弧、弦、圆心角教学设计

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弧、弦、圆心角
【教学目标】
了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可
以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用。
【教学重难点】

1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的
应用。
2．探索定理和推导及其应用。
【教学过程】

一、复习引入。
（学生活动）请同学们完成下题。
已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形。
老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠
BOB′＝30°。
二、探索新知。
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫心角。
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角
∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什
么？
»¼
=ABAB

，AB＝A′B′

理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB＝∠A′OB′
∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴»AB与¼AB重合，弦AB与弦A′B′重合
∴»¼=ABAB，AB＝A′B′
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手
作一作。
（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，•分别作相等的圆心角∠AOB和∠

B
A
O
B
A

O

B
'
B
A
A
'

O
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A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个
角度，使得OA与O′A′重合。

（1） （2）
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
我能发现：»¼=ABAB，AB＝A′B′。
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢──
化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
（学生活动）请同学们现在给予说明一下。
请三位同学到黑板板书，老师点评。
例1．如图，在⊙O中，AB．CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥
CD，垂足分别为EF。
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？
为什么？
（2）如果OE＝OF，那么»AB与»CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为
什么？∠AOB与∠COD呢？
分析：
（1）要说明OE＝OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE＝CF，即说明
AB＝CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可。
（2）∵OE＝OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO＝CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE＝CF，∴AB＝CD，又可运用上面的定理得到»»=ABCD。
三、巩固练习。
教材练习1。

O(O')
O
'

O

B
'

A
'

B
B
'
O(O')
O
'
O

B
A
A
A
'

OBACED
F
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四、应用拓展。
如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM＝∠CPM。
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由。
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说
明理由。

（3） （4）
分析：（1）要说明AB＝CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半
相等。
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的。
解：（1）AB＝CD
理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F
∵∠APM＝∠CPM
∴∠1＝∠2
OE＝OF
连结OD、OB且OB＝OD
∴Rt△OFD≌Rt△OEB
∴DF＝BE
根据垂径定理可得：AB＝CD
（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F
∵∠APM＝∠CPN且OP＝OP，∠PEO＝∠PFO＝90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF
∴OE＝OF
连接OA、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF
∴∠1+∠2＝∠3+∠4
∴AB＝CD

B
A
C

E

D

P

O
N

M
F
B
A

C
E

D
P
N
M

F
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五、归纳总结（学生归纳，老师点评）。
1．圆心角概念。
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对
应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用。