函数的概念及其表示

按某一个确定的对应关系 f，使对于
集合 A 中的___任__意____一个元素 x， 在集合 B 中都有_唯__一__确__定__的元素 y
与之对应
名称
称__f：__A__→__B_为从集合 A 到集合 B 的一个 称对应_f_：__A_→___B_为从集合 A 到集合
函数
B 的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
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6．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是__R______．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当 a>0 时，值域为________；当 a<0 时，值域为________．
(3)y＝kx(k≠0)的值域是_{y_|_y_≠_0__} _． (4)y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域是_(_0_，__＋__∞_．) (5)y＝logax(a>0 且 a≠1)的值域是__R______．
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[答案] x2－4x＋3
[解析] 由题意得 解得 ∴f(x)＝x2－4x＋3.
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4．[教材改编] 图 2-4-1 中的图像所表示的函 数的解析式为__________________．
图 2-4-1 [答案] y＝
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[解析] 由待定系数法设函数的 解析式为 y＝ax＋b，当 0≤x≤1
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知识聚焦
1． 函数与映射的概念
两集合 A，B
函数
设 A，B 是两个__非__空__数__集__
映射
设 A，B 是两个__非__空__集__合__
对应 关系 f：A→B
按照某个对应关系 f，对于集合 A 中的
__任__意_____一个数 x，在集合 B 中都存在 唯__一__确__定___的数 f(x)与之对应
时，由
解得
当
1<x≤2 时，由
解得
故函数的解析式为 y＝
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5．已知函数 f(x)＝x120＋x，6xx＋≥a0，，x<0，若 f(0) ＋f(－1)＝3，则实数 a 的值等于( )
A．7
B．9
29 C. 10
D．8
[答案] A [解析] 由 f(0)＝1，f(－1)＝a－ 5，依题意得 1＋a－5＝3，解得 a＝7.
5．常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不___等__于__零_． (2)偶次根式函数的被开方式__大__于__或___等__于__0_．
(3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)y＝ax(a>0 且 a≠1)，y＝sin x，y＝cos x 的定义域均为 R.
(5)y＝tan x 的定义域为_x_x_∈__R__且__x_≠_k_π__＋_____，_．k∈Z (6)函数 f(x)＝xa(a<0)的定义域为_{_x_|x_∈___R_且．x≠0}
(2)根据题意得
解得
故选 C.
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课堂考点探究
[总结反思] 求给定函数解析式的定义域，其实就是以函数解析式所含意义(分母不为零、偶次 根式的被开方式大于或等于零、真数大于零)为准则，列出不等式或不等式组，然 后求出它们的解集．
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课堂考点探究
变式题 [2016·江苏卷] 函数 y＝ 3－2x－x2的定 义域是________．
2．[教材改编] 函数 f(x)＝ |xx|－－54的定义域是 _____________．
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[答案] [4，5)∪(5，＋∞)
[解析] 要使函数有意 义，则有 解得 x≥4 且 x≠5.
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3．[教材改编] 若 f(x)＝x2＋bx＋c，且 f(1)＝ 0，f(3)＝0，则 f(x)＝________．
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对点演练
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的
打“×”)
(1)从非空集合 A 到非空集合 B 的映射即为从 A 到 B
的函数．( )
(2)函数 y＝f(x)的图像与直线 x＝a 最多有 1 个交
点．( )
(3)函数 f(x)＝1＋1 1x与 g(x)＝1＋x x的定义域相同．(
)
(4)若函数 f(x)＝l3oxg（4xx（≤x0>）0），，则其定义域、值域均
为 R.( )
[ 答 案 ] (1)× (2)√ (3)× (4)√
[解析] (1)函数是从非空数集到 非空数集的映射．
(3)若先化简再求函数的定义域， 要注意化简的等价性，本题在
x≠0PART 04
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第4讲
考试说明
1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的 概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、 列表法、 解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
)
A.0，12
B．(2，＋∞)
C.0，12∪(2，＋∞)
D.0，12∪[2，＋∞)
[思路点拨] (1)先求出已知函 数的定义域和值域，再对比 选项；(2)复合函数有意义要 使分母不为零、二次根式的 被开方式大于等于零、真数 大于零的条件同时成立．
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课堂考点探究
[答案] (1)D (2)C [解析] (1)y＝10lg x＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项 D 满足题意．
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课堂考点探究
考点一 函数的定义域
考向一 求给定函数解析式的定义域
例 1 (1)[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中，其定义域和值
域分别与函数 y＝10lg x 的定义域和值域相同的是
()
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x
D．y＝
1 x
(2)函数 f(x)＝ （log21x）2－1的定义域为(
3．函数的表示法
函数的常用表示方法：__解__析__法__ 、__图__像__法___ 、__列__表__法__．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的_对__应___关__系__，这样的函
数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
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对应 f：A→B
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2. 函数的三要素
函数由___定__义__域___ 、_____值__域___和对应关系三个要素构成．在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围 A 叫作函数的__定___义__域___ .与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值， 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的___值__域___