随机信号分析-电子科技大学电工学院
电子科技大学随机信号分析课件 第2章 随机信号
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自相关函数描述的是随机信号任意两个时刻 的状态之间的内在联系。
R(t1 , t2 ) E X (t1 ) X (t2 )
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1, t2 )dx1dx2
4、自协方差函数和相关系数函数 自协方差函数是随机信号任意两个时刻的随机 变量的二阶混合中心矩。反映了任意两时刻 的起伏值之间的相关程度。
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基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t ) 在任意 t T 时刻的取值 X (t ) 是一维随机变量。概率 PX (t ) x 是取值 x ，时 刻 t 的函数，记做
F ( x; t ) PX (t ) x
称为随机信号 X (t ) 的一维概率分布函数。 若有F ( x; t ) 偏导数存在，则有
p 0.5 p 0.5
p 0.5 p 0.5
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 0.25 ( x1 cos(500 t1 ), x2 cos(500 t2 ))
0.25 ( x1 cos(500 t1 ), x2 sin(500 t2 ))
物理意义：描述了所有样 本函数在各个时刻的摆动 中心。
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2、均方值函数和方差函数 随机信号X(t)在任一时刻t的取值是一个随 机变量X(t)。 X(t)的二阶原点矩称为随机信号 的均方值函数；二阶中心矩称为随机信号的方 差函数。
2 X (t ) VarX (t ) E( X (t ) X (t ))2
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基本数字特征
随机变量的矩函数是确定值；随机信号的矩函 数是确定性时间函数。
电子科技大学2007年随机信号分析试题A与标准答案
（1） X (t) 是广义循环平稳随机信号，并求出 X (t) 的循环周期。
（2）当
Θ
~
U
0
,
π ω
条件时，
Y
(t
)
是广义平稳随机信号。
（10 分）
解：
= mX (t) E= [ X (t)] E[ Aco sωt] = E[ A]cosωt =0
RX (t = +τ ,t) E[ Acosω(t +τ ) Acosωt] = E[ A2 ]cosω(t +τ ) cosωt
=0
RZ (t +τ ,t)= E [Z (t +τ )Z (t)]
∑ ∑ = = E mN
1
N
( X m cosωm (t +τ ) + Ym sinωm (t +τ ))
=n 1
(
X
n
cos
ωnt
+
Yn
sin
ωnt
)
∑ ∑ =
N =m
1
N =n 1
+
E E
( (
X X
m X n ) cosωm (t + τ ) cosωnt + E mYn ) cosωm (t +τ ) sinωnt + E (
= RX (τ ) cos(ω0t + ω0τ ) cos(ω0t) + RXY (τ ) cos(ω0t + ω0τ ) sin(ω0t) + RYX (τ ) sin(ω0t + ω0τ ) cos(ω0t) + RY (τ ) sin(ω0t + ω0τ ) sin(ω0t)
电子科大随机信号分析CH1概率论基础
3,4，5，6,1，2，3，4,5, ，2，3，4,5,6,
概率 P A k , k为事件A包含的样本点数
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2. 条件概率
条件事件： B A 事件A发生条件下的事件B
条件概率（Conditional probability），
PB
A
P AB P A
, P A 0
随机信号分析
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与同学们共勉
我命在我，不在天地。 天助自助者。 主动还是被动是成功与失败的关键。 梅花香自苦寒来。 听好每堂课，课后研读教材，做好每次作业。 学会读书，读专业书，读文学作品（修身养性， 学会自信）
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课程简介
课程性质： 专业基础课 课程基础：《概率论》、《信号与系统》 后续课程：《通信原理》及从事统计信号处理研究 成绩考核：平时作业＋期中考试＋期末考试
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✓ 事件概率的基本性质
1 P = 0 2 0 P A 1 3 如果 A B , P A P B 4 P AB P A P A B
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例1.1 分析掷均匀硬币问题。 解： H---正面，T---反面。因此，
（1）样本空间： H ,T
c. 可重复性
✓ 样本点 （ Sample Point ）
把随机实验 E 的每一个基本可能结果称为随机实验的 样本点，记为ξ 。
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✓ 样本空间 （Sample Space ）
随机实验的全部样本点构成的集合，称为随机实验的 样本空间，记为 Ω
✓ 随机事件（ Ra HTH , HTT ,THH ,THT ,TTH}
随机信号分析第一章2010
F XY ( x , y ) FY ( y | x ) = FX ( x ) p XY ( x , y ) pY ( y | x ) = p X ( x)
n维随机变量及其分布 维随机变量及其分布
定义 n维随机变量 ( X 维随机变量
1
, X
2
,L , X
n
)
的n维（联合）分布函数为 维 联合）分布函数为
+∞ −∞
p(x) ≥ 0
性质2 概率密度函数在整个取值区间积分为1 性质2：概率密度函数在整个取值区间积分为1，即
∫
p ( x ) dx = 1
x2 x1
性质3：概率密度函数在(x 区间积分， 性质 ：概率密度函数在(x1,x2)区间积分，得到该区 间的取值概率
P { x1 < X ≤ x 2 } =
1.1随机变量的概念 § 1.1随机变量的概念
抛硬币：可能出现正面或反面； 例1 抛硬币：可能出现正面或反面； 从一批产品中任取10件 例2 从一批产品中任取 件，抽到 的废品数可能是0,1,2,…,10中的一 的废品数可能是 中的一 个数； 个数； 掷色子：可能出现1,2,3,4,5,6点 例3 掷色子：可能出现 点
F XY ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y }
(x,y)的二维联合概率密度，简称为二维概率密度 的二维联合概率密度，简称为二维概率密度 二维概率密度: 的二维联合概率密度
p XY
性质1： 性质 ：
∂ F XY ( x , y ) ( x, y) = ∂x∂y
2
二维概率密度具有以下性质： 二维概率密度具有以下性质：
F ( x1 , x 2 ,L , x n ) = P{ X
电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
2.1 掷一枚硬币定义一个随机过程：cos ()2t X t tπ⎧=⎨⎩出现正面出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。
试求：（1）()X t 的一维分布函数(,12)X F x ，(,1)X F x ；（2）()X t 的二维分布函数12(,;12,1)X F x x ；（3）画出上述分布函数的图形。
2.3 解：（1）一维分布为: ()()(;0.5)0.50.51X F x u x u x =+-()()(;1)0.510.52X F x u x u x =++-(2) cos ()2t X t t π⎧=⎨⎩出现正面出现反面{}{}(0.5)0,(1)1,0.5(0.5)1,(1)2,0.5X X X X ==-==依概率发生依概率发生 二维分布函数为()()121212(,;0.5,1)0.5,10.51,2F x x u x x u x x =++--2.2 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。
试问，（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4解：解：（1）{}()()()()101111021310.80.20.80.80.1024P P B n P B n P B n P B n ⎡⎤⎣⎦==⋅+=⋅+=⋅+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⨯⨯⨯=（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有：串（4bit 数据）为：∑=+=30)(2)(k k k n B n X ，其矩特性为：因为随机变量)(n B 的矩为：均值：8.08.012.00)]([=⨯+⨯=n B E方差：[]()(){}222222()00.210.80.80.80.80.16Var B n B n B n ⎡⎤=E -E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⨯+⨯-=-=所以随机变量)(n X 的矩为：均值：[]303300[()]2()2()20.812k k k kk k E X n E B n k E B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑方差：()[]3033200[()]2()2()40.1613.6k k k k k k D X n D B n k D B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：()()()(){}{},1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ⎡⎤E +++=⎣⎦串方差：()()()(){}{},1,2,30.16,0.16,0.16,0.16Var B n B n B n B n ⎡⎤+++⎣⎦= （3）概率达到最大的串为{}1,1,1,1（4）该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。
电子科技大学随机信号分析中期考题2006随机(A)
1.设随机过程21)(cos )(2-Θ+=t t X ω，Θ 是随机变量，其特征函数为)(υφΘ。
证明：)(t X 是广义平稳随机过程的充要条件是0)4()2(==ΘΘφφ。
证明：（1）)(t X 的均值为：()21()[()][cos ()]2111[1cos 2()][cos(22)]22211cos(2)[cos(2)]sin(2)[sin(2)]22X m t E X t E t E t E t t E t E ωωωωω==+Θ-=++Θ-=+Θ=Θ-Θ由上式可知，当且仅当0)]2sin()2[cos(][)2(2=Θ+Θ==ΘΘj E e E j φ时，()0X m t =，才与t 无关。
（2）)(t X 的相关函数为：22(,)[()()]11[(cos ())(cos ())]2211[cos(222)cos(22)]22[cos(2)][cos(424)]811cos(2)cos(42)[cos(4)]881sin(42)][sin(4)]8X R t t E X t X t E t t E t t E E t t E t E ττωωτωωωτωωτωωτωτωωτωωτ+=+=++Θ-+Θ-=++Θ⨯+Θ+++Θ==++Θ-+Θ同理可得，当且仅当0)]4sin()4[cos(][)4(4=Θ+Θ==ΘΘj E eE j φ时，)cos(21),(ωττ=+t t R X 与t 无关。
2.设随机过程)sin()(0Θ+Ω=t A t X ，其中0A 为常数，ΘΩ和为相互独立的随机变量，Ω在]2010[ππ内均匀分布，Θ在]20[π内均匀分布。
证明：（1） )(t X 是广义平稳随机信号；（2） )(t X 的均值是各态历经的。
解： （1）00000[()][sin()][sin()cos()cos()sin())][sin()][cos()][cos()][sin())]0E X t E A t E A t A t A E t E A E t E =Ω+Θ=ΩΘ+ΩΘ=ΩΘ+ΩΘ= 202020(,)[()()][sin()sin()]cos()cos(22)2cos()2X R t t E X t X t A E t t t A E A E ττττττ+=+=Ω+Ω+ΘΩ+ΘΩ-Ω+Ω+Θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以)(t X 是广义平稳随机信号 （2）[]00000001[()][sin()]lim sin()lim sin()lim cos()|0TT T T T T A X t A A t A t dtT A A t d t t T T →+∞→+∞→+∞=Ω+Θ=Ω+Θ=Ω+ΘΩ=-Ω+Θ=ΩΩ⎰⎰时间平均等于统计平均，所以)(t X 的均值是各态历经的。
电子科技大学2009年随机信号分析试题A与标准答案
（1） 试判断 X ( t ) 和 Y ( t ) 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关 性及正交性； （2） 试判断 X ( t ) 和 Y ( t ) 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于 X ( t ) 和 Y( t ) 包含同一随机变量 θ ，因此非独立。 根据题意有
f (θ ) = 1 2π
π
−π
1 1 = cos[ w0 ( t1 − t2 )] cos( w0τ ) 2 2
同理可得 RY ( t1 ,t2 ) = RX ( t1 ,t2 ) ，因此 X ( t ) 和 Y( t ) 均广义平稳。
,t2 ) C XY ( t1= ,t2 ) 由于 RXY ( t1= 1 1 sin [w0 ( t1 − = t2 )] sin (w0τ ) ，因此 X ( t ) 和 2 2
。
π
−π
E[ X ( t )] E [sin(ω = = 0 t + Θ) ]
E[Y( t )] E [ cos(ω = = 0 t + Θ) ]
π
∫
1 sin( w0= t + θ )dθ 0 ， 2π
−π
∫
1 cos( w0= t + θ )dθ 0 2π
C XY ( t1 ,t2 ) = RXY ( t1 ,t2 ) = E[ X ( t1 )Y( t2 )] = E[sin (w0t1 + θ )co s( w0t2 + θ )]
1 1 1 1 − τ 1 −3 τ = P R(0)= += R (τ )= e + e ，所以 4 12 3 4 12
1 ∞ 1 10 20 P S ( ) d 2 d = = = ω ω ω （3） 可以。 2π ∫−∞ 2π ∫−10 π
电子科大随机信号分析随机期末试题答案完整版
电子科大随机信号分析随机期末试题答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。
（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。
(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。
(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示：2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω=当34t πω=时，3()42X πω=-，随机过程的一维概率密度函数为：3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。
（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。
(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。
(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分)解：1.两个随机信号的互相关函数其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。
又故两个随机信号互不相关，又因为故两个随机信号不独立。
3.两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。
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%zxt 同相分量 Ac
Aszxt=-1*Zxt.*sin(2*pi*1000*t)+hilbert(Zxt).*cos(2*pi*1000*t); %zxt 正交分量 As
%zyt 同相分量 Ac
Aszyt=-1*Zyt.*sin(2*pi*1000*t)+hilbert(Zyt).*cos(2*pi*1000*t); %zyt 正交分量 As
4 Zx(t) 和 Zy(t) 的功率谱密度：
4
5 Zx(t) 和 Zy(t)的同相分量和正交分量的功率谱密度：
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附：程序代码：
fs=10000;N=10000; n=0:N-1;t=n/fs; f=n*fs/N; figure(1) plot(t,b); xlabel('t');ylabel('a(t)');title('a(t)');%绘出 a（t）的时域波形 at=cos(2*pi*1000*t);%产生 1000hz 正弦载波 x=at.*b;%调制 figure(2) plot(t,x); xlabel('t');ylabel('x(t)');title('x(t)');%绘出 x（t）的时域波形 yt=awgn(x,22);%叠加高斯白噪声 figure(3) plot(t,yt); xlabel('t');ylabel('y(t)');title('y(t)');%绘出 y（t）的时域波形 Zxt=x+i*hilbert(x);%希尔伯特变换 figure(4) subplot(2,1,1),plot(t,Zxt); xlabel('t');ylabel('Zx(t)');title('Zx(t)'); Zyt=yt+i*hilbert(yt);% 希尔伯特变换 subplot(2,1,2),plot(t,Zyt); xlabel('t');ylabel('Zy(t)');title('Zy(t)'); %计算 Zx(t) 和 Zy(t)功率谱密度并绘图 cZx=xcorr(Zxt,'unbiased'); %计算序列的自相关函数 CX=fft(cZx,N); PZx=abs(CX); plot_PZx=10*log10(PZx); figure(5) subplot(2,1,1),plot(f,plot_PZx); xlabel('f/HZ');;title('Szx(jw)');%绘出 Zx(t)功率谱密度 cZy=xcorr(Zyt,'unbiased');
二：仿真过程与分析 (matlab 程序附在最后)
1． 1 仿真一个单频信号 a(t)=sin(2*pi*1t) 如下图：
2
1.2 进行调制 x(t)=a(t)cos(2*pi*1000t)
2 叠加噪声：y(t)=x(t)+e(t)
3
3 变成解析信号： Zx(t)=x(t)+jx^(t); Zy(t)=y(t)+jy^(t); 其时域波形如下：
随机信号分析 课程设计报告
姓名： 学号： 课程名称： 指导教师：
甘雨 2013110903017 随机信号分析 魏平
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一：设计要求：
调用MATLAB函数，进行适当编程，完成： （1）任意仿真一个低通信号或者低频单频信号a (t ), 进行调制：x(t ) a (t ) cos 0t，其中的参数自定。 （2）仿真一个高斯白噪声e(t ),设置不同的信号和噪声功率比， 然后相加: y (t ) x(t ) e(t )，其中的参数自定。 （3）将x (t )和y (t )变成解析信号 ˆ (t )；z y (t ) y (t ) y ˆ (t ) z x (t ) x (t ) x （4）计算并画出z x (t )和z y (t )的波形 （5）计算并画出z x (t )和z y (t )的功率谱密度 （6）计算并画出z x (t )和z y (t )的同相分量和正交分量的功率谱密度
6
%采样频率和数据点数 %时间序列
%频率列
b=sin(2*pi*1*t); %产生 1HZ 单频正弦信号
CY=fft(cZy,N); PZy=abs(CY); plot_PZy=10*log10(PZy); subplot(2,1,2),plot(f,plot_PZy); xlabel('f/HZ');;title('Szy(jw)');%绘出 Zy(t) 功率谱密度 %计算同相分量和正交分量的功率谱 Aczxt=Zxt.*cos(2*pi*1000*t)+hilbert(Zxt).*sin(2*pi*1000*t); cAczx=xcorr(Aczxt,'unbiased'); %计算自相关函数 CX1=fft(cAczx,N); PAczx=abs(CX1); plot_PAczx=10*log10(PAczx);%同相分量正交功率谱 figure(6) subplot(2,1,1),plot(f,plot_PAczx); xlabel('f/HZ');;title('SAczx(jw)');% 绘出 Zx(t) 功率谱密度 SAc(jw) cAszx=xcorr(Aszxt,'unbiased'); % 计算自相关函数 CX2=fft(cAszx,N); PAszx=abs(CX2); plot_PAszx=10*log10(PAszx);%同相分量正交功率谱 subplot(2,1,2),plot(f,plot_PAszx); xlabel('f/HZ');;title('SAszx(jw)');%绘出 Zx(t)功率谱密度 SAs(jw) Aczyt=Zyt.*cos(2*pi*1000*t)+hilbert(Zyt).*sin(2*pi*1000*t); cAczy=xcorr(Aczyt,'unbiased'); %计算自相关函数 CY1=fft(cAczy,N); PAczy=abs(CY1); plot_PAczy=10*log10(PAczy);%同相分量正交功率谱 figure(7) subplot(2,1,1),plot(f,plot_PAczy); xlabel('f/HZ');;title('SAczy(jw)');%绘出 Zy(t)功率谱密度 SAc(jw) cAszy=xcorr(Aszyt,'unbiased'); %计算自相关函数 CY2=fft(cAszy,N); PAszy=abs(CY2); plot_PAszy=10*log10(PAszy);%同相分量正交功率谱 subplot(2,1,2),plot(f,plot_PAszy);
xlabel('f/HZ');;title('SAszy(jw)');% 绘出 Zy(t) 功率谱密度 SAs(jw)
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