电子科技大学数值分析研究生期末考试习题二
电子科技大学研究生算法设计与分析拟考题及答案评分细则 (2)
一、Please answer T or F for each of the following statements to indicate whether thestatement is true or false1. An algorithm is an instance, or concrete representation, for a computer programin some programming language. ( F )2. The following problem is a Decision Problem: What is the value of a bestpossible solution? ( F )3. The dynamic programming method can not solve a problem in polynomial time.( F)4. Assume that there is a polynomial reduction from problem A to problem B. Ifwe can prove that A is NP-hard, then we know that B is NP-hard. ( F )5. If one can give a polynomial-time algorithm for a problem in NP, then all theproblems NP can be solved in polynomial time. ( F )6. In an undirected graph, the minimum cut between any two vertices a and b isunique. ( F)7. Linear programming can be solved in polynomial time, but integer linearprogramming can not be solved in polynomial time. ( T )8. We can solve the maximum independent set problem in a graph with at most100 vertices in polynomial time. ( T ) 结论9. If an algorithm solves a problem of size n by dividing it into two subproblems ofsize n/2, recursively solving each subproblems, and then combine the solutions in linear time. Then the algorithm runs in O(n log n) time. ( T )10. Neural Computation, Fuzzy Computation and Evolution Computing are thethree research fields of Computational Intelligence. ( T )二、Given the following seven functions f1(n) = n5+ 10n4, f2(n) = n2+ 3n, f3(n) =f4(n) = log n + (2log n)3, f5(n) = 2n+n!+ 5e n, f6(n) = 3log(2n) + 5log n, f7(n) = 2n log n+log n n. Please answer the questions:第 1 页共5 页(a) Give the tight asymptotic growth rate (asymptotic expression with θ) to eachof them; (7分)(b) Arrange them in ascending order of asymptotic growth rate。
2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷
2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时）课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写）1．把方程22222320u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂化为标准型，指出其类型，求出其通解. (10分)2.设定解问题：(10分)2000(),0,0,,0(),(),0.tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ϕψ====⎧-=<<>⎪⎪==>⎨⎪==≤≤⎪⎩将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。
学 号 姓 学 院 教 座位……………………密……………封……………线……………以……………第 1页3．长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ϕ，求杆内温度分布(,)u x t .(20分)4．求下面的定解问题：（10分）22009,(,0)18,sin 18tttxx t t t u u x e x R t u x x u x ==⎧-=∈>⎪⎨=++=+⎪⎩.第2页5．求22cos()a e x d ϖτϖϖ+∞-⎰.（10分）6． 22223()(22)(25)s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1(())L F s -.（10分）第3页7．写出球形域的Dirichlets 问题对应的：(1) Green 函数及其定解问题. (2) Green 函数相对于边界外侧的方向导数.（10分）8．设n ϖ(n=1,2,…)是0()0J x =的所有正根，将函数2()1(01)f x x x =-<<展开为Bessel 函数0()n J x ϖ的级数.（10分）9．（1）写出Legendre 多项式的一般形式或罗德利克表示形式； （2）将函数2()23,1f x x x x =++≤用Legendre 多项式展开.（10分）第4页。
电子科技大学2016数值分析研究生期末考试
《数值分析》复习题
Ex1.证明方程 1 – x – sin x = 0 在区间[0，1]上有一 根。使用二分法求误差不大于0.5×10-4的根需二分 多少次？
Ex2. 对于二元方程G(x，y)=0，已知（x0，y0）满 足方程。如果在点x0附近有函数y =y(x)，则根据隐 函数存在定理，对于接近于x0的自变量x，试构造 牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。
初值问题?
15/15
第五章 思考题 1. 代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的 2. 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？ 3. Runge反例主要说明一个什么样的问题？ 第六章 思考题
1. 多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数 有何特点？
2. 曲线拟合的最小二乘法有何特点？ 3. 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？
Ex 27 将积分上限函数
f ( x) exp( x2 ) x exp( t 2 )dt 0
转化为常微分方程初值问题。并确定一种可求解的二 阶方法
11/15
第一章 思考题
1.在科学计算中，一般误差的来源有几种？列出部分 数值分析课中主要讨论误差。
2.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述 3.什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例
Ex 18.已知实验数据如下： x1 2 3 4
y 10 30 50 80
求二次多项式拟合函数P(x) = a + b x2 Ex 19 利用数据表 t –2 –1 0 1 2
y yk-2 yk-1 yk
yk+1 yk+2
数值分析试题及答案
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差r i＝ (b i-a i1x1-a i2x2-…-a in x n)/a ii，(i=0,1,…,n)。
电子科技大学图论05-18年研究生考试
则由 v 2 到 v5 的途径长度为 2 的条数为 _________ 。 6 、 若 K n 为 欧 拉 图 ， 则 n= _________ ； 若 K n 仅 存 在 欧 拉 迹而 不 存 在 欧 拉 回 路 ，则 n= _________ 。 7、无向完全图 K n (n 为奇数)，共有 _________ 条没有公共边的哈密尔顿圈。 8 、设 G 是具 有二 分类 ( X , Y ) 的偶 图， 则 G 包含 饱和 X 的每 个顶 点的 匹配 当且 仅当
(A) (54221)
(B) (6654332)
(C) (332222)
（2）已知图 G 有 13 条边，2 个 5 度顶点，4 个 3 度顶点，其余顶点的的度数为 2，则图 G 有( A )个 2 度点。
(A) 2 ( B) 4 (C ) 8 (3) 图 G 如(a)所示，与 G 同构的图是( C )
vV ( G )
d (v) 6n 6n 12 m 3n 6, 这与 G 是简单连通平
面图矛盾。 六、证明：(1) 若 G 恰有两个奇度点 u 与 v，则 u 与 v 必连通； (2) 一棵树至多只有一个完美匹配 (10 分). 证明；(1) 因为任意一个图的奇度点个数必然为偶数个，若 G 恰有两个奇度点 u 与 v，且它们不连通，那么就会得出一个连通图只有一个奇度点的矛盾结论。所 以若 G 恰有两个奇度点 u 与 v，则 u 与 v 必连通。 (2) 若树 T 有两个相异的完美匹配 M 1 , M 2 ，则 M 1M 2 且 T [ M 1M 2 ] 中 的每个顶点的度数为 2，则 T 中包含圈，这与 T 是数矛盾！ 七、求图 G 的色多项式 Pk (G ) (15 分).
(A)
电子科技大学 数值分析研究生期末考试
1 0 2 0
1
A
0 1
1 2
0 4
1
3
,
b
0 4
0
1
0
3
2
计算矩阵 A 的 LU 分解，并求出方程的解.
解：矩阵 A 的 LU 分解为
1
1 0 2 0
A
LU
0 1
1 2
1
1
0
1
2 1
0
1
0
1
2
方程组的精确解为 x （1，-1,1,1）T .
4. 给定求积公式 1 f (x)dx Af (0) Bf (0.5) Cf (0) ，试确定 A, B, C ，使其代数精度尽可能的高，并 0
指明此时求积公式的代数精度.
解：分别将 f (x) 1, x, x2 ，代入求积公式，可得
1
A B
1
2
B 1B 4
C
1 0
1 dx 1,
解：由于高斯求积公式为
1
f (x)dx
1
n
Ak
k 0
f (xk ) ,其中 xk 是 Pn1 (x) 的零点.
首先将积分区间转化
为[1,1] .令 x t 2 则 x [1,3] 时 t [1,1] .而
I 3 e x sin xdx 1 et2 sin(t 2)dt 令 g(t) et2 sin(t 2)
yn1
yn
h[f 2
(xn ,
yn )
f
(xn1, yn1)]
是二阶的，并求出局部截断误差的主项.
证：局部截断误差为
Tn1
y(xn1)
y(xn )
电子科技大学数值分析研究生期末考试
、已知方程 exp x gsin x 1
1、确定方程全部正根的隔根区间。
2、设最小正根为x *，取猜测值X o ，写出x *的牛顿迭代法计算格式。
1 1 1
2 3
1 1 1
2 3
1、求雅可比迭代矩阵h (I 1)1A 的范数G。
2、写出高斯-赛德尔迭代矩阵。
3、判定是否有R f''(x *)
2f'(x *
) 1求成立，并解释其意义。
的LU 分解，并求出用“込范数”计算矩阵 U 的条件数
1
Cond(U)。
四、给点数表
用最小二乘法确定线性拟合函数 x C 0 C 1x
五、根据等距结点：为1,X j ,X j 1 (满足X j 1 X j X j X j 1 h )，写出二次拉格朗日插值
三、求A 1
基函数：I j 1 X ,I j X ,I j ! x 。
求:
f k x xI k' x ' ,(k j 1,j,j 1) 在x X j处的值
六、将积分上限函数
x
y x exp x t exp t dt转换为一阶常微分方程初值冋题，取
1
h ，记x jh
n
j 0,1,2,..., n，写出用Euler方法计算y 1的计算公式。
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西安电子科技大学2013年上半年期末考试经济数学二试卷及答案
→∞+→∞++lim lim
n n n
n n n n
n
u
u 11
1
14141
4
,收敛半径R ==14ρ
由x -<14得:-<<35x ,故收敛区间是(-3,5
15.特征方程为:r r 2
250-+=,特征根为r i 122420
2
12,=±-=±
通解为(y e c x c x x =+1222cos sin三.
x 'arctan arctan arctan =++⋅⋅+--+++2
2222
12211111221
(=+
-+x x x x arctan 2
2
1
1
所以dy y dx x x x x dx ==+-+⎡
⎣
⎢⎤
⎦⎥'(arctan 2211
13 x31 18.解：函数yxx 3在x0处不可导，y '1x 3( x0时1 2 x3 2 1令y'0得驻点x1，求得y (15 1，y (00，y2 2 5 2于是y在[1，1]上的最大值为y(00，最小值为y119.解：令xt，xt 2，dx2tdt，于是sin还原xdxsin t2tdt2t sin tdt2t (cos t ' dt2[t cos tcos tdt ]2[t cos tsin t ]c2 x cos x2 sin xc 20.解：令F ( x, y, zx 22 y 23z 2xyz9，则Fx '2 xy，Fy '4 yx，Fz '6z1于是，F'z 2xyxx Fz ' 6z1 Fy 'z 4yxy Fz 6z1 21.解：D用极坐标表示为(r ,02，0r101x D 1 2y 2 dxdyd21 rdr 1 rdr22 0 1r 0 1r2 1d (1r 2ln 1r 2 2 0 1r 11 0ln 2 y x2+y2≤1 O x 22.
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习 题 二
请尽可能提供程序
1、假设)(x f 在[]b a ,上连续，求)(x f 的零次最佳一致逼近多项式。
2、选择常数a ，使得ax x x -≤≤31
0max 达到极小，又问这个解是否唯一？
3、如何选取r ，使r x x p +=2)(在[]1,1-上与零偏差最小？r 是否唯一？
4、设在[]1,1-上54323840
1653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ降低到3次多项式.
求a 、b 使⎰-+20
2]sin [π
dx x b ax 为最小。
5、设{
}x span ,11=ϕ，{}
1011002,x x span =ϕ，分别在21,ϕϕ上求一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。
6、用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
i x 19 25 31 38 44
i y
19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
7、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
)()0()()(101h f A f A h f A dx x f h
h
++-≈--⎰
8、用辛普森公式求积分
1
x e dx -⎰
并估计误差。
9、求近似求积公式)]4
3
(2)21()41(2[31)(1
0f f f dx x f +-≈⎰的代数精度。
10、用三个节点（2=n ）的Gauss 求积公式计算积分)2(14
112
π=+=⎰-dx x I 。
11、试确定常数A ，B ，C 和α，使得数值积分公式
)()0()()(2
2
ααCf Bf Af dx x f ++-=⎰
-为Gauss 型公式。
12、用三点公式求2
)1(1
)(x x f +=
在1.1,0.1=x 和1.2处的导数值，并估计误差，
)(x f 的值由下表给出：
X
1.0 1.1
1.2 1.3 1.4
)(x f
0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736
13、就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=
2
2
1相比较。
14、用改进的欧拉方法求解初值问题⎩⎨⎧=<<+='1)0(1
0,y x y x y ，取步长1.0=h 计算，
并与准确解x e x y 21+--=相比较。
15、用梯形方法解初值问题⎩⎨⎧==+'1)0(0y y y ，证明其近似解为n
n h h y ⎪⎭⎫
⎝⎛+-=22，并证明
当0→h 时，它收敛于原初值问题的准确解x e y -=。
16、取2.0=h ，用四阶经典的龙格-库塔方法求解下列初值问题：
⎩⎨
⎧=<<+='1
)0(1
0,y x y x y 17、证明解),(y x f y ='的下列差分公式)34(4
)(211111-+-+'+'-'++=n n n
n n n y y y h
y y y 是二阶的，并求出截断误差的首项。
18、取25.0=h ，用差分法解边值问题⎩⎨⎧===+''68
.1)1(,0)0(0
y y y y 。