二次函数与一元二次方程

复习1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②④D.②③④2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④3.已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①；②b-2a=0；③；④．其中正确的是( )A.③B.②③C.③④D.①②4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②2a+b=0；③；④．其中正确的有( )个个个个5.抛物线的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图．则以下结论：①；②；③c-a=2；④方程有两个相等的实数根．其中正确的有( )个个个个6.已知二次函数的图象经过()，(2，0)两点，且，图象与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②④D.①②③④二次函数与一元二次方程（讲义）课前预习1. 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应的二元一次方程组的解．如：已知方程组3302360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为431x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则一次函数y =3x -3与332y x =-+的交点P 的坐标是________．请思考：一元二次方程20ax bx c ++=的根，可否看作是二次函数2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标，即方程组20y ax bx cy ⎧=++⎨=⎩的解中x 的值.2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如：（1）如图所示，函数y 1=|x |和21433y x =+的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜-1B ．-1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜-1或x ＞2(2，2)(-1，1)y 2y 1yx O21yxO BA（2）如图，函数11k y x=与22y k x =的图象相交于点A (1，2)和点B ，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．-1＜x ＜0C ．-1＜x ＜0或x ＞1D ．x ＜-1或0＜x ＜1知识点___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段． 1. 方程的根是对应的两个____________交点的___________．特别地，一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是二次函数________的图象与________交点的横坐标，当0Δ>时，二次函数图象与x 轴有________个交点；当0Δ=时，与x 轴有_____个交点；当<0Δ时，与x 轴______交点．2. 函数间求交点坐标，函数值比大小等问题通常是借助数形结合，以构造的方法将函数问题转化为方程问题解决．精讲精练1. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)，一次函数3y x =-（1）一元二次方程ax 2+bx +c =0的根为______________． 当ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围为______________． 当ax 2+bx +c ≤0时，x 的取值范围为______________． （2）方程23ax bx c x ++=-的根为_______________． 当___________时，一次函数值大于二次函数值． （3）该二次函数的表达式为__________________．-3-1CBO y Ax31求两个函数的交点坐标就是求对应方程组的解．2. （1）一元二次方程-x 2+8x -12=3的根为_____________，直线y =3与抛物线y =-x 2+8x -12的交点坐标为________，不等式-x 2+8x -12＞3的解集为_______________． （2）直线y =2x -1与抛物线y =x 2-x +1的交点坐标为________， 不等式x 2-x +1≥2x -1的解集为_________________．（3）若二次函数的图象经过点A (4，0)，B (-2，0)，C (0，4)，则该二次函数的表达式为___________． 3. 已知二次函数22y x x m =++的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______；若二次函数22y x x m =++的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围为_________；若22y x x m =++的函数值总为正数，则图象顶点在第____象限，m 的取值范围是_________．4. 若二次函数2(1)2y m x x =-+的图象与直线1y x =-没有交点，则m 的取值范围是________．5. 如图，二次函数2y ax bx =+与反比例函数ky x=-的图象交于一点P ，那么关于x 的方程20kax bx x++=的解为________；若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的取值范围为__________．6. 用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：一元二次方程5ax bx c ++=-的解为_____________．7. 设一元二次方程(1)(2)x x m --=（0m >）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β满足（ ）A ．12αβ<<<B ．12αβ<<<C ．12αβ<<<D ．1α<且2>β8. 已知二次函数()()1y x m x n =--+（m n <）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为_______________________．9. 若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根12x x ，，且12x x ≠，有下列结论：①1223x x ==，；②14m >-；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为(2，0)和(3，0)．其中正确的是__________．10. 已知抛物线y =x 2-(4m +1)x +2m -1与x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴的交点在点(0，12-)的下方，那么m 的取值范围是__________． 11. 已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，若关于x 的一元二次方程x 2-bx -c =0在-3＜x ＜2的范围内有解，则c 的取值范围是（ ）A ．c ≥-1B ．-1≤c ＜3C ．3＜c ＜8D ．-1≤c ＜812. 函数2y x x m =-+（0m >）的图象如图所示，如果x a =时0y <，那么1x a =-时，函数值（ ）A ．0y <B ．0y m <<C ．y m >D ．y m =13. 已知二次函数215y x x =-+-，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m -1，m +1时，对应的函数值分别为y 1，y 2，则y 1_____0，y 2_____0．（选填“＞”“＜”）14. 已知二次函数2y x bx c =++，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是_______________．随堂测试1. 如图，抛物线y =x 2+1与双曲线ky x=的交点A 的横坐标是2，则关于x 的不等式210kx x++<的解集是（ ）A ．x ＞2B ．x ＜-2C ．0＜x ＜2D ．-2＜x ＜0 2. 已知二次函数y =x 2-4x +a ，下列说法错误的是（ ）A ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a ≤4C ．当a =3时，不等式x 2-4x +a ＜0的解集是1＜x ＜3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a =33. 已知二次函数y =-(x -m )(x -n )-2（m ＜n ）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且x 1＜x 2，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为___________________．作业1. 二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示，当0y <时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．13x -<<B ．1x <-C ．3x >D ．1x <-或3x >第1题图 第2题图2. 二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，若20ax bx c k +++=（k ≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．3k <-B ．3k >-C ．3k <D ．3k >3. 抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）A ．14<<-xB ．13<<-xC ．4x <-或1>xD ．3-<x 或1>xy x3-11O-33214321-2-1-1O -2xy第3题图 第4题图4. 函数222y x x =--的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使1y ≥成立的x 的取值范围是（ ） A ．13x -≤≤B ．31<<-xC ．13x x <->或D ．1x -≤或3x ≥5. 如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集是（ ）A ．15x -<<B ．5x >C ．15x x <->且D ．15x x <->或2yxO 5yxOA第5题图 第6题图6. 如图，若抛物线21y x =+与双曲线k y x=的交点A 的横坐标为1，则关于x 的不等式210k x x ++<的解集是（ ） A ．1x >B ．1x <-C ．01x <<D ．10x -<<7. 坐标平面上，若平移二次函数y =2(x175)(x176)6的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式可为下列哪一种（ ） A ．向上平移3个单位 B ．向下平移3个单位 C ．向上平移6个单位D ．向下平移6个单位8. 设一元二次方程(1)(3)x x k --=（0k <）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β，1，3之间的大小关系为___________；(1)(3)x x k --<的解集为_____________．9. 若二次函数的图象2(2)y m x x =-+与直线21y x =-没有交点，求m 的取值范围．10. 已知P (-3，m )和Q (1，m )是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）将抛物线221y x bx =++的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，请判断新抛物线与x 轴的交点情况．11. 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则C 1的顶点坐标为__________．12. 若关于x 的一元二次方程20x x n --=无实数根，则函数n x x y --=2的图象顶点在第______象限．13. 抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：①一元二次方程20ax bx c ++=的根为_________________．②抛物线经过点(-3，_____)； ③在对称轴右侧，y 随x 的增大而_________．（2）确定抛物线2y ax bx c =++的解析式，并求出该函数的最值．。