北师版九年级上册图形的相似教案导学案
北师大版九年级上册第四章 图形的相似(一)学案
练1. 一条线段的长度是另一条线段的5倍，求这两条线段的比. 2、比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等(如dcb a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【例题】如图，一块矩形绸布的长AB = a m ，宽AD =1m ，按照图中所表示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE ADAD AB=，那么a 的值应当是多少？总结：如果a cb d=，那么ad bc =. 如果ad bc =（a,b,c,d 都不等于0），那么a cb d=. 练1.在△ABC 中，△B =90°，AB =BC =10cm ；在△DEF 中， ED =EF =12cm ，DF =8cm ，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比.练2.如图，在△ABC 中， AB = 12cm ， AE =6cm ，EC =5cm ，且AD AEDB EC=，求AD 的长.3. 比例性质如果(0)a c m b d n b d n ===+++≠，那么a c m b d n ++=+++a b【例3】在△ABC 与△DEF 中，已知34AB BC CA DE EF FD ===，且△ABC 的周长为18cm. 求△DEF 的周长.练1. 已知2(0)3a c b d b d ==+≠，求a cb d++的值.练2.如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比.4.平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.【例】如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？（2）如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？练1．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图，求x的值.练2．如图，已知l1∥l2∥l3. AB=5，BC=7，EF=4，求DE的长.练3、如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，且5,3AB AC AB BE EC AC ==，求ABBD.练4．）如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 上的点，且DE △BC ，EF △AB ，AD :DB =2:3，BC =20cm ，求BF 长.练5．已知：如图，若DE ∥BC ， D 在AB 上，E 在AC 上， AD : DB =2 : 3，BC =20.求：DE 的长.练6、已知：如图，四边形AEDF 为菱形，AB=12，BC=10，AC=8，求：BD 、DC 及AF 的长。
九年级数学北师大版上册第四章图形的相似第7节相似三角形的性质教学设计
-提高题：培养学生运用相似三角形性质解决实际问题的能力；
-拓展题：激发学生的思维，提高学生的创新能力。
6.注重课堂小结，引导学生总结相似三角形的性质及其应用，培养学生的概括能力。
-通过让学生复述、总结相似三角形的性质，检查学生对知识的掌握程度。
7.课后布置适量的作业，巩固学生对相似三角形性质的理解，并关注学生的作业反馈，及时调整教学策略。
4.引导学生运用数形结合的思想，将几何问题转化为代数问题，提高学生的解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、追求真理的情感，激发学生对几何学的兴趣。
2.培养学生严谨、务实的科学态度，使学生认识到数学在现实生活中的重要性。
3.引导学生感受几何图形的美，培养学生对美的感知和鉴赏能力。
4.培养学生团结协作、互帮互助的精神，使学生学会尊重他人、倾听他人意见。
通过引导学生观察、思考，自然过渡到相似三角形的性质的学习。
2.教学目标：激发学生的学习兴趣，引导学生关注相似三角形在实际生活中的应用。
（二）讲授新知
1.教学内容：相似三角形的定义、判定方法及其性质。
-相似三角形的定义：两个三角形，如果对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
-相似三角形的判定方法：AA（角角相似）、SSS（边边边相似）、SAS（边角边相似）。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：相似三角形性质的应用。
2.教学活动设计：
-将学生分成小组，针对相似三角形性质的应用进行讨论；
-教师提供一些具有挑战性的问题，引导学生运用相似三角形的性质解决问题；
-各小组展示讨论成果，分享解题思路和方法。
3.教学目标：培养学生合作交流、解决问题的能力，提高学生对相似三角形性质的理解。
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案：成比例线段
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案1. 成比例线段（第一课时）【学习目标】1.了解线段的比概念；2.会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题.【知识梳理】1.如果选用 量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们 ，即 或写成 .2.四条线段a,b,c,d 中如果 ，即 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做 ，简称 .3.比例的基本性质：如果dc b a ,那么 ；如果ad=bc （a,b,c,d 都不等于0），那么 .【典型例题】知识点一：两条线段的比1.一张桌面的长a=1.25m ，宽b=0.75m ，那么长与宽的比是 .2.已知A 、B 两地的实际距离是60km,画在地图上其距离A ’B ’是6cm ，求这幅地图的比例尺 .知识点二：成比例线段3.已知线段a=1cm ，b=2.4cm ，c=2cm ，d=4.8cm ，这四条线段是成比例线段吗？知识点三：比例基本性质4.若x 是3、4、9的第四比例项，则x ＝ .5.已知线段a ＝4cm ，b ＝9cm ，线段c 是a 、b 的比例中项，则线段c 的长为 .6.已知a=3,b=6,c=9(1)若a,b,c,x 是成比例线段，求x (2)若a,x,b,c 是成比例线段，求x【巩固训练】1.已知：线段a=7cm ，b=2cm ，则= .2.如果线段a=2cm ，b=8cm ，c=4cm ，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为 .3.已知线段b 是a,c 的比例中项，a=9cm,c=25cm,则b 等于 cm.4.把mn=pq （m,n,p,q 都不等于0）写成比例式，写错的是（ ）a bA. B. C. D. 5.若(m+n):n=3:2，则m:n 的值是（ ）A.3:2B.2:3C.1:2D.5:26.已知点C 是直线AB 上的一点,且AB ∶BC=1∶2,那么AC ∶BC 等于 .7.若a ∶b=2∶3,且a+b=10,则 a-2b 的值是( )A.-10 B-8 C.4 D.68.如图，△ABC 中， ，且DE=10，BC=15，AG=4，求AH ．9.如图，在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且． ①求AD 的长；②求证：m q p n =p n m q =q n m p =m p n q=8题图 AG DE AH BC =9题图北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案1.成比例线段（第二课时）【学习目标】1.知道成比例线段的两个基本性质及其简单应用；2.运用比例的基本性质解决有关问题.【知识梳理】阅读课本87页——90页内容，完成下列问题：1.如图，已知d c b a ==3,则b b a +=d d c +吗？2.如果d c b a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？3.如果d c b a =,那么d d c b b a -=-成立吗？为什么？4.性质一：如果dc b a =，那么 . 5.性质二：如果d c b a ==…=n m =k （b+d+…+n ≠0）,那么 = = .你能写出推理过程吗？【典型例题】知识点一：合比性质1.已知a:b=3:2,且a-b=10，则a+b = .2.若3，则=xy ； =y x 2 ；=-y y x 2 . 知识点二：等比性质 3.已知：d c b a ==fe =5（b+d+f ≠0） （1）fd be c a +-+- （2）f b e a 55--【巩固训练】1.填空（1）若x y = 25 则=xy ；=-y y x ； =+y y x 2 .（2）已知23=a b 则=+b a b ；=-b a b 2 . 2.已知345c b a ==，则=+--+cb ac b a 32 . 3.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a+b+c=60cm ，a:b:c=3:4:5，求△ABC 的面积。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》探索三角形相似的条件教案
4.4 探索三角形相似的条件教案 第1课时 利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝80°，∠B ＝70°，∠C ′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△ABC ∽△A ′B ′C ′.理由：由三角形的内角和是180°， 得∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－80°－70°＝30°， 所以∠A ＝∠A ′，∠C ＝∠C ′.故△ABC ∽△A ′B ′C ′（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：相似三角形的判定定理1的应用已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 相交于点F ，求证：AF BF ＝EFDF .解析：要证明AF BF ＝EFFD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE 与△BFD 是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AEF ＝∠BDF ＝90°. 又∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴△AFE ∽△BFD ，∴AF BF ＝EFDF.方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.如图所示，已知DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求线段BF 的长.解：方法一：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AD AB ＝DE BC ，即44＋8＝5BC ，所以BC ＝15cm.又因为DF ∥AC ， 所以四边形DFCE 是平行四边形， 所以FC ＝DE ＝5cm ，所以BF ＝BC －FC ＝15－5＝10（cm ）. 方法二：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B . 又因为DF ∥AC ，所以∠A ＝∠BDF ， 所以△ADE ∽△DBF ， 所以AD DB ＝DE BF ，即48＝5BF，所以BF ＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.三、板书设计（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形； （2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.第2课时利用两边及夹角判定三角形相似1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2.（难点）一、情景导入画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，ABA′B′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？二、合作探究探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（）A.AB·CD＝BD·BCB.AC·CB＝CA·CDC.BC2＝AC·DCD.BD2＝CD·DA解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即CDCB＝CBAC或BC2＝AC·DC.故选C.方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.探究点二：相似三角形的判定定理2的应用如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.解析：欲求厚度x，而x＝a－AB2，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB 的比例式，解之即可.解：因为OA ：OC ＝OB ：OD ，∠AOB ＝∠COD ，所以△AOB ∽△COD ， 故AB CD ＝OAOC＝n ，可得AB ＝bn ， 所以x ＝a －bn2.方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P ，Q 同时出发，经过多长时间后△PBQ 与△ABC 相似？解析：要证明△PBQ 与△ABC 相似，很显然∠B 为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论.解：设经过t s 后，△PBQ 与△ABC 相似.（1）当BP BA ＝BQBC 时，△PBQ ∽△ABC . 此时8－t 8＝2t 16，解得t ＝4.即经过4s 后△PBQ 与△ABC 相似； （2）当BP BC ＝BQBA 时，△PBQ ∽△CBA .此时8－t 16＝2t 8，解得t ＝1.6.即经过1.6s 后△PBQ 与△ABC 相似.综上可知，点P ，Q 同时出发，经过1.6s 或4s 后△PBQ 与△ABC 相似.易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ 的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ ∽△ABC 的情况，还要考虑△PBQ ∽△CBA 的情况.三、板书设计相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关.第3课时利用三边判定三角形相似教案1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理3.（难点）一、情景导入如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？二、合作探究探究点一：三边成比例的两个三角形相似已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.解：因为12＝22＝510，所以△ABC与△DEF相似.方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.探究点二：相似三角形的判定定理3的应用如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.解析：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.解：∠B＝∠AED.理由如下：由题意，得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，AC＝AE＋CE＝6＋3＝9，AC AD＝93＝3，ABAE＝186＝3，CBDE＝155＝3，所以ACAD＝ABAE＝CBDE，故△ABC∽△AED，所以∠B＝∠AED.方法总结：证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到，给出的已知条件以边为主时，首先考虑使用“三边成比例”的判定条件.如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似.解：由甲图可知AC＝12＋12＝2，BC＝2，AB＝12＋33＝10.同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22；同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5；同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2，∴图②中的三角形与△ABC相似.方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.。
北师大版九年级上册第四章图形的相似课程设计
北师大版九年级上册第四章图形的相似课程设计一、课程目标本课程旨在让学生了解图形的相似性质，掌握相似图形的判定方法，并能运用相似定理解决实际问题。
二、教学内容1. 图形的相似性质•什么是相似图形及其定义•相似图形的性质•相似三角形的判定方法2. 相似图形的应用•相似图形的比例关系•相似图形的面积比及其计算方法•利用相似定理解决实际问题三、教学重点和难点本课程的教学重点为相似图形的判定方法和应用。
在教学过程中，需要注重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
难点在于如何运用相似定理解决实际问题，需要重点讲解对具体问题的分析和判断。
四、教学方法本课程采用教师讲授与讨论相结合的方法。
教师通过图示、实验等具体例子，引导学生理解相似图形的性质和判定方法。
同时，教师还可以通过小组讨论、合作学习等方式，激发学生的学习兴趣和积极性，提高课堂效果。
五、教学步骤第一步：导入教师通过回顾前几章的学习内容，引导学生进入本章的学习氛围。
第二步：讲授相似性质教师通过图示等方式，讲解相似图形的定义和性质。
并讲解相似三角形的判定方法。
第三步：讲授相似应用教师通过具体例子，讲解相似图形的比例关系和面积比的计算方法。
第四步：实战演练教师出示具体问题，引导学生根据相似定理进行分析和解决。
第五步：总结归纳教师将本课程的重点难点进行总结归纳，并引导学生自我评价。
六、课堂评价在本课程中，可以采用小组讨论、课堂练习、个人报告等方式进行评价。
其中，课堂练习可以通过单选题、多选题、填空题等形式，进行针对性测试。
个人报告可以通过让学生选择一个实际问题，并利用相似定理进行解决，进行评价。
七、拓展阅读1.《数学课程标准》2.《北师大版初中数学教材》3.等比数列的应用八、教学反思通过本课程的教学，发现学生在相似图形的判定方法掌握方面有些困难。
下一步，需要加强练习，提高学生的运用能力。
同时，在进行应用解题时，需要针对具体问题进行分析和判断，要求学生注重思考和实践。
北师大九年级上第四章图形的相似4.3相似多边形(教案)
对于教学难点，我觉得可以采取分步骤讲解的方式，将复杂的性质分解成简单的部分，让学生一步一步地掌握。同时，我计划在下一节课中增加一些针对性的练习题，特别是那些能够帮助学生巩固相似多边形判定和性质应用的题目。
c.实际应用：设计一些综合应用题，如求相似多边形中未知边长或面积，指导学生如何识别问题中的相似关系，并运用性质进行计算。
d.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，体验相似多边形证明的过程，理解证明的每一步逻辑，从而能够独立完成相似多边形的证明。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似多边形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似的图形？”比如，两张不同大小的照片，它们的长宽比是一样的。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似多边形的奥秘。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观：通过观察、操作、推理等过程，让学生掌握相似多边形的判定方法，提高学生对几何图形的认识和理解能力。
2.提升学生的逻辑推理能力：引导学生运用已知条件，通过严密的逻辑推理证明相似多边形的性质，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.增强学生的空间观念：通过研究相似多边形的性质，让学生体会几何图形在空间中的相互关系，培养学生的空间想象力和创造力。
4.培养学生的数学应用意识：将相似多边形的知识应用于解决实际问题，使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，提高学生的数学应用能力。
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案：探索三角形相似的条件(第二课时)
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案探索三角形相似的条件（第二课时）【学习目标】1.掌握判定两个三角形相似的方法（2）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2.培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法（2）与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系. 【知识梳理】1.三角形相似的判定定理（2）.如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边成比例，并且夹角，那么这两个三角形 .简称：且的两个三角形相似.【典型例题】知识点：三角形相似的判定定理二1.如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠D,要使△ABC与△ADE相似,还需满足下列条件中的( )(A)ACAD=ABAE(B)ACAD=BCDE(C)ACAD=ABDE(D)ACAD=BCAE2.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,AB上的点,且AD=2,DC=4,AE=3,EB=1,则DE∶BC= .3.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AB、AC上，且AD·AB=AF·AC ED与AB垂直吗？请说明理由.4..如图，点C，D在线段AB上，且△P CD是等边三角形，AC=1，PC=2，BD=4. 求证：△ACP∽△PDB.【巩固训练】一、选择题1.下列条件能判定△ABC∽△A/B/C/相似的有( ）1题图3题图3题图（1）∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A/＝450， A/B′＝16，A/C/＝20 （2）∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B/＝47°， A/B/＝2.8，B/C/＝2.1（3）∠A＝47°，AB＝2，AC＝3，∠B/＝47°，A/B/＝4，B/C/＝6A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC∽△ACB的条件是（）A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③二、选择题3.如图在△ABC和△A′B′C′中∠B＝∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，还需要添加条件 .4.如图在△ABC中，D在AB上，要说明△ACD∽△ABC相似，已经具备了条件，还需添加的条件是，或或 .5.如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为 .6.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1B．P2C．P3D．P4【拓展延伸】7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG=12(1)求证:△ADF∽△ACG；(2)求AFFG的值.BPCA2题图3题图5题图4题图ACDB。
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案：相似三角形的性质(第二课时)
4题图 5题图 北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案相似三角形的性质（第二课时）【学习目标】1.进一步掌握相似三角形的性质定理及其证明方法；2.能运用相似三角形性质定理解决问题；3.通过相似三角形性质定理及应用的学习，培养学生类比思想、归纳思想及特殊到一般的认识规律，拓展学生思维.【知识梳理】1.相似三角形周长的比等于 .2.相似三角形面积的比等于 .3.相似多边形的性质： .【典型例题】 知识点一 相似三角形周长的比等于相似比.1.两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm 和12cm ．(1)若它们的周长和是120cm ，则这两个三角形的周长分别为 和 ；(2)若它们的面积差是420cm 2，则这两个三角形的面积分别为 和 ．2.(内蒙古赤峰期末)两个相似三角形面积比是4∶9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是( )A ．12B ．12或24C ．27D ．12或27知识点二：相似三角形面积的比等于相似比的平方3. 已知△ABC ∽△DEF,且△ABC 与△DEF 的面积比为9∶4,△ABC 的最短边为4.5 cm,则△DEF 的最短边为( )A 6 cmB 2 cmC 3 cmD 4 cm4.如图,四边形ABCD 为平行四边形,E,F 为CD 边的两个三等分点,连接AF,BE 交于点G,则S △EFG ∶S △BAG 等于( )(A)1∶3 (B)3∶1(C)1∶9 (D)9∶1 5.将△ABC 沿BC 的方向平移得到△DEF,△ABC 与△DEF 重叠部分的面积是△ABC 的面积的一半,已知BC=2,△ABC 平移的距离为 .【巩固训练】1．若△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF ＝5：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．5：4B ．4：5C ．2：D ．：2 2.△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ＝DF ＝FB ，则S △ADE :S 四边形DFGE :S 四边形=C B A B CD EF G2题图 5题图 3题图O AD 3S 2S 1S 3图T R N M P C B A 6题图3.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点AD ∶BC ＝3∶7，则AO ∶OC ＝ ， ∶＝ ，∶＝ .4.两个相似三角形面积之差为9cm 2，对应的高线的比是∶，这两个三角形的面积分别是 .5.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：4 则S △BDE ：S △ACD = .6. 如图，已知P 为△ABC 内一点，过P 点分别作直线平行于△ABC 的各边，形成小三角形的面积1S 、2S 、3S ，分别为4、9、49，则△ABC 的面积为 .7. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于 点E ，S △ADE ：S △BCE =4：9，求S △ABD ：S △ABC=【拓展延伸】8. 如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、BC 上，线段BD 与AE 交于点F ，且CD ⋅CA =CE ⋅CB ．（1）求证：∠CAE =∠CBD ；（2）若BE EC =AB AC ，求证：AB ⋅AD =AF ⋅AE ．AOD S ∆BOC S ∆AOD S ∆AOB S ∆23E D BA7题图。
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第一章 图形的相似第一节 成比例线段【学习目标】1、认识形状相同的图形；2、结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形；3、了解线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法；4、理解并掌握比例的基本性质，能通过比例形式变形解决一些实际问题。
【相关知识链接】1、全等的图形：能够完全的两个图形叫做全等图形；2、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除）以的整式，分式的值不变。
【学习引入】一、 观察图片，体会相似图形 1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念，什么是相似图形?3 、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?二、归纳总结： 知识点1、 相似的图形一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是相似图形。
注意：形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因此可以看做的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。
知识点2、两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们的长度之比，即AB:CD=m:n,或写成nmCD AB =，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。
如果把n m 表示成比值k ，那么k CD AB=，或者AB=k ·CD 。
注意：1、求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一，当长度单位不统一时，要先化成同一单位长度；2、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同的长度单位即可。
★知识点3、成比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
注意：1、如果cbb a =，那么b 叫做a 和c 的比例中项； 2、在比例式a:b=c:d 中，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项；3、成比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d 知识点4、比例的性质1、比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc ； 如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么dcb a = 2、等比性质：如果)0...(...≠+++===n d b nmd c b a ，那么b a n d b mc a =++++++...... 【例题解析】例1、观察下列图形，指出是相似图形.例2、线段AB 被点M 分成32=BM AM ,则=MB AB ,=AM MB 例3、如果的值。
求xyy y x ,54=- 例4、如图所示，EFBEAD AB =,且AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E是BC 的中点， 求EF,BF 的长。
例5、已知0,2≠++===f d b fed c b a 且（1）求fdbeca++++的值；（2）若a-2c+3e=5,求b-2d+3f的值。
【综合练习】1、（1）☺☹；（2）✶✷；（3）→↑；（4） .在上述各种符号中，形状相同的符号有几组？（）A．一组B．二组C．三组D．四组2、下面各组中的两个图形，是形状相同的图形，是形状不同的图形.3、矩形ABCD中AB=CD=8,AD=BC=6,矩形EFGH中，EF=GH=3,EH=FG=4,这两个矩形_____4、△ABC的三条边之比为2：5：6，与其相似的另一个△A•′B•′C•′最大边长为18cm，则另两边长的和为_______．5、两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm，25cm，它们的周长差为63cm，则这两个三角形的周长分别是________．6ΔABC与△DEF中∠A=65°∠B=42°∠D=65°∠F=73°,AB=3,AC=5,BC=6,DE=6,DF=10,EF=12,则△DEF 与△ABC_____7、下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个8、把mn=pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（）A．m qp n=B．p nm q=C．q nm p=D．m pn q=8．在一张比例尺为1：15000的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为5cm，那么这块地区实际上和这一边相对应的长度应为（）A．750cm B．75000cm C．3000cm D．300cm9、下列说法中，正确的是（）A．正方形与矩形的形状一定相同B．两个直角三角形的形状一定相同C．形状相同的两个图形的面积一定相等D．两个等腰直角三角形的形状一定相同10．经历平移、旋转、轴对称变化前后的两个图形（）A．形状大小都一样B．形状一样，大小不一样C．形状不一样，大小一样D．形状大小都不一样11．在平面坐标系中，一个图形各点的横坐标、纵坐标都加上或减去同一个非零数，得到一组新的对应用点，则连接所得到点的图形与原图形形状（ ） A ．不能够互相重合 B ．形状相同，大小也一定相同 C ．形状不一样 D ．形状相同，大小不一定相同12、如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α、β的大小和EH 的长度x 。
13、已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，且A 1B 1:B 1C 1:C 1D 1:D 1A 1=7:8:11:14，若四边形ABCD 的周长为40，求四边形ABCD 的各边的长．第二节 平行线分线段成比例【学习目标】1、探索理解平行线分线段成比例定理及其推论；2、会熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论计算线段的长度。
【相关知识链接】 1、成比例线段：2、若3x=5y ，则x ：y =；若x ：y =7:2，则x ：（x+y ）= 【学习引入】一、如图,任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4,l 5.分别量度l 3 , l 4,l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?二、问题，AB ︰AC=DE ︰（ ），BC ︰AC=（ ）︰DF 三、归纳总结：知识点1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例。
知识点2、平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
【例题解析】例1、如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，AB=3，DE=2，EF=4，求BC 的长。
例2、如图所示，在△ABC 中，点D,E 分别在AB,AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB=3:4，AE=6，则AC 等于例3、如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，求证：ACABDC BD【经典练习】1、如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ）A 、7B 、7.5C 、8D 、8.52、如图，点F 是平行四边形ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线与点E ，则下列结论错误的是（ ） A 、B 、C 、D 、3、如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=5，BD=10，AE=3．则CE 的值为（ ） A 、9 B 、6 C 、3 D 、44、如图所示，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD=4cm ，BD=8cm ，DE=5cm ，求线段BF 的长。
5、如图，设M 、N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD 、CB 的中点，DE 上AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ：BE 等于（ ）A 、2：1B 、1：C 、3：2D 、2：36、如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A 、B 、C 、D 、7、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，另两条直线分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C 及点D 、E 、F ，且AB=3，DE=4，EF=2，则（ ）A 、BC ：DE=1：2B 、BC ：DE=2：3 C 、BC •DE=8D 、BC •DE=68、如图，直线AB ∥CD ∥EF ，若AC=3，CE=4，则BFBD的值是9、如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，则EC= _________ ．10、如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．11、如图，梯形ABCD 中，EF ∥BC ，32GC AG ，则AD GF =．12、如图所示：设M 是△ABC 的重心，过M 的直线分别交边AB ，AC 于P ，Q 两点，且PBAP=m ，QC AQ =n ，则n1m 1+= _________ ． 13、如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ， 求证：MN+PQ=2PN ．14、已知：平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，点P 是直线BD 上任意一点（异于B 、O 、D 三点），过P 点作平行于AC 的直线，交直线AD 于E ，交直线AB 于F ．若点P 在线段BD 上（如图所示），试说明：AC=PE+PF ；第三节 相似多边形【学习目标】1、了解相似多边形和相似比的概念；2、能根据条件判断出两个多边形是否为相似；3、掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行简单的计算 【相关知识链接】1、相似图形：相同，但是 不一定的图形。
2、多边形：由若干条的线段组成的封闭平面图形。
【学习引入】一、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k AC CAC B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′,且A C CAC B BC B A AB ''=''=''． 二、问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 三、归纳总结：知识点1、各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形， 相似多边形对应边的比叫做相似比。