相似图形复习要点
九年级相似图形主要知识点
九年级相似图形主要知识点相似图形是九年级数学中的一个重要知识点，它在几何形状的比较、测量和变换等方面起到了重要的作用。
本文将介绍九年级相似图形的主要知识点，帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
一、相似图形的定义及性质相似图形是指形状相似但尺寸不同的两个几何图形。
相似图形具有以下性质：1. 对应角相等：对于两个相似图形中的对应角，它们的度数是相等的。
2. 对应边成比例：相似图形中，对应边的长度之比是相等的。
3. 对应线段成比例：如果在相似图形中，一条线段与另一条线段相似，那么它们的长度比等于对应边的长度比。
二、相似比的计算方法相似比是描述相似图形中对应边长度之比的比值。
计算相似比的方法有两种：1. 直接比较法：分别计算两个相似图形中对应边的长度，然后求它们的比值。
2. 边长比法：如果已知一个相似图形的边长比为a：b，那么另一个相似图形的边长比也是a：b。
三、相似三角形的判定条件判定两个三角形是否相似，有以下三个条件：1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的某一对对应边的长度成比例，并且夹角也相等，则这两个三角形相似。
四、相似图形的应用相似图形在实际生活和数学问题中具有广泛的应用，例如：1. 测量：利用相似图形的性质，可以根据已知的尺寸计算出未知物体的尺寸。
2. 缩放：利用相似比，可以根据原始图形和比例关系，绘制出放大或缩小的相似图形。
3. 几何问题求解：在解决一些几何问题时，可以利用相似图形的性质，进行角度关系、边长关系等的推导和计算。
五、相似图形的注意事项在应用相似图形的知识时，需要注意以下几点：1. 相似比的计算要准确无误，避免由于计算错误导致结果的错误。
2. 在使用相似三角形进行图形比例计算时，需要注意各边、角之间的对应关系，并合理选择判定条件。
人教版相似图形知识点总结
人教版相似图形知识点总结一、基本概念1. 相似图形的定义相似图形是指形状相同但大小可能不同的图形。
当两个图形的对应角相等，对应边成比例时，我们称这两个图形是相似的。
2. 相似比相似图形之间的边的长度比叫做相似比。
设两个相似图形的对应边分别为a和b，那么a:b就是它们的相似比。
3. 相似比的性质相似比是真分数或小数。
相似比的倒数也是其相似比。
4. 相似比的应用相似比可用于求解各种问题，如测量图形的大小，进行比例测量等。
在解决实际问题时，我们经常需要根据相似比进行尺寸的调整和计算。
二、相似图形的性质1. 对应角相等相似图形的对应角相等。
这意味着，如果两个图形是相似的，它们的对应角度度数是相等的。
2. 对应边成比例相似图形的对应边成比例。
这意味着，如果两个图形是相似的，那么它们的对应边的长度之比是相等的。
3. 面积的比相似图形的面积比等于边长比的平方。
设两个相似图形的对应边分别为a和b，它们的面积分别为S1和S2，那么S1:S2 = (a/b)²。
三、相似图形的判定1. 判断相似的方法（1）角对应相等判断两个图形是否相似，可以首先比较它们对应的角度是否相等。
如果对应角相等，则这两个图形是相似的。
（2）边成比例当两个图形的对应边成等比例时，它们是相似的。
也就是说，如果两个图形的对应边的长度之比相等，那么这两个图形是相似的。
2. 斜率的判断方法两条直线斜率相等，那么它们之间的夹角相等。
因此，我们可以通过计算两个图形的直线斜率来判断它们是否相似。
3. 重要结论如果三角形的一个角相等，则它们是相似的。
如果三角形的三边成比例，则它们是相似的。
四、相似图形的应用1. 相似图形的构造通过相似图形的性质，我们可以利用已知的图形构造出相似的新图形。
比如通过放缩、旋转等方式，我们可以构造出相似的图形。
2. 根据相似图形的性质进行计算使用相似图形的性质，我们可以进行各种计算。
比如求解未知边长、未知角度的大小等问题。
相似图形的重难点内容
相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。
相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
(完整版)相似知识点总结
相似【知识脉络】【基础知识】Ⅰ . 相关相似形的见解(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。
(2) 假如两个边数同样的多边形的 对应角相等，对应边成比率， 这两个多边形叫做相似多边形。
．．．．．．．．．．．．．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) 。
Ⅱ . 比率的性质（注意性质立的条件：分母不可以为 0）（ 1）基天性质：① a : b c : dad bc ；② a : b b : c b 2 a c ．注：由一个比率式只可化成一个等积式， 而一个等积式共可化成八个比率式， 如 adbc ，除了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d c : d a : b b : d a : c b : a d : c。
， ， ，a b，互换内项)c d (（ 2）换比性质 ( 互换比率的内项或外项 ) ：ac d c ，互换外项 ( )bdbadb．(同时互换内外项 ) c aⅢ . 平行线分线段成比率定理基础图形：定理：如上图，三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比率.推论：平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线）所得的对应线段成比率．Ⅳ . 相似三角形（ 1）见解：对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形。
相似用符号“∽” 表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数 ) 。
注：①对应性：即两个三角形相似时，必定要把表示对应极点的字母写在对应地点上，这样写比较简单找到相似三角形的对应角和对应边；② 次序性：相似三角形的相似比是有次序的；③ 两个三角形形状同样，但大小不用然同样；④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形。
两者的差别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比率。
（ 2）判断：依据相似图形的特点来判断。
（对应边成比率，对应角相等）①. 平行于三角形一边的直线 ( 或两边的延伸线 ) 和其余两边订交 , 所组成的三角形与原三角形相似；② . 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；③. 假如两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等 , 那么这两个三角形相似；④ . 假如两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似；直角三角形相似判判断理 ：直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形和原三角形相似注：射影定理： 在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。
中考知识点总结图形的相似
中考知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。
理解和掌握图形的相似对于解决许多几何问题至关重要。
下面我们就来详细总结一下这部分的知识点。
一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。
两个图形相似，对应角相等，对应边的比相等。
例如，两个大小不同但形状完全相同的正方形就是相似图形，它们的角都是直角，对应边的比值也相等。
在判断两个图形是否相似时，关键要看它们的形状是否相同，而大小是否相同并不是决定因素。
二、相似多边形相似多边形是指两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形就是相似多边形。
相似多边形的性质有很多。
比如，相似多边形的对应边成比例，对应角相等；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方。
这里的相似比是指相似多边形对应边的比。
三、相似三角形相似三角形是相似多边形中的重要类型。
1、相似三角形的判定方法（1）两角分别相等的两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
四、位似图形位似图形是一种特殊的相似图形，具有特殊的位置关系。
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
在位似变换中，位似中心可以在两个图形的同侧，也可以在两个图形之间。
五、图形相似的应用图形的相似在实际生活中有广泛的应用。
例如，在测量物体的高度时，如果无法直接测量，可以利用相似三角形的性质来解决。
通过在同一时刻测量一个已知高度的物体的影长和需要测量高度的物体的影长，利用相似三角形对应边成比例的性质，就可以计算出物体的高度。
人教版初中数学第二十七章相似知识点
第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义,领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律．四、中考所占分数与题型分布本章会出1-2道选择、填空题,简答题必有一道三角形和相似形的综合题,本章约占15-20分.第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同,大小不同,具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像,是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像,是否相似？6.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上,量的A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的,因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3：如图27.1-1,四边形ABCD和EFGH相似,求角α、β的大小和EH的长度x.图27.1-1解：四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应角相等,因此可得83o C α∠=∠=,118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中,四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应边相等,由此可得EH EF AD AB =,即242118x = 解得28x cm =27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中,如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠,''''''=AB BC AC k A B B C AC==,我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似,记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’,k 就是他们的相似比.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段〔简称比例线段〕：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a =c b d〔或a ：b=c ：d 〕,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 例1.如图27.2-1,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE//BC,DE 交AC 于点E,△ADE 与△ABC 有什么关系？ 解：在△ADE 与△ABC 中,A A ∠=∠DE//BC过点E 作EF//AB,EF 交BC 于点F.在□BFED 中,DE=BF,DB=EF又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFCAE=EC=在此处键入公式。
相似知识总结讲解
相似知识总结知识点一：放缩与相似形1图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2、把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴、相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵、相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶、我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷、若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.1. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1 ）有关概念1、比:选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m n,那么就说这两条线段的比是a：b= m： n （或—m）b n2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，女口a -b d4、比例外项：a在比例一c（或a：b = c：d）中a、d叫做比例外项。
b d5、比例内项：在比例- c（或a：b = c：d）中b、c叫做比例内项。
b d6、第四比例项:在比例a■—（或a：b = c：d）中, d叫a、b、c的第四比例项。
b da b7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b = b:d时，我们把bb d叫做a和d的比例中项。
8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长a c度的比相等，即一一（或a：b=c: d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线b d段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）4、合比性质：--b d a b~b~ （分子加（减）分母,分母不变）1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC 和BC(AC >BC),如果ACABBCAC，（2 ）比例性质1、基本性质：a：bc d ad bc （两外项的积等于两内项积）2、反比性质：a c b d一（把比的前项、后项交换）b d a c3、更比性质（交换比例的内项或外项）：a-，（交换内项）c dd -，（交换外项）b ad b•（同时交换内外项）c a注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b a d c发生同样和差变化比例仍成立•如：a cb d a a bc cd 'a b c d5、等比性质: （分子分母分别相加，比值不变.)a c如果_ —b d 邑m(b df nf n 0),a书［7 Ac e m a那么b d f n b注意：（1）、此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法；（2）、应用等比性质时，要考虑到分母是否为零；（3）、可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.知识点三：黄金分割即AC2=AB X BC,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，ACU5 1与AB的比叫做黄金比。
相似图形的知识点总结(16篇)
相似图形的知识点总结（16篇）篇1：相似图形的知识点总结相似图形的知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理篇2：相似图形相似图形教学交流课教案:第四章相似图形教学目标：1、知道线段比的概念。
九年级人教版相似图形知识点归纳
九年级人教版相似图形知识点归纳相似图形是初中数学中一个重要的概念，掌握相似图形的知识可以帮助我们解决许多几何问题。
在九年级数学课程中，我们学习了人教版教材中关于相似图形的知识点，下面对这些知识点进行归纳总结。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应的角相等，对应的边成比例。
即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么三角形ABC与三角形DEF相似，且比例因子为AB/DE=AC/DF=BC/EF。
2. 相似三角形的角与边的性质a. 对应角相等：如果两个三角形相似，则它们对应的角相等。
b. 对应边成比例：如果两个三角形相似，则它们对应的边成比例。
3. 两种用来判断相似三角形的方法a. 三边成比例法：如果两个三角形的三条边长度分别成比例，即AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么它们相似。
b. 两角对应相等法：如果两个三角形的两个角分别相等，且它们的第三个角也相等或者两个角分别相等，且它们的第三个角的对方边也成比例，那么它们相似。
4. 相似三角形的性质a. 相似三角形的对应边成比例，比例因子等于任意两边之比。
b. 相似三角形的高线成比例，比例因子等于任意两边之比。
5. 相似三角形与比例a. 两个相似三角形的面积之比等于相似三角形的边长之比的平方。
b. 相似三角形中，对应边的比例等于面积比。
即如果三角形ABC与三角形DEF相似，且比例因子为AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么S(ABC)/S(DEF)=(AB/DE)^2=(AC/DF)^2=(BC/EF)^2。
6. 相似图形的面积比如果两个相似图形的边长比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。
这一性质适用于各种相似图形，如相似三角形、相似矩形等。
以上是九年级人教版相似图形知识点的归纳总结。
相似图形是几何学中一个非常重要的概念，通过掌握相似图形的性质和判断方法，我们可以在解决几何问题时更加轻松和高效。
相似图形知识点
相似图形知识点知识点一:比例线段1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的比例第四比例项；比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a ∶b ＝b ∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。
4. 比例的性质（1）基本性质:bc ad dc b a =⇔=， a ∶b ＝b ∶c ⇔b 2=ac （2）合、分比性质:dd c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 （3）比例中项:若c a b c a b c b b a ,,2是则即⋅==的比例中项. 知识点二：比例尺 = 实际长度图上长度 （做题之前注意先统一单位） 拓展：两个物体的图上长度之比等于实际长度之比（同一时刻的物高之比等于影长之比） 知识点二：黄金分割：如果点C 在线段AB 上，分AB 为两部分AC 与BC ，AC ＞BC ，且AB AC =AC BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.小：大 = 大：全=≈-2150.618 另外一个黄金分割点382.0253≈- 注意： 一条线段都有两个黄金分割点，且关于中点对称。
长与宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。
底边和腰的比等于黄金比的三角形叫做黄金三角形，黄金三角形可以一直“黄金”下去7. 平行线分线段成比例定理（1）已知l 1∥l 2∥l 3,可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. A A D l 1 D EB E l 2B CC F l 38．相似三角形的判定：(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似,记作: △ABC ∽△A /B /C /。
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相似的图形复习知识点一、相似图形的概念：在数学上，把具有相同形状的图形称为相似图形。
★判断两个图形是否相似关键：形状是否相同。
（相似只与形状有关，与其它因素无关） ▲判断两个图形的形状是否相同的方法：放大、缩小、移动位置、坐标变化。
二、在格点中画已知图形的相似的图形：利用格点图将多边形放大或缩小，必须是每边放大或缩小的倍数都相同，可以先确定顶点的位置，再分别连接各个点。
三、比例的概念与性质①比例的有关概念：a 、b 、c 、d 、分别叫做第一比例项、第二比例项、第三比例项、第四比例项。
特别的，若cb b a =，则b 叫做a ，c 的比例中项． ②成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b a ＝dc （或a:b=c:d ），那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
★ 注意：在说四条线段成比例时，一定要将线段的顺序列出。
如果说四条线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，则这四条线段的顺序就确定了，也就是说，只能写成b a ＝dc 这一种形式。
★ 线段的比是一个正数，与度量单位无关，但要注意度量单位的统一。
★ 判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可。
③比例线段的有关性质⑴比例的基本性质：如果b a ＝dc ，那么ad=bc 。
如果ad=bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么b a ＝dc 。
用语言表述为：比例的两外项的乘积等于两内项的乘积。
⑵合比性质：若b a ＝dc ，则b b a ±＝d d c ± ⑶等比性质：若b a ＝d c ＝…＝n m （b+d+…+n ≠0），那么n d b m c a ++++++ ＝b a ④黄金分割：如图所示，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 和AB 的比叫做黄金比（黄金系数）．黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段有两个黄金分割点．(小：大 = 大：全=≈-2150.618) 如果线段AB 被点C 黄金分割，那么 （1）AC 2=A B ﹒BC ； （2）黄金比.618.0215≈-==AC BC AB AC四、两个相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。
（判断两个多边形相似的唯一方法，两条件缺一不可）五、相似三角形：（相似三角形具有传递性）①概念：如果两个三角形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
表示方法：△ABC ∽△A ′B ′C ′（“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”）书写方法：书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找出相似三角形中的对应角和对应边。
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
全等三角形：全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1。
（全等三角形一定相似，相似三角形不一定全等。
）②相似三角形的判定：（比照全等三角形）⑴定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似⑵判定一：两角对应相等的两个三角形相似。
⑶判定二：两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似⑷判定三：三边对应成比例的两个三角形相似。
★ 特殊三角形相似的判定：△等腰三角形：a 、顶角（或底角）相等的两等腰三角形相似。
（根据判定方法一）b 、腰和底对应成比例的两等腰三角形相似。
（根据判定方法三）△直角三角形：a 、一锐角相等的两直角三角形相似。
（根据判定方法一）b 、两条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
（根据判定方法二）c 、斜边与一直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
（根据判定方法二或三）△不需要任何条件的两类三角形相似：等边三角形、等腰直角三角形。
③相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比．(3)相似三角形的周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．六、三角形的中位线：（有3条）①定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
②性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
③应用：可用来证明两直线平行或线段的倍半关系。
★中位线和中线的区别：中位线是两个中点的连线，而中线是顶点和对边中点的连线。
七、三角形的重心：①定义：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。
②性质：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13。
★重点：三角形三条中线的交点只有一个，这个交点就是三角形的重心，三角形的重心把三条中线都分为2:1两部分。
八、梯形的中位线：（有1条）①定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
②性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。
③应用：可证明两条线段平行；可证明线段的倍分关系；可以求出梯形的面积公式：梯形的面积=中位线 高。
★解题技巧或方法：利用梯形的中位线的性质解决问题时，通常通过做辅助线把梯形的中位线转化为三角形的中位线来解决。
九、相似三角形的应用:⑴利用三角形相似，可证明角相等，线段成比例（或等积式）；▲证明成比例式子或等积式的基本方法：证明包含比例式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似。
⑵利用三角形相似，求线段的长度；⑶利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
十、相似多边形：①定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
②性质：相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形周长比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方。
十一、位似：①概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点,像这样的相似叫做位似。
位似中心：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点，它是唯一的，但位似中心的位置的选择却是多样化的，可以在两图之间、两图外侧、两图内部、一图的边上或顶点处等。
位似比：各对对应点到位似中心的距离的比等于位似比。
②性质：a、位似图形对应点的连线或延长线交于一点；b、位似图形对应角、对应边平行或共线。
③位似变换：a、变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.b、一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形。
c、利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小。
④画位似图形：步骤：⑴确定位似中心；⑵画经过位似中心，且分别过已知多边形各顶点的直线；⑶分别在各直线上取一点，使其到位似中心的距离与已知多边形的对应顶点到位似中心的距离之比为相同的一个定值；⑷顺次连接各点，得到的图形就是所求的图形。
例：如图所示，△ABC在方格纸中，请在方格纸中画出△ABC的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，所画三角形与原三角形的位似比为1：2．十二、图形与坐标：①用坐标确定位置：（确定点的位置的方法）⑴平面直角坐标系坐标：建立合适的平面直角坐标系，然后用一对有序实数来表示一个点的坐标，即该点的位置。
（比较常用）⑵方位坐标：用一个角度和距离来确定点的位置。
⑶棋盘坐标：如国际象棋的表示方式，竖条用字母表示，横条用数字表示。
如：F4。
⑷经纬坐标：用经度、纬度来表示一个地点在地球上的位置。
②图形的变换和坐标：A 、图形的平移: (a>0)(x.y) 向右平移a 个单位 (x+a,y)(x.y) 向左平移a 个单位 (x-a,y)(x.y) 向上平移a 个单位 (x,y+a)(x.y) 向下平移a 个单位 (x,y-a)B 、图形的对称:(x.y) 关于x 轴对称 (x,-y)(x.y) 关于y 轴对称 (-x,y)(x.y) 关于原点O 中心对称 (-x,-y)典型题：1．梯形两底分别为m 、n ，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A ）mn n m + （B ）n m mn +2 （C ）n m mn + （D ）mnn m 2+ 2．如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则（ ） （A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD （C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD题2 题4 题53．P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条4．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55．如图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ）（A ）∠APB ＝∠EPC （B ）∠APE ＝90°（C ）P 是BC 的中点（D ）BP ︰BC ＝2︰36．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且有下列条件：（1）∠B ＋∠DAC ＝90°；（2）∠B ＝∠DAC ；（3）AD CD ＝ABAC ；（4）AB 2＝BD ·BC 其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论中错误的是（ ）（A ）AE ⊥AF （B ）EF ︰AF ＝2︰1（C ）AF 2＝FH ·FE （D ）FB ︰FC ＝HB ︰EC8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ）（A ）△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长（B ）△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积（C ）△ABE ∽△DEC （D ）△ABE ∽△EBC9．如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，DE ︰CE ＝2︰3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ︰S △EBF ︰S △ABF 等于（ ）（A ）4︰10︰25 （B ）4︰9︰25 （C ）2︰3︰5 （D ）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a ∥b ，AF ︰FB ＝3︰5，BC ︰CD ＝3︰1，则AE ︰EC 为（ ）．（A ）5︰12 （B ）9︰5 （C ）12︰5 （D ）3︰211．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝41AB ，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC ︰CD 为（ ）（A ）2︰1 （B ）3︰2 （C ）3︰1 （D ）5︰212．如图，矩形纸片ABCD 的长AD ＝9 cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为（ ）（A ）4 cm 、10 cm （B ）5 cm 、10 cm （C ）4 cm 、23 cm （D ）5 cm 、23cm题12。