一 圆周角定理
圆周角定理推论
圆周角定理推论
中心角定理：如果一个三角形的三条边的长度都已知，则可以用这三条边到三角形的三个角的长度来求解出这个三角形的三个角的大小，这个定理又称为三角形钝角定理。
也可以称之为圆周角定理，它是圆周角的一种表示法，说明圆周角满足三角形的钝角定理。
即如果已知圆周角的三边长度，则可求出其三个内角。
例如，已知圆周角的三边长度分别为4,4,4，则可求出其三个内角分别为60°，60°，60°。
圆周角定理的公式是：若a、b、c分别为圆周角的三边长度，则有A = arccos（（b2 + c2 - a2）/ 2bc），B = arccos（（a2 + c2 - b2）/ 2bc），C = arccos（（a2 + b2 - c2）/ 2bc）。
其中A，B，C分别为圆周角的三角形的三个内角。
圆周角定理及推论
24.1.4圆周角第1课时圆周角定理及推论教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，•设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，•只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92思考题．2．教材P93练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：===2R．分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．连接CO并延长交⊙O于D，连接DB∵CD是直径∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt△DBCxx，sinD=，即2R=同理可证：=2R，=2R∴===2R五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．。
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理是几何中著名的定理，亦即“每个三角形的外接圆的内切圆与它的最大外接圆所成的圆周角相等”。
此定理由古希腊数学家艾西法 (Euclid) 于其《几何原本》第六章首次提出数千年前，随着数学的发展，有许多其他的证明方法也被提出：
1、几何距离证明法：两个圆的圆心距离为2R的话，就可以让它们的相切线同时证明最大外接圆的圆周角和最小内切圆的圆周角相等。
可以用两等腰直角三角形向根据勾股定理来演算出，两个圆周角的圆心角度都是相等的。
2、数学归纳法：也就是艾西法于其《几何原本》所作的证明，即归纳法可以证明不论外接圆的半径有什么样的大小它们所成的圆周角都是相等的。
3、几何投影证明法：几何投影证明法通过找到三角形它的内切圆和最大外接圆，把两个圆投影到平面上，将圆心连线作为投影线，使投影线在它们之间形成一条射线，然后可以推出它们所成的圆周角相等。
圆周角定理及其推论
画多少个？它们有什么关系？为什么？
反过来呢？
D
A
推论1： 同圆或等圆中：
C O·
同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等. E
B
探究三：
如图， △ABC内接于⊙O, 请思考当∠AOB为 180°时, ∠ACB的度数是多少?从而你得到什么结论?
反过来呢？
C
推论2：
A
·O
B
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
O
∴ ∠BAC = 12∠BOC.
B
C
猜想： 一条弧所对的圆周角都等于它所对圆心角的一半
1、圆心在圆周角的边上 2 、圆心在圆周角的内部.
C
C
O·
O·
A
B
A
B
D
3、圆心在圆周角的外部
C
O·
D
B
A
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
探究二：
在一个圆中，并画出A⌒B所对的圆周角能
24.3 圆周角
1.圆周角的概念 ：
顶点在圆上，并且两
C
边都与圆还另有一个交
点的角叫做圆周角。
O
B
2.一个角是圆周角的条件：
①顶点在圆上；
A
②两边都和圆相交。
练习:指出下图中的圆周角.
A
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
×
C O
√
O D
×
O
E
O
O
B
×
×
√F
探究一：
A
如图，等边△ABC的三个顶点
圆周角定理
圆周角定理圆周角定理，又称为圆心角定理，是指在一个圆中，它对应的弧所对的圆周角的度数是一定的。
这一定理在几何学和三角学中有着重要的应用。
本文将介绍圆周角的定义、性质以及相关应用。
圆周角的定义在一个圆中，以圆心为顶点，连接圆上的两个点，所得到的角即为圆周角。
圆周角用字母“∠”来表示，其中小写的字母表示圆弧，如∠ABC，表示以圆心O为顶点的角，对应的圆弧为AB和AC。
圆周角的性质性质一：圆周角的度数是一定的在同一个圆中，不论圆周角对应的圆弧长度如何变化，其圆周角的度数是不变的。
这一性质可以用公式表示如下：∠ABC = (∠AOB) / 2 = (s / r) × 180°其中，“∠ABC”表示圆周角的度数，∠AOB表示对应的圆心角的度数，s表示圆弧的长度，r表示圆的半径。
性质二：垂直弧所对的圆周角是180°在圆中，对于垂直弧所对的圆周角，其度数恒为180°。
而垂直弧指与半径垂直的弧。
圆周角的应用圆周角定理在几何学和三角学中有着广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用：应用一：扇形面积计算利用圆周角定理可以计算圆内的扇形面积。
假设扇形对应的圆心角为θ°，则扇形的面积等于圆的面积乘以θ/360°。
可以用以下公式表示：扇形面积= (θ / 360°) × πr²其中，r表示扇形的半径。
应用二：圆锥的体积计算圆锥的体积计算也可以利用圆周角定理实现。
假设圆锥的底面半径为r，高度为h，底角为θ°，则圆锥的体积可以用以下公式表示：圆锥体积= (θ / 360°) × πr² × h / 3应用三：三角函数的定义在三角学中，三角函数的定义与圆周角密切相关。
以正弦函数为例，其定义可以通过圆周角在单位圆上的投影来说明。
对于角θ对应的圆周角，在单位圆上的投影点坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
课件3：一 圆周角定理
再见
点评：当题目结论与比例式有关时,可考虑证明三角形相似．
3．在⊙O 内有一个内接四边形 ABCD，AC 与 BD 交于点 E， 求证：ABEE＝ABDC.
︵︵ 证明：由AB＝AB， 得∠ADE＝∠ACB. 又∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，即ABEE＝ABDC.
4．如图所示，已知⊙O中，∠AOB＝2∠BOC，求 证∠ACB＝2∠BAC. 分析：利用圆周角定理证明． 证明：∵∠ACB＝∠AOB， ∠AOB＝2∠BOC， ∴∠ACB＝∠BOC. 又∵∠BAC＝∠BOC， ∴∠ACB＝2∠BAC.
►变式BC＝4 cm,则OD ＝__2_c_m____． 2.如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD＝4,BD＝8,圆 O的半径r＝___5_____．
题型二 证明问题
例2 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证： ∠BAE＝∠DAC. 分析：题目中出现圆的直径，想到直径所对的圆周角是直 角．因此，连接BE，得到∠ABE＝90°.同时，在△ABE与 △ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等，从而结论 得以证明． 证明：如图，连接BE.
一 圆周角定理
圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧也相等. 推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的 弦是直径
题型一 角、弦、弧长计算
例1 在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦AB,求此弦所对 的圆周角. 解析：如图所示，
【正解】根据题意画出大致示意图如图所示，∠AOB 为弦 AB 所对的圆心角，∠C 和∠D 是弦 AB 所对的圆周角． ∵AB＝OA＝OB， ∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，∴∠C＝30°，∴∠D＝150°， ∴弦 AB 所对的圆心角为 60°，所对的圆周角为 30°或 150°. 易错点：对圆周角的概念理解不清 【疑难点辨析】顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一 条弦所对的圆周角应有两种情况．
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论圆周角定理是一个重要的几何定理，它规定了三角形内角之和与圆周角之间的关系，从而形成一种经典的几何定理，被广泛应用于几何学和数学中。
关于圆周角定理的历史有很多，就其本身的来源来说，圆周角定理的最早证明可以追溯到古希腊数学家阿基米德，而后经过不同数学家的发展、研究和思考，使得圆周角定理的结构更加完善。
一般来说，圆周角定理讲的是三角形内角之和与圆周角之间的关系，而所指的圆周角是指由三角形所在的圆上某点到另一点之间的弧度，它可以用角度来表示。
圆周角定理用数学语言记述就是，如果把圆上的任一点当作三角形的顶点，将其余两点当作边的端点，此时此三角形的内角之和为180°，这就是圆周角定理的本质。
从实际几何中得出的圆周角定理，有利于我们更深入地理解几何中涉及到的三角形，有助于推理类题目的解答，这种推理关系也被称作三角恒等式，表示两等腰三角形两个内角之和等于三角形外角之和，即内角和=外角，这是圆周角定理的推论之一。
圆周角定理的另一个推论就是全等三角形恒等式，即三角形内角两两等边的三角形，它的三个角的大小相等，即相等的三角形的三个内角之和也等于180°，这是圆周角定理的另一个推论，又称为“全等三角形定理”。
圆周角定理的发现和研究对几何学的发展有重要意义，它为几何学到达发展的新高度和完善提供了重要的理论基础，同时也为数学建立了一种经典的定理模型，并且广泛应用于几何学和数学中。
因此，圆周角定理被广泛应用于几何学和数学中，它影响着我们对几何定理的理解，以及在几何学里面的推理思维，它也是我们几何学课本里面比较重要的定理，引用它可以使我们更好的理解几何形式和推理思维的重要性。
圆周角定理的发现，让我们更好地理解几何，使得更多的几何问题得到解决，从而为我们几何学的发展提供更多有利的条件。
它也为数学研究提供了一种经典的定理结构，从而推动了数学自身的发展和提高，使得数学越来越完善。
归纳总结，圆周角定理的本质是三角形内角之和为180°，它有两个推论：三角形恒等式和全等三角形恒等式，它是几何学和数学中经典的定理，并且对几何学的发展和完善有重要的意义，对数学也起到了推动作用。
一 圆周角定理
是半圆的直径,P是半圆上的 例３，如图，BC是半圆的直径 是半圆上的 如图， 是半圆的直径 一点,过 的中点Ａ， ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ａ，作 一点 过 BP 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证 求证： 为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证： ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦ Ａ
圆周角定理
圆周角的定义： 圆周角的定义：顶点在圆周上且两边都 与圆相交的角。 与圆相交的角。 圆周角定理： 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对 弧的度数的一半。 弧的度数的一半。 推论1：同弧（或等弧） 推论 ：同弧（或等弧）上的圆周角相 等。 同圆或等圆中， 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等。 相等。 推论2：半圆（或直径） 推论 ：半圆（或直径）上的圆周角等 于90度。 度 反之， 度的圆周角所对的弦为直径 度的圆周角所对的弦为直径。 反之， 90度的圆周角所对的弦为直径。
2 1 3
Ｐ
4
Ｂபைடு நூலகம்
ＥＦ Ｄ
Ｃ
内接于⊙ 例４，如图， ΔABC内接于⊙Ｏ， 如图， ABC内接于 ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证 于点Ｈ，求证： ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证： ＯＡＢ＝∠ （１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ ）ＯＡＡＨ＝１ ＡＢ （２）ＯＡＡＨ＝１／２ＡＢＡＣ
Ａ Ｂ D ． Ｏ Ｈ Ｃ
例1，如图，ΔABC中，AB=AC， ΔABC ，如图， ABC中 AB=AC， 外接圆⊙O的弦AE BC于点 求证： ⊙O的弦AE交 于点D 外接圆⊙O的弦AE交BC于点D，求证：
AB = AD × AE
2
A
B E
D
C
的两条高, 例2，如图，设AD,CF是ΔABC的两条高, ，如图， 是 ABC的两条高 AD,CF的延长线交 ABC的外接圆 的延长线交Δ 的外接圆O AD,CF的延长线交ΔABC的外接圆O于G,AE ⊙O的直径 求证: 的直径, 是⊙O的直径,求证: (1)ABAC=ADAE (2)DG=DH A
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【提示】 不一定相等．一般有两种情况：相等或互补， 弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同 一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
补． 2． 在推论 1 中， 把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”
的话，结论还成立吗？ 【提示】 不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可
菜 单
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
的度数为 120° ，优弧
课 时 作 业
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课 前 自 主 导 学
1 ． 解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互 为补角． 2 ．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有 时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
课 前 自 主 导 学
线交它的外接圆于点 E.
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
图 2－1－2 (1)证明：△ABE∽△ADC；
1 (2)若△ABC 的面积 S＝ AD· AE，求∠BAC 的大小． 2
菜 单
课 时 作 业
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【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．
课 时 作 业
菜
单
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已知如图 2－1－1，△ABC 内接于⊙O，
课 前 自 主 导 学
，点
当 堂 双 基 达 标
D是
上任意一点，AD＝6 cm，BD＝5 cm， CD＝ 3 cm，
求 DE 的长．
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
图 2－1－1
菜 单
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2 2
课 前 自 主 导 学
∴∠OAD＝30° ，∴∠AOD＝60° . ∴∠AOB＝2∠AOD＝120° . 1 ∴∠ACB＝2∠AOB＝60° . ∵∠AOB＝120° ，∴劣弧 . 的度数为 240° 1 ∴∠AEB＝2×240° ＝120° ， ∴此弦所对的圆周角为 60° 或 120° .
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
图 2－1－7
【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似 等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长 度考查了知识的应用能力及转化意识．
菜 单
课 时 作 业
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【解析】 ∵BC∥PE，∴∠C＝∠PED. ∵∠C＝∠A，∴∠A＝∠PED.
在圆中， 直径是一条特殊的弦， 其所对的圆周角是直角， 所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式 相等．
课 时 作 业
菜
单
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如图 2－1－5，已知等腰三角形 ABC 中，以腰 AC 为直
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
1．圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的 圆周角 对的 圆心角 的一半． (2) 推 论 1 ： 等于它所
当 堂 双 基 达 标
同弧或等弧
所对的圆周角相等；
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
同圆或等圆
中，相等的圆周角所对的 弧 也相等．
【解】
课 前 自 主 导 学
∵
，
当 堂 双 基 达 标
∴∠ADB＝∠CDE. 又∵ ，
∴∠BAD＝∠ECD.
课 堂 互 动 探 究
∴△ABD∽△CED. AD BD 6 5 ∴CD＝ED.即3＝ED. ∴ED＝2.5 cm.
课 时 作 业
菜
单
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如图 2－1－2，△ABC 的角平分线 AD 的延长
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
1． 解答本题(2)时关键是利用 AB· AC＝AD· AE 以及面积 S 1 ＝ AB· ACsin∠BAC 确定 sin∠BAC 的值． 2 2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题 (1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
AB AD (2) 因为△ ABE ∽△ ADC ，所以 ＝ ，即 AB· AC ＝ AE AC AD· AE. 1 1 又 S＝2AB· ACsin∠BAC 且 S＝ 2AD· AE， 故 AB· ACsin∠BAC＝AD· AE， 则 sin∠BAC＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90° .
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课 前 自 主 导 学
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
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一
课 前 自 主 导 学
圆周角定理
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 标 1.了解圆心角定理． 解 2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题. 读
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁； (2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角， 然后在直角三角形中处理相关问题．
课 时 作 业
菜
单
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如图 2－1－3，△ABC 内接于⊙O，高 AD、BE 相交于
课 前 自 主 导 学
如图，连接 AF.
当 堂 双 基 达 标
∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC＝90° ， ∴AF⊥BC， ∵AB＝AC，
课 堂 互 动 探 究
1 ∴∠BAF＝2∠BAC＝25° ， ∴ 的度数为 50° .
课 时 作 业
【答案】 B
菜 单
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课 前 自 主 导 学
(教材第 26 页习题 2.1 第 3 题) 如图 2－1－6，BC 为⊙O 的直径，AD⊥BC，垂足为 D， ＝ ，BF 和 AD 相交于 E，求证：AE＝BE.
(3)推论 2：半圆 (或 直径 )所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是 直径 ．
菜
单
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课 前 自 主 导 学
2．圆心角定理 圆心角的 度数 等于它所对弧的度数 ．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
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1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？
课 前 自 主 导 学
∴OD 是△ABC 的中位线， 1 1 ∴CD＝ 2AC＝4 cm，OD＝ 2BC＝3 cm. 1 ∴S 四边形 OBCD＝2(OD＋BC)· DC
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
1 ＝2(3＋6)×4＝18 cm2.
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
条件求出 OD、CD、BC 的长可得四边形 OBCD 的面积．
【自主解答】 ∵AB 是半圆的直径，∴∠C＝90° . ∵AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
∴AC＝8 cm，BC＝6 cm. 又∵OD⊥AC，∴OD∥BC.
课 时 作 业
菜
单
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的度数 的度数是
当 堂 双 基 达 标
________．
课 堂 互 动 探 究
【解析】 ∠AOB，则
图 2－1－10 的度数等于∠AOB， 又
. 的度数是 30°
的度数等于
课 时 作 业
【答案】
菜 单
30°
H，AD 的延长线交⊙O 于 F，求证：BF＝BH.
【证明】 ∵BE⊥AC，AD⊥BC，
当 堂 双 基 达 标
∴∠AHE＝∠C.
课 堂 互 动 探 究
∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C， ∴∠BHF＝∠F. ∴BF＝BH.
图 2－1－3
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
课 前 自 主 导 学
课 前 自 主 导 学
(2)利用(1)的结论及面积相等求 sin∠BAC 的大小，从而 求∠BAC 的大小．
【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
6
新课标 ·数学 选修4-1
1．如图 2－1－8，在⊙O 中，∠BAC＝60° ，则∠BDC
课 前 自 主 导 学
＝(
) A．30° C．60° B．45° D．75°
图 2－1－8
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
【解析】 ⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是 . 周角，故∠BDC＝∠BAC＝60°
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
【自主解答】 如图所示，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.
课 前 自 主 导 学
∵OD⊥AB，OD 经过圆心 O， 5 3 ∴AD＝BD＝ 2 cm.
当 堂 双 基 达 标