九年级数学上册-圆的有关性质24.1.3弧弦圆心角导学案新版新人教版
24.1.3 弧、弦、圆心角
一、新课导入
1.导入课题：
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度,旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.(板书课题)
2.学习目标：
(1)知道圆是中心对称图形,并且具有任意旋转不变性.
(2)知道什么样的角是圆心角,探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.
(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.
3.学习重、难点：
重点：弧、弦、圆心角关系定理.
难点：探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.
二、分层学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第83页至第84页例3之前的内容.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究参考提纲：
①剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°和任意角度,观察旋转前后的两个图形是否重合,并填空：圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心；把圆绕着圆心旋转任意一个角度,旋转之后的图形都与原图形重合.
②顶点在圆心的角叫做圆心角.
重合
④结论：在在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量都相等.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：观察学生能否在提纲的指导下顺利完成整个探究活动.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
(1)弧、弦、圆心角关系定理,尤其是定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”.
(2)该定理可以实现角、线段(弦)、弧的相互转换.
(3)练习：如图,AB,CD是⊙O的两条弦.
解：相等.理由：
∵OE⊥AB,OF⊥CD,由垂径定理得AE=BE=AB,CF=DF=CD.
又AB=CD,∴AE=CF.在Rt△AOE和Rt△COF中,
OA=OC,AE=CF,
∴Rt△AOE≌Rt△COF,∴OE=OF.
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第84页例3.
(2)自学时间：3分钟.
(3)自学方法：阅读理解,推理论证.
(4)自学参考提纲：
它们所对的弦AB=BC=AC,或证明它们都是120°.
b.在每一步后面填上相应的依据:
证明：
∴AB=AC(在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的弦相等).
又∠ACB=60°, ∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
即AB=BC=AC,∴∠AOB=∠BOC=∠AOC(在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆心角相等).
c. 你还有其他的证法吗？
∴AB＝AC. 又∠ACB＝60°,
∴△ABC是等边三角形.
易证△AOB≌△BOC≌△AOC,
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：观察学生是否会用定理实现角、线段、弧的转换.
②差异指导：看图逐步适应从直线到曲线的过渡.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：弧、弦、圆心角的关系定理是证弧等、弦等、角等的常用定理.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？还存在哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性,小组合作情况、存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论,可以发展学生勇于探究的良好习惯,培养动手解决问题的能力.
(2)本节课中,教师应让学生掌握解题方法,即要证弦相等或弧相等或圆心角相等,可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(70分)
A．36° B．72° C．108° D．48°
2.(15分)如图,已知AB是⊙O的直径,C、D是半圆上两个三等分点,则∠COD=60°.
3.(15分)如图,在⊙O中,点C是的中点,∠A=50°,则∠BOC=40°．
二、综合应用(20分)
6. (20分)如图,A,B是⊙O上的两点,∠AOB=120°,C的中点,求证：四边形OACB是菱形.
证明：∵C是AB的中点,∴AC=BC,
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.
又∵OA=OC=OB,
∴△AOC与△BOC是等边三角形.∴∠A=60°.
又∠AOB=120°,∴AC∥OB.
∵AC=OC=OB,
∴四边形OACB是平行四边形.
又OA=AC,∴四边形OACB是菱形.
三、拓展延伸(10分)
7.(10分)如图,在⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD．
(1)求证：△AEC≌△DEB；
(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
(2)解：对称.理由：连接OB、OC. 则OB=OC. 由(1)知BE=CE,
连接BC,则OE垂直平分BC.
∴点B与点C关于直线OE对称.
九年级数学下册 2_2_1 圆心角学案 (新版)湘教版
2.2.1 圆心角 1.了解圆心角的概念； 2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间的关系定理及该定理在解题中的应用． 自学指导 自学教材P47~48，完成下列问题. 知识探究 1.什么是圆心角? 解：顶点在圆上，角的两边与圆相交，像这样的角叫做圆心角. 2.弧、弦、圆心角的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等 . 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 . 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 3.思考： 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 解：略. 自学反馈 1.如图所示，下列各角是圆心角的是 （ B ） A.ABC ∠ B.AOB ∠ C.OAB ∠ D.OBC ∠ 2.如图，A 、B 、C 、D 是 O 上的四点.
（1）如果AOB COD ∠=∠，那么AB=___CD___，AB =__ ____； （2）如果AB CD =，那么AOB ∠=__∠COD____，AB=___CD___； （3）如果AB=CD ，那么AOB ∠=__∠COD____，AB =__ ____. 活动1 小组讨论 例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( B ) A ．∠ABC B ．∠AOB C ．∠OAB D ．∠OCB 确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 例2 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠B ＝70°，则∠A ＝___40°_____． 在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得 到两弦相等就可以了． 例3 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ， N .求证：AC ︵＝BD ︵ . 证明：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD . ∵OA ＝OB ，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，
九年级数学上册-圆的有关性质24.1.3弧弦圆心角导学案新版新人教版
24.1.3 弧、弦、圆心角 一、新课导入 1.导入课题： 问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ 问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度,旋转之后的图形还能与原图形重合吗？ 这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.(板书课题) 2.学习目标： (1)知道圆是中心对称图形,并且具有任意旋转不变性. (2)知道什么样的角是圆心角,探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理. (3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题. 3.学习重、难点： 重点：弧、弦、圆心角关系定理. 难点：探究并证明弧、弦、圆心角关系定理. 二、分层学习 1.自学指导： (1)自学内容：教材第83页至第84页例3之前的内容. (2)自学时间：8分钟. (3)自学方法：完成探究提纲. (4)探究参考提纲： ①剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°和任意角度,观察旋转前后的两个图形是否重合,并填空：圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心；把圆绕着圆心旋转任意一个角度,旋转之后的图形都与原图形重合. ②顶点在圆心的角叫做圆心角. 重合
④结论：在在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量都相等. 2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： (1)师助生： ①明了学情：观察学生能否在提纲的指导下顺利完成整个探究活动. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. (2)生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化： (1)弧、弦、圆心角关系定理,尤其是定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”. (2)该定理可以实现角、线段(弦)、弧的相互转换. (3)练习：如图,AB,CD是⊙O的两条弦. 解：相等.理由： ∵OE⊥AB,OF⊥CD,由垂径定理得AE=BE=AB,CF=DF=CD. 又AB=CD,∴AE=CF.在Rt△AOE和Rt△COF中, OA=OC,AE=CF,
弧、弦、圆心角练习题及答案
一.教学内容： 弧、弦、圆心角 二. 教学目标： 1. 使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念； 2. 使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题； 3. 使学生理解并掌握1°的弧的概念 4. 培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律. 三. 教学重点、难点： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。 四. 教学过程设计： 1. 圆的旋转不变性 圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。 圆所特有的性质——圆的旋转不变性 圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角，弦心距的概念. 顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 同样还有： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。 4. 1°的弧的概念. (投影出示图7－59)
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=，这是错误的。 【典型例题】 例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？ （1）如图所示：因为∠AOB=∠A ′OB ′，所以 = . （2）在⊙O 和⊙O ′中，如果弦AB=A ′B ′，那么=。 分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。 例2. 已知：如图所示，AD=BC 。 求证：AB=CD 。 证：∵AD=BC ? ?=∴BC AD ? ???? ?+=+∴=BC AC AD AC AC AC DC AB AB DC =∴=∴? ? 变式练习。已知：如图所示， = ，求证：AB=CD 。 证：∵? ?? ?==AC AC BC AD ∴? ???+=+AC BC AC DA ? ?=∴AB DC CD AB =∴ 例3. 在圆O 中，?=∠=? ?60ACB AC AB 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
说课稿圆心角、弧、弦
《弧、弦、圆心角》说课稿 麻城思源实验学校朱娟 教材分析： 本课是人教版九年级上册第二十四章第一节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。主要研究弧，弦，圆心角的关系。教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。 教学目标分析： 1、让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性. 2、结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角. 3、引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题. 4、培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律. 教法分析： 1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等对等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练，构建学生头脑中新的知识网络。 2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。在最后小结时运用自学模式。 3．教学手段：学生动手，现场板演，多媒体辅助教学.
《弧、弦、圆心角》教学设计3
24.1.3弧、弦、圆心角 教学目标 (1)知识目标：理解圆的定义，理解弧，弦，半圆，直径等有关概念及它们之间的联系 (2)能力目标：通过感受图形的运动变化，感受图形在运动变化中的特点和规律 (3)情感目标：经历探索相关结论，发展学生的思考问题能力，发现新规律的能力 教学重点 有关圆心角的定理及推论，它们在解题中的应用 教学难点 探索定理和推导及其应用 教学方法 采取引导发现法，创设合理的问题情境，激发学生思维的积极性，充分展现学生的主体作用． 教学过程 一、教学引入 1、圆的对称性有哪几方面？ 多媒体演示：轴对称性、圆绕圆心旋转 发现：圆绕圆心旋转任意角度后仍与原来的圆重合。 结论：圆有旋转不变性 2、回顾： （1）、圆是轴对称图形—垂径定理及其推论 （2）、圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。（圆的旋转不变性）——？ 二、探索新知 1、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角 2、（1）多媒体演示如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
（2）⊙O与⊙O1是等圆时，∠AOB =∠A1OB1，请问上述结论还成立吗？为什么?（利用圆的旋转的不变性） 3、归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 多媒体演示定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦____； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角 ______，所对的弧____． 圆心角定理理解：等对等定理 多媒体演示 (1) 圆心角 (2) 弧 (3) 弦，知一得二 练习：小试身手多媒体演示 1.判断下列说法是否正确： （1）相等的圆心角所对的弧相等。（） （2）相等的弧所对的弦相等。（） （3）相等的弦所对的弧相等。（） 2、如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦： （1）如果AB=CD，那么________，______________； （2）如果= ，那么________，______________； （3）如果∠AOB=∠COD，那么________，_______； （4）如果AB=CD，OE⊥AB 于E，OF⊥CD 于F，OE 与OF 相等吗？为什么？
初中数学《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》学案
【基础知识精讲】 1.基本概念 (1)顶点在圆心的角叫圆心角. (2)从圆心到弦的距离叫弦心距. (3)1°的圆心角所对的弧叫1°的弧. 2.定理 (1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等. (3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 3.应注意的问题 (1)解题时作圆心的弦心距是常用辅助线. (2)等弧的度数一定相等，相等度数的弧不一定是等弧. 【重点难点解析】 本节的重点是掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题. 例1 如图7-20，O 是Rt △ABC 三条角平分线的交点，∠C=90°，⊙O 经过C 点分别交AC 、BC 于D 、E ，交AB 于F 、G ，求证⌒ CD =⌒ CE =⌒ FG 证明：作弦CD 、CE 、FG 的弦心距OM 、ON 、OP ， ∵O 是△ABC 的三条角平分线的交点， ∴OM=ON=OP ， 则：⌒ CD =⌒ CE =⌒ FG 说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而知道这三条弧相等. 图7-20 图7-21 例2 如图7-21，OA 、OB 是⊙O 的两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过M 作MC ∥OA ，交⌒ AB 于C ，求证⌒ AC =3 1⌒ AB . 证明：过M 、C 作ME ⊥AO 于E ，CF ⊥AO 于F ，连OC ∵M 为AB 的中点，∴ME= 2 1 OB,易证MEFC 为矩形 ∴CF=21OB=21OC ，∠COF=30°，则⌒AC =3 1⌒ AB
弧,弦,圆心角的关系练习题
弧，弦，圆心角的关系练习题 1．到点O 的距离为5的所有点构成的图形是__________ 2. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 3、在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。 4、 如图，在⊙O 中，弦EF ∥直径AB ，若弧AE 的度数为50°，则弧EF 的度数为 ，弧BF 的度数为 ，∠EOF= °，∠ EFO= °。 5， ⊙O 中，如果弧AB=2弧BC ，那么下列说法中正确的是（ ） A. AB=BC B. AB=2BC C. AB ＞2BC D. AB<2BC 6.、AB 为⊙O 的直径，C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB 的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠ COD= °，∠DOB= °。 7.. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，则圆心角∠AOB= 。 8.．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝CD ； ②＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确的有（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦AE ∥CD ，求证： ． 10. 已知：如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D 。求证：∠OBA=∠OCD 。 11. 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。求证：AE=BF=CD 。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高) 【学习目标】 1、了解圆心角、圆周角的概念; 2、理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3、掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它两 组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1、圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3、推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要就是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征、 (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提、 要点二、圆周角 1、圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3、圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角就是直角,90°的圆周角所对的弦就是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都与圆相交、 (2)圆周角定理成立的前提条件就是在同圆或等圆中、 4、圆内接四边形:
(1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角). 5、弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间就是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)、 *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等、 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1、已知:如图所示,⊙O中弦AB＝CD.求证:AD＝BC. 【思路点拨】 本题主要就是考查弧、弦、圆心角之间的关系,要证AD＝BC,只需证??AD BC =或 证∠AOD＝∠BOC即可. 【答案与解析】 证法一:如图①,∵AB＝CD,∴??AB CD =. ∴???? AB BD CD BD -=-,即?? AD BC =, ∴AD＝BC. 证法二:如图②,连OA、OB、OC、OD, ∵AB＝CD,∴∠AOB＝∠COD. ∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB, 即∠AOD＝∠BOC,∴AD＝BC. 【总结升华】在同圆或等圆中,证两弦相等时常用的方法就是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等,而图中没有已知的等弧与等圆心角,必须借助已知的等弦进行推理. 举一反三: 【变式】如图所示,已知AB就是⊙O的直径,M、N分别就是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB. 求证:??AC BD =.
《弧、弦、圆心角》教案
24.1.3 弧、弦、圆心角 一、教学目标 （一）学习目标 1.探索圆的中心对称性 2.了解圆心角的概念，探索并掌握在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等 3.掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题 （二）学习重点 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． （三）学习难点 圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 (1)旋转的三要素是旋转中心，旋转方向，旋转角度 180，它能够与另一个图形重合，那么这(2)中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转 两个图形关于这个点成中心对称. 2.预习自测 （1）圆是图形，也是图形 【知识点】圆的中心对称性与轴对称性 【答案】轴对称中心对称 【解题过程】圆既是轴对称图形又是中心对称图形 【思路点拨】圆既是轴对称图形又是中心对称图形 （2）圆的对称中心是． 【知识点】圆的中心对称性 【答案】圆心 【解题过程】圆是中心对称图形，由于它绕着圆心旋转180°后和原图形重合，所以圆的对称中心是圆心 【思路点拨】根据中心对称图形的定义找到圆的对称中心
（3）如图，已知O O '与的半径相等，若A O B A O B '''∠=∠，则________A B A B ''，________A B A B ''（填“>”、“<”或“=”） 【知识点】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【答案】= = 【解题过程】A O BA O B '''∠=∠,A BA B ''∴=,A B A B ''= 【思路点播】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等 (4)已知O 与O '半径相等，若A B A B ''=，则________A O B A O B '''∠∠，（填“>”、“<”或“=”） 【知识点】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等． 【答案】= 【解题过程】A BA B ''=，O A O A ''=,O B O B ''=,A O B ∴?≌A O B '''?，A O BA O B '''∴∠=∠ 【思路点拨】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等 （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 （2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧 （3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 2.问题探究 探究一 圆的中心对称性
九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识要点归纳
［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 (1) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等， 但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 如图，同心圆，虽然 ZAOB ZCOD ，但 AB=CD ，而且 AB = CD ，弦心 距也不相切。 (2) 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对” 一词的含义, 从而正确运用上述关系。 下面举四个错例： c c 若O O 中，AC = DB ，则 CE = FD , CEA =/DFB CE FD 不是弦，/ CEA / BFD 不是圆心角，就不可以用圆 心角定理推论证明。 其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的 “弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 (4)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对 的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360份，我 们把每一份这样的弧叫做 1 °的弧。 一般地，n °的圆心角对着 n °的弧，n °的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的 度数和它所对的弧的度数相等。 圆心 弧弦 弦心距之间的关系 这两个结论都是错误，首先 (3)同一条弦对应两条弧, 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。 而不是角与弧相等，在书写时要防
初中数学《弧弦和圆心角》教案_答题技巧
初中数学《弧弦和圆心角》教案_答题技巧 作课类别课题24.1.3弧、弦、圆心角课型新授 教学媒体多媒体 教 学 目 标知识 技能1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念. 2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用． 过程 方法通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法. 情感 态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 教学重点在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 教学难点探索定理和推导及其应用． 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、导语这节课我们继续研究圆的性质，请同学们完成下题． 1.已知 OAB，如图所示，作出绕O点旋转30、45、60的图形．
2.圆是中心对称图形吗？将圆旋转任意角度后会出现什么情况？我们学过的几何图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是？ 二、探究新知 （一）、圆心角定义 在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角． （二）、圆心角、弧、弦之间的关系定理 1.按下列要求作图并回答问题： 如图所示的 O中，分别作相等的圆心角AOB 和A OB 将圆心角AOB绕圆心O旋转到A OB 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 得到：在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2.在等圆中相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 综合1、2，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？ 4.定理拓展： ○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角， 所对的弦也分别相等吗？ ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角， 所对的弧也分别相等吗？综上得到 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等． 综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．
人教版数学九上《圆的有关性质》(弧、弦、圆心角)参考教案
24.1.3 弧、弦、圆心角 教学目标： 1、理解圆的旋转不变性． 2、掌握圆心角的概念和圆心角定理． 3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及 概括问题的能力； 4、学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想， 转化的数学思想解决问题． 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 教学过程： 一、情境创设： 1、按下面的步骤做一做： (1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下； (2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定． 注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合． 图1 (3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合． 通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．
二、新课讲授 1．定点在圆心的角叫做圆心角。如：∠AOB 2．如图1，由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知弧AB=弧A’B’. 定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？ 推论： （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等． 注意：（1）“同圆或等圆”的条件不能少； 若去掉这个前提，如图所示的是两个同心圆，弦AB与弦CD 相等吗?弧AB与弧CD相等吗? (显然不相等) （2）定理的作用：在同圆或等圆中证：圆心角、弧、弦相等； （3）“等弧对等弦”是假命题； ※（4）在同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等；（记住结论，但解答题不可直接使用） ※（5）弧的度数等于它所对的圆心角的度数。（弧是圆中非常重要的桥梁） 三、例题讲解 ，∠ACB＝60°， 例1．如图，在⊙O中，AB CD 求证：∠AOB=∠AOC=∠BOC． AB BC CD DA=1：2：3：4，练习：点A、B、C、D为⊙O上四点，:::
24.1.3 弧、弦、圆心角 导学案
24.1.3弧、弦与圆心角的关系 主备：总课时数：周课时数： 1.知识与技能 通过探索理解并掌握: （1）圆的旋转不变性； （2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理。 2.过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问 题的能力。 3.情感态度与价值观 （1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣． （2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐． （3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 4.教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 教学环节教师活动学生活动个性备课 活动1：情境创设问题：观察折扇收拢和展开的动画过程，哪些弧重 合？哪些弦重合？哪些角重合？引出课题。 观察思考作答； 带着问题进入学习。 活动2： 探究圆心角的概念。问题：观察折扇收拢过程中，这些重合的角有什么特 征？ 在学生归纳出特征以后给出圆心角的概念，并通过改 变角顶点的位置让学生判断是否任为圆心角。 观察得出圆心角的特征。 讨论、回答问题 活动3： 探究圆的旋转不变性。操作：把两个半径相等的圆的圆心重合在一起，绕 圆心转动其中一个圆。 问题：你发现了什么奇怪的现象？ 观察圆的旋转并思考作答。 （圆具有旋转不变性。） 活动4： 探究圆心角、弧、弦之间的关系定理。操作：将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′ 的位置。 问题1：在旋转过程中你能发现哪些等量关系？ 问题2：由上面的现象你能猜想出什么结论？ 问题3：你能证明这个结论吗？在学生推导归纳出上 面结论后又提出问题： 问题4：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 _____，所对的弦________； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所 对的弧_________． 通过观察——猜想——证明 ——归纳得出圆心角、弧、 弦之间的关系定理。 活动5：应用新知如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么，。 （2）如果弧AB=弧CD ，那么，。（3）如果∠AOB=∠COD，那么，。（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
24.1.3弧弦圆心角教学设计
24．1.3《弧、弦、圆心角》教学设计
AO B 像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 通复习旧知 引 出新知，使 学生 对圆心 角有一 个感 性的认识。 巩固练习： 判别下列各图中的角是不是圆心角？ 活动 3：探究圆心角、弧、弦之间的关系 操 作 ：将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到 ∠A ′OB ′的位置。 问题 1：在旋转过程中你能发现哪些等量 关 系？ 问题 2：由上面的现象你能猜想出什么结 论？ 问题 3：你能证明这个结论吗？在学生推 导归纳出上面结论后又提出问题： 问题 4：如果在两个等圆中这个结论还成 立 吗？ 问题 5：在同圆或等圆中，如果两条弧相 等， 你能得到什么结论？ 问题 6：在同圆或等圆中，如果两条弦相 等， 你又能得到什么结论？ 教师引导学生认识圆心角,学 生完成巩固练习 B A B O A' B ' 通过观察——猜想——证明 ——归纳得出圆心角、弧、弦 之间的关系定理。 教师利用多媒体将两个等圆 叠合成一个圆。 学生观察、归纳总结三组量之 间的关系。 将学生四人分成小组进行实 验 操作，交流发现的结果，并 由每 组的小组代 学生通过找 圆心角，为后 面探 究三者 之间的 关系 作铺垫。 让学生通过 观察——猜 想——证明 ——归纳得 出新知，培养 学生分析问 题、解决问题 的能力。 将定理中的 文 字语言转
活动 5： 例题探究 例：如图, 在⊙O 中，弧AB= 弧AC，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC. 活动 6：应用提高 1.如图，AB是⊙O 的直径，弧BC=弧 CD=弧DE，∠ COD=35°，求∠AOE 的度数． 分组讨论解决办法并展示解 答过程 培养学生正确 应用所学的知 识的应用能 力，增强应用 意识。 三、课堂小结与作业
《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计(湖北省市级优课)
《弧、弦、圆心角》教学设计 教学内容：人教版九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角 教学目标： 1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性。 2.利用圆的旋转不变性，发现圆中弧、弦、圆心角关系，并能正确推理和应用。 3.通过观察、比较、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。 4.培养学生探索数学问题的积极态度和科学的方法。 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理，并利用其解决相关问题。 教学难点：定理中条件的理解及定理的探索。 教学过程： 一、创设情景: 想一想 （1）平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？ （2）⊙O绕圆心O旋转180°后，你发现了什么？ （3）思考：平行四边形绕对角线交点O任意旋转任意一个角度后，你发现了什么？把⊙O绕圆心O旋转任意一个角度后，你发现了什么？ 二、探究新知 （1）如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做． 将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？ 为什么？你能证明吗？ B B’ （2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？ 做一做：在纸上画两个等圆，画∠A’OB=∠AOB=60°，连结AB和A’B’，则弦AB 与弦A’B’，弧AB与弧A’B’还相等吗？为什么？请学生动手操作，在实践中发现 结论依旧成立。
C O A B （3）说一说 尝试将上述结论用数学语言表达出来。 学生得出：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （4）思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两 条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？ 学生小组讨论，归纳得出：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 三、例题讲解 例1：如图5：在⊙o 中，弧AB=弧AC ,∠ACB ＝60°。 求证：∠ACB=∠BOC=∠AOC. 分析：由弧AB=弧AC ,得到AB=AC ，再由∠ACB=60°， 得到△ABC 是等边三角形，AB=AC=BC,所以∠ACB=∠BOC=∠AOC. 变式训练：把“求证：∠ACB=∠BOC=∠AOC ”改为“求∠AOB 的度数”。 例题小结：通过例题可以发现在同圆或等圆中，要说明两条弧相等可以寻找它们所对的弦或圆心角的关系来解决，同样的方法也可以来说明弦相等或圆心角相等。 例2：如图4：AB 是⊙O 的直径， = = ,∠COD ＝35°, 求∠AOE 的度数。 （教学说明：让学生自主探索问题解决的途径，并通过交流、形成技能） 四、巩固练习： 1.如图：AB 、CD 是⊙O 的两条弦。 （1） 如果AB ＝CD ，那么＿＿＿，＿＿＿。 （2） 如果 = ，那么＿＿＿，＿＿＿。 （3） 如果∠AOB ＝∠COD, 那么＿＿＿，＿＿＿。 （4） 如果AB ＝CD ，OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F, OE 与OF 2. 如图7所示，AB 为⊙O 连结OC 、OD ，并延长交⊙（1）试判断△OCD （2）求证：弧AE=弧BF O A D C E F O D C
人教版初三数学上册24.1.3弧弦圆心角说课稿
《弧、弦、圆心角》说课稿 永城市第一初级中学李欣 一、教材分析： 本节课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级（上）§24.1.3《弧、弦与圆心角的关系》的内容。本节课主要是研究圆心角、弧、弦之间的关系并利用其解决相关问题，是在学生了解了圆和学习了垂径定理以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用。 二、教学目标分析： 知识与能力 1. 了解圆心角的概念 2. 2. 能灵活应用关系定理及其结论解决问题。 过祝与方法 环历探賣船、眩、関心诃关系定理及其结论的过祥发展陨牛「的数弟思占能丿J和合情推理能力。 情感态度与价值观 感受几何图形的对称美和变化美，体会数学的魅力和价值，激发学生数学的求知欲和探 索欲。 三教学X?心 重点：弧、弦、圆心角关系定理及其结论的应用。 难点：定理及其结论的探索与应用。 三、教法分析： 根据学生现有的知识水平及学生的年龄特征和心理特征，通过多媒体演示动画使学生把 圆与一般的中心对称图形区别开来。由此激发兴趣学习新的知识，然后指导学生通过旋转操作后观察、探究、讨论、自己得出结论。教师再加以点拨总结。这样学生的印象比较深刻，掌握的也比较牢固。接着设计相应的例题与练习使学生利用已探究的知识解决证明或计算题，使学生真正具备解决问题的能力，促进学生共同进步。教学过程中及时给学生鼓励肯定学生探究的结论的不简单之处，从而提高学习的兴趣和增强学习的信心。通过教学引导学生欣赏圆的旋转不变性，让学生自己探究并发现圆心角、弧、弦之间的相等关系。培养学生的逻辑思维能力和创新能力。利用圆心角、弧、弦之间的关系尝试解决证明或计算问题，培养学生利用所学知识解决实际问题的能力，使学生增强勇于挑战的决心。形成在探究中坚强的毅力。教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据本节课的特点，在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：猜想一验证一证明一归纳总结。这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。在最后小结时运用自学模式。 四、教学手段：学生合作交流，多媒体辅助教学? 五、教学过程分析： 一、创设情景，引入新课
《圆》第1节弧、弦、圆心角导学案1
《圆》第一节弧、弦、圆心角导学案1 主编人：主审人： 班级：________ 学号：__________ 姓名：______ 学习目标： 【知识与技能】 1理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系 解决有关的证明、计算 2弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据【过程与方法】经历探索发现圆的旋转不变性，证明圆心角、弦、弧之间的关系 【情感、态度与价值观】 学生通在探索圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间关系过程中体验其成立的喜悦 【重点】 弧、弦、圆心角之间的相等关系 【难点】 定理的证明 学习过程： 一、自主学习 （一）复习巩固 （1）圆是轴_______ 图形，任何一条_________ 所在直线都是它的对称轴. （2 ）垂径定理________________________________________________________________________ 推论 ___________________________________________________________________ . （二）自主探究 如图所示，/ AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做_____________ . 请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的O O中，分别作相等的圆心角/ AOB和/ A?' OB?将圆心角/ AOB绕圆心O 旋转到/ A' OB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 相等的弦：_____________________ ;相等的弧：________________________________________ 理由：_____________________________________________________________________________ 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_______ 相等，所对的弦也________
九年级数学：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(参考教案)
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(参考教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 第一课时（一） 教学目标： （1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用； （2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力； （3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲． 教学重点、难点： 重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论． 难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养． 教学活动设计 教学内容设计 （一）圆的对称性和旋转不变性
学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性. 引出圆心角和弦心距的概念： 圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角． 弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距． （二） 应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性. 定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． （三）剖析定理得出推论 问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流） 举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD， .（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.） 问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交
人教版-数学-九年级上册-24.1.3弧、弦、圆心角导学案
24．1.3 弧、弦、圆心角 1．通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系． 2．运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题． 阅读教材第83至84页内容，回答下列问题． 知识探究 1．顶点在________的角叫做圆心角． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦也________． 3．在同圆或等圆中，两个________，两条________，两条________中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 4．在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦． (1)如果AB ＝CD ，那么________，________； (2)如果AB ︵＝CD ︵ ，那么________，________； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么________，________. 自学反馈 1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外) (1)________________； (2)________________； (3)________________． 2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.
3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵ .求证：AB ＝CD ； (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵ . 活动1 小组讨论 例1 在⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的1 4 ，则弦AB 所对的圆心角为90°． 整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角． 例2 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数． 解：30°. 例3 已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？ (1)OM 、ON 具备垂径定理推论的条件； (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等． 解：∠AMN ＝∠CNM. ∵AB ＝CD ，M 、N 为AB 、CD 中点，