数理方法-4 矢量空间
矢量基本知识
Ax Ay
Bx By
y
C
C
2 x
C
2 y
arctan
Cy Cx
C
A
B
By Ay
Ax
Bx
x
四、矢量的标积矢积
1、矢量的标积（点积、点乘）
A B ABcos 为A与B的夹角
若B为单位矢量，A B为A在B方向的投影。
其大小为
dA dt
dAx dt
2
dAy dt
2
dAz dt
2
矢量函数求导法则
(设A与B均为t的函数)
(1)
d
(A B)
dA
dB
dt
dt dt
(2)
d
[ f (t)B]
B
df
f (t) dB
矢量加法满足：
交换律：A B B A
结合律：A
(B
C)
(A
B)
C
式中各个矢量均相对同一个参照系
(2) 数乘
大小
A
C方向
C A
0 0
C平行于A
C平行于 A
三、矢量的分解 任一个矢量都可以分解为任意多个分矢 量如：
dt
dt
dt
(3)
d
(A B)
A
矢量分析总结
2 f 2 f 2 f f f (ex e y e z ) (e x e y ez ) f 2 2 2 x y z x y z x y z
有一种情况例外：微分操作只对它右边的表达式发生作
• 直角坐标系中的计算公式：
A B Ax Bx Ay B y Az Bz
矢量乘法
（2）叉乘（矢积）（洛伦兹力）
C A B ＝> C AB sin ，
方向满足右手定则。(ex ,ey ,ez ,ex ,ey) • A⊥B 时有最大模值。
• •
A∥B A B 0 。 直角坐标系中的计算公式：
螺线管线圈磁力线
矢量的面积分、通量
（2）矢量场的面积分、通量
① 面积元 dS
面积元
② 通量：矢量的面积分
称作矢量 A 穿过曲面 S 的通量。例：
B dS
S
I J dS
S
通量
通量与散度
（3）高斯散度定理、散度
① 回忆高等数学中的高斯公式：
P Q R V ( x y z )dV S Pdydz Qdzdx Rdxdy
dx d y dS x ex dydz
y
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
• 圆柱坐标系
坐标变量 坐标单位矢量
, , z
e , e , ez
位置矢量
线元矢量
r e e z z
dl e d e d ez dz
圆柱坐标系
面元矢量 dS e ddz e ddz ez dd 体积元
⑥ 法向单位矢量与切向单位矢量：en，et
矢量代数的基本知识
r, r , v, a
17
二、质点曲线运动的角量描述
1.角坐标 在转动平面内，过O点作一极轴， 设极轴的正方向是水平向右。 连接OP，则OP与极轴之间的夹角为。 角称为角坐标（或角位置）。
O
P
x
规定：从ox轴逆时针到达P点的矢径，角坐标为正值。 = （t），叫做转动方程。
v
1.平均角加速度 t 2.角加速度 lim t 0 t
描写角速度变化快慢和方向的物理量。
r
O
x
z
方向：角速度变化 的方向。
19
三、应用 例：水平直轨道上有一辆小车，轨道O点正上方有一 绞车，绞车转动，牵引绳缠绕在小车上，拉着小车在 轨道上移动，问当牵引绳与水平方向夹角为时，小 车移动速度多大？设已知绞车收绳速度为v0。 解法1：收绳速度v0在水平方向的 投影v１就是小车移动的速度，
2.角位移
描写质点位置变化的物理量。
18
角位移: 2 1
3.角速度
方向：满足右手定则， ２.角速度 lim t 0 t y 线速度与角速度的关系： v r ω
4.角加速度
R
描写质点转动快慢和方向的物理量。 1.平均角速度 t
12
在运动方程中，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。
2.位移
描写质点位置变化的物理量。
z
P(x, y, z)
AB位移： Δr r (t Δt) r (t)
大小为PQ的距离,方向从P指向Q。 在直角坐标系中：
o
r (t )
r
Q
r ( t t )
y
矢量运算法则
03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的 尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢 量 减 法 的 应 用 实 例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的 应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的 余弦
矢量运算法则
例2： 设
r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
(，R其,中,)均为 ,
h1 1, h2 R, h3 R sin
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量
不一(定u1都, u是2 ,长u度3 )，其线元必然
有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数
，就
可正确写出其线元、面元和体元。
h1, h2 , h3
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu 2
h3u3
aˆu3
五、矢量场的散度
1. 矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线
方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称
+
-
为矢线。
2. 通量：
h BC
A C
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
数理方法知识点总结
数理方法知识点总结数理方法是一种研究数学和物理间相互联系的方法。
它将数学与物理相结合，通过数学方法分析物理问题，解决物理现象中的数学问题。
数理方法在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着重要的应用。
本文将对数理方法的相关知识点进行总结。
一、微积分微积分是数学中的一个重要分支，它是研究变化的数学工具。
微积分的基本概念包括导数和积分。
导数描述了函数在某一点的变化率，而积分则描述了函数在一段区间内的累积效应。
微积分在物理学中有着广泛的应用，比如描述物体的位移、速度和加速度等。
二、线性代数线性代数是数学的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换。
线性代数在物理学中也有着广泛的应用，比如描述物体的运动、力的平衡和物体的形变等。
线性代数的基本概念包括矩阵、向量和线性方程组等。
三、微分方程微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了变化率和率加速度相关的问题。
微分方程在物理学中有着广泛的应用，比如描述物体的运动、力的平衡和物体的形变等。
微分方程的基本概念包括常微分方程和偏微分方程等。
四、概率论和统计学概率论和统计学是数学的一个重要分支，它研究的是不确定性和随机性的问题。
概率论和统计学在物理学中有着广泛的应用，比如描述随机过程和随机变量等。
概率论和统计学的基本概念包括随机变量、概率分布和统计推断等。
五、复变函数复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是变量为复数的函数。
复变函数在物理学中有着广泛的应用，比如描述电磁场和波动等。
复变函数的基本概念包括复数、复变函数和解析函数等。
六、数值计算方法数值计算方法是数学中的一个重要分支，它研究的是用计算机进行数学计算的方法。
数值计算方法在物理学中有着广泛的应用，比如解决微分方程和积分方程等。
数值计算方法的基本概念包括插值、逼近和数值线性代数等。
七、离散数学离散数学是数学中的一个重要分支，它研究的是离散的数学结构和离散的数学问题。
离散数学在物理学中有着广泛的应用，比如描述离散的物理系统和随机过程等。
矢量空间的概念
矢量空间的概念矢量空间是线性代数中的一个重要概念，它是指一种数学结构，其基础是由一组向量所组成的集合，集合中的向量在满足一定的运算规则下，可以进行加法和数乘操作，与此同时，这些向量还需要满足一定的公理条件。
通常，矢量空间被广泛应用于几何、物理、计算机科学等多个领域，本文将从多个方面为读者详细介绍矢量空间的概念和相关理论。
一、矢量空间的基础概念1.1 向量向量是矢量空间的基础要素，它是可以进行加法和数乘操作的量。
向量的一个重要性质是可以表示为在坐标轴上的有向线段，也可以看作是一组有序的数值。
在矢量空间中，向量通常用小写字母加粗表示，例如\textbf{u}，\textbf{v}。
1.2 数域数域是定义在矢量空间上的一组数集合，用以表示数乘运算中可取的数值范围。
可以是实数域R 或复数域C。
在本文中我们以实数域R 为例说明相关问题。
1.3 线性组合线性组合指用数域中的数值，与矢量空间中的向量进行相应的加法和数乘操作。
例如：假设有两个向量\textbf{u} 和\textbf{v}，那么它们的线性组合可以表示为：a\textbf{u} + b\textbf{v}，其中a 和b 是实数。
这个表达式被称为线性组合的系数，当a 和b 都等于0时，这个线性组合也被称为零向量。
1.4 线性无关与线性相关在矢量空间中，如果一个向量不能用另一个向量的线性组合表示，那么我们称这两个向量是线性无关的。
如果有一个向量能够表示为另一个向量的线性组合，那么这个向量就是线性相关的。
例如：假设有两个向量\textbf{u} 和\textbf{v}，当且仅当它们的线性关系满足ax+by=0 时，这两个向量就是线性相关的。
在这里，a 和b 是实数。
1.5 基向量基向量是矢量空间中的基础向量，它们是可以组成空间中所有向量的最小单位，也就是基础组件。
在平面直角坐标系中，通常选择两个标准的单位向量（基向量）\textbf{i}=[1,0] 和\textbf{j}=[0,1]，因为用这两个基向量可以表示平面直角坐标系中任意点的坐标。
第1章 矢量分析
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章 矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx
四维空间的法向量-概述说明以及解释
四维空间的法向量-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述四维空间是一种数学概念，它拥有四个坐标轴来描述物体的位置和方向。
与我们熟悉的三维空间相比，四维空间在理论上更加复杂，但却有着许多有趣的性质和应用。
在四维空间中，我们可以使用一个四元组(x, y, z, w)来表示一个点的位置。
其中的前三个坐标(x, y, z)与三维空间类似，而第四个坐标w则代表了第四个维度的值。
通过引入第四个维度，我们可以更加全面地描述物体的性质和运动。
在四维空间中，我们也可以定义向量。
与三维空间类似，向量在四维空间中仍然具有方向和大小。
然而，由于多了一个维度，四维空间中的向量需要用四个分量(x, y, z, w)来表示。
这些分量可以分别表示向量在各个维度上的投影。
在研究四维空间中的法向量时，我们需要考虑法向量在所有四个维度上的投影。
与三维空间中的法向量类似，四维空间中的法向量垂直于给定曲面或物体，并指向曲面或物体的外部。
通过计算法向量，我们可以获得曲面或物体在四维空间中的几何性质和特征。
四维空间的法向量在许多领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，法向量可以用于描述电磁场或引力场的特性，从而帮助解释和预测相关现象。
在计算机图形学中，法向量可以用于光照和渲染算法，以增强图像的真实感和细节。
在机器学习和数据分析领域，法向量可以用于聚类和分类算法，用于发现数据集中的模式和结构。
总而言之，四维空间的法向量是一个重要且有趣的数学概念。
通过研究和理解法向量在四维空间中的性质和应用，我们可以更深入地认识这个复杂而神奇的世界。
在接下来的文章中，我们将探索四维空间的法向量的更多细节和应用。
文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
1. 引言：1.1 概述：介绍四维空间的概念和基本特征。
解释四维空间相对于三维空间的扩展，以及其在现实世界中的应用。
1.2 文章结构：本部分（即文章结构部分）详细介绍了全文的整体构架，包括正文的各个要点和结论的总结。
矢量运算公式大全
矢量运算公式大全一、矢量加法。
1. 平行四边形法则。
- 对于两个矢量→A和→B，以这两个矢量为邻边作平行四边形，那么它们的合矢量→C=→A+→B就是平行四边形的对角线（以→A和→B的起点为共同起点的那条对角线）。
- 设→A=(A_x,A_y)，→B=(B_x,B_y)，则→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y +B_y)（在直角坐标系下）。
2. 三角形法则。
- 把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点的矢量就是这两个矢量的和矢量。
即→C=→A+→B，先画→A，再从→A的终点开始画→B，→C就是从→A的起点指向→B的终点的矢量。
- 在空间直角坐标系中，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，那么→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y + B_y,A_z + B_z)。
二、矢量减法。
1. 定义。
- 矢量减法是矢量加法的逆运算，→A-→B=→A+(-→B)，其中-→B是→B的反矢量，其大小与→B相同，方向相反。
2. 三角形法则。
- 同样可以用三角形法则来计算矢量减法。
把→A和-→B首尾相接，从-→B 的起点指向→A的终点的矢量就是→A-→B。
- 在直角坐标系下，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，则→A-→B=(A_x - B_x,A_y - B_y,A_z - B_z)。
三、矢量的数乘。
1. 定义。
- 设→A是一个矢量，k是一个实数（标量），则k→A是一个矢量，其大小| k→A|=| k||→A|。
- 当k>0时，k→A与→A方向相同；当k < 0时，k→A与→A方向相反；当k = 0时，k→A=→0。
2. 在直角坐标系中的表示。
- 如果→A=(A_x,A_y,A_z)，那么k→A=(kA_x,kA_y,kA_z)。
四、矢量的点积（数量积）1. 定义。
- 对于两个矢量→A和→B，它们的点积→A·→B=|→A||→B|cosθ，其中θ是→A和→B之间的夹角(0≤slantθ≤slantπ)。
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数理方法-IV 物理学中的矢量空间-II
Feynkin(1545644829) 2020/3/27 14:50:15
午啊~
phybi(41438252) 15:01:46
既然大家都无聊我发报告了
phybi(41438252) 15:01:52
——其实就是贴书
phybi(41438252) 15:02:27
数理方法-IV 物理学中的矢量空间-II
1. 幺正变换和正交变换
phybi(41438252) 15:04:45
现在我们引入另一类重要的线性变换
phybi(41438252) 15:05:02
phybi(41438252) 15:06:10
等距变换难道不就是幺正变换吗？
phybi(41438252) 15:07:10
phybi(41438252) 15:07:21
确实不等价后面那个条件确实不平凡.
phybi(41438252) 15:07:58
phybi(41438252) 15:08:32 必须是有限维.
phybi(41438252) 15:08:58
phybi(41438252) 15:09:03 证明略.
phybi(41438252) 15:09:38
phybi(41438252) 15:09:52
phybi(41438252) 15:10:14
phybi(41438252) 15:10:50
phybi(41438252) 15:11:23
phybi(41438252) 15:11:30
phybi(41438252) 15:11:51
phybi(41438252) 15:14:10
phybi(41438252) 15:14:47
phybi(41438252) 15:15:25
phybi(41438252) 15:15:38
phybi(41438252) 15:16:02
2.厄米和等距变换的本征问题
phybi(41438252) 15:17:31
phybi(41438252) 15:17:49
phybi(41438252) 15:18:13
phybi(41438252) 15:18:36
phybi(41438252) 15:18:59
现在我们证明关于变换谱特性的核心定理phybi(41438252) 15:19:40
phybi(41438252) 15:19:57
证明略.
phybi(41438252) 15:21:56
phybi(41438252) 15:22:35
简并的时候也能正交化程序变换成为K个本征矢量的正交集. phybi(41438252) 15:23:21
phybi(41438252) 15:23:37
我们将在下一节中证明这个结论.
phybi(41438252) 15:23:52
现在考察上述定理的应用.
phybi(41438252) 15:24:07
phybi(41438252) 15:24:39
phybi(41438252) 15:25:03
phybi(41438252) 15:25:14
phybi(41438252) 15:25:37
phybi(41438252) 15:25:51
phybi(41438252) 15:26:25
phybi(41438252) 15:26:36
phybi(41438252) 15:26:50
phybi(41438252) 15:27:41
phybi(41438252) 15:28:02 对洛伦兹矩阵我们令：
phybi(41438252) 15:28:21
phybi(41438252) 15:28:37
phybi(41438252) 15:29:11 矩阵L变成：
phybi(41438252) 15:29:49
phybi(41438252) 15:30:06
phybi(41438252) 15:31:07
phybi(41438252) 15:31:47
phybi(41438252) 15:32:39
但是R是幺正的L不是. phybi(41438252) 15:34:06
因此L是厄米矩阵.
phybi(41438252) 15:34:24
phybi(41438252) 15:34:40
phybi(41438252) 15:35:22
phybi(41438252) 15:35:48
phybi(41438252) 15:37:56
phybi(41438252) 15:38:04
phybi(41438252) 15:38:15
phybi(41438252) 15:38:26
phybi(41438252) 15:38:32
phybi(41438252) 15:38:44 它是对称的：
phybi(41438252) 15:39:01 它还是齐次的：
phybi(41438252) 15:39:16
phybi(41438252) 15:40:20
phybi(41438252) 15:40:41
phybi(41438252) 15:40:57
phybi(41438252) 15:43:40
phybi(41438252) 15:43:55
phybi(41438252) 15:44:23
A的正规性意味着：
phybi(41438252) 15:45:30
正规意味着A+和A对易？
phybi(41438252) 15:45:58
phybi(41438252) 15:46:14
phybi(41438252) 15:46:50
任何矩阵A都可以分解为自伴矩阵和反自伴矩阵之和
phybi(41438252) 15:46:57
phybi(41438252) 15:47:11 也可以分解为：
phybi(41438252) 15:47:26
phybi(41438252) 15:48:07
phybi(41438252) 15:48:48 10min
3. 对角化
phybi(41438252) 15:50:41
phybi(41438252) 15:50:54
phybi(41438252) 15:51:15
phybi(41438252) 15:52:00
phybi(41438252) 15:52:47
phybi(41438252) 15:54:09 今日第一场到此.
phybi(41438252) 15:54:15 谢谢著者
phybi(41438252) 15:54:17 谢谢各位.
phybi(41438252) 15:54:18 end.。