函数的基本概念
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。
一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。
其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。
例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。
对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。
函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。
2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。
换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。
3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。
换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。
4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。
换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。
三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。
例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。
一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。
函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。
在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。
2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。
即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。
这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。
如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。
反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。
如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。
如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。
在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。
在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数在数学里是一种非常重要的数学对象，被广泛应用于各个领域。
它具有一些基本的概念和性质，下面将介绍它们。
一、函数的基本概念函数是一种对应关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的唯一元素上。
一般来说，设A和B是两个非空集合，如果对于A中的每个元素a都有唯一确定的元素b与之对应，那么我们就说存在一个从A到B的函数。
通常用f表示这个函数，可以写作f：A→B。
其中，A称为函数的定义域，B称为函数的值域。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是定义函数的两个重要方面。
函数的定义域指的是所有输入的可能值，而值域则是所有可能的输出值。
2. 单射、满射和双射：函数的性质可以根据其映射关系来分类。
如果一个函数每个不同的输入值都有不同的输出值，那么它是一个单射函数，也被称为一一对应函数。
如果一个函数的值域与其值域相等，即每个值域中的元素都有对应的定义域元素，那么它是一个满射函数。
而如果一个函数既是单射又是满射，那么它被称为双射函数，也叫做一一映射函数。
3. 复合函数：复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入而得到的函数。
假设有两个函数f：A→B和g：B→C，那么它们的复合函数是指另一个函数h：A→C，其中 h(x) = g(f(x))。
4. 反函数：有些函数存在反函数，反函数是指与原函数的映射关系相反的另一个函数。
如果一个函数f：A→B存在反函数，那么它的反函数可以表示为f^(-1)：B→A。
5. 奇偶函数：如果一个函数f(-x) = f(x)对于任意x成立，那么它被称为偶函数。
如果一个函数f(-x) = -f(x)对于任意x成立，那么它被称为奇函数。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，这类函数被称为既非奇也非偶的函数。
6. 周期函数：如果一个函数f(x + T) = f(x)对于任意x成立，其中T是一个常数，那么函数f是一个周期函数，周期为T。
7. 上下界和最值：函数的上下界是指函数在定义域上能够取到的最大值和最小值。
函数基本概念与性质
函数基本概念与性质函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念与性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、函数的基本概念在数学中，我们把一种关系描述为函数，当且仅当每个自变量（输入值）对应唯一的因变量（输出值）。
函数可以用各种符号表示，例如"f(x)"、“y=f(x)”或者"y = f(x)"。
1. 自变量和因变量：函数的自变量表示输入值，通常用x表示；函数的因变量表示输出值，通常用y表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。
3. 关系图像：函数的关系图像是将自变量和因变量用平面直角坐标系表示出来的图形。
二、函数的性质函数有一些基本的性质，包括可确定性、唯一性、单调性、有界性等。
1. 可确定性：给定自变量的值，函数能够唯一确定因变量的值。
2. 唯一性：每个自变量对应唯一的因变量，同一个因变量不会有多个自变量对应。
3. 单调性：函数在定义域上可能是递增的（函数值随自变量的增大而增大）、递减的（函数值随自变量的增大而减小）或者保持不变。
4. 有界性：函数可能在定义域上有上界或下界，也可能同时存在上界和下界，或者没有有界性。
三、函数的应用函数在数学中有着非常广泛的应用，同时也在其他学科和实际问题中起到重要的作用。
1. 函数在代数学中可以用来表示各种数学关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2. 函数在微积分中用来描述变化率和导数，帮助我们求解曲线的斜率和极值等问题。
3. 函数在统计学中用来表示随机变量的分布、概率密度函数、累积分布函数等。
4. 函数在物理学中用来描述各种物理量之间的关系，如速度和时间的关系、位移和时间的关系等。
总结：函数是数学中重要的概念之一，具有可确定性、唯一性、单调性和有界性等性质。
函数在数学和实际问题中有着广泛的应用，包括代数学、微积分、统计学和物理学等领域。
函数的基本定义
§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法．2．映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 5．函数定义域的求法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × )(4)f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2， －1≤x ≤1，x ＋1，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2， －1≤x ≤1，－x ＋1，x >1或x <－1.( √ )(5)函数是特殊的映射．( √ )(6)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )1．(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x >0，解得x >1或x <0.所以函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为 (－∞，0)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值组成的集合为________．答案 {3,0}解析 当a >0时，由log 3a ＝1，解得a ＝3>0，符合题意，当a ≤0时，由(13)a ＝1，解得a ＝0，符合题意，综上所述，a ＝0或a ＝3. 4．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图像不是一条直线； 对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 (2)下列四个图像中，是函数图像的是( )A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④答案 (1)A (2)B解析 (1)A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)， f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.(2)由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图像，①③④是函数图像． 题型二 求函数的解析式例2 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)(2013·安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，则f (x )＝________.答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－x (x ＋1)2 (3)2x －1x(x ≠0) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)把题目中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x，联立方程⎩⎨⎧2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①2f (1x )＋f (x )＝3x，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x (x ≠0)．即f (x )＝2x －1x (x ≠0)．题型三 求函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)(2013·大纲全国)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)答案 (1)B (2)B解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为(－1，－12)．思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________________________________________________________________________． 答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型四 分段函数例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2B ．1C. 2D ．－ 2答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a ,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2； 当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.思维升华 (1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．(2)在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (19))＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝12的解集为________．答案 (1)14 (2){－1，22，2}解析 (1)f (f (19))＝f (log 319)＝f (－2)＝2－2＝14.(2)当x ≤0时，解2x ＝12得x ＝－1；当x >0时，解|log 2x |＝12得x ＝22或x ＝ 2.所以方程f (x )＝12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，22，2.分段函数意义理解不清致误典例：已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案 －34温馨提醒 (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.方法与技巧1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解．失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2>1， 解得x >2或0<x <12.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.139答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( )A ．－2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 答案 D解析 f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 6．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(填序号)①P ＝Z ，Q ＝N ＋，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对集合P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应．答案 ②解析 由于在①中，集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而知只有②正确．7．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________. 答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，f (x －2)，x >2，则f (log 27)＝________. 答案 74解析 f (log 27)＝f (log 27－2)＝f (log 274)＝27log 42＝74. 9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . 10．某人开汽车沿一条直线以60km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图像．解 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ， 0≤t ≤52，150， 52<t ≤72，150－50，(t －72) 72<t ≤132. 图像如右图所示． B 组 专项能力提升 (时间：15分钟) 11．已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. A ．11B ．10C ．12D ．9 答案 A解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.12．(微课)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3} 答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]；当a ≤x <0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)， 所以[－12a ，－1)⊆[－8,1]，－8≤－12a <－1， 即－3≤a <0.13．已知f (x )＋2f (－x )＝3x －2，则f (x )＝______.答案 －3x －23解析 由f (x )＋2f (－x )＝3x －2，①可得f (－x )＋2f (x )＝－3x －2，②①－②×2得，－3f (x )＝3x －2－2(－3x －2)＝9x ＋2，∴f (x )＝－3x －23. 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是____________________． 答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图像，得⎩⎨⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， ∴y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2， 得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
函数的基本概念及其应用
函数的基本概念及其应用函数是数学中常见的一个概念，其应用广泛，涉及多个学科领域。
本文将介绍函数的基本概念和应用。
一、函数的定义函数是一种映射关系，描述了一个变量集合中每个元素与另一个集合中唯一元素之间的对应关系。
通俗来说，函数就是一种从一个集合到另一个集合的规则或方法。
二、函数的符号表示一般地，用小写字母表示自变量，用对应的大写字母表示函数，即y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 是函数，表示自变量 x 经过函数 f 后得到的因变量 y。
三、函数的图像表示函数的图像是平面直角坐标系上的曲线或线段，描述了函数在自变量变化过程中因变量的取值变化规律。
函数图像的性质和特征能够帮助我们更好地理解和应用函数。
四、函数的种类函数的种类有很多，常见的包括：1、常函数：对于任意自变量 x，函数值都相同，即 f(x) = c，其中 c 为常数。
2、一次函数：函数的形式为 f(x) = kx + b，其中 k、b 为常数，是线性函数的一种。
3、二次函数：函数的形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 都是常数，是一个二次曲线函数。
4、指数函数：函数的形式为 f(x) = a^x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数，是一种以常数为底数的指数函数。
5、对数函数：函数的形式为 f(x) = loga x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数，是一种以常数为底数的对数函数。
五、函数的应用函数的应用广泛，涉及多个学科领域。
以下是一些典型的应用场景：1、物理学中，速度、加速度等都是自变量和因变量之间的函数关系。
2、经济学中，供给与需求、成本与收益、投资回报等都是函数关系。
3、计算机科学中，算法可以看做输入和输出之间的函数关系。
4、金融学中，复利计算、合理定价等都需要函数概念。
5、生物学中，进化规律、遗传规律等都可以用函数来描述。
六、总结本文介绍了函数的基本概念和应用。
函数数学知识点归纳
函数数学知识点归纳函数是数学中一个重要的概念，它描述了不同数值之间的关系。
函数的概念在数学中有广泛的应用，包括代数、几何、微积分等领域。
以下是一些函数的基本概念和常见知识点的归纳：1.函数的定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
通常用f(x)表示函数，表示将输入x映射到输出f(x)。
函数可以用公式、图像或者表格表示。
2.定义域和值域：函数的定义域是所有可能的输入值的集合，也叫做自变量的取值范围。
值域是函数所有可能的输出值的集合，也叫做因变量的取值范围。
3.基本初等函数：常见的基本初等函数包括线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
这些函数在数学中有广泛的应用和研究。
4.函数的图像：函数的图像是在坐标平面上表示函数的点集合。
对于实数函数，通常用笛卡尔坐标系来表示函数的图像。
函数的图像可以通过画出一些特定的点或者使用连续曲线来表示函数的形状。
5.奇函数和偶函数：奇函数是满足f(-x)=-f(x)的函数，图像关于原点对称。
偶函数是满足f(-x)=f(x)的函数，图像关于y轴对称。
奇函数和偶函数在对称性、性质以及求值时有不同的特点。
6.函数的性质：函数可以有不同的性质，包括单调性、周期性、奇偶性、连续性等。
单调函数是指在定义域上递增或递减的函数；周期函数是指存在一个正数T，对任意x，有f(x+T)=f(x)的函数。
7.函数的运算：函数之间可以进行一系列的运算，包括加法、减法、乘法、除法、复合等。
函数的加法是指将两个函数的输出相加，函数的减法是指将两个函数的输出相减，函数的乘法是指将两个函数的输出相乘，函数的除法是指将一个函数的输出除以另一个函数的输出。
8.反函数：如果一个函数f的定义域和值域对调，且对于定义域上的任意元素x和值域上的元素y，满足f(x)=y和f^(-1)(y)=x，那么f^(-1)是f的反函数。
反函数可以通过交换自变量和因变量得到。
9.复合函数：复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
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函数的基本概念
函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析的基础。
它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念以及一些常见的函数类型。
1. 函数的定义
函数是数学中一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式表示。
2. 函数的表示方法
函数可以通过不同的方式进行表示。
常见的表示方法包括：
- 变量表达式：如y = 2x + 1，其中y表示因变量，x表示自变量。
- 函数图像：通过绘制自变量和因变量之间的关系，可以得到函数的图像。
图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质。
- 函数表格：通过将自变量和因变量的对应关系列成表格形式，可以清晰地展示函数的取值情况。
3. 函数的定义域和值域
函数的定义域是指自变量的取值范围，即函数能够接受的输入。
函数的值域是指函数的所有可能输出值，即函数的取值范围。
定义域和值域是函数的重要性质，可以帮助我们了解函数的范围和性质。
4. 常见的函数类型
4.1 线性函数
线性函数是最简单的一种函数类型，其表达式为f(x) = ax + b，其中
a和b为常数，a不等于零。
线性函数的图像为一条直线，具有常等差
的特点。
4.2 幂函数
幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为整数。
幂函数的图像
根据n的不同而变化，n为偶数时图像可以是开口向上或向下的抛物线，n为奇数时图像则可以是一条直线。
4.3 指数函数
指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像通常呈现出逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增
长或指数衰减的特点。
4.4 对数函数
对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像通常呈现出逐渐增长但增长速度逐渐减缓的曲线，
具有反指数增长的特点。
4.5 三角函数
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像呈现
出周期性的波动，对于不同的角度取值，函数值也会不断变化。
5. 函数的性质
函数具有许多重要的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。
这些性质可以帮助我们深入了解函数的行为与特征，从而更好地应用函数解决实际问题。
6. 函数的应用
函数在科学、工程、经济等领域有着广泛的应用。
例如，物理中的运动学模型、经济学中的利润函数以及工程中的电路等都可以用函数来描述并解决问题。
总结：
函数是数学中的重要概念，通过对应关系将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义域和值域以及不同类型的函数都有其独特的特点和应用。
全面理解和掌握函数的概念对于学习和应用数学至关重要。