3第三章刚体的转动
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第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
第三章 刚体的定轴转动
令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
3.刚体的定轴转动
a a n a
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
第三章刚体的转动
三、转动定律 第一转动定律：若 第二转动定律：
，刚体将保持原状
例1．一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为 和 的物体， ,滑轮质量为m，半径为r，其转动 惯量可按 计算（视为圆盘），绳 与轮之间无相对滑动，试求物体的加速 度 和绳的张力。 例2．一块均匀的长方形薄板，边长为a、 b，中心O取为原点，设薄板的质量为M， 求薄板对o杆长L，质量为m，一质量也为m的 小球用长为L 的轻绳系于O点，开始时杆 静止于竖直位置，现将小球在垂直于轴的 平面内拉开一定角度，摆下去与杆端相碰 （弹 性碰撞 ） ，结 果 使 杆 的 最 大 偏 角 为 ，求小球最初被拉开的角度 。 4．在水平面上，有一均匀细棒L，质量为 ，与水平面的摩擦系数为 ，可绕O转动， 以 碰棒的A端，碰撞时间极短，碰后速 度为 ，求碰撞后，细棒从开始转动到停 止转动过程所需的时间t。
第三章 刚体的转动
一、基本概念 1．刚体(Rigid Body) 2．刚体的平动(Translation) 3．刚体的转动(Rotation) 4．定轴转动 5．转动平面 6．角坐标；角位移；角速度；角加速度
7. 线速度 8 刚体的平衡条件
二、转动惯量 (1)转动惯量定义：
(2)刚体的动能：
与(a) 刚体的质量m有关； (b) 与m的分布有关； (c) 与转轴的位置有关
四、刚体定轴转动的动能定理 1．力矩做功 当刚体在力矩 作用下从 转到 力矩所做的功为：
时，
五、定轴转动的角动量定理
1．定义：冲量矩= 2．刚体定轴转动的角动量定理 3．角动量守恒定律 当 时， 恒量 问题： ①刚体绕定轴做匀变速运动，刚体上任意一点是 否有 、 ，其大小是否改变？ ②一个物体可以绕定轴做无摩擦的匀速运动，当 它热胀冷缩时，角速度是否改变？为什么？
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
第3章 刚体的定轴转动
F
Od
r *ϕ
P
方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 单位： 单位： N ⋅ m （牛⋅米） 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用， 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用，合力矩是 各力矩的代数和。 各力矩的代数和。
6
3.2 刚体的定轴转动定律
4
3.1 刚体的运动
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时， 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体作 匀变速转动 。 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 质点匀变速直线运动 刚体绕 刚体绕定轴作匀变速转动
v = v 0 + at
x = x 0 + v 0 t + at
1 2
1
3.1 刚体的运动
3.1.2 刚体的定轴转动
转动：组成刚体的各质点都绕某一直线作 组成刚体的各质点都绕某一直线作 圆周运动， 这条线为转轴。 圆周运动， 这条线为转轴。 转轴 若转轴相对于给定的参考系在空间 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 刚体的定轴转动 刚体的一般运动 （如：运行的车轮） 运行的车轮） 随某点(基点) 随某点(基点)的平动 + 过该点 的定轴转动。 的定轴转动。
第3章 刚体的定轴转动 章 3.1 刚体的运动
刚体： 刚体：特殊的质点系 受力时质点系的形状和体积不改变
3.1.1 刚体的平动
在运动过程中刚体上的任 意一条直线在各个时刻的位置 都相互平行 任意质元运动都代表整体运动 任意质元运动都代表整体运动 质元运动都代表整体
A’ A B A”
B’
B”
可用质点运动学和动力学知识研究
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R
=
+M
-m
O
?
?
M0
? ( R2 ? R2
/ 4)
Jo
?
1 ??R2R2
2
?
?1 ??2
??
R2 4
R2 4
?
??
R2 4
R2 ?
4
?? ?
13 ??
32
R4
Jo
?
13 24
M0R2
§3.3 力矩 刚体转动定律
1、力矩 Moment of force 力F对O点的力矩
Fz
F
Mo ? r? F
力F对转轴OZ的力矩
rigid body
z ? Li
L ? ri
?
?
? Liz mi
? Li 的大小 ? Li ? ? mi Rivi
Ri
o
? Li 沿Z轴分量
? ? ? Liz ? ? Li cos ? ? miRivi cos ? ? mirivi
? ? ? Lz ? ? Liz ? ? mirivi ? ( ? miri2 ) ?
例题:三个质量为 m的质点，A、B、C由三个长为 L的 轻杆相联结。求该质点系对通过 A点和O点，且垂直
于三个质点所在平面的转轴的转动惯量。
3
A
解：
? J A ? ? miri2
i? 1
O?
J A ? m ?0 ? m ?L2 ? m ?L2 ? 2mL2 B
C
Jo ? m(
3L)2 ? 3 ? mL2 3
?
1 ml 2 3
平行轴定理
JO ? JC ? md 2
? ? 例题 均匀圆环 ： JC ? ? mi R2 ? R2 ? mi
?m i
CR
J C ? mR2
例题 均匀圆盘：
dm ? ?ds
?
?
m
?R2
面密度
ds ? 2?rdr
r
? ? J ? r2dm ? R r2? 2? rdr 0
? ? ? R4 ? 1 mR2
Mz
?
dLz dt
?
d(J? )
dt
?
J
d?
dt
?
J?
Z
df
f'
刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对该 轴的角动量的时间变化率
比较
M ? J?
F ? ma
转动惯量表示刚体在转动过程中表现出的惯性
第三章 刚体的转动
rotation of a rigid body
§3.1 刚体的平动、转动和定轴转动
? 1、刚体： rigid body 在力的作用下，大小和形状都保 持不变的物体称为刚体。（组成物体的所有质点之 间的距离始终保持不变）是一种理想模型。
? 2、刚体的平动： translation of a rigid body
Jo ? J1o ? J2o
L
O
m
J 1o
?
1 mL2 12
?
m( L)2 2
?
1 mL2 3
M
o' R
J 2o
?
1 MR2 ? 2
M(L ?
R)2
Jo
?
1 mL2 3
?
1 MR2 2
?
M(L?
R)2
? 例 如图已知R 和 M0 ，试计算其转动惯量，设转轴过 O点且和盘面垂直。
解：根据J 的可叠加性，可将其看成两部分：
刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自 身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都 相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的 运动。
?3、刚体绕定轴转动： rotation of a rigid body around a
fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。
刚体定轴转动的特点
例题 均匀杆质量 m,长l，求杆对O轴和C轴的转动惯量。
解： dm ? ?dx
l
? ? JO ?
x 2dm ? l x 2dx? 0
O x dx
?
? l3
?
1 ml 2
x
33
l/2
C
? ? JC ? x2dm ? x2dx?
?l/2
l
l
2
2
? 1 ml 2 12
Jo
?
1 12
ml 2
?
m( l )2 2
?
1 2
(
? miri2 ) 2
刚体的转动动能
Ek
?
1 J?
2
2
3、刚体的转动惯量 rotational inertia (moment of inertia)
单个质点
J ? mr 2 单位: kg ?m2
刚体
? J ? ? m i ri2
? （质量连续分布时 ） J ? r 2dm
4、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia
则容易得到 ：
? ? ? 0 ? ?t
?
?
?0
?
? 0t
?
1 2
?t2
?
2
?
?
2 0
?
2?(?
?
?0
)
与匀变速直线运动公式类似。
§3.2 刚体的角动量 转动动能 转动惯量
质1、点刚的角体动的量角（动对量一给定an点gu而lar言m）oL?me?nrt?u?mmofv?a
第i个质点对O点的角动量 ? Li ? Ri ? (? mi vi )
22
刚体的转动惯量与下列三个因素有关：
⑴与质量有关。形状、大小相同的均匀刚体总 质量越大，转动惯量大。
⑵与质量分布 有关。总质量相同的刚体，质量 分布离轴越远，转动惯量越大。
⑶与转轴位置 有关。同一刚体，转轴不同，质 量对轴的分布就不同，因而转动惯量不同。
半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为 L质量为m 的均匀直棒，写出刚体对 O轴的转动惯量。（ O轴垂直 纸面）
对定轴转动，矢量可简化为标量：
运动方程 ? ? ? (t)
角速度 ? ? d? dt
刚体
? ?
,
?
α
v
r ?P
θ
向方考参
角加速度
?
?
d?
dt
?
d 2?
dt2
定轴
角量与线量的关系
v ? r?
a? ? r?
an ? r? 2
刚体匀变速转动公式 ：
设：t ? 0,? ? ?0 ;? ? ?0 ; ? ? c
?
F?
Fz
F F?
Fz 与转轴平行,不产生力矩
Mz ? F? r si ?n? F? d
Z
?
d rO
在定轴转动中,几个外力同时作用在刚体上时,合外力矩为
? ? ? Mz ? Miz ? Fi? ri sin i
式中正负号根据右手螺旋法则规定
内力矩的和呢？
2、转动定律 law of rotation
即： Lz ? J ?? 刚体绕轴的角动量
z ? L i ? L iz
L
? A
ri ?
B
? mi
Ri
o
z?
? L i ? L iz
L
A
ri ?
B
? mi
o
Ri
2、刚体的转动动能 rotational kinetic energy of a rigid body
? ? Ek ?
? 1?
2
mivi2
z
⑴刚体上各个质点都在做圆周运动 ,但 各质点圆周运动的半径不一定相同； ⑵各质点圆周运动的平面垂直于轴 ,圆 心在轴线上； ⑶各质点的矢径 ,在相同的时间内转过 的角度相同 .
A r1
??
o1
A'
o B
??
r2
2
B'
?4、刚体的一般运动
?5、角速度矢量：
z
angular velocity vector
=
+M
-m
O
?
?
M0
? ( R2 ? R2
/ 4)
Jo
?
1 ??R2R2
2
?
?1 ??2
??
R2 4
R2 4
?
??
R2 4
R2 ?
4
?? ?
13 ??
32
R4
Jo
?
13 24
M0R2
§3.3 力矩 刚体转动定律
1、力矩 Moment of force 力F对O点的力矩
Fz
F
Mo ? r? F
力F对转轴OZ的力矩
rigid body
z ? Li
L ? ri
?
?
? Liz mi
? Li 的大小 ? Li ? ? mi Rivi
Ri
o
? Li 沿Z轴分量
? ? ? Liz ? ? Li cos ? ? miRivi cos ? ? mirivi
? ? ? Lz ? ? Liz ? ? mirivi ? ( ? miri2 ) ?
例题:三个质量为 m的质点，A、B、C由三个长为 L的 轻杆相联结。求该质点系对通过 A点和O点，且垂直
于三个质点所在平面的转轴的转动惯量。
3
A
解：
? J A ? ? miri2
i? 1
O?
J A ? m ?0 ? m ?L2 ? m ?L2 ? 2mL2 B
C
Jo ? m(
3L)2 ? 3 ? mL2 3
?
1 ml 2 3
平行轴定理
JO ? JC ? md 2
? ? 例题 均匀圆环 ： JC ? ? mi R2 ? R2 ? mi
?m i
CR
J C ? mR2
例题 均匀圆盘：
dm ? ?ds
?
?
m
?R2
面密度
ds ? 2?rdr
r
? ? J ? r2dm ? R r2? 2? rdr 0
? ? ? R4 ? 1 mR2
Mz
?
dLz dt
?
d(J? )
dt
?
J
d?
dt
?
J?
Z
df
f'
刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对该 轴的角动量的时间变化率
比较
M ? J?
F ? ma
转动惯量表示刚体在转动过程中表现出的惯性
第三章 刚体的转动
rotation of a rigid body
§3.1 刚体的平动、转动和定轴转动
? 1、刚体： rigid body 在力的作用下，大小和形状都保 持不变的物体称为刚体。（组成物体的所有质点之 间的距离始终保持不变）是一种理想模型。
? 2、刚体的平动： translation of a rigid body
Jo ? J1o ? J2o
L
O
m
J 1o
?
1 mL2 12
?
m( L)2 2
?
1 mL2 3
M
o' R
J 2o
?
1 MR2 ? 2
M(L ?
R)2
Jo
?
1 mL2 3
?
1 MR2 2
?
M(L?
R)2
? 例 如图已知R 和 M0 ，试计算其转动惯量，设转轴过 O点且和盘面垂直。
解：根据J 的可叠加性，可将其看成两部分：
刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自 身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都 相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的 运动。
?3、刚体绕定轴转动： rotation of a rigid body around a
fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。
刚体定轴转动的特点
例题 均匀杆质量 m,长l，求杆对O轴和C轴的转动惯量。
解： dm ? ?dx
l
? ? JO ?
x 2dm ? l x 2dx? 0
O x dx
?
? l3
?
1 ml 2
x
33
l/2
C
? ? JC ? x2dm ? x2dx?
?l/2
l
l
2
2
? 1 ml 2 12
Jo
?
1 12
ml 2
?
m( l )2 2
?
1 2
(
? miri2 ) 2
刚体的转动动能
Ek
?
1 J?
2
2
3、刚体的转动惯量 rotational inertia (moment of inertia)
单个质点
J ? mr 2 单位: kg ?m2
刚体
? J ? ? m i ri2
? （质量连续分布时 ） J ? r 2dm
4、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia
则容易得到 ：
? ? ? 0 ? ?t
?
?
?0
?
? 0t
?
1 2
?t2
?
2
?
?
2 0
?
2?(?
?
?0
)
与匀变速直线运动公式类似。
§3.2 刚体的角动量 转动动能 转动惯量
质1、点刚的角体动的量角（动对量一给定an点gu而lar言m）oL?me?nrt?u?mmofv?a
第i个质点对O点的角动量 ? Li ? Ri ? (? mi vi )
22
刚体的转动惯量与下列三个因素有关：
⑴与质量有关。形状、大小相同的均匀刚体总 质量越大，转动惯量大。
⑵与质量分布 有关。总质量相同的刚体，质量 分布离轴越远，转动惯量越大。
⑶与转轴位置 有关。同一刚体，转轴不同，质 量对轴的分布就不同，因而转动惯量不同。
半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为 L质量为m 的均匀直棒，写出刚体对 O轴的转动惯量。（ O轴垂直 纸面）
对定轴转动，矢量可简化为标量：
运动方程 ? ? ? (t)
角速度 ? ? d? dt
刚体
? ?
,
?
α
v
r ?P
θ
向方考参
角加速度
?
?
d?
dt
?
d 2?
dt2
定轴
角量与线量的关系
v ? r?
a? ? r?
an ? r? 2
刚体匀变速转动公式 ：
设：t ? 0,? ? ?0 ;? ? ?0 ; ? ? c
?
F?
Fz
F F?
Fz 与转轴平行,不产生力矩
Mz ? F? r si ?n? F? d
Z
?
d rO
在定轴转动中,几个外力同时作用在刚体上时,合外力矩为
? ? ? Mz ? Miz ? Fi? ri sin i
式中正负号根据右手螺旋法则规定
内力矩的和呢？
2、转动定律 law of rotation
即： Lz ? J ?? 刚体绕轴的角动量
z ? L i ? L iz
L
? A
ri ?
B
? mi
Ri
o
z?
? L i ? L iz
L
A
ri ?
B
? mi
o
Ri
2、刚体的转动动能 rotational kinetic energy of a rigid body
? ? Ek ?
? 1?
2
mivi2
z
⑴刚体上各个质点都在做圆周运动 ,但 各质点圆周运动的半径不一定相同； ⑵各质点圆周运动的平面垂直于轴 ,圆 心在轴线上； ⑶各质点的矢径 ,在相同的时间内转过 的角度相同 .
A r1
??
o1
A'
o B
??
r2
2
B'
?4、刚体的一般运动
?5、角速度矢量：
z
angular velocity vector