【人教版八年级数学上册】11.3.2 多边形的内角和 PPT精品课件
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数学人教版八年级上册11.3.2多边形的内角和.3.2新人教版多边形的内角和课件(共27张PPT)
请在书中找出以下概念并画出找概念
1.多边形 2.n边形 3.多边形的内角 4.多边形的外角 5.多边形的对角线 6.凸多边形 7.正多边形
多边形的定义
1、试仿照三角形的定义给出多边形定义： 在 平面 内，由一些线段（不在同一直线上） __________ 首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。 五边形表示为 五边形ABCDE 2、一个多边形由n条线段组成，这个多边 n 边形，这些线段叫多边形的 形就叫做___ 边 __ ，由此，多边形可根据边数的多少分成 三角形、四边形、五边形、八边形、……、 n边形。
360° 4、正n边形的每一个外角等于___. n 每一个内角等 于 (n-2) ×180 ° , n
闯关三：综合应用
4、 一个多边形当边数增加1时，它的内角 和增加 180 度 （30分）
解： 设多边形的边数为n， 因为它的内角和等于 (n-2)•180°, 当边数增加1时，内角和为(n+1-2)•180°， (n+1-2)•180°- (n-2)•180° =n•180°-180°- n•180°+360° = 180° 内角和增加180°
A
B
多了什么？如何处理？
这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形， 故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边 上一点周围所形成的平角不是多边形的内角， 因此n边形的内角和为 （n-1）×180 °- 180 °= (n-2)×180 °
凸多边形、正多边形的定义
6.画出多边形任何一条边所在直线，整个 多边形都在 这条直线的同一侧 ，这样的 多边形称为凸多边形. 各个角相等、各条边相等 7、像正方形这样， ___________________ 的多边形叫正多边形.
人教版八年级数学上册 课件：11.3.2 多边形的内角和【精品】
因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，
所以x＝180°×7＝1260°.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
17
例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°， ∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分 ∠ABC，求∠P的度数．
角有什么关系？试说明理由.
A
解： 如图，四边形ABCD中，
D
∠A+ ∠C =180°.
B
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，C
所以 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
9
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形．
5×180°=900°
21
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和 有什么关系？
五边形外角和 =5个平角 －五边形内角和 =5×180°－(5－2) × 180° =360 °
1A
B
5
2
E
C3
4 D
结论：五边形的外角和等于360°.
22
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和 叫做n边形的外角和． 思考：n边形的外角和又是多少呢？
33
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋ ∠6＋∠7的度数.
89
解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和＝540°.
所以x＝180°×7＝1260°.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
17
例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°， ∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分 ∠ABC，求∠P的度数．
角有什么关系？试说明理由.
A
解： 如图，四边形ABCD中，
D
∠A+ ∠C =180°.
B
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，C
所以 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
9
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形．
5×180°=900°
21
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和 有什么关系？
五边形外角和 =5个平角 －五边形内角和 =5×180°－(5－2) × 180° =360 °
1A
B
5
2
E
C3
4 D
结论：五边形的外角和等于360°.
22
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和 叫做n边形的外角和． 思考：n边形的外角和又是多少呢？
33
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋ ∠6＋∠7的度数.
89
解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和＝540°.
初中数学人教版八年级上册11.3.2多边形的内角和 教学课件(共23张PPT)
E 5
4
D
F
6 A1
3
C 2 B
= 360 °
将六边形换成n边形（n 是不小于3的任意整数）
结论：六边形的外角和等于360°.
可以得到同样的结果吗？
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n 边形的外角和．
n边形外角和 = n边形内外角总和 - n边形内角和 = n×180 °- (n-2) × 180° = 360 °
练习 4 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍,则这个多边形是( C )
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.八边形
解析：设所求正 n 边形边数为 n ,由题意得
n 2 180 360 2 解得 n 6 .
则这个多边形是六边形.故选 C.
练习 5 一个多边形的内角和是其外角和的 4 倍，则这个
多边形的边数是__1_0____.
解析：设这个多边形的边数为 n ，则该多边形的内角和
为 (n 2)180 ，依题意得： (n 2)180 360 4 ， 解得： n 10 ，这个多边形的边数是 10. 故答案为：10.
练习 6（1）根据图中的相关数据，求出 x 的值：
. （2）一个多边形内角和的度数比外角和的度数的 4 倍多 180 度， 求多边形的边数.
多边形的外角和等于_3_6_0_°__
谢谢观看
A B
D
•
E C
类比上面的方法，你能推导出五边形和六边形的内角和各 是多少吗？
五边形内角和为180°×3 = 540°
六边形内角和为180°×4 = 720°
边数 三角形 四边形 五边形 六边形 ······ n 边形
图形
从多边形的一顶点 引出的对角线条数
人教版八年级数学上册《11.3.2 多边形的内角和》教学课件
每个外角的度数是 360 .
n
练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正六____边形 . (2)已知正多八边形的每个外角都是45°,则这个多边形是
______边形.
典例精析
例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6.
=180°− 1 (∠EAB+∠ABC)=180°− 1×230°=65°．
2
2
二 多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处 各取一个外角，这些外角的和 叫做五边形的外角和．
1A
B
5
2
E
C3
4 D
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
D.810 °
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ C ）
A.360°
B.540 ° C.720 ° D.900 °
6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角 后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能 不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
A 方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B
n
练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正六____边形 . (2)已知正多八边形的每个外角都是45°,则这个多边形是
______边形.
典例精析
例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6.
=180°− 1 (∠EAB+∠ABC)=180°− 1×230°=65°．
2
2
二 多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处 各取一个外角，这些外角的和 叫做五边形的外角和．
1A
B
5
2
E
C3
4 D
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
D.810 °
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ C ）
A.360°
B.540 ° C.720 ° D.900 °
6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角 后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能 不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
A 方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B
人教版八年级数学上册教学课件-11.3.2 多边形的内角和18优秀课件PPT
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
•
50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。
•
51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。
•
76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。
•
77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。
•
78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。
•
79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
13、人生最大的错误是不断担心会犯错。
•
14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
•
15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。
人教版数学八年级上册11.3.2多边形内角和-课件
四边形的内角和为360０
思路：多边形问题转化为三角形
问题来解决．
试一试 • 完成下表
多边形边数 ３ ４ ５ ６
从一个顶点引对 角线的条数
0
1
2
3
分成的三角形 个数
1
2
34
多边形的内角 和
1800 3600 54007200
n
n-3 n-2
(n-2) ×1800
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，
• 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么 另一组对角有什么关系？
A
B
D
C
解：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360° ∴∠B+∠D=360°-180°=180° 所以加一组对角也互补。
例2 在六边形的每个顶点各取一个外角，这些外 角和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等 于多少？
（1）多边形的内角和随着边数的增加
而 增 加 ，边数增加一条时， 它的内角和增加 180 度 .
（2）七边形的内角和等于 900 度（. 7－2）×180
（3）一个多边形的内角和等于720 ° 那么这个多边形是 六 边形.
（4）如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角 也互补 .
想一想：
除了上述我们利用对角线， 将一个多边形分割成几个三 角形外，还有其它的分割方 法吗?
C
• 多边形的对角线:连接
多边形不相邻的两个顶点
的线段叫做多边形的对角线.
A1 E
D
• 在图1中,画出任意一边所在 的直线,整个多边形都在直 线的同侧,这样的多边形叫
做凸多边形.
• 图2中,多边形ABCD不在 CD所在直线的同侧,就不是
思路：多边形问题转化为三角形
问题来解决．
试一试 • 完成下表
多边形边数 ３ ４ ５ ６
从一个顶点引对 角线的条数
0
1
2
3
分成的三角形 个数
1
2
34
多边形的内角 和
1800 3600 54007200
n
n-3 n-2
(n-2) ×1800
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，
• 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么 另一组对角有什么关系？
A
B
D
C
解：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360° ∴∠B+∠D=360°-180°=180° 所以加一组对角也互补。
例2 在六边形的每个顶点各取一个外角，这些外 角和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等 于多少？
（1）多边形的内角和随着边数的增加
而 增 加 ，边数增加一条时， 它的内角和增加 180 度 .
（2）七边形的内角和等于 900 度（. 7－2）×180
（3）一个多边形的内角和等于720 ° 那么这个多边形是 六 边形.
（4）如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角 也互补 .
想一想：
除了上述我们利用对角线， 将一个多边形分割成几个三 角形外，还有其它的分割方 法吗?
C
• 多边形的对角线:连接
多边形不相邻的两个顶点
的线段叫做多边形的对角线.
A1 E
D
• 在图1中,画出任意一边所在 的直线,整个多边形都在直 线的同侧,这样的多边形叫
做凸多边形.
• 图2中,多边形ABCD不在 CD所在直线的同侧,就不是
人教版八年级数学上册课件 11.3.2 多边形的内角和(共23张PPT)
＝ 2×180° ＝ 360°
E
5
F
6
A1
4D
3
C
2
B
猜想与说理 n边形的外角和是多少度呢?
∵n边形的外角与它相邻的内角是邻补角
∴n边形的外角和加内角和等于n·180° ∵内角和＝(n－2)·180° ∴外角和为＝n·180°－(n－2)·180°=360°
结论:n边形的外角和都等于360°
现学现用，回归生活
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。11:20:1411:20:1411:20Thursday, August 12, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.1221.8.1211:20:1411:20:14August 12, 2021
A
A
A
A
B
D BB C
DD
D D
B
B
CB
C
B
D D
C
180 °×2 ＝ 360°
合作交流，探究新知
分析二
A
A
A
A
A
D
D
D
DEBiblioteka BECBEE
CB
E
D
EC
180 °×3 －180 °＝360°
合作交流，探究新知
分析三
D
A
.p
B
C
180°× 4 － 360° = 360°
合作交流，探究新知
分析四
D
A
.p
是 ___边形。 (4)四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为
E
5
F
6
A1
4D
3
C
2
B
猜想与说理 n边形的外角和是多少度呢?
∵n边形的外角与它相邻的内角是邻补角
∴n边形的外角和加内角和等于n·180° ∵内角和＝(n－2)·180° ∴外角和为＝n·180°－(n－2)·180°=360°
结论:n边形的外角和都等于360°
现学现用，回归生活
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。11:20:1411:20:1411:20Thursday, August 12, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.1221.8.1211:20:1411:20:14August 12, 2021
A
A
A
A
B
D BB C
DD
D D
B
B
CB
C
B
D D
C
180 °×2 ＝ 360°
合作交流，探究新知
分析二
A
A
A
A
A
D
D
D
DEBiblioteka BECBEE
CB
E
D
EC
180 °×3 －180 °＝360°
合作交流，探究新知
分析三
D
A
.p
B
C
180°× 4 － 360° = 360°
合作交流，探究新知
分析四
D
A
.p
是 ___边形。 (4)四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为
人教版数学八年级上册11.3.2多边形的内角和 课件(共24张PPT)
A
B
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一 组对角也互补。
情境引入 合作探究
【学习任务四】探究多边形的外角和.
B 1 A5
2 C3
E
4 D
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个
多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的
和叫做这个多边形的外角和.
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？你会推理证明吗？
情境引入 合作探究
测量法
剪拼法
代数推导
几何推理
几何推理
情境引入 合作探究
测量法
剪拼法
代数推导
几何推理
缩放法
情境引入 合作探究
情境引入 合作探究
动手 思考：多边形的外角和与边数有关吗？
操作
特
一
殊
般
猜想 任意多边形的外角和都等于360°
具
抽体ຫໍສະໝຸດ 象情境引入 合作探究
由简单到复杂 由特殊到一般
猜想：n边形的外角和等于360°
= 3×180°
D = 540°
n边形内角和：
（n-1）·180°- 180°
= （n-1-1）·180°
= （n-2）·180°
情境引入 合作探究
E
A
B
C
五边形内角和：
5×180°- 360 °
= 5×180°- 2×180°
=（5-2）×180°
D
=
540 ° n边形内角和：
n·180°- 2×180°
情境引入 合作探究
测量法
剪拼法
代数推导
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所以 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =0°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
D
B
E
C
D
内角和为180° ×3 = 540°.内角和为180° ×4 = 720°.
由特殊到一般
边数
三角形 四边形 五边形 六边形 · · · · · · n 边形 · · · · · ·
图形
从多边形的一顶点 分割出三角 多边形内角和 引出的对角线条数 形的个数
0 1 1 2 1×180º =180º 2×180º =360º
例3 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取 630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不 对，说明理由； 解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3......90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4．
这四种方法都运用 了转化思想，把四 边形分割成三角形， 转化到已经学了的 三角形内角和求解.
典例精析
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对 角有什么关系？试说明理由. A 解：如图，四边形ABCD中， ∠A+ ∠C =180°. D
B
C 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3180°=360°. A
D
B
E
C
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
讲授新课
一 多边形的内角和
问题1 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是180°. 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？ 都是360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想与证明
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ D A 方法1：如图，连接AC,
2
3
3
4
3×180º =540º
4×180º =720º · · · · · · （ n -2 ） · 180º
· · · · · ·
n -3
· · · · · ·
n -2
总结归纳
分割
多边形 分割点与多边 形的位置关系 三角形 转化思想
顶点
边上
内部
外部
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平
分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求 得∠P的度数．
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
故甲同学说的边数n是4；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加 了360°，用列方程的方法确定x． 解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2） ×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2．
【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求 得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现 少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形 的内角和？ 思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间. 解：设此多边形的内角和为x， 则有1125°＜x＜1125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x＝180°×7＝1260°.
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°， ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
A
E
A
F
B C
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°， ∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分 ∠ABC，求∠P的度数．
可运用了 整体思想
解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D,
第十一章
三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
情境引入
1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.
（重点）
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
（难点）
导入新课
情景引入
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马 行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB) =180°×4-360°=360°. A E
D
B
C
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = D 360°. A P B C 结论： 四边形的内角和为360°.
典例精析
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多 边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等，
（8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
D
B
E
C
D
内角和为180° ×3 = 540°.内角和为180° ×4 = 720°.
由特殊到一般
边数
三角形 四边形 五边形 六边形 · · · · · · n 边形 · · · · · ·
图形
从多边形的一顶点 分割出三角 多边形内角和 引出的对角线条数 形的个数
0 1 1 2 1×180º =180º 2×180º =360º
例3 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取 630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不 对，说明理由； 解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3......90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4．
这四种方法都运用 了转化思想，把四 边形分割成三角形， 转化到已经学了的 三角形内角和求解.
典例精析
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对 角有什么关系？试说明理由. A 解：如图，四边形ABCD中， ∠A+ ∠C =180°. D
B
C 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3180°=360°. A
D
B
E
C
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
讲授新课
一 多边形的内角和
问题1 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是180°. 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？ 都是360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想与证明
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ D A 方法1：如图，连接AC,
2
3
3
4
3×180º =540º
4×180º =720º · · · · · · （ n -2 ） · 180º
· · · · · ·
n -3
· · · · · ·
n -2
总结归纳
分割
多边形 分割点与多边 形的位置关系 三角形 转化思想
顶点
边上
内部
外部
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平
分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求 得∠P的度数．
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
故甲同学说的边数n是4；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加 了360°，用列方程的方法确定x． 解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2） ×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2．
【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求 得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现 少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形 的内角和？ 思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间. 解：设此多边形的内角和为x， 则有1125°＜x＜1125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x＝180°×7＝1260°.
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°， ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
A
E
A
F
B C
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°， ∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分 ∠ABC，求∠P的度数．
可运用了 整体思想
解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D,
第十一章
三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
情境引入
1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.
（重点）
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
（难点）
导入新课
情景引入
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马 行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB) =180°×4-360°=360°. A E
D
B
C
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = D 360°. A P B C 结论： 四边形的内角和为360°.
典例精析
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多 边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等，
（8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．