）11. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求，的长．12. 如图，已知点，分别是平行四边形的边，上的中点，且．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形面积．13. 如图，矩形的对角线，相交于点，且，．求证：四边形是菱形．答案第一部分1. B2. B 【解析】①若所得四边形为矩形，原四边形只需满足对角线互相垂直即可，不一定是菱形，故①错误；②若所得四边形为菱形，则原四边形只需满足对角线相等即可，可以为等腰梯形，不一定是矩形，故②错误；③若所得四边形为矩形，则，正确；④若所得四边形为菱形，则，正确；⑤若所得四边形为矩形，则，错误；⑥若所得四边形为菱形，则，错误．综上可得只有③④正确；故选B．3. C 【解析】如图，过点作，，四边形是平行四边形，，．，，是直角三角形．由勾股定理得，，这个梯形中位线的长为．4. D5. C第二部分6.【解析】连接．设，．，，．，，（负值舍去）．矩形的面积为．7. 对角线相等的平行四边形是矩形8.9.第三部分10. 解法不唯一，如答图所示．11. ，．12. （1）四边形是平行四边形，，．在中，，点是边的中点，．同理，．．四边形是平行四边形．，平行四边形是菱形．（2）在中，，，，，．连接交于点，于点，点是中点．．．菱形的面积是．13. ，，四边形是平行四边形．又四边形是矩形，对角线与相等且互相平分，，四边形是菱形．。
《随堂优化训练》九年级数学 第一章 4 角平分线 第1课时角平分线的性质与判定配套课件 北师大版
证明：如图 11，过 P 作 PN⊥AE，PM⊥BC，PF⊥AD.
图 11 ∵BP、CP 分别是△ABC 的外角平分线． ∴PM＝PN，PM＝PF.∴PN＝PF. 又∵PN⊥AE，PF⊥AD，∴AP 平分∠BAC.
图 1－4－2
证明：过点 P 作 PM⊥AB 于 M，PN⊥CD 于 N，如图 10. 1 1 因为 S△PAB＝2AB· PM, S△PCD＝2CD· PN，
而 S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，所以 PM＝PN. 所以 OP 平分∠AOD(角平分线的判定定理)．
图 10
用尺规作角的平分线 已知：∠AOB(如图 1－4－3)． 求作：射线 OC，使∠AOC＝∠BOC.
解：如图9，作∠AOB的角平分线OP，小猪建房建在OP
上任一点都能满足房子到两条小河距离相等．
图9
角平分线性质定理的逆定理(难点) 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角 平分线 上． 的________
随堂小练
2．如图1－4－2，已知AB＝CD，△PAB的面积与△PCD 的面积相等．求证：OP平分∠AOD.
4．角平分线
第 1 课时 角平分线的性质与判定
角平分线的性质定理(重点)
相等 ． 角平分线上的点到这个角的两边的距离________ 如图1－4－1， 条件：①OP平分∠AOB；②HM⊥OA，HN⊥OB. 结论：HM＝HN.
图 1－4－1 随堂小练
1．两条小河相交成一个三角区，土壤肥沃，气候宜人，小 猪看中了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条 小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1－4－3
作法： ①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE； 1 ②分别以点D、E为圆心，大于__________ 的长为半径作 2DE 弧，在∠AOB内，两弧交于点C； ③作射线OC，则OC就是所求的射线．
北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系 含答案
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、方程，则锐角=（）A.30°B.45°C.60°D.无法确定2、如图，中，，顶点，分别在反比例函数（）与（）的图象上.则下列等式成立的是（）A. B. C. D.3、如图，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA=30°，OC=3 cm，则弦AB 的长为（）A.9cmB.3 cmC. cmD. cm4、如下图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（）A. 米B. 米C. 米D.米5、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C 上升的高度h是（）A. mB.4 mC. mD.8 m6、小明沿着坡比为1：的山坡向上走了600m，则他升高了（）A. mB.200 mC.300 mD.200m7、把Rt△ABC的各边都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角A和A′的余弦值的关系是（）A.cosA=cosA′B.cosA=3cosA′C.3cosA=cosA′D.不能确定8、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sinA 的值是（）A. B. C. D.9、如图，已知一坡面的坡度i=：，则坡角α为（）A.15°B.20°C.30°D.45°10、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )A.15B.12C.9D.611、关于三角函数有如下公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣，③sin15°= ，④cos90°=0其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图，在半径为4的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（）A. B. C. D.13、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点F若sin∠CAB= ，DF=5，则BC的长为（）A.8B.10C.12D.1614、如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（）A.3B.2C.D.15、如图，的半径为5，内接于，若，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，若A，C，B′三点共线，则tan∠B′CB=________.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为________。
北师版九年级上数学第一章随堂练习12
北师版九年级上数学第一章随堂练习12一、选择题（共5小题；共25分）1. 下列判断错误的是A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形2. 顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形一定是A. 菱形B. 矩形C. 梯形D. 两条对角线相等的四边形3. 顺次连接正方形各边中点所成的四边形的面积与原正方形的面积之比为A. B. C. D.4. 如图，在菱形中，，，则的周长为A. B. C. D.5. 活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为，则两条对角线所用的竹条至少需要A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）6. 若菱形的两条对角线分别为和，则此菱形的面积是．7. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小敏的作法如下：老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作图依据是．8. 矩形中，，，，分别在，上，且垂直平分．则的长为．9. 如图，在一张长为，宽为的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．三、解答题（共4小题；共52分）10. 如图，已知点是正方形的边延长线上的一点，且，与相交于点．求的度数．11. 已知图形是一个正方形，图形由三个图形构成，如图所示，请用图形与合拼成一个轴对称图形，并把它画在表格中．12. 在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．（1）如图①，如果点和顶点重合，求的长；（2）如图②，如果点落在直角边的中点上，求的长．13. 如图，一直角梯形，，，，，求的长．（提示：过作于）答案第一部分1. D2. A3. D 【解析】提示：以正方形各边中点所成的四边形是正方形，其对角线的的长等于原正方形的边长，所以面积之比等于边长之比的平方为 .4. C5. B【解析】如图，过点作的平行线，交的延长线于点．易得，，四边形为平行四边形．可得为等腰直角三角形．所以梯形的面积所以梯形的面积等于等腰直角三角形的面积．故，解得．第二部分6.7. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．8.【解析】连接．垂直平分，．四边形是矩形，．在中，．又，，，，解得：．或或【解析】分类讨论：（1）等腰三角形的顶角的顶点与矩形的顶点重合，如图 a，则，此时（2）等腰三角形的底角的顶点与矩形的顶点重合，腰在宽上，如图 b，此时，．在中，根据勾股定理，，；（3）等腰三角形的底角的顶点与矩形的顶点重合，腰在长上，如图 c，此时，．在中，根据勾股定理，，．第三部分10. 由四边形是正方形可知；又由可知，．11. 答案不唯一．12. （1）．又因为，有，所以．（2）因为为中点，所以．因为，则，所以．13. 过作于，则，，，．。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元检测试卷及解析
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元检测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题2倍，则锐角A的正弦函数值A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的1 2C．不变 D．不能确定2.小明同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，则锐角α的度数应是（）A.40°B.30°C.20°D.10°3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=4，则sinA的值为（）A. 35B. 45C. 34D. 434.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=0.6，则AC的长为（）A. 3B. 3.5C. 4.8D. 55.如图，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树CD之间的距离为50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=45°，然后沿河岸走了130米到达B处，测得∠CBN=60°．则河流的宽度CE为（）A. 80B. 40（3C. 40（6.如图,巳知A点坐标为(5,0),直线y=x+b(b＞0)与y轴交于B,连AB,∠α=75°,则b值为（）A. 3B. 5√33C. 4D. 5√347.在△ABC 中，∠C=90°，tanA=1，那么cosB 等于（ ）C. 1D.28.如图，已知在Rt△ABC 中，∠ABC =90∘，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B 、C 不重合)，作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，则BE +CF 的值( )A. 不变B. 增大C. 减小D. 先变大再变小9.如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，1tan 2A，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD ＝（ ）A ．35B C ．310D ．10 10.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为 1.6m ，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m ，A. 3.5mB. 3.6mC. 4.3mD. 5.1m第II 卷（非选择题）二、解答题（题型注释）；（2）（13）﹣2+|√3﹣2|﹣√12+6cos30°+（π﹣3.14）0 ．12.计算:（1）sin2 1°+sin2 2°+sin23°+…+sin2 87°+sin2 88°+sin2 89°（2）sin2 66°-tan54°tan36°+sin2 24°+sin230°+cos230°+tan 2600cot60013.若α为锐角,且2cos2α+7sin α-5=0.求α的度数.14.如图，两幢大楼AB，CD之间的水平距离（BD）为20米，为测得两幢大楼的高度，小王同学站在大楼AB的顶端A处测得大楼CD顶端C的仰角为60°，测得大楼CD的底部D的俯角为45°，试求大楼AB和CD的高度．（精确到1米）15.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：√3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）16.如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）17.（8分）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测的假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）18.2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.三、填空题i=1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC=________米．（结果可以用根号表示）．20.用计算器计算：sin15°+√1.5=________（精确到0.01）．21.计算（﹣1）2005﹣| √3﹣2|+（﹣13）﹣1﹣2sin60°的值为________．22.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝1213，则tan B的值为______．23.如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=√3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．24.在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠，则∠ABC的大小为_____度．25.如图，有A、B两艘船在大海中航行，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻这两艘船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有另一艘船C，那么此时船C与船B的距离是_______海里．（结果保留根号）参考答案1.C.【解析】1.试题因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A 的大小没改变，所以锐角A 的正弦函数值也不变. 故选C.2.D ．【解析】2. 试题解析：∵3tan （α+20°）=1，∴tan （α+20°） ∵α为锐角，∴α+20°=30°，α=10°．故选D ．3.C【解析】3.根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．sinA=BC AB =34，故选C ．4.D【解析】4.根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC ．∵在Rt △ABC 中，cosB=35，∴sinB=45，tanB=sinB cosB ＝43． ∵在Rt △ABD 中AD=3，∴AB=AD sinB ＝345＝154．在Rt △ABC 中，∵tanB=AC AB =AC 154=43， ∴AC=43×154=5，故选D ． 5.C【解析】5.解：过点C 作CF ∥DA 交AB 于点F ．∵MN ∥PQ ，CF ∥DA ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AF =CD =50，∠CFB =∠DAN =45°，∴FE =CE ，设BE =x ．∵∠CBN =60°，∴EC =x ．∵FB +BE =EF ，∴130﹣50+x =x ，解得：x =40（+1），∴CE =x =40（3+）．故选C ．6.B【解析】6.因为直线的解析式是y=x+b ，∴OB=OC=b,则∠BCA=45°；又∵∠α=75°=∠BCA+∠BAC=45°+∠BAC(外角定理)∴∠BAC=30°；而点A 的坐标是(5,0)，∴OA=5，在Rt△BAO 中,∠BAC=30°，OA=5，∴tan∠BAO=BO AO =√33 ∴BO=5√33,即b=5√33.故选B.7.D【解析】7.试题分析：∵△ABC 中，∠C=90°，tanA=1，∴∠A=45°，∠B=90°﹣45°=45°．∴cosB=2． 故选D ．8.C【解析】8.现根据BE ⊥AD 于E ,CF ⊥AD 于F ,可证明CF ∥BE ,根据直线平行的性质可得:∠DCF=∠DBF ,然后设CD=a ,DB=b ,∠DCF =∠DBE =α, 利用三角函数定义可得:CF=DC•cosα,BE=DB•cosα,继而可得:BE+CF=（DB+DC ）cosα=BC•cosα,再根据余弦函数的性质可得:在O<α<90°,当点D 从B→D 运动时,α是逐渐增大的,cosα的值是逐渐减小的,继而可得BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．∵BE ⊥AD 于E ,CF ⊥AD 于F ,∴CF ∥BE ,∴∠DCF=∠DBF ,设CD=a ,DB=b ,∠DCF =∠DBE =α,∴CF=DC•cosα,BE=DB•cosα,∴BE+CF=（DB+DC ）cosα=BC•cosα,∵∠ABC =90°, ∴O<α<90°,当点D 从B→D 运动时,α是逐渐增大的,∴cosα的值是逐渐减小的,∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．故选C ．9.A【解析】9.如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，设BC ＝2x ．∵∠C ＝90°，1tan 2A =，∴AC ＝4x ，由勾股定理可知AB =．∵∠C ＝90°，∠CBD ＝∠A ，∴1tan 2CBD ∠=，∴CD ＝x ，由勾股定理可知BD =．∵∠CBD ＝∠A ，∠AED ＝∠C ＝90°，∴△AED ∽△BCD ，∴ED AD CD BD=，∴DE x =．∴3sin 5x ABD ∠==．故选A ． 10.D【解析】10.如图，设CD ＝xm ，在Rt △ACD 中，∵∠DAC ＝30°，∴tan30x AC ==︒（m ）．在Rt △ECD 中，∵∠DEC ＝60°，∴tan60x EC ==︒（m ）．∵AE ＝4m，∴43x-=，解得x =∴ 1.6 5.1DF DC CF =+=≈（m）．故选D ．11.（1）1+√22；（2）12.【解析】11.（1）将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案；（2）原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．（1）原式=2×√32﹣√3+1+1×√22=1+√22； （2）原式=9+2﹣√3﹣2√3+6×√32+1=12. 12.（1）4412；（2）10.【解析】12.（1）根据互余两角的三角函数的关系解答即可；（2）根据互余两角的三角函数的关系及特殊角的三角函数值作答（1）原式=sin 21°+sin 22°+…+sin 245°+cos 244°+cos 243°+…+cos 22°+cos 21° =(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(sin 244°+cos 244°)+sin 245°=1+1+…+1+(√22)2=44+12=4412.（2）原式=（sin 266°+sin 224°）﹣1+（12）2+（√32）2+(√3)2(√33)2，=1−1+14+34+9， =10. 13.α=30°【解析】13.由sin 2α+cos 2α=1将原方程转化为关于sinα的一元二次方程，然后通过解该方程来求sinα的值；然后根据特殊角的三角函数值来求α的度数．∵α为锐角，∴0＜sinα＜1．∵sin 2α+cos 2α=1，∴cos 2α=1-sin 2α，∴2cos 2α+7sinα-5=2-2sin 2α+7sinα-5=0，即2sin 2α-7sinα+3=0，整理，得（sinα-3）（2sinα-1）=0．解得sinα=3（舍去）或sinα=12，∴α=30°．14.大楼AB 的高度是20米，大楼CD 的高度约为55米．【解析】14.过点A 作AE ⊥CD 于点E ，根据正切的定义分别求出DE 、CE ，结合图形计算即可． 过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则四边形AEDB 是矩形， ∴AB=DE ，AE=DB=20米，在Rt △ADE 中，tan45°=DE AE ，∴DE=AE=20，在Rt △ACE 中，tan60°=CE AE ，∴CE=20√3，∴CD=DE+CE=20+20√3≈55米，答：大楼AB 的高度是20米，大楼CD 的高度约为55米．15.20.9km【解析】15.分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，∴BF=BD cos60∘=8km ， ∵AB=20km ，∴AF=12km ，∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ，∴AE AF =BD BF ，∴AE=6km ，在Rt △AEF 中，CE=AE•tan74°≈20.9km ．故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．16.学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．【解析】16.试题分析：假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D 作DE⊥AC 于点E ，作D′E′⊥AC 于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE 、CE 、CE′的长，进而可得出结论．试题解析：假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D 作DE⊥AC 于点E ，作D′E′⊥AC 于点E′，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD•sin60°=12×√32=6√3米，CE=CD•cos60°=12×12=6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE=D′E′=6√3米．∵∠D′CE′=39°，∴CE′=D'E'tan39°≈6√30.81≈12.8， ∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．17.35+103．【解析】17.试题过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF 、CF 的长度，在Rt △AEH 中求出AH ，继而可得楼房AB 的高．试题解析：过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i=CF EF =31=tan ∠ECF ， ∴∠ECF=30°，∴EF=21CE=10米，CF=103米， ∴BH=EF=10米， HE=BF=BC+CF=（25+103）米，在Rt △AHE 中，∵∠HAE=45°， ∴AH=HE=（25+103）米，∴AB=AH+HB=（35+103）米．答：楼房AB 的高为（35+103）米．18.800√3【解析】18.如图，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=12AD=700，DE=√3AE=700√3，则BE=300，所以DF=300，BF=700√3，再在Rt △CDF 中计算出CF ，然后计算BF 和CF 的和即可．如图，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt △ADE 中，AE=12AD=12×1400=700，DE=√3AE=700√3，∴BE=AB-AE=1000-700=300，∴DF=300，BF=700√3，在Rt △CDF 中，CF=√33DF=√33×300=100√3， ∴BC=700√3+100√3=800√3．答：选手飞行的水平距离BC 为800√3m ．19.30√10【解析】19.直接利用坡度的定义得出设BC ＝x ，则AC ＝3x ，进而利用勾股定理得出即可．∵小明沿坡度i ＝1：3的坡面由A 到B 行走了100米，∴设BC ＝x ，则AC ＝3x ，故x 2＋（3x ）2＝1002，解得：x ＝10√10，那么小明行走的水平距离AC ＝30√10（m ）．故答案为：30√10．20.0.48【解析】20.熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数． 原式≈0.259+1.225≈0.484≈0.48，故答案为：0.48．21.-6【解析】21.原式第一项运用有理数的乘方运算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，计算即可得到结果．（﹣1）2005﹣| √3﹣2|+（﹣13）﹣1﹣2sin60°，=−1+√3−2−3−2×√32，=−1+√3−2−3−√3，=-6.故答案为-6.22.125【解析】22.根据题意作出直角△ABC ，然后根据sinA=513，设一条直角边BC 为5x ，斜边AB 为13x ，根据勾股定理求出另一条直角边AC 的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan ∠B ． 如图，∵sinA=513，∴设BC=5x ，AB=13x ，则AC=√AB 2−BC 2=12x ，故tan ∠B=AC BC =125．故答案为：125．23.4【解析】23.试题首先根据题意正确画出从O→B→A 运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P 从O→B 时，路程是线段PQ 的长；②当点P 从B→C 时，点Q 从O 运动到Q ，计算OQ 的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O 时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO==①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°=∴AQ=2∴OQ=2﹣1=1 则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=424.30或150【解析】24.如图，作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，∵AC=3、cos∠，∴==，①若点B在CD=ACcos∠ACB=3×3AD左侧，∵AB=2、AD=1，∴∠ABC=30°；②若点B在AD右侧，则∠AB′D=30°，∴∠AB′C=150°，故答案为30或150．【解析】25.试题分析：过点B作BD⊥AC，则△ABD为等腰直角三角形，则海里，在Rt△CBD中，∠CBD=60°，则。
北师版九年级上数学第一章随堂练习56
北师版九年级上数学第一章随堂练习56一、选择题（共5小题；共25分）1. 平行四边形的两条对角线相交于点，已知，，则的长为A. B. C. D.2. 菱形中，，，则对角线的长为A. B. C. D.3. 如图，梯形中，，点在上，且．若，，，则的长度为A. B. C. D.4. 下列说法不能判断是正方形的是A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形B. 对角线互相垂直的矩形C. 对角线相等的菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形5. 如图，已知线段，，．求作：矩形．以下是甲、乙两同学的作业：甲：．以点为圆心，长为半径画弧；．以点为圆心，长为半径画弧；．两弧在上方交于点，连接，，四边形即为所求（如图①）．乙：．连接，作线段的垂直平分线，交于点；．连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，，四边形即为所求（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对二、填空题（共4小题；共20分）6. 矩形ABCD对角线相交于，若，则的度数为．7. 如图，已知，与，分别交于，两点，过，两点作两组内错角的平分线，交于点，，则四边形（填“是”或“不是”）矩形．8. 在等腰梯形中，，对角线，相交于点，以下四个结论；；；，其中正确的是．9. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是．三、解答题（共4小题；共52分）10. 如图，由个全等的正方形组成的 L 形图案，请按下列要求画图：（1）在图案①中添加个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；（2）在图案②中添画个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；（3）在图案③中改变个正方形的位置，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．11. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，，，求：（1）的长；（2）的长.12. 如图，在中，，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形的面积．13. 如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作的垂线，与边，分别交于，，求证：四边形是菱形．答案第一部分1. C2. D3. C 【解析】，.，，.，.．4. D5. A第二部分6.7. 是8.9.第三部分10. （1）如图（1），图（2），图（3）所示．（2）如图（4）所示．（3）如图（5），图（6）所示．11. （1）由题意，得，在中，，，．（2）由题意，得，设的长为，则，在中，由勾股定理，得，解得，即的长为．12. （1），分别是，的中点，且，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2），，是等边三角形，菱形的边长为，高为，菱形的面积为．13. ，，又，，，，又，是的垂直平分线，，，又，．四边形是菱形．。
北师版九年级上数学第一章随堂练习6
北师版九年级上数学第一章随堂练习6一、选择题（共5小题；共25分）1. 下列命题正确的是A. 两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形B. 两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D. 一组邻边相等的平行四边形是正方形2. 已知梯形中位线长为，面积为，则高是3. 【测试】如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为A. B. C. D.4. 如图，已知菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的高为5. 如图，中，、两点分别在、上，则，．若，，则A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）6. 如图，在四边形中，对角线，交于点，，，添加一个条件使四边形是菱形，那么所添加的条件可以是（写出一个即可）．7. 如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是．8. 如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长为．9. 如图：矩形纸片，，点在上，且．若将纸片沿折叠，点恰好落在上，则的长是．三、解答题（共4小题；共52分）10. 如图，正方形的对角线，相交于点，．求证：．11. 认真观察图①的个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征：；特征：．（2）请在图②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．12. 如图，四边形是矩形纸片，，，在边上取一点，将纸片沿折叠，使点落在边上处．（1）的长；（2）的长；（3）的长；（4）求的长．13. 如图，，于点．求证：．答案第一部分1. C 【解析】选项A 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误；选项B 两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；选项C 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；选项D 一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误．2. B ．，．3. A 【解析】连接，如图：是的垂直平分线，，，四边形是矩形，，，，在和中，，，，，，．4. B 【解析】如图所示：四边形是菱形，，，，，．5. B【解析】，，，，，．，设为，为，，，，．第二部分6. （答案不唯一）7. （答案不唯一）8.【解析】因为垂直平分，所以，，，．9.【解析】由题意知，，所以．第三部分10. 四边形是正方形，，，，，在和中，，．11. （1）都是轴对称图形；都是中心对称图形（2）答案不唯一，如图所示．12. （1）【解析】根据折叠可得．（2）【解析】四边形是矩形，，，在直角三角形中：．（3）【解析】四边形是矩形，，．（4）折叠，，设，则，，，在中，，由勾股定理得：，，，解得：，的长等于．13. 如图，连接．则，．．又，，．。
北师版九年级下数学第一章随堂练习82
北师版九年级下数学第一章随堂练习82一、选择题（共5小题；共25分）1. 的值等于A. B. C. D.2. 计算的结果等于B. C. D.3. 在中，，，，则下列结论正确的是A. B. C. D.4. 已知，求．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键A. B. C. D.5. 已知为锐角，且，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）6. 在中，，则是的，是的．7. 如图，我市在键高铁的某段路基横断面为梯形，，长为米，坡角为，的坡角为，则的长为米（结果保留根号）．8. 若，且，则．9. 如图（1），与相切于点，与相交于，两点，可证明，从而有．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），，分别与相交于，，，四点，已知，，，则三、解答题（共4小题；共52分）10. 已知锐角的三角比的值，用计算器求锐角（精确到）：（1）．（2）．（3）．（4）．11. 计算：．12. 如图，一个大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高为，坝顶宽为．求大坝横截面的面积．13. 要求的值，可构造如图的直角三角形进行计算：作，使，斜边，直角边，则，，．在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出的值，请你写出添加辅助线的方法，并求出的值．答案第一部分1. C2. C3. C 【解析】如图所示：中，，，，，，，，．4. D5. C【解析】方法1：∵，∴在可用计算器的情况下，可直接用计算器算出的度数，就可确定的范围．方法2：由特殊角的三角函数值可知，∴．第二部分6. 正切，余切7.【解析】过作于，于．可得矩形和与．，，，．【解析】过点作的切线，切点是．，，，，，，．第三部分10. （1）．（2）．（3）．（4）．11.12. 由，的坡比为，得．同理，由，的坡比为，得，．13. 延长至点使，连接，．。
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互逆命题、互逆定理 1．在两命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个
互逆 命题，其中 命题的结论和条件，那么这两个命题称为 ________
一个命题称为另一个命题的________ 命题． 逆 2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是
互逆 定理，其中一个定理称为 一个定理，这两个定理称为________
直角三角形全等的判定定理——HL(重点)
全等 ， 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形________
简记为“斜边、直角边”或“HL”． 随堂小练 4．如图 1－2－2，在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，AB＝DC， AC 与 BD 交于点 O，则
HL或斜边、直角边 ； (1)△ABC≌△DCB，其判断依据是___________________
【例 1】在△ABC 中，AB＝12 cm，AC＝9 cm，BC＝15 cm， 则 S△ABC 等于( A．108 cm2 C．180 cm2
答案：B
) B．54 cm2 D．90 cm2
“HL”定理的应用 【例2】如图1－2－4，CD⊥AD，CB⊥AB，AB＝AD， 求证：CD＝CB.
思路点拨：连接 AC，构造直角三角形．
(2)△AOB≌△DOC，其判断依据是________ ． AAS
图 1－2－2 5．已知：如图 1－2－3，CD、C′D′分别是 Rt△ABC、 Rt△A′B′C′斜边上的高，且 CB＝C′B′，CD＝C′D′， 求证：△ABC≌△A′B′C′.
图 1－2－3
证明：∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′， ∴在 Rt△CDB 和
另一个定理的逆定理． 注意：任何一个命题都有逆命题，但并不是所有的定理都 有逆定理． 随堂小练 3．写出下列定理的逆命题，并判断是否为互逆定理． (1)同位角相等，两直线平行； (2)对顶角相等．
解：(1)逆命题：两直线平行，同位角相等．是互逆定理． (2)逆命题：相等的角是对顶角．不是互逆定理．
2.直角三角形
勾股定理及其逆定理
斜边 的平 定理：直角三角形两条直角边的平方和等于________
方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那
直角 三角形．即若△ABC 的三边 a、b、c 么这个三角形是________
满足 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三角形．
随堂小练 1．如图 1－2－1，在△ABC 中，AC＝7，BC＝24，你能 求得 AB 的长吗？若能， 请求出 AB 的长； 若不能， 请说明理由．
CD＝C′D′ Rt△C′D′B′中， BC＝B′C′
，
∴Rt△CDB≌Rt△C′D′B′(HL)．∴∠B＝∠B′. ∠ACB＝∠A′C′B′ BC＝B′C′ ∴在△ABC 和△A′B′C′中， ， ∠B＝∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
利用勾股定理判定直角三角形，求面积
图 1－2－1
解：不能．因为∠ 的大小不能确定，所以不能应用勾股 定理求出 AB 的长.
2．若某三角形的三边分别为 a、b、c，则下面四种情况中， 能构成直角三角形的是( B ) A．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13 D．a＝7，b＝18，c＝17
图 1－2－4 证明：连接 AC，在 Rt△ADC 和 Rt△ABC 中， ∵AB＝AD(已知)，AC＝AC(公共边)． ∴Rt△ADC≌Rt△ABC(HL)．∴CD＝CB.