北师大版选修2-3课件：第一章 5.1 二项式定理
2016-2017学年高中数学第1章计数原理1.5.1二项式定理学案北师大版选修2-3讲义
1 5.1 二项式定理
1．能用计数原理证明二项式定理．(难点)
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 二项式定理
阅读教材P23～P24“例1”以上部分，完成下列问题．
1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________.
【答案】 C0nan＋C1nan－1b＋„＋Crnan－rbr＋„＋Cnnbn
2．二项式系数：__________________________________________________.
【答案】 Crn(r＝0,1,2，„，n)
3．二项式通项：______，即二项展开式的第______项．
【答案】 Crnan－rbr r＋1
4．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝________________________.
【答案】 1＋C1nx＋C2nx2＋„＋Crnxr＋„＋xn
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )
(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )
【解析】 (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．
(2)× 因为二项式的第k＋1项Cknan－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项 2 Cknbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．
(3)× 因为Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．
(4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
北师大版选修2《二项式系数的性质》教案及教学反思
北师大版选修2《二项式系数的性质》教案及教学反思
一、教学目标
1. 知识目标：了解二项式系数的定义，掌握二项式系数的计算公式，掌握二项式系数的基本性质。
2. 能力目标：培养学生的逻辑思维和运算能力。
3. 情感目标：培养学生对于数学思想的兴趣和热爱，增强学生数学信心。
二、教学重难点
重点：
1. 二项式系数的定义
2. 二项式系数的计算公式
3. 二项式定理的证明
难点：
1. 二项式系数的递推公式的推导
2. 证明二项式定理的几种方法
三、教学内容
1. 二项式系数的定义
定义：对于非负整数 𝑛 和 𝑘，二项式系数 𝐶𝑛𝑘 表示从 𝑛 个不同元素中取 𝑘 个元素的组合数。它的值可以用下式来计算：
$C_n^k=\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
2. 二项式系数的计算公式
公式1：𝐶𝑛𝑘=𝐶𝑛−1𝑘−1+𝐶𝑛−1𝑘 公式2：𝐶𝑛𝑘=𝐶𝑛𝑛−𝑘
公式3：$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$
3. 二项式系数的基本性质
性质1：二项式系数 𝐶𝑛𝑘 是整数。
性质2：𝐶𝑛𝑘=𝐶𝑛𝑛−𝑘
性质3：𝐶𝑛0=𝐶𝑛𝑛=1
性质4：$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$
四、教学方法
本课采用讲授、演示、练习三种教学方法相结合。主要通过讲解理论知识、演示例题以及组织思考和解决实际问题的案例来提升学生的数学运算和逻辑思维能力。
五、教学步骤
步骤1：引入
引入二项式系数的定义和意义，解释二项式系数在实际应用中的意义，并且给出几个简单的例子。
步骤2：讲解和演示
讲解二项式系数的计算公式和基本性质，并演示三个公式的证明。
步骤3：例题演练
给出一些例题进行练习，帮助学生掌握二项式系数的计算方法和性质。 步骤4：小组讨论
分小组进行讨论，在讨论的过程中，加强学生的交流和思考能力，让他们理解和掌握二项式系数的相关性质。
北师大版高中数学课本目录含重难点及课时分布
北师大版高中数学课本目录含重难点及课时分布
高 中 数 学 课 本 内 容 及 其 重 难 点
北师大版高中数学必修一
·第一章 会合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）
·1 、会合的基本关系
·2 、会合的含义与表示
·3 、会合的基本运算 （要点）
（ 2 课时）·第二 章函数
·1 、生活中的变量关系 ·2 、对函数的进一步认识
·3 、函数的单一性 （要点）
·4 、二次函数性质的再研究 （要点） ·5 、简单的幂函数
（ 5 课时）
·第三章 指数函数和对数函数
·1 、正整数指数函数
·2 、指数观点的扩大
·3 、指数函数 （要点）
·4 、对数
·5 、对数函数 （要点）
·6 、指数函数、幂函数、对数函数增减性 （要点）
（ 3 课时）·第四章 函数应用 ·1 、函数与方程
·2 、实质问题的函数建模 北师大版高中数学课本目录含重难点及课时分布
（2 课时）
北师大版高中数学必修二
·第一章 立体几何初步
·1 、简单几何体
·2 、三视图 （要点）
·3 、直观图（ 1 课时）
·4 、空间图形的基本关系与公义 （要点）
·5 、平行关系 （要点）
·6 、垂直关系 （要点）
·7 、简单几何体的面积和体积 （要点）
·8 、面积公式和体积公式的简单应用（ 要点 、难点 ）
（4 课时）
·第二章 分析几何初步
·1 、直线与直线的方程
·2 、圆与圆的方程
·3 、空间直角坐标系
（4 课时）
北师大版高中数学必修三
·第一章 统计
·1 、统计活动：随机选用数字
·2 、从普查到抽样
·3 、抽样方法
·4 、统计图表
·5 、数据的数字特点 （要点）
·6 、用样本预计整体
·7 、统计活动：成婚年纪的变化 北师大版高中数学课本目录含重难点及课时分布
·8 、有关性
·9 、最小二乘法
（3 课时）
·第二章 算法初步
·1 、算法的基本思想
新课程北师大版高中数学高考必考+选考内容教材目录
必考内容（必修+选修系列1，2）
《数学1》(必修)
全书共分四章：第一章集合；第二章函数；第三章指数函数和对数函数；第四章函数的应用
全书目录：
第一章 集合
§1 集合的含义与表示
§2 集合的基本关系
§3 集合的基本运算
阅读材料 康托与集合论
第二章 函数
§1 生活中的变量关系
§2 对函数的进一步认识
§3 函数的单调性
§4 二次函数性质的再研究
§5 简单的幂函数
阅读材料 函数概念的发展
课题学习 个人所得税的计算
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
§2 指数概念的扩充
§3 指数函数
§4 对数
§5 对数函数
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
阅读材料 历史上数学计算方面的三大发明
第四章 函数应用
§1 函数与方程
§2 实际问题的函数建模
阅读材料 函数与中学数学
探究活动 同种商品不同型号的价格问题
《数学2》(必修)
本书是根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的，包括两部分内容：第一部分是立体几何初步，第二部分是解析几何初步。
全书目录：
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
§2 三视图
§3 直观图
§4 空间图形的基本关系与公理
§5 平行关系
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
--
-- 高中数学课本内容及其重难点
北师大版高中数学必修一
· 第一章 集合(考点的难度不是很大，是高考的必考点)ﻫ· 1、集合的基本关系ﻫ· ２、集合的含义与表示ﻫ· ３、集合的基本运算（重点)
（2课时）
· 第二 章函数ﻫ· 1、生活中的变量关系
· 2、对函数的进一步认识ﻫ· 3、函数的单调性(重点)ﻫ· 4、二次函数性质的再研究（重点)
· ５、简单的幂函数
(５课时）ﻫ· 第三章 指数函数和对数函数
· １、正整数指数函数ﻫ· 2、指数概念的扩充
· 3、指数函数（重点)
· 4、对数
· 5、对数函数（重点)
· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）
（3课时）ﻫ· 第四章 函数应用ﻫ· １、函数与方程ﻫ· 2、实际问题的函数建模
（２课时）
北师大版高中数学必修二
· 第一章 立体几何初步ﻫ· 1、简单几何体ﻫ· 2、三视图(重点)
· 3、直观图(１课时)ﻫ· ４、空间图形的基本关系与公理（重点）ﻫ· ５、平行关系（重点)ﻫ· ６、垂直关系(重点)ﻫ· 7、简单几何体的面积和体积(重点)
· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点)
(4课时)
· 第二章 解析几何初步
· 1、直线与直线的方程ﻫ· ２、圆与圆的方程ﻫ· 3、空间直角坐标系
（4课时）
北师大版高中数学必修三
· 第一章 统计ﻫ· 1、统计活动：随机选取数字
· 2、从普查到抽样ﻫ· 3、抽样方法
· 4、统计图表ﻫ· 5、数据的数字特征（重点）ﻫ· 6、用样本估计总体
· 7、统计活动:结婚年龄的变化
· 8、相关性ﻫ· ９、最小二乘法 --
-- （３课时)ﻫ· 第二章 算法初步
· 1、算法的基本思想
· 2、算法的基本结构及设计（重点)ﻫ· 3、排序问题（重点)
· 4、几种基本语句
(2课时）
· 第三章 概率ﻫ· 1、随机事件的概率(重点)
· 2、古典概型(重点)
高中数学第一章计数原理5二项式定理知识导航北师大选修2-3创新
1 §5 二项式定理
自主整理
1.(a+b)n=_______________________________________________________________.
这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式，（a+b)n的二项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为二项式系数，_______________称为二项展开式的第_______________项，又称为二项式通项.
2.在二项式定理中，如果设a=1,b=x，则得到公式：
(1+x)n=____________________________________________________________.
3.当n依次取1,2,3,„时，(a+b)n展开式的二项式系数如下图所示：
图中所示的表叫作二项式系数表，它有这样的规律：①表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________，即_______________；②与首末两端“等距离”的两个二项式系数_______________，即_______________.
高手笔记
1.二项展开式的项数为n+1项.
2.各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
3.字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
4.二项式的系数从C0n,C1n,一直到C1nn,Cnn.
5.Tr+1=Crnan-rbr,可以表示（a+b)n的二项展开式中的任意一项，只要r确定.
6.Tr+1是（a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r项.
7.二项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a、b∈C)的展开式中，第r+1项的二项式系数是Crn，而第r+1项的系数为C.rrnrnba
高中数学 第一章 计数原理 1.5 二项式定理 牛顿一生成就素材 苏教版选修2-3
牛顿成就
力学成就
1679年，牛顿重新回到力学的研究中：引力及其对行星轨道的作用、开普勒的行星运动定律、与胡克和弗拉姆斯蒂德在力学上的讨论。他将自己的成果归结在《物体在轨道中之运动》（1684年）一书中，该书中包含有初步的、后来在《原理》中形成的运动定律。[7]
《自然哲学的数学原理》（现常简称作《原理》）在埃德蒙·哈雷的鼓励和支持下出版于1687年7月5日。该书中牛顿阐述了其后两百年间都被视作真理的三大运动定律。牛顿使用拉丁单词“gravitas”（沉重）来为现今的引力（gravity）命名，并定义了万有引力定律。在这本书中，他还基于波义耳定律提出了首个分析测定空气中音速的方法。[7]
由于《原理》的成就，牛顿得到了国际性的认可，并为他赢得了一大群支持者：牛顿与其中的瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒建立了非常亲密的关系，直到1693年他们的友谊破裂。这场友谊的结束让牛顿患上了神经衰弱。[7]
牛顿在伽利略等人工作的基础上进行深入研究，总结出了物体运动的三个基本定律（牛顿三定律）：
第一定律（即惯性定律）
任何一个物体在不受任何外力或受到的力平衡时（Fnet=0），总保持匀速直线运动或静止状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。
第二定律
①牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。力和加速度同时产生、同时变化、同时消逝。②F=ma是一个矢量方程，应用时应规定正方向，凡与正方向相同的力或加速度均取正值，反之取负值，一般常取加速度的方向为正方向。③根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物体所受各力正交分解，在两个互相垂直的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。 牛顿第二定律的六个性质：①因果性：力是产生加速度的原因。②同体性：F合、m、a对应于同一物体。 ③矢量性：力 和加速度都是矢量，物体加速度方向由物体所受合外力的方向决定。牛顿第二定律数学表达式∑F = ma中，等号不仅表示左右两边数值相等，也表示方向一致，即物体加速度方向与所受合外力方向相同。④瞬时性：当物体（质量一定）所受外力发生突然变化时， 作为由力决定的加速度的大小和方向也要同时发生突变；当合外力为零时，加速度同时为零，加速度与合外力保持一一对应关系。牛顿第二定律是一个瞬时对应的规 律，表明了力的瞬间效应。⑤相对性：自然界中存在着一种坐标系，在这种坐标系中，当物体不受力时将保持匀速直线运动或静止状态，这样的坐标系叫惯性参照系。地面和相对于地面静止或作匀速直线运动的物体可以看作是惯性参照系，牛顿定律只在惯性参照系中才成立。⑥独立性：作用在物体上的各个力，都能各自独立产生一个加速度，各个力产生的加速度的失量和等于合外力产生的加速度。
高中数学第一章计数原理5二项式定理同步测控北师大选修2-3创新
1 高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理同步测控 北师大版选修2-3
我夯基，我达标
1.在（x-1)(x+1)8的展开式中，x5的系数是 …（ ）
A.-14 B.14 C.-28 D.28
解析：原式=x(x+1)8-(x+1)8,故x5的系数为C48-C38=14.
答案：B
2.（xx31)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（ ）
A.0 B.2 C.4 D.6
解析：∵Tr+1=Cr10(x)10-r(-x31)r=Cr10x210r·(-31)r·x-r=Cr10 (-31)rxr235,由5-23r∈N*知r=0或2,∴展开式中第1、3项x的指数为正整数.
答案：B
3.若（xx13)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A.-540 B.-162 C.162 D.540
解析：令x=1得2n=64,则n=6.
Tr+1=Cr6(3x)6-r(-x1)r=(-1)r36-rCr6x3-r,
令3-r=0，得r=3.
常数项为-27C36=-540.
答案：A
4.若多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9的值为（ ）
A.9 B.10 C.-9 D.-10
解析：x10的系数为a10=C010=1,
x9的系数为a9·09C+a10·C110=a9+10=0,
∴a9=-10.
答案：D
5.(2006高考陕西卷，14)（3x-x1)12展开式中x-3的系数为____________.（用数字作答）
2018版高中数学 第一章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质及应用(二)学案 苏教版选修2-3
- 1 - 1.5.2 二项式系数的性质及应用(二)
学习目标 1.进一步理解并掌握二项式系数的性质.2.能解决二项式系数的最大、最小问题.3.会解决整除问题．
知识点 二项式系数的性质
一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C0n，C1n，…，Cnn有如下性质：
(1)Cmn＝________.
(2)Cmn＋Cm－1n＝________.
(3)当r＜n－12时，Crn＜________；
当r＞n－12时，________＜Crn.
(4)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝________.
特别提醒：(1)当n为偶数时，二项式系数中，以2Cnn最大；当n为奇数时，二项式系数中以12Cnn－和12Cnn+(两者相等)最大．
(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数的和相等，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1.
类型一 二项式系数或系数最大项问题
例1 (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
- 2 -
反思与感悟 (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得．
跟踪训练1 在(x－2x2)8的展开式中：
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项．
类型二 利用二项式定理解决整除问题
例2 求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除．
- 3 -
反思与感悟 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的因数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的倍数，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．
北师大版高中数学选修2-3《二项分布》教学反思
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北师大版高中数学选修2-3《二项分布》教学反思
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