《圆锥的侧面积和全面积》练习题
11与圆锥有关的计算.习题集(2014-2015)-学生版
题型一：求圆锥的侧面积与全面积【例1】 如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm ，母线长为15cm ，那么纸杯的侧面积为__________cm 2．（结果保留π）【例2】 圆锥的底面半径为6cm ，母线长为10cm ，则圆锥的侧面积为_____________2cm（2014年泰州）【例3】 如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且13sin θ=，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．242πB ．24πC ．16πD ．12π【例4】 如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具，那么这个教具的用纸面积是 ______cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）．（2013年盘锦）【例5】 一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1．则这个圆锥形零件的全面积是____．【例6】 将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是33，则圆锥的侧面积是________．课堂练习与圆锥有关的计算学案【例7】 在Rt ABC ∆中，9034C AC BC ∠=︒==，，，将ABC ∆绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是________．【例8】 如图，圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，那么这个圆锥的侧面积是_________cm 2．（2014年双柏县二模）【例9】 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，母线AB 与底面半径OB 的夹角为α，4tan 3α=，则圆锥的侧面积是__________平方米。
（结果保留π） （2014年永州模拟）【例10】 已知某几何体的三视图（单位：cm ），则这个圆锥的侧面积等于______________（2014年杭州）【例11】 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是______________（2014年宁夏）【例12】（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．题型二：求圆锥的母线、底面半径、高以及展开以后扇形的圆心角等【例13】已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是________（2014年安顺）【例14】圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为_________（2014年鄂州）【例15】如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是______________cm．【例16】如图，圆锥的侧面积为15π，底面积半径为3，则该圆锥的高AO为________（2014年黔南州）【例17】 如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是_________cm ．【例18】 若圆锥的侧面展开是一个弧长为l6π的扇形，则这个圆锥的底面半经是_______．【例19】 在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于120°（如图），则r 与R 之间的关系是_________（2014年玉林一模）【例20】 如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为_______（2014年绍兴）【例21】 一个圆锥的底面半径是6cm ，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为_______．【例22】 如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径13OA cm ，扇形的弧长为10πcm ，那么这个圆锥形帽子的高是__________cm ．（不考虑接缝）（2014年盘锦）【例23】 用一圆心角为120°，半径为6cm 的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是_________（2013年眉山）题型三：与圆锥有关的最短路径问题【例24】 圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．求在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长．【例25】 如图，圆锥的轴截面ABC ∆是一个以圆锥的底面直径为底边，圆锥的母线为腰的等腰三角形，若圆锥的底面直径4BC cm =，母线6AB cm =，则由点B 出发，经过圆锥的侧面到达母线AC 的最短路程是？（2014年新泰市一模）【例26】 如图，圆锥底面半径为r ，母线长为3r ，底面圆周上有一蚂蚁位于A 点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．【练1】 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO =8米，底面半径OB =6米，则圆锥的侧面积是__________平方米（结果保留π）．ABO【练2】 若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长_______．【练3】 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（ ）（2014年临沂）【练4】 如图，一个圆锥的高为33cm ，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比； （2）求BAC 的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．课后作业【练5】如图，圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为4cm，点B为母线的中点．若一只蚂蚁从A点开始经过圆锥的侧面爬行到B点，则蚂蚁爬行的最短路径长为?。
初三数学圆锥的侧面积和全面积试题
初三数学圆锥的侧面积和全面积试题1. 一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该圆锥的侧面积与全面积之比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，扇形的弧长为l ，根据圆周长公式及弧长公式可得r 与R 的关系，再分别表示出圆锥的侧面积与全面积，即可求得结果.设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，扇形的弧长为l ，则∴，解得 ∴S 侧=×2r·R=·2r·3r=6r 2×=3r 2S 全面积=S 侧+S 底=3r 2+r 2=4r 2∴S 表：S 底=3r 2：4r 2=3:4故选A.【考点】弧长公式，圆锥的侧面积与全面积点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.2. 若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为（ ）A ．3：2B ．3：1C ．2：1D ．5：3【答案】C【解析】设圆锥母线为ι，底面半径为r ，根据等边三角形的性质可得ι=2r ，再分别表示出圆锥的侧面积与底面积，即可求得结果.设圆锥母线为ι，底面半径为r ，由题意得ι=2r ．∴S 侧=·2r·ι=r×2 r=2r 2∴S 侧：S 底=2r 2：r 2=2:1.【考点】圆锥的侧面积与全面积点评：等边三角形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.3. 如图，将三角形绕直线ι旋转一周，可以得到图所示的立体图形的是（ ）【答案】B【解析】根据直角三角形旋转的性质即可判断.由图可得将三角形绕直线ι旋转一周，可以得到图所示的立体图形的是第二个，故选B.【考点】旋转的性质点评：旋转的性质是初中数学平面图形中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握.4.将一个半径为8cm，面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（）A．4B．C．D．【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，先根据圆锥的侧面积公式列方程求得底面圆的半径为r，再根据勾股定理即可求得结果.设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，由题意得r·l=32，解得则这个圆锥形容器的高故选B.【考点】圆锥的侧面积，勾股定理点评：方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在各种题型中均有出现，要特别注意.5.已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是5cm，则它的侧面积是．【答案】10cm2【解析】圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积=×底面周长×母线.由题意的S侧=2r·l·=×2×5=10（cm2）.【考点】圆锥的侧面积点评：本题是圆锥的侧面积公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.6.圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是．【答案】1：2：3【解析】设轴截面（等边三角形）边长为a，则圆锥的底面半径为a，母线为a，再根据圆的面积公式和圆锥的侧面积公式即可得到结果.设轴截面（等边三角形）边长为a，则圆锥的底面半径为a，母线为a∴S底=·（）2=a2，S侧=·2··a=a2.S全=S底+S侧=.∴S底：S侧：S全==1：2：3.【考点】等边三角形的性质，圆的面积公式，圆锥的侧面积公式点评：等边三角形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.7.圆锥的高为3cm，底面半径为4cm，求它的侧面积和侧面展开图的圆心角．【答案】侧面积为20cm2，圆心角为288°【解析】先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式和弧长公式即可求得结果. 由勾股定理可得母线长为5cm，S侧=lr=20rcm2，圆心角=×360°=×360°=288°.【考点】勾股定理，圆锥的侧面积公式，弧长公式点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.8.以斜边长为a的等腰直角三角形的斜边为轴，旋转一周，求所得图形的表面积．【答案】【解析】由题意知旋转后的几何体为以等腰直角三角形的斜边的一半为高，直角边为母线，等腰直角三角形的斜边的上的高为底面半径的上下两个圆锥，再根据圆锥的侧面积公式即可求得结果.由题意得圆锥的母线所以【考点】旋转的性质，圆锥的侧面积点评：旋转的性质是初中数学平面图形中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握.9.若△ABC为等腰直角三角形，其中∠ABC=90°，AB=BC=5cm，求将等腰直角三角形绕直线AC旋转一周所得到图形的面积．【答案】【解析】先画出图形，根据特殊角的锐角三角函数值求得底面圆半径，再根据圆锥的侧面积公式即可求得结果.绕直线AC旋转一周所得图形如图：在Rt△ABC中，OB=AB·cos45°=∴所得图形的面积为2S=2××2×OB×AB=2×5×5=.侧【考点】特殊角的锐角三角函数值，圆锥的侧面积公式点评：旋转的性质是初中数学平面图形中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握.10.如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头重合部分，那么这座粮仓实际需用油毡的面积是多少？【答案】158.4m2【解析】设圆锥的底面半径为r，先根据圆锥的底面周长为36m求得底面半径，再根据圆锥的侧面积公式即可求得结果.设圆锥的底面半径为r，那么2r=36，解得r=∴圆锥的侧面积为2r·l·=36×8×=144（m2）.∴实际需要油毡的面积为144+144×10%=158.4（m2）.【考点】圆的周长公式，圆锥的侧面积公式点评：本题是圆的周长公式及圆锥的侧面积公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.。
圆锥的侧面积(基础篇)(专项练习)
专题2.13 圆锥的侧面积（基础篇）（专项练习）一、单选题1．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（）A．236πcm B．224πcm C．216πcm D．212πcm 2．圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（）A．60°B．90°C．120°D．180°3．把一个弧长AC为10π cm的扇形AOC围成一个圆锥，测得母线OA＝13 cm，则圆锥的高h为()A．12cm B．10cm C．6cm D．5cm4．如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．1B．34C．12D．135．一个底面直径为2，高为3的圆锥的体积是()A．πB．2πC．3πD．4π6．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（）A ．3B ．C ．D ．47．如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）A ．10πB ．15πC ．20πD ．30π8．如图，现有一个圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．1cm9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）A ．rB ．C rD ．3r10．如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将OAC ∆沿AC 折叠，点O 恰好落在AB 上的点D 处，且:1:3BD AD ''=（BD '表示BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A．1:3B．1: C．1:4D．2:9二、填空题11．已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的高为_____cm．12．若一个圆锥体的底面积是其表面积的14，则其侧面展开图圆心角的度数为______________．13．用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为______．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以边AC所在直线为轴将Rt △ABC旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是__________．15．已知底面圆半径为1cm的圆锥的侧面积为3πcm2，则圆锥的母线长为_________cm．16的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将其围成一个圆锥，圆锥底面圆的半径是__________m．17．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．18．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是l=______．三、解答题19．一个圆锥的母线长为10,底面半径为5，求这个圆锥的侧面积和全面积．20的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC．(1) 求被剪掉的阴影部分的面积；(2) 用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？21．如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L（31L=1dm）的圆锥形漏斗．（1）漏斗口的面积S（单位：2dm）与漏斗的深d（单位：dm）有怎样的函数关系？（2）如果漏斗口的面积为2100cm，那么漏斗的深为多少？22．（1）解方程:2x x-+=；2730（2）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OC cm，求这个圆锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数．=3cmOB，高=423．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长．24．如图，在一个半径为90︒的扇形．（1）求这个扇形的面积（保留π）；（2）用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径．参考答案1．B【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S rl π=侧； 解：4624S rl πππ==⨯⨯=侧2cm ， 故选B ．【点拨】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可． 2．D【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，圆心角的度数为n度∵它的轴截面是正三角形，∴R=2r，∴2πr=2 180n rπ⨯，解得n=180，故展开图的圆心角为180°故选：D．【点拨】本题主要考查圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥的轴截面，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的弧长公式，是解题的关键．3．A【分析】利用弧长求出底面圆的半径，然后运用勾股定理求出圆锥的高．解：设底面圆的半径为r，则：2πr＝10π，得：r＝5．12cm．故选A．【点拨】本题考查的是圆锥的计算，先根据弧长可以求出底面圆的半径，再用勾股定理求出圆锥的高．4．C【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．解：根据题意得：该圆锥的底面周长为1212ππ⨯⨯=，∴该圆锥的底面半径是1 22ππ=．故选：C【点拨】本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．5．A【分析】圆锥的体积等于底面积乘以高的三分之一．解：2123 32ππ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭故选A．6．B【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B 是半圆的一个端点，而点P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B 和P 在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．解：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ⨯=， 180n ∴=︒，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中3AP =，6AB =，90BAP ∠=度．∴在圆锥侧面展开图中BP故小猫经过的最短距离是B ．【点拨】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．7．B解：由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr =2π×3=6π， ∴圆锥的侧面积=12lr =12×6π×5=15π， 故选B 8．A试题分析：本题的关键是利用弧长公式计算弧长，再利用底面周长=展开图的弧长可得．解：L=9082180R ππ⨯=, 解R=2cm ． 故选 A. 考点: 弧长的计算． 9．B解：∵圆的半径为r ，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr ．设圆锥的母线长为R ，则120180Rπ=2πr ， 解得：R =3r ．根据勾股定理得圆锥的高为．故选：B ．【点拨】考点：圆锥的计算． 10．D【分析】连接OD ，求出∠AOB ，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可． 解：连接OD 交AC 于M ．由折叠的知识可得：12OM OA =，90OMA ∠=︒，30OAM ∴∠=︒，60AOM ∴∠=︒，且:1:3BD AD ''=，80AOB ∴∠=︒设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 802180lr ππ=， :2:9r l ∴=．故选D ．【点拨】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键．11．【分析】设圆锥底面半径为r cm ，那么圆锥底面圆周长为2r πcm ，所以侧面展开图的弧长为2r πcm ，然后利用扇形的面积公式即可得到关于r 的方程，解方程即可求得圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．解：设圆锥底面半径为r cm ，那么圆锥底面圆周长为2r πcm ， 所以侧面展开图的弧长为2r πcm ，211209292360S r ππ⨯=⨯⨯=圆锥侧面积， 解得：3r =，∴)cm =，故答案为：【点拨】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．120°##120度 【分析】根据圆锥的底面积是其表面积的14，则得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．解：设底面圆的半径为r ，侧面展开扇形的半径为R ，扇形的圆心角为n °．由题意得2S r π=底面面积，2l r π=底面周长， ∵个圆锥体的底面积是其表面积的14， ∴233S S r π==扇形底面面积，2l l r π==扇形弧长底面周长． 由12S l R =⨯扇形扇形弧长得21322r r R ππ=⨯⨯， 故3R r =． 由180n r l π=扇形弧长得： 32180n r ππ⨯=， 解得120n =．故答案为：120°．【点拨】此题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．13．【分析】根据半圆的弧长等于圆锥的底圆周长可以求出圆锥底圆的半径，又由半圆的半径等于圆锥的母线，然后利用勾股定理求出圆锥的高．解：如图所示：圆锥的侧面展开图的弧长为210210ππ⨯÷=（cm ），∴圆锥的底面半径为1025ππ÷=（cm ），∴=cm ）．故答案是：．【点拨】本题考查了圆锥的展开图，正确理解圆锥与圆锥展开图后的图形为扇形之间的不变量是解决本题的关键．14．65π【分析】先得到所得圆锥的母线和底面半径，再利用扇形面积计算．解：由已知得，母线长AB =13，半径r 为5，∴圆锥的侧面积=113252π⨯⨯⨯=65π，故答案为：65π．【点拨】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解．15．3【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可．设圆锥的母线长为R cm ，解：圆锥的底面周长=2π×1=2π，设母线长为R ， 则12×2π×R =3π，解得，R =3（cm ），故答案为3．【点拨】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 16．14【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．解：连接BC 、AO ，∵⊙O ，m ， ∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴BC ⊥AO ，AO ＝BO ，在Rt △ABO 中，AB 1m ，∴圆锥底面圆的弧长90111802l ππ⨯==， 设圆锥底面圆的半径是r ， 则122r ππ=， ∴14r =m ， 故答案为：14．【点拨】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．17．【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC 就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角l 180n R π=，R=4，l=2πr=2π,可求出n 的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC 的长即可．解：把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4， 侧面展开的圆心角4l 2180180n R n πππ===，n=90º即∠ASC=90º， C 为AD 的中点SD=2，线段AC 是小虫爬行的最短距离，在Rt △SAC 中，由勾股定理的故答案为：【点拨】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键．18．解：扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即：1202180l ππ=l ＝考点： 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系.19．侧面积为50π，全面积为75π【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式直接可计算出这个圆锥的侧面积，然后计算侧面积与底面积的和得到圆锥的全面积．解：这个圆锥的侧面积 12510502ππ=⨯⨯⨯= 这个圆锥的全面积=50π+π×52=75π．【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆20．(1)1m 4π(2)1m 4【分析】（1）连结BC ，根据∠A ＝90°，可得BC =，再由勾股定理可得AB ＝AC ＝1，然后根据O ABC S S S 阴影扇形，即可求解；（2）设圆锥底面半径为r ，则BC 的长为2πr ，从而得到9012180r ⨯=ππ，即可求解． （1）解：如图，连结BC ，∵∠A ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径．即BC =，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，且AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AB ＝AC ＝1，∴O ABC S S S 阴影扇形＝222901111m 360244⨯⨯-=-=⎝⎭πππππ； （2）解：设圆锥底面半径为r ，则BC 的长为2πr ， ∴9012180r ⨯=ππ， ∴1m 4r ． 【点拨】本题主要考查了求扇形面积，圆锥的底面半径，勾股定理，熟练掌握扇形面积公式，勾股定理是解题的关键．21．（1）3(0)S d d=≠；（2）30cm 【分析】（1）根据圆锥体积=13×底面积×高，进行解答即可得； （2）根据（1）得出S 与d 的函数关系进行解答即可得．解：（1）根据圆锥体积=13×底面积×高，得113Sd =， 则3(0)S d d=≠， 故漏斗口的面积S 与漏斗的深度d 之间的函数关系为：3(0)S d d =≠； （2）∵S =100cm 2=1dm 2，∴31d=， 解得d =3dm=30cm ，故漏斗口的面积为100cm 2，那么漏斗的深为30cm ．【点拨】本题考查了圆锥的体积，反比例函数的应用，解题的关键是掌握这些知识点．22．（1）121,32x x ==；（2）这个圆锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数为216° 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用勾股定理求出母线BC 的长，即为侧面展开图的半径，然后求出底面圆的周长，即求出侧面展开图的弧长，然后利用弧长公式即可求出结论．解：（1）22730x x -+=a=2，b=-7，c=3()2247423250b ac -=--⨯⨯=>∴x=()775224--±±=⨯ 解得：121,32x x ==；（2）该圆锥侧面展开图的半径5cm =侧面展开图的弧长即为底面圆的周长为236ππ⨯=cm∴侧面展开图的圆心角的度数为61805216ππ⨯︒÷÷=︒答：这个圆锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数为216°．【点拨】此题考查的是解一元二次方程和圆锥侧面展开图，掌握利用公式法解一元二次方程和弧长公式是解题关键．23．【分析】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A 为圆心，以AB 为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC ＝90°，连接BP ，根据勾股定理求出BP 即可．解：圆锥底面是以BC 为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A 为圆心，以AB 为半径的扇形，弧长是l ＝6π，设展开后的圆心角是n °，则66180n ππ⨯=， 解得：n ＝180°，则∠BAC ＝12×180°＝90°，AP ＝12AC ＝3，AB ＝6，则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长就是展开后线段BP 的长，如图，由勾股定理得：BP答：在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长是．【点拨】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度．24．（1）4π；（2）1【分析】（1）连接AB ，可以得到PAB △为等腰直角三角形，由勾股定理求得PA ，再根据扇形面积即可求解；（2）设这个圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意可得AB 的长即为底面圆的周长，列方程求解即可．解：（1）如图，连接AB ，∵90APB ∠=︒，∴AB 为O 的直径，∵APB 为扇形，∵PA PB =，∴PAB △为等腰直角三角形，∴AB =∴4PA AB ===， ∴这个扇形的面积29044360ππ⋅⋅==；（2）设这个圆锥的底面圆的半径为r ，由题意得AB 的长即为底面圆的周长∵扇形PAB 中，AB 的长9042180ππ⋅⋅==， ∴22r ππ⋅=，解得1r =，即围成的这个圆锥的底面圆的半径为1．【点拨】此题考查了扇形面积的计算，弧长的计算，涉及了勾股定理，熟练掌握相关计算公式和性质是解题的关键．。
27.3 圆锥的侧面积和全面积 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
5 ． (4 分 ) 为了了解本校学生对华东师范大学数学教材的态度． 四位同学做了如下调查：小明向七年级的六个班级的所有同学做 了调查；小华向八年级六个班的全体同学做了调查；小丽向九年 级六个班的全体同学做了调查；小亮向七、八、九年级各抽取了 两个班的同学做了调查，你认为调查较为科学的是( D ) A．小明 B．小华 C．小丽 D．小亮
抽样调查时 ， 所选取的样本要有 __ 代表性 __ ， 样本容量要足够 __大__．仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量 ，开展调查 之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为 _调查对象 __．
样本的选择 1．(4分)为了了解某校学生的每日运动量，下列抽样调查合适的是( D ) A．调查该校舞蹈队学生每日的运动量 B．调查该校书法小组学生每日的运动量 C．调查该校田径队学生每日的运动量 D．调查该校某一个班级的学生每日的运动量 2．(4分)要调查某校九年级学生周日的睡眠时间，选取调查对象最合适的是( D A．选取一个班的学生 B．选取50名男生 C．选取50名女生 D．随机选取50名九年级学生
1．圆锥的母线和高 圆锥是由一个__底面__和一个__侧面__围成的．圆锥底面圆周上 任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的__母线__，连接顶点与底面圆 心的线段叫做圆锥的__高__． 2．圆锥的侧面积公式 若设圆锥的母线长为 a，底面半径为 r，由此可推出圆锥侧面展 开的扇形的半径长为圆锥的母线长 a，弧长为圆锥底面圆的周长 2π 1 r，则圆锥的侧面积 S 侧＝__2a· 2πr_＝__πra__． 3．圆锥的全面积公式 S 全＝S 侧＋S 底＝__πra__＋__πr2__．
圆锥的侧面积达标测试题及答案
圆锥的侧面积达标测试题及答案3.6 圆锥的侧面积同步练习一、选择题： 1. 小明在一次登山活动中捡到一块矿石，回家后，他使用一把刻度尺，一只圆柱形的玻璃杯和足量的水，就测量出这块矿石的体积．如果他量出玻璃杯的内直径，把矿石完全浸没在水中，测出杯中水面上升了高度，则小明的这块矿石体积是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 2. 若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的底面半径是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 3. 若圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的高为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 4. 已知圆锥的侧面展形图的面积是，若母线长是，则圆锥的底面半径为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 4. 如图1，将半径为2的圆形纸片，沿半径，将其截成面积为两部分，将所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）Ａ．Ｂ．1 Ｃ．1或3 Ｄ．或图1 图2 图3 5. 如图2，在△ 中，，，若以为底面圆半径、为高的圆锥的侧面积为，以为底面圆半径、为高的圆锥的侧面积为，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．，有大小关系不确定 6. 如图3，分别以等腰直角三角板的直角边、斜边为旋转轴旋转，所形成的旋转体的全面积依次记为，则的大小关系为（） (A) (B) (C) (D)无法判断二、填空题： 1. 圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、表面积的比是． 2. 如图4，圆锥的母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角．图4 图5 3. 如图5，圆锥的底面半径，高，则它的全面积为． 4. 一个圆锥形烟囱帽的底面直径是，母线长是，这个烟囱帽的侧面展开图的面积是． 5. 用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如右图所示，圆锥的母线与相切于点，不倒翁的顶点到桌面的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为cm2（精确到三、解答题： 1. 圆锥形的烟囱帽的底面直径为，母线长为，求这个烟囱帽的侧面展开图的面积是多少？2. 如图所示，直角梯形中，，，，以所在直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求它的表面积．3. 一个圆锥形零件的母线长为，底面的半径为，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．4. 已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，扇形面积为cm ．求这个圆锥的表面积．5. 把一个半径为8cm的圆片，剪去一个圆心角为的扇形后，用剩下的部分做成一圆锥的侧面，求这个圆锥的高．6. 已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．7. 已知：在△ 中，， cm， cm．以直线为轴把这个直角三角形旋转一周．求所得的旋转体的表面积．8. 已知母线长为的圆锥的侧面展开是一个圆心角为的扇形，求这个圆锥的底面半径．9. 如图，某厂有一圆锥形的烟囱帽，其底面半径和高的比为，求它的侧面展开图的圆心角的度数． 10. 如图所示，△ 中，，，，过点作直线，以直线为轴，将△ 旋转一周，求所得旋转体的表面积．参考答案一、选择题： 1. 小明在一次登山活动中捡到一块矿石，回家后，他使用一把刻度尺，一只圆柱形的玻璃杯和足量的水，就测量出这块矿石的体积．如果他量出玻璃杯的内直径，把矿石完全浸没在水中，测出杯中水面上升了高度，则小明的这块矿石体积是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ 2. 若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的底面半径是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ 3. 若圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的高为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ 4. 已知圆锥的侧面展形图的面积是，若母线长是，则圆锥的底面半径为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ 4. 如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径，将其截成面积为两部分，将所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）Ａ．Ｂ．1 Ｃ．1或3 Ｄ．或答案：Ｄ5. 如图，在△ 中，，，若以为底面圆半径、为高的圆锥的侧面积为，以为底面圆半径、为高的圆锥的侧面积为，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．，有大小关系不确定答案：Ｂ 6. 如图，分别以等腰直角三角板的直角边、斜边为旋转轴旋转，所形成的旋转体的全面积依次记为，则的大小关系为（）(A) (B) (C) (D)无法判断答案：A二、填空题： 1. 圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、表面积的比是．答案： 2. 如图，圆锥的母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角答案： 3. 如图，圆锥的底面半径，高，则它的全面积为．答案：4. 一个圆锥形烟囱帽的底面直径是，母线长是，这个烟囱帽的侧面展开图的面积是．答案： 5. 用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如右图所示，圆锥的母线与相切于点，不倒翁的顶点到桌面的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为cm2（精确到答案：174三、解答题： 1. 圆锥形的烟囱帽的底面直径为，母线长为，求这个烟囱帽的侧面展开图的面积是多少？答案：． 2. 如图所示，直角梯形中，，，，以所在直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求它的表面积．答案：四边形为矩形，．在Rt△ 中，．，，，． 3. 一个圆锥形零件的母线长为，底面的半径为，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．答案：侧面积为，全面积为 4. 已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，扇形面积为 cm ．求这个圆锥的表面积．答案：11cm 5. 把一个半径为8cm的圆片，剪去一个圆心角为的扇形后，用剩下的部分做成一圆锥的侧面，求这个圆锥的高．答案：6. 已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．答案：底面圆的半径 cm，高 7. 已知：在△ 中，， cm， cm．以直线为轴把这个直角三角形旋转一周．求所得的旋转体的表面积．答案： cm ． 8. 已知母线长为的圆锥的侧面展开是一个圆心角为的扇形，求这个圆锥的底面半径．答案：由已知可得扇形弧长为，由，得，即这个圆锥的底面半径为． 9. 如图，某厂有一圆锥形的烟囱帽，其底面半径和高的比为，求它的侧面展开图的圆心角的度数．答案：设底面半径为，则高为，故母线长为，设圆心角为，则，，即圆心角为． 10. 如图所示，△ 中，，，，过点作直线，以直线为轴，将△ 旋转一周，求所得旋转体的表面积．答案：作，垂足为，作，垂足为，设所求的旋转体表面积为，以，，为母线的两个圆锥及圆柱的侧面积分别为，，，则．在Rt△ 中，，，．，，，．，，。
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积和全面积知识点一：圆锥的侧面积和全面积1、若把一个半径为12cm ，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是______ ，半径是______，圆锥的高是______ ，侧面积是______ ．2、圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为__________cm ，高为_________cm ，侧面积为__________cm 2.3、已知Rt △ABC 的两直角边AC =5 cm ，BC =12 cm ，则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_________cm 2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_______cm ，面积为_______cm 2.4、Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5cm ，BC ＝3cm ，以直线BC 为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是______，这个圆锥的侧面积是______ ，圆锥的侧面展开图的圆心角是______ ．5、如图,已知圆锥的底面半径为3,母线长为4,则它的侧面积是 ( )．A. π24B. π12C.π6D. 126、若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则它的侧面积为 ( )．A ．2πcm 2B ．3πcm 2C ．6πcm 2D ．12πcm2 7、.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长为3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）A.6 m 2B.6π m 2C.12 m 2D.12π m 28、在Rt ABC △中,90C = ∠,12AC =,5BC =,将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥,则该圆锥的侧面积是( )A.25πB.65πC.90πD.130π9、若圆锥的底面积为16πcm 2，母线长为12cm ，则它的侧面展开图的圆心角为 ( )．A ．240°B ．120°C ．180°D ．90°10、圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )A.180°B.200°C.225°D.216°11、若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 ( )．A ．120°B ．1 80°C ．240°D . 300°12、如图1,现有一个圆心角为90°,半径为8cm 的扇形纸片,用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则该圆锥底面圆的半径为( )A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm·图113、一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π,则这个圆锥底面圆的半径为( )A.6B.12C.24D.2314、如图，扇形OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为( )．A ．21 B ．22 C ．2 D ．22 15、把一个半径为4cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为( ) A.3cm; B.32cm; C.34cm; D.4cm16、底面直径为6cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为 ( )．A ．5cmB ．3cmC ．8cmD ．4cm17、若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为（ ）A.aB. a 33 C.3a D.23a 知识点二：综合运用1、已知圆柱的底面半径长和母线长是方程4x 2－11x +2=0的两个根，则该圆柱的侧面展开图的面积是_____.2、已知圆锥的侧面积为π82cm ，侧面展开图的圆心角为45°，求该圆锥的母线长3、如图小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形纸帽，纸帽的底面半径为9cm ，母线长为30cm ，制作这个纸帽至少需要纸板的面积至少为多少cm 2．（结果保留π）4、如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，求围成的圆锥的侧面积5、如图，一把遮阳伞撑开时母线长为2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少120︒B O A6cm。
圆锥的侧面积(巩固篇)(专项练习)
专题2.13 圆锥的侧面积（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，圆锥的底面圆半径r 为5cm ，高h 为12cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．65πcm 2B ．60πcm 2C ．100πcm 2D ．130πcm 22．从半径为8cm 的圆形纸片剪去圆周14的一个扇形，将剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A ．10cmB ．C ．8cmD ．6cm3．如图，O 是ABC 的外接圆，22.5,8ABO ACO BC ∠=∠=︒=，若扇形OBC （图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（ ）AB ．CD 4．已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A ，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线P A 中点B ，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）A ．πB C ．D ．2π5．如图所示，矩形纸片ABCD 中，6cm AD =，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）A ．24πcmB ．25πcmC ．26πcmD ．28πcm6．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D 处，则最短路线长为（ ）AB C ．D ．27．如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（ ）cm ．A ．14B ．12C ．10D ．88．如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm ．A ．15B ．30C ．45D ．30π9．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A．54B．2C．52D．410．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（）A．4B．C．D．二、填空题11．如果圆锥底面圆的半径为3cm，它的侧面积为12 cm2，则这个圆锥的母线长为_____cm．12．如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝___cm．13．如图，菱形ABCD，∠A＝135°，以点C为圆心的弧EF分别与AB、AD相切于点G、H，与BC、CD分别相交于点E、F，用扇形CEF做成圆锥的侧面，则这个圆锥的高是_____．（结果保留根号）14．一个母线长为6cm ，底面半径为3cm 的圆锥展开后得到的侧面展开图扇形的圆心角是___度．15．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的周长为_____．16．如图，已知圆锥的母线AB 长为40 cm ，底面半径OB 长为10 cm ，若将绳子一端固定在点B ，绕圆锥侧面一周，另一端与点B 重合，则这根绳子的最短长度是______________．17．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D 处，则最短路线长为__________．18．如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为______m ．三、解答题19．一块四边形ABCD 余料如图所示，已知AD BC ∥，2AD =米，AB =点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F，用扇形AFD围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径．20．如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形．求：（1）圆锥的底面半径；（2）圆锥的全面积．21．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：(1) 利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______；(2) 连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______；(3) 连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．22．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm．(1) 求扇形AOB的弧长和扇形面积；(2) 若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．23．如图，已知圆锥的底面半径r为10cm，母线长为40cm．求它的侧面展开扇形的圆心角的度数和它的全面积．24．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=,现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．参考答案1．A【分析】根据圆锥的侧面积公式：S =πrl ，直接代入数据求出即可． 解：由圆锥底面半径r =5cm ，高h =12cm ，根据勾股定理得到母线长l （cm ）， πrl =π×5×13=65π（cm 2）， 故选：A ．【点拨】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．2．B【分析】先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利用勾股定理即可求得圆锥的高.解：圆心角是：1704360(1)2,︒⨯-=︒则弧长是：270812(cm),180ππ⨯= 设圆锥的底面半径是r ，则212r ππ=， 解得：r =6, 则圆锥的高是：=故选：B.【点拨】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.3．D【分析】根据圆的性质，勾股定理求出圆的半径OB ，再根据扇形的弧长公式即可求解；解：根据圆的性质，2BOC A ∠=∠180180A ABO OBC ACO OCB OBC BOC OCB ∠+∠+∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∵， A ABO ACO BOC ∠+∠+∠=∠∴∵2BOC A ∠=∠，22.5ABO ACO ∠=∠=︒90BOC ∴∠=︒∵8OB OC BC ==，∴OB OC =∴124BC π=⋅⋅=∴圆锥底面圆的半径为：2r π==∴圆锥的高h =故选：D【点拨】本题主要考查圆的性质、勾股定理、弧长公式的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．4．C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB ，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，则线段AB 就是蚂蚁爬行的最短距离．∵点B 是母线P A 的中点，4PA =， ∴2PB =，∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长， 又∵圆锥底面半径为1，∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即22l r ππ==，扇形的半径=圆锥的母线=P A =4， 由弧长公式可得：42180180n R n l πππ⨯=== ∴扇形的圆心角90n =︒，在Rt △APB 中，由勾股定理可得：AB =所以蚂蚁爬行的最短路程为故选：C．【点拨】.本题考查平面展开--最短路径问题、圆的周长计算公式、弧长计算公式，勾股定理等知识，解题的关键是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形．5．B【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到()9062180rπ⨯-=2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r根据题意得()9062180rπ⨯-=2 πr，解得r＝1，侧面积=1·2?442rππ=，底面积=2rππ=所以圆锥的表面积=25πcm，故选：B．【点拨】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．6．A【分析】把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可．解：∵圆锥的底面周长为2π∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为21801802nππ⨯︒==︒，如图∴∠BAD=90゜∵D为AC的中点∴112122AD AC==⨯=在Rt△BAD中，由勾股定理得BD故选：A【点拨】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形弧长公式，本题体现了空间问题平面化，这是一种重要的数学思想方法．7．C【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出AB的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出DB的值，再在Rt△ABD 中，根据勾股定理求出AD 的长，即可得答案．解：圆柱侧面展开图如下图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB =6cm，∵BC=10cm，DC=2cm，∴DB=8，在Rt△ABD 中，10AD=( cm )，即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短距离是10cm，故选：C ．【点拨】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．8．A【分析】作出等腰三角形底边上的高线OE，首先根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出等腰三角形底边上的高线OE的长度，即得到扇形OCD所在的圆的半径R，然后根据弧长公式求出CD的长度，CD的长度即为圆锥底面圆的周长，最后根据周长求出半径即可．解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，∴A ∠=30°，1452OE OA ==cm ， ∴12024530360CD ππ=⨯⨯=cm ， 设圆锥的底面圆半径为r cm ，根据题意得，230r ππ=，解得15r =，所以该圆锥的底面圆的半径为15cm ，故选A ．【点拨】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、扇形的弧长公式、圆的周长公式，准确将扇形的弧长转化为底面圆的周长是解决本题的关键． 9．A【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即半径为5的扇形对应的弧长152542l ππ=⨯⨯= 设圆锥底面半径为r ，则522r ππ= 54r ∴= 故选：A ．【点拨】本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．10．C【分析】先计算出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．解：正六边形的外角和为360︒，∴正六边形的每个外角的度数为360660，∴正六边形的每个内角的度数为18060120︒-︒=︒，设该圆锥的底面半径为r ， 则120226360r ππ=⨯⨯， 解得2r =，∴=故选：C ．【点拨】本题考查了正多边形与圆及圆锥的相关计算，以及勾股定理的应用，熟练掌握扇形与扇形所围圆锥侧面之间的等量关系是解题的关键．11．4【分析】设圆锥的母线长为l cm ，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到123122l ππ⨯⨯⨯=，然后解方程即可． 解：由扇形面积公式2360n S r π=⨯和弧长公式2360n l r π=⨯可得12扇形S lr ， 设圆锥的母线长为l cm ，根据题意知侧面展开扇形的弧长为23π⨯，从而得到123122l ππ⨯⨯⨯=， 解得l ＝4，即圆锥的母线长为4cm ，故答案为：4．【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．5【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．解：∵圆锥的母线长是10cm ，侧面积是50πcm 2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l 210010s r π===10π（cm ）， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r 1022l πππ===5（cm ）， 故答案为：5．【点拨】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．13 【分析】先连接CG ，设CG R =，由三角函数定义求得扇形的半径即圆锥的母线长，根据弧长公式180n R l π=，再由2180n R r ππ=，求出底面半径r ，最后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 解：如图： 连接CG ，135C ∠=︒，45B ∴∠=︒，AB 与EF 相切，CG AB ∴⊥，在直角CBG ∆中，sin 451CG BC =⋅︒==，即圆锥的母线长是1， 设圆锥底面的半径为r ，则：13512180r ππ⨯=， 38r ∴=．则圆锥的高h ==．【点拨】本题考查的是圆锥的计算， 先利用直角三角形求出扇形的半径， 运用弧长公式计算出弧长， 然后根据底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径 ．14．180【分析】先计算出展开的扇形的弧长，再计算出以母线为半径的圆的周长，再根据圆心角公式即可得到答案．解：∵母线长为6l =cm ，底面半径为3r =cm ，∴展开的扇形的弧长为26r ππ=，以母线为半径的圆的周长为212l ππ=，∴侧面展开图扇形的圆心角=636018012ππ︒⨯=︒， 故答案为：180︒．【点拨】本题考查圆锥的性质，解题的关键是熟练掌握圆锥的相关知识． 15．83π【分析】由圆锥底面的周长=扇形的弧长，利用弧长公式解题．解：圆锥底面的周长=扇形的弧长120481801803n r l πππ⨯=== 故答案为：83π． 【点拨】本题考查扇形的弧长等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角90,BAB '∠=︒ 再利用勾股定理求解即可.解：圆锥的侧面展开图如图所示：设圆锥侧面展开图的圆心角为n °， 圆锥底面圆周长为210=20，40=20,180n BB 则n =90， ∵40,AB AB 224040402,BB即这根绳子的最短长度是，故答案为：【点拨】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键.17．【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE ．线段AC 与BB'的交点为F ，线段BF 是最短路程．解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF 为所求的最短路程．设∠BAB′＝n°．∵6180n π⋅＝4π， ∴n ＝120即∠BAB′＝120°．∵E 为弧BB′中点，∴∠AFB ＝90°，∠BAF ＝60°，∴BF ＝AB•sin ∠BAF ＝∴最短路线长为故答案为：【点拨】本题考查了平面展开−最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维．18．23π 【分析】连接OA ，OB ，OC ，证明AOB 是等边三角形，从而求得AB 的长，然后利用弧长公式计算出BOC 的长度，即是该圆锥底面圆的周长．解：如图，连接OA ，OB ，OC ，∵OB OC =，∴OB OC =， ∴1602BAO CAO BAC ∠=∠=∠=︒， ∴AOB 是等边三角形，∴1AB OA ==，∵120BAC ∠=︒，∴BOC 的长为：12021803AB ππ⋅⋅= ， 即该圆锥的底面圆的周长为23π ． 故答案为：23π． 【点拨】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，解题的关键要掌握扇形弧长与底面圆周长相等．19．34r = 【分析】连接AE ，利用勾股定理得AE =BE ，由此即可求出∠ABE 的度数，再先求出扇形的圆心角∠DAB 的度数，再由弧长公式求出弧长，此弧长就是所得圆锥的底面圆的周长，由圆的周长公式即可求得所得圆锥的底面半径．解：如图，连接AE ，∵AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，∴AE ⊥BC ，AE =AD =2．在Rt △AEB 中，∵AB =AE =2，∴AE =BE =2，∴∠ABE =45°．∴ABE △是等腰直角三角形，45BAE ∠=︒，设圆锥底面半径为r ， 由题意得135222360r ππ⨯⨯=， 解得34r =． 【点拨】本题考查了切线的性质、平行线的性质、圆锥的计算，解题的关键是掌握所涉及的知识要点，并能够灵活运用．20．（1）圆锥的底面半径为3cm ；（2）圆锥的全面积236cm S π=【分析】（1）扇形的弧长公式l =180n r π，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径；（2）S 圆锥= S 侧+S 底，S 侧面=12lR ，S 底=2r π，（R =扇形半径即圆锥母线长，r =底面圆半径）将已知条件代入即可.解：（1）设圆锥的底面半径为cm r ． 扇形的弧长为12096180l ππ⨯==， ∴26r ππ=，解得3r =，∴圆锥的底面半径为3cm ． （2）圆锥的侧面积：S 侧面=12lR =()216927cm 2ππ⨯⨯=． 园锥的底面积：S 底=239(cm)ππ⨯=．∴圆锥的全面积S 全=S 侧+S 底=()227936cm πππ+=．【点拨】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分.21．(1)（2，0）(3)4π 【分析】（1）线段AB 与BC 的垂直平分线的交点为D ；（2）连接AC ，先判断∠ADC =90°，则可求AC 的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，由此可求底面圆的半径；（3）设AB 的中点为E ，线段AB 的运动轨迹是以D 为圆心DA 、DE 分别为半径的圆环面积．（1）解：过点（2，0）作x 轴垂线，过点（5，3）作与BC 垂直的线，两线的交点即为D 点坐标，∴D （2，0），故答案为：（2，0）；（2）解：连接AC ，∵A （0，4），B （4，4），C （6，2），∴AD =CD =AC =∵AC 2＝AD 2+CD 2，∴∠ADC ＝90°，∴AC 的长124π=⨯⨯， ∵扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，2r π=，∴r =，； （3）解：设AB 的中点为E ，∴E （2，4），∴DE ＝4，∴S ＝π×（AD 2﹣DE 2）＝4π，∴线段AB 扫过的面积是4π.,【点拨】本题考查圆锥的展开图，垂径定理，能够由三点确定圆的圆心位置，理解圆锥展开图与圆锥各部位的对应关系是解题的关键．22．(1)6cm π，227cm π(2)【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式求解即可；（2）先求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求解即可．（1）解：由题意得扇形AOB 的弧长12096cm 180ππ⨯⨯==，221209==27cm 360AOB S ππ⨯⨯扇形； （2）解：如图所示，AH 为底面圆的半径，OA 为母线长，由题意可得=9cm OA ，63cm 2AH ππ==，∴OH ==．【点拨】本题主要考查了求扇形面积，求弧长，求圆锥的高，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握弧长公式和扇形面积公式．23．90°，500π【分析】根据由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可求．解：由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可知：π402π10180n ⨯⨯⨯=，90n =︒， ∴侧面展开扇形的圆心角的度数是90°．全面积＝底面积＋展开侧面积， 全面积为：2290π40π10500π360⨯⨯⨯+=． 【点拨】本题考查了圆锥全面积和展开图圆心角的度数，解题关键是明确圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，根据题意列方程求解．24．【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解．解：设扇形的圆心角为n ，圆锥的在Rt △AOS 中，∵r=20cm ，h=，∴由勾股定理可得母线，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=18080n π⨯. ∴n=90°即△SAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：．∴蚂蚁爬行的最短距离为．【点拨】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解．。
圆锥的侧面积和全面积(附答案)-
圆锥的侧面积和全面积1．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（•）A．32cm B．3cm C．4cm D．6cm2．（阅读理解题）下面的解答对吗？若错误，请改正．题目：已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°，底面积为15cm2，则圆锥的侧面积为多少？解：∵底面15cm2，∴πr2=15，即r2=15π．∵扇形的圆心角为180°，∴圆锥侧面积为2180360rπ=7.5cm2．3．如果圆锥的母线长为6cm，底面直径为6cm，•那么这个圆锥的全面积为______cm2．4．（过程探究题）补充解题过程：牧民居住的蒙古包的形状一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图1所示，请你算出要搭建这样一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（π取3.14，•结果保留一位小数）解：圆锥的底面半径为r=_______，高为1.2m，则据勾股定理可求圆锥的母线a=•_______=______．圆锥的侧面积：S扇形=πar=______=______．圆柱的底面周长为________．圆柱的侧面积是一个长方形的面积，则S长方形=_______．搭建一个这样的蒙古包至少需要_______平方米的篷布．图1 图2 图35．一个扇形如图2所示，半径为10cm，圆心角为270°，•用它做成一个圆锥的侧面，那么圆锥的高为______cm．6．圆锥的母线长为5cm，高为3cm，在它的侧面展开图中，•扇形的圆心角是________．7．如图3所示，用一个半径为R，圆心角为90°的扇形做成一个圆锥的侧面，设圆锥底面半径为r，则R：r=________．8．劳技课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10cm，•母线长50cm，则制成一顶这样的纸帽所需纸面积至少为（）A．250πcm2B．500πcm2C．750πcm2D．100πcm29．从一个直径为1的圆形铁皮上剪出一个圆心角为120°的扇形ABC，用所剪的扇形铁皮围成一个圆锥，此圆锥的底面圆半径为（）A．23B．13C．16D．4310．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（•）A．32cm B．3cm C．4cm D．6cm11．（阅读理解题）下面的解答对吗？若错误，请改正．题目：已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°，底面积为15cm2，则圆锥的侧面积为多少？解：∵底面15cm2，∴πr2=15，即r2=15π．∵扇形的圆心角为180°，∴圆锥侧面积为2180360rπ=7.5cm2．12．如果圆锥的母线长为6cm，底面直径为6cm，•那么这个圆锥的全面积为______cm2．13．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．（1）求扇形的弧长．（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的全面积是多少？14．在如图所示，一个机器零件（尺寸单位：mm）表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件的表面积．15．（教材变式题）如图所示是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（面积计算结果用表示）p答案:回顾探索扇形，L，2πr，πrL，πr（L+r）课堂测控1．B2．错正解：设圆锥的底面半径为r，扇形的半径为a，则πr2=15，∴2πr=218015180,22,180360aa a r Sπππ⨯∴==∴==2．3．27π4．52m，，2.77，2.77×3.14×2.5，21.74，15.7，28.26，50.0课后测控1．522．288°3．4：1 4．B 5．C6．解：（1）212012030300,30.360180RR lπππ=∴=∴==20πcm．（2）2πr=L，r=10，∴S底=πr2=100π，∴S全=S侧+S底=400π．7．解：S表面积=S圆柱侧+S圆锥侧+S圆柱底=2πrh+πrL+πr2=8000π+2000π+1600π=11600π≈3.64×104（mm2）．8．解：由题意可知：AB=6π，CD=4π，设∠AOB=n°，AO=R，则CO=R-8，由弧长公式得：(8)6,180180n R n Rπππ-==4π．解方程组618045 4180824nR nnR n R cm ⨯==⎧⎧⎨⎨⨯=-=⎩⎩得．故扇形OAB的圆心角是45°，OC=R-8=16（cm），所以S扇形OCD=12×4π×16=•32π（cm2），S扇形OAB=12×6π×24=72π（cm2），S纸杯侧面积=S扇形OAB-S扇形OCD=40π（cm2），S纸杯底面积=π·22=4π（cm2），S纸杯表面积=40π+4π=44π（cm2）．。
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达标训练
基础·巩固·达标
1．圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为__________cm ，高为_________cm ，侧面积为__________cm 2. 提示：圆的面积为 S=πr 2，所以 r=∏∏
25=5(cm)；圆锥的高为22513-=12(cm)；侧面积为 2
1
×10π·13=65π(cm 2
).
答案：5 12 65π
2.圆锥的轴截面是一个边长10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为__________cm 2，锥角为_________，高为__________cm.
提示：S 侧面积=2
1
×10π×10=50π(cm 2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高.
答案：50π
60
3
5
3.已知Rt △ABC 的两直角边AC =5 cm ，BC =12 cm ，则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为___________cm 2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________cm ，面积为_________cm 2.
提示：以BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，母线长为
13 cm.利用公式计算.
答案：65π
10π
65π
4.如图24-4-16，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.
图24-4-16
提示：圆锥的全面积为侧面积加底面积. 答案：16π
5.若圆锥的底面直径为 6 cm ，母线长为 5 cm ，则它的侧面积为___________.（结果保留π）
提示：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则r=3 cm ，l=5 cm
∴S 侧=πr ·l=π×3×5=15π（cm 2）.
答案：15π
6.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥
A.a
B.
a 3
3 C.3a D.
2
3a
提示：展开图的弧长是a π，故底面半径是2
a ，这时母线长、底面半径和高
构成直角三角形.答案：
D
7.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长为3 m ，为
A.6 m 2
B.6π m 2
C.12 m 2
D.12π m 2
提示：侧面积=2
1底面直径·π·母线长=2
1×4×π×3=6π(m 2).
答案：
B
8．在Rt △ABC 中，已知AB =6，AC =8，∠A =90°.如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S
2.那么S 1∶S 2
A.2∶3
B.3∶4
C.4∶9
D.5∶12
提示：根据题意分别计算出S 1和S 2即得答案.在求S 1和S 2时，应分清圆锥侧面展开图（扇形）的半径是斜边BC ，弧长是以AB （或AC ）为半径的圆
的周长.
∵∠A =90°，AC =8，AB =6，
∴BC =222268+=+AB AC =10.
当以AC 为轴时，AB 为底面半径，S 1=S 侧＋S 底=πAB ·BC ＋πAB 2=π×6×10＋π×36=96π.
当以AB 为轴时，AC 为底面半径，S 2=S 侧＋S 底=80π＋π×82=144π.
∴S 1∶S 2=96π∶144π=2∶3A
.
答案：
A
综合·应用·创用
9．一个圆锥的高为33 cm ，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥母线与底面半径的比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的全面积.
提示：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开图中扇形的弧长,锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，
就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积. 解：如图，AO 为圆锥的高，经过AO 的截面是等腰△ABC ，则AB 为圆锥母线l ，BO 为底面半径r.
（1）因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl ，则r
l =2；
（2）因r
l =2，则有AB =2OB ，∠BAO =30°，所以∠BAC =60°，即锥角为60°.
（3）因圆锥的母线l ，高h 和底面半径r 构成直角三角形，所以l 2=h 2＋r 2；又l=2r ，h=33
cm ，则r=3 cm ，l=6 cm.
所以S 表=S 侧＋S 底=πrl ＋πr 2=3·6π＋32π=27π（cm 2）.
10．已知圆锥底面直径AB =20，母线SA =30.C 为母线SB 的中点.今有一小虫沿圆锥侧面从A 点爬到C 点觅食.问它爬过的最短距离应是多少？ 提示：小虫沿圆锥侧面从A 点爬到C 点，其轨迹是空间的一条曲线，且在一曲面上.依题意画出圆锥的侧面展开图，如图所示.不难看出，母线S B 把扇形分成相等的两部分.从A 点到C 点的线段AC 的长度就是所求的最短距
离.
答案： 315.
回顾·热身·展望
11．（2010东北师大附中月考） 如图24-2-17①，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图24-2-17②所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系是（ ）
A.R=2r
B.R=94r
C.R=3r
D.R=4r
图24-2-17 答案：
D
12．（河北模拟） 如图24-4-18，已知圆锥的母线长OA =8，地面圆的半径r =2.若一只小虫从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则小虫爬行的最短路线的长是__________.（结果保留根式）
图24-4-18
提示：如右图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是
︒∏
︒
⨯∏⨯⨯90818022＝，
连接AB ，则△AOB 是等腰直角三角形，OA =OB =8，所以AB =288822＝+.
答案：28
13.(江苏南通模拟) 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm ，则它的侧面积为__________cm 2（结果保留π）.
提示：S 圆锥侧=2
1
×2×π×2
1×4×4=8π. 答案：8π
14.(四川内江课改区模拟) 如图24-1-19，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6ｍ的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是____________ｍ.（结果不取近似数）
图24-4-19
提示：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的P B （如图）. 则扇形的圆心角为
6
6
180⨯∏⨯∏⨯=180°.因为P 在AC
所以∠P AB =90°.在Rt △P AB 中，P A =3，AB =6
则P B =533622＝+.
答案： 53。