2.4函数的微分及其应用
高等数学——微积分2.4 山东大学版
d tan x sec2 xdx ,
d sec x sec x tan xdx,
d csc x csc x cot xdx,
a
x
a ln a ,
x
e
x
e ,
x
d e e
x
d a x a x ln adx,
x
dx ,
7
log a x 1 , x ln a 1 ln , x 1 arcsinx , 1 x2 1 arccosx , 2 1 x arctan x 1 2 , 1 x
11
(2)因为 d (si n t ) costdt,
1 可见， cos tdt d sin t d si nt ,
1
1 即 ，d si nt costdt,
1 一般地，有： d si nt C costdt, (C为 任 意 常 数 )
等式两端除以 x , 得
y o( x ) A . x x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到 ox y lim A lim A. f x0 x 0 x x 0 x 因此, 如果函数 f ( x ) 在点 x 0 可微，则 f ( x )在点 x 0也一定可导, 且
9
2 x 1), 求 dy. 例2 y sin(
解
把2x+1看成中间变量u ，则 dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d ( 2 x 1)
cos(2 x 1) 2dx 2 cos(2 x 1)dx.
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
函数的微分与微分的应用
函数的微分与微分的应用在微积分中，函数的微分是一个重要的概念。
微分的应用则是将微分应用于实际问题的数学方法。
本文将围绕函数的微分及其应用展开详细讨论。
一、函数的微分函数的微分是函数在某一点上的变化率的近似。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处是可导的，那么x=a处的微分表示为df，定义如下：df = f'(a)dx其中，f'(a)是函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量x的增量。
函数的微分可通过导数乘以自变量的增量获得。
二、微分的应用微分的应用广泛存在于数学、物理、经济等领域。
以下列举几个常见的应用。
1. 切线与法线函数的微分可用于求解函数图像上某一点的切线和法线。
设函数f(x)在点x=a处可导，则切线的斜率为f'(a)，求解切线方程可根据点斜式或一般式进行。
法线的斜率为-1/f'(a)，同样可根据点斜式或一般式求解。
2. 极值点与拐点函数的微分也可用于确定函数的极值点和拐点。
设函数f(x)的导数为f'(x)，极值点的横坐标可通过解方程f'(x)=0求得。
通过判别式和导数的符号变化，可以判断极值点的类型（极大值或极小值）。
拐点则是函数图像由凸变凹或由凹变凸的点，可通过求解二阶导数f''(x)的零点来确定。
3. 近似计算微分的近似性质可应用于计算函数的近似值。
对于函数f(x)在某一点x=a附近，可以使用微分df作为函数f(x)的近似值。
当自变量的变化量较小时，误差较小，从而可以得到较为精确的计算结果。
4. 最优化问题微分可以应用于最优化问题的求解。
例如，求解函数f(x)在一定范围内的最大值或最小值。
根据函数的导数和临界点的性质，可以得到最优解。
5. 物理运动问题微分在物理学中有着广泛的应用。
例如，求解物体在某一时刻的速度、加速度等。
通过将位移函数或速度函数微分，可以得到物体在不同时刻的速度、加速度等物理量。
综上所述，函数的微分在数学和实际应用中扮演着重要的角色。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。
该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。
微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。
这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。
下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。
例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。
我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。
因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。
由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。
我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。
也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。
例2：证明一段周期函数的平均值等于零。
假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。
高等数学上册第五节函数的微分及其应用
线性主部 (f(x0)0时 )
©
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
y f( 1 x ) f( 1 ) ( 1 x )3 1 3
3x3(x)2(x)3 dy 3x
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
©
定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为 y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
第五节
函数的微分
第二章
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
©
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
©
四、 微分在近似计算中的应用 （一）函数值的近似计算
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用
多个函数多介值的微分中值定理及其应用1. 引言1.1 多个函数多介值的微分中值定理及其应用多个函数多介值的微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是多元函数微分中值定理的推广和应用。
在多个函数多介值的情况下，该定理可以帮助我们更准确地分析函数在不同点的变化情况。
我们需要了解多元函数的微分中值定理。
该定理告诉我们，如果一个函数在某个区域内是连续的且可微的，那么在这个区域内存在一点，该点的梯度等于函数在这个区域内平均变化率的值。
这个定理对于研究函数的变化趋势和最值点是非常有帮助的。
我们将探讨多个函数多介值的微分中值定理在实际问题中的应用。
这包括在经济学、物理学、工程学等领域中的具体案例分析，以及如何利用该定理来解决实际问题中的挑战。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用是微积分中的重要内容，通过深入研究和实践，我们可以更好地理解和应用这一定理。
希望通过本文的介绍，读者可以对该定理有更深入的认识和理解。
2. 正文2.1 多元函数的微分中值定理多元函数的微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是一种关于多元函数的函数值与导数之间的关系的定理。
在单变量函数的微积分中，我们熟悉的是微分中值定理，它表达了函数在某个区间内的平均增长率与瞬时增长率相等的性质。
而对于多元函数，微分中值定理的表述则需要引入偏导数的概念。
多元函数的微分中值定理可以描述为：设函数f(x,y)在闭区域D上连续且在开区域D内可微，且对于P(x_1,y_1)和Q(x_2,y_2)属于D，则存在一点C(x_0,y_0)属于线段PQ，使得f(x_2,y_2) - f(x_1,y_1) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x_2 - x_1) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y_2 - y_1)其中\frac{\partial f}{\partial x}和\frac{\partial f}{\partial y}分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第二章 导数与微分
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2．1 导数的概念
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
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2．1 导数的概念 例题解析
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
2.2
3.了解函数微分的简单应用.
2.3
导数的概念 导数的运算法则 函数的微分及其应用
教学重点
1. 函数微分的概念. 2. 会求函数的微分.
教学难点 函数微分的概念及几何意义. 教学方法 讲练结合法
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多个函数多介值的微分中值定理及其应用
多个函数多介值的微分中值定理及其应用1. 引言1.1 简介微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它可以帮助我们理解函数在某个区间内的平均变化率及其与函数在这个区间内的某一点处的切线斜率之间的关系。
多介值的微分中值定理是对单变量函数微分中值定理的推广，它考虑了多个函数在多个介值点的情况，更加贴近实际问题的需求。
本文将首先介绍拉格朗日中值定理和柯西中值定理，这两个定理是微分中值定理的两个重要特例。
然后我们将探讨多个函数的微分中值定理以及多介值的微分中值定理，解释其在实际问题中的应用。
最后通过具体的例子，我们将展示这些定理是如何帮助我们求解问题，并验证其在实际中的可靠性和有效性。
通过本文的介绍，读者将更加深入地了解微分中值定理的理论基础和应用价值，同时也能够对多个函数多介值的微分中值定理有一个全面的认识。
在未来的研究中，我们可以进一步探讨多介值的微分中值定理在更加复杂情况下的应用，为实际问题的解决提供更加有力的理论支持。
1.2 中值定理概述中值定理是微积分中的重要定理之一，它主要用于描述函数在某个区间内平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
中值定理的提出为我们研究函数的性质和行为提供了有力的工具。
在微积分中，主要有拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及多个函数的微分中值定理等多种形式。
拉格朗日中值定理是最为基础的中值定理之一，它描述了在一个区间内可导函数的平均变化率等于某一点的瞬时变化率。
柯西中值定理则是在更一般的条件下得到的结果，描述了在一个区间内两个函数的平均变化率之间存在一点使得两个函数的导数之比等于这两个函数的值之比。
当涉及到多个函数和多介值时，我们可以推广中值定理为多个函数多介值的微分中值定理。
这一定理提供了多个函数在多个点上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
在实际应用中，可以通过这一定理求解一些复杂函数的性质，进而帮助我们更好地理解和分析问题。
中值定理为我们研究函数的性质提供了重要的理论支持，同时也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
2.4 参数式函数导数 微分
其中 A = f ′( x0 ) 与 Δx 无关, 所以 f ( x ) 在 x0 可微 .
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
注 微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y = f ′( x0 )Δx = tan α ⋅ Δ x .
当 Δx 很小时, Δ y ≈ d y .
当y = x 时: d y = d x = 1 ⋅ Δ x = Δ x,
=
y'' ( t ) x' ( t ) − y' ( t ) x'' ( t )
x' 3 ( t )
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
′ d y ψ ′( t ) d y ⎛ ψ ′( t ) ⎞ =⎜ ⎟ , = 注意 : 已知 2 d x ϕ ′( t ) d x ⎝ ϕ ′( t ) ⎠
2
×
?
例5. 设
: 证: “ ⇒ ”
已知 y = f ( x ) 在点 x0 可微, 则
Δ y = f ( x0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o( Δ x ) Δy o( Δ x ) ∴ lim = lim ( A + )= A Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx 故 y = f ( x ) 在点 x0 处可导, 且 f ′( x0 ) = A.
t =π
2 b, 4= 2
2 2 ⎞ b⎛ b=− ⎜x− a ⎟. 所求切线方程为: y − a⎝ 2 2 ⎠
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
例2. 抛射体运动轨迹的参数方程为
x = v1 t y = v2 t − 1 g t 2 2
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求抛物体速度大小: dx dy 速度的水平分量为 = v1 , 垂直分量为 = v 2 − gt , dt dt dx 2 d y 2 = v12 + (v2 − gt )2 . 故速度大小 v = ( ) + ( ) dt dt 再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
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解：由微分的计算公式得
dy
ydx
(sin x )dx x
x
cos
x x
2
sin
x
dx
或
dy
x
dv
sidnux vx 22
siunxdvdx
x
cos
x x
2
sinxdx高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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2.4.3 一阶微分形式不变性
2.4.1 微分及其几何意义 ☼ 微分的计算
例1 求函数 y x2在 x 1 和x 3 处的微分。
解：由微分公式 dy f (x0 )x 得：
当x 1时， dy f ( x0 )Δx ( x2 ) Δx x1 2x Δx 2Δx x1
当x 3时， dy f ( x0 )Δx ( x2 ) Δx x3 2x Δx 6Δx. x3
(2) d(Cu) Cdu
(3) d(uv) vdu udv
(4)
d(u) v
vdu v2
udv
(v
0)
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2.4.2 微分的基本公式与运算法则
2. 微分的四则运算法则 例3 设 y sin x , 求dy.
x0 x0 x x
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2.4.2 微分的基本公式与运算法则 从函数的微分的表达式： dy f ( x)dx
要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自 变量的微分就可了。
1. 基本初等函数的微分公式 2. 微分的四则运算法则
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2.4.3 一阶微分形式不变性
例6 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cvos xd(ed1u3x ) e1u3x d (codsvx)
cos x (3e13x )dx e13 x ( sin x)dx
dy Af (xx0 )x
【结论】可导必可微；可微必可导。
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2.4.1 微分及其几何意义
【结论】可导必可微；可微必可导。
dy f (x0 )Δ x
证: “可微必可导”
已知
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
1
(10)
d(loga
x)
1 dx x ln a
(12) d(arcsin x) 1 dx
dx
1 x2
1 x2
(15)
d(arc cot x)
1
1 x2
dx
(14)
d(arctan x)
1
1 x
2
dx
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解: d(x2 ) 2xdx
同理：
d( x2 ) xdx 2
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2.4.3 一阶微分形式不变性 例3 设 y sin(2x 1), 求dy.
解二 dy d(sin(2x 1)) cos(2x 1)d(2x 1) cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx.
(5) d(cot x) csc2 xdx
(6) d(sec x) sec x tan xdx
(7) d(csc x) csc x cot xdx (8) d(a x ) a x ln adx
(9) d(ex ) exdx (11) d(ln x) 1 dx
x (13) d(arccos x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 可导, 且
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2.4.1 微分及其几何意义
【结论】可导必可微；可微必可导。
dy f (x0 )Δ x
证: “可导必可微” 已知
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2.4.3 一阶微分形式不变性
例3 设 y sin(2x 1), 求dy.
解 y sin u, u 2x 1. dy (sin u)d u cos udu cos(2x 1)d(2x 1) cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx.
dy Ax
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2.4.1 微分及其几何意义
可微的条件： 【结论】函数������ = ������(������)在点������������可微的充分必要条件是：
函数 ������ = ������(������)在点������������处可导，且������ = ������′(������������)， 即：
e13x (3cos x sin x)dx.
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2.4.3 一阶微分形式不变性
例7. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
d(
x2 C
) xdx;
2
d( 1 sin t C ) cost d t
第二章
第四节 函数的微分 及其应用
2.4.1 微分及其几何意义 2.4.2 微分的基本公式与运算法则 2.4.3 一阶微分形式不变性 2.4.4 微分在近似计算中的应用
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2.4.1 微分及其几何意义
问题: 当自变量 x 有微小变化 ∆x 时, 函数 y = f ( x )的改变量 ∆y 如何计算？
2.4.1 微分及其几何意义
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量为 x时,
求函数的改变量 y.
Δy ( x0 Δx)3 x03
3 x02 Δx 3 x0 (Δx)2 (Δx)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是 x的高阶无穷小o( x),
Δy 3 x02 Δx.
既容易计算 又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)表示的意义是 什么?如何计算?
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2.4.1 微分及其几何意义 1. 微分的定义
定义2.6 设函数������ = ������(������)在某区间内有定义，������������及 ������������ + ∆������在这区间内，如果函数的增量
2.4.2 微分的基本公式与运算法则 2. 微分的四则运算法则 设函数������ = ������(������)，������ = ������(������)在点������处可微，则由函数 的四则运算求导法则可推得微分的四则运算法则：
(1) d(u v) (u v)dx udx vdx du dv
☼ 微分的商 通常把自变量 x 的增量Δx称为自变量的微分，
记作： dx Δx 则函数 y f ( x) 的微分又可记作：dy f ( x)dx
从而有：
dy dx
f ( x)
函数和微分与自变量的微分之商等于该函数的 导数，因此，导数也叫做“微商”。
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高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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2.4.3 一阶微分形式不变性
例4.
求
解: dy d[ln(1 ex2 )]
1 1 ex2
d(1
ex2
)
1 1 ex2
ex2 d(x2 )
1 1 ex2
ex2
2xdx
2x ex2 1 ex2 dx.
困难:对某些函数，直接计算这一变化量非常复杂！ 思路:寻找函数增量的简单、可行的计算方法！
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2.4.1 微分及其几何意义
引例： 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其
边长由x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
dy
x0 1
3 x02Δx
x0 1 x0.01
3 0.01
0.03,
当x0 1, x 0.0001时
Δy ( x0 x)3 x03 (1.000 1)3 13 0.000 300 030 001,
dy
x0 1
3 x02Δx
x0 1 3 0.000
在点 可导, 则
lim y x0 x
f
(x0 )
y x
f
(x0 )
( lim 0 ) x0
故 y f (x0 )x x f (x0 )x o(x)
即 dy f (x0 )x
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x0.000 1
1
0.000
3,
结论：x很小时，用dy近似替代y，误差也非常小。