立几(解析版)

江苏省2013届高三下学期最新精选试题（27套）分类汇编7：立体几何一、填空题1 ．（南京九中2013届高三第二学期二模模拟）圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 100π 2cm .2 ．（江苏省南京学大教育专修学校2013届高三3月月考数学试题）若圆锥的母线长为2cm ，底面圆的周长为2πcm ，则圆锥的体积为33cm . 3 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的高为 cm ．4 ．（盱眙县新马中学2013届高三下学期期初检测数学试题）正四面体ABCD 中,,E F 分别是棱,BC AD 的中点,则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为 5 ．（江苏省扬州中学2013届高三下学期开学质量检测数学试卷）若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面,则该圆锥的体积为____π33____. 6 ．（江苏省扬州中学2013届高三3月月考数学试题）正四面体ABCD 中,AO ⊥平面BCD,垂足为O ,设M 是线段AO 上一点,且BMC ∠是直角,则MOAM的值为__________1_________.7 ．（江苏省盐城市2013届高三第二次模拟（3月）考试数学试题）已知正六棱锥的底面边长是3,侧棱长为5,则该正六棱锥的体积是________.8 ．（江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题 ）已知正六棱锥ABCDEF P -的底面边长为1cm ,侧面积为32cm ,则该棱锥的体积为_____43______3cm . 9 ．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（一）（数学））用一个与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为______. 10．（江苏省青阳高级中学2013届高三3月份检测数学试题 ）如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =1,BC =2,AC =5,AA 1=3,M 为线段BB 1上的一动点,则当AM +MC 1最小时,△AMC 1的面积为11．（江苏省涟水中学2013届高三下学期期初检测数学试题）如图是 一正方体的表面展开图,B 、N 、Q 都是所在棱的中点则在原正方体中,①AB 与CD 相交;②MN∥PQ;③AB∥PE;④MN 与CD 异面;⑤MN∥平面PQC.所给关系判断正确的是____①②④⑤ _12．（江苏省淮阴中学2013届高三3月综合测试数学试题）设,αβ为两个不重合的平面,,m n 为两条不重合的直线,给出下列的四个命题:(1)若,m n m α⊥⊥,则//n α;(2)若,,n m αβ⊂⊂α与β相交且不垂直,则n 与m 不垂直 (3)若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥ (4)若//,,//,m n n ααβ⊥则m β⊥ 其中,所有真命题的序号是_____(3)(4)_____.13．（2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 ）已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为_____12π_____.二、解答题14．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求三棱锥D －AEC 的体积；（3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在 线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE ． 解 （1）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC ． 又∵BF ⊥平面ACE ，∴AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE ．又∵BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE ．（2）1142223D A E C E A D C E A B C DV V V ---===⨯=．（3）在三角形ABE 中，过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中，过G点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连MN ，则由比例关系易得CN ＝CE 31． MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE, AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE ， ∴平面MGN ∥平面ADE ． 又∵MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE ， ∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．15．（南京九中2013届高三第二学期二模模拟）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …5分 （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆, 而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面 故AEB F C 面//1 ………10分（或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB且12EH AB =由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴111111111223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅4分16．（江苏省南京学大教育专修学校2013届高三3月月考数学试题）如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点.⑴求证： //GH 平面CDE ； ⑵求证： BD ⊥平面CDE .证明：⑴G 是,AE DF 的交点，∴G 是AE 中点，又H 是BE 的中点，∴EAB ∆中，AB GH //， ------------------------3分 CD AB //，∴//GH CD ，又∵,CD CDE GH CDE ⊂⊄平面平面∴//GH 平面CDE -----------------------6分 ⑵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，ABC EF P1A 1B 1C HG BA BPDH ∵AD ED ⊥，ED ADEF ⊂平面∴ED ⊥平面ABCD ， --------------------10分 ∴BD ED ⊥，又∵CD BD ⊥，CD ED D ⋂=∴CDE BD 平面⊥ ----------------------12分17．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC //平面P AD ，PBC ∠90= , 90PBA ∠≠ ．求证：（1）//AD 平面PBC ； （2）平面PBC ⊥平面PAB ．【证】（1）因为BC //平面P AD ，而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD I 平面P AD = AD ， 所以BC //AD ． …………………………………3分 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．……………………………………………………………6分 （2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB I 平面ABCD =AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．……………………………………9分 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ． 因为PBC ∠90=,所以BC ⊥PB ，而90PBA ∠≠ ，于是点H 与B 不重合，即PB I PH = H ． 因为PB ，PH ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ．…………12分 因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面P AB ．……………… 14分18．（盱眙县新马中学2013届高三下学期期初检测数学试题）如图,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∠B 1A 1C 1=90°,D、E 分别为CC 1和A 1B 1的中点,且A 1A=AC=2AB=2.(I)求证:C 1E∥平面A 1BD;(Ⅱ)求点C 1到平面A 1BD 的距离.(Ⅰ)证明:取1A B 中点F,连结EF,FD.又11B B C C ,ABCP（第16题）D∴EF 平行且等于所以1C EFD 为平行四边形, ∴1//C E DF ,又DF ⊂平面1A DB , ∴1//C E 平面1A DB所以352B⋅,1111B A C D C A BD V V --=,所以点1C 到平面1A BD 的距离为 19．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）如图,在四棱柱1111D C B A ABCD -中,已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB , 1==CD AD .(1) 求证:;1AA BD ⊥(2) 若E 为棱BC 的中点,求证://AE 平面11D D C C .⑴在四边形ABCD 中,因为BA BC =,DA DC =,所以BD AC ⊥,又平面11AAC C ⊥平面ABCD ,且平面11AA C C 平面ABCD AC =,BD ⊂平面ABCD ,所以BD ⊥平面11AA C C ,又因为1AA ⊂平面11AA C C ,所以1BD AA ⊥⑵在三角形ABC 中,因为AB AC =,且E 为BC 中点,所以BC AE ⊥, 又因为在四边形ABCD 中,AB BC CA ===1DA DC ==, 所以60ACB ∠=︒,30ACD ∠=︒,所以BC DC ⊥,所以AE DC , 因为DC ⊂平面11D DCC ,AE ⊄平面11D DCC ,所以AE 平面11D DCC1AE CD BA1D1B1C第16题20．（江苏省扬州中学2013届高三下学期开学质量检测数学试卷）在直三棱柱111ABC A B C -中,1BC CC AB ===2 ,BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ,C B 1的中点,G 是棱AB 上的动点.(I)求证:⊥C B 1平面BNG ;(II)若CG //平面M AB 1,试确定G 点的位置,并给出证明;(I) 证明:∵在直三棱柱111ABC A B C -中,1CC BC =,点N 是C B 1的中点,∴C B BN 1⊥BC AB ⊥,1BB AB ⊥,B BC BB = 1∴AB ⊥平面11BCC B⊂C B 1平面11BCC B∴AB C B ⊥1,即GB C B ⊥1 又B BG BN = ∴⊥C B 1平面BNG(II)当G 是棱AB 的中点时,CG //平面M AB 1 证明如下:连结1AB ,取1AB 的中点H,连接GC HM HG ,,, 则HG 为B AB 1∆的中位线∴GH ∥1BB ,121BB GH =∵由已知条件,11BCC B 为正方形 ∴1CC ∥1BB ,11BB CC =∵M 为1CC 的中点,∴121CC CM =∴MC ∥GH ,且GH MC =∴四边形HGCM 为平行四边形∴GC ∥HM 又 ∵M AB HM M AB GC 11,平面平面⊄⊂∴CG //平面M AB 121．（江苏省扬州中学2013届高三3月月考数学试题）如图,在四棱锥P ABCD-中,AB ∥DC ,2DC AB =,AP AD =,PB ⊥AC ,BD ⊥AC ,E 为PD 的中点.求证:(1)AE ∥平面PBC ; (2)PD ⊥平面ACE .证明:(1)取PC 中点F ,连结EF ,BF ,∵E 为PD 中点,∴EF ∥DC且EF =12DC .∵AB ∥DC且12AB DC =,∴EF ∥AB 且EF =AB .∴四边形ABFE 为平行四边形. ∴AE ∥BF . ∵AE ⊄平面PBC ,BF ⊂平面PBC , ∴AE ∥平面PBC .(2)∵PB ⊥AC ,BD ⊥AC ,PB BD B = ,∴AC ⊥平面PBD .∵PD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥PD . ∵AP AD =,E 为PD 的中点,∴PD AE ⊥.∵AE AC A = ,∴PD ⊥平面ACE .22．（江苏省盐城市2013届高三第二次模拟（3月）考试数学试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E 为的PC 中点.⑴求证:PA∥平面BDE;⑵求证:平面PBC⊥平面PDC.证明(1)连接AC 交BD 于O ,连接PO EO ,∵四边形ABCD 是菱形, ∴O 是AC 中点,又E 为PC 中点.∴PA ∥EO又BDE EO 面⊂,BDE PA 面⊄∴PA ∥平面BDEDCBA EP （第16题图）FP E A BCD（第16题图）(2)在△PAC 中,易得3===PO CO AO ∴ 90=∠APC ,∴22=PC∴在△PDC 中可求得2=DE ,同理在△PBC 中可求得2=BE∴在△BDE 中可得 90=∠BED ,即BE ⊥DE又BC PB =,E 为PC 中点, ∴BE ⊥PCBE ⊥面PDC ,又⊂BE 面PBC ∴平面⊥PBC 平面PDC23．（江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题 ）如图,已知直四棱柱1111D C B A ABCD -,底面ABCD 为菱形,︒=∠120DAB ,E为线段1CC 的中点,F 为线段1BD 的中点. (Ⅰ)求证:EF ∥平面ABCD ; (Ⅱ)当1D DAD的比值为多少时,⊥DF 平面EB D 1,并说明理由.(Ⅰ)证明:连接1,A C ,由题意可知点F 为1AC 的中点. 因为点E 为1CC 的中点.∴在1ACC ∆中,EF AC又 EF ⊄面ABCD ,AC ABCD ⊆面,∴EF ABCD 面D1B F1A 1D E1C ABC(Ⅱ)当1D DAD=,1DF D EB ⊥平面四边形ABCD 为菱形,且120DAB ∠=︒,∴BD =. 四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱,∴四边形11DBB D 为矩形.又1DD =,∴1BD DD =,∴四边形11DBB D 为正方形,∴1DF D B ⊥在直四棱柱1A B C D-中,1DD ABCD ⊥底面,AC ABCD ⊆面,∴1AC DD ⊥四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥.111DD DBB D ⊆面，11,BD DBB D ⊆面，1BD DD D = ,∴11AC DBB D ⊥面. 11DF DBB D ⊆面,∴AC DF ⊥,又EF AC ,∴EF DF ⊥1111,,EF D EB D B D EB EF D B F ⊆⊆= 面面,∴1DF D EB ⊥平面24．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（一）（数学））如图,已知ABCRt ∆中,2==AC AB ,AD 斜边BC 上的高,以AD 为折痕,将ABD ∆折起,使BDC ∠为直角.(1)求证:平面⊥ABD 平面BDC ; (2)求证:;60 =∠BAC (3)求点D 到平面ABC 的距离.(1)证明: ,,,D DC BD DC AD BD AD =⊥⊥ BDC AD 平面⊥∴又 ABD AD 平面⊂.BDC ABD 平面平面⊥∴BDC ∆∴为等腰∆Rt .60,,2 =∠∴==∴=∴BAC AC BC AB BC(3)⊥∴⊥⊥∴BC BC AE BC DE ,, 平面ADE,过D 点作,AE DM ⊥则⊥DM 平面ABC∴D 点到平面ABC 的距离为33.25．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（二）（数学））如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,BC BA ⊥.(1)若1BB BA =,求证:⊥1AB 平面BC A 1;(2)若21===BB BC BA ,M 是棱BC 上的一动点.试确定点M 的位置,使点M 到平面C B A 11的距离等于22.(1)证明:当1BB BA =,可知,B A AB 11⊥ .又 BA BC ⊥,1BB BC ⊥,且B BB BA =⋂1,∴⊥BC 平面1ABB . 而⊂1AB 平面1ABB ,∴BC AB ⊥1.BA CDBCADM E∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥B BC B A BCA B A A 1111B B ⊥⇒1B A 平面BC A 1. (2)设B到平面CB A 11的距离等于H,则1111B A B C C A B B V V --=,11111133B A BC C A B B s H S CB --=,H =所以,当点M 为棱BC 的中点时,点M 到平面C B A 11的距离等于22. 26．（江苏省青阳高级中学2013届高三3月份检测数学试题 ）如图, ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,DE AF //,AF DE 3=,BE 与平面ABCD 所成角为060. (1)求证:AC ⊥平面BDE ;(2)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的 位置,使得//AM 平面BEF ,并证明你的结论.(1)证明:因为DE ⊥平面ABCD ,所以AC DE ⊥因为ABCD 是正方形,所以BD AC ⊥,因为DE BD D ⋂= 从而AC ⊥平面BDE(2)当M 是BD 的一个三等分点,即3BM =BD 时,AM ∥平面BEF取BE 上的三等分点N ,使3BN =BE ,连结MN ,NF ,则DE ∥MN ,且DE =3MN , 因为AF ∥DE ,且DE =3AF ,所以AF ∥MN ,且AF =MN , 故四边形AMNF 是平行四边形 所以AM ∥FN ,因为AM ⊄平面BEF ,FN ⊂平面BEF , 所以AM ∥平面BEF27．（江苏省南师附中等五校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试卷）如图,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥面ABCD ,AD ∥BC ,CD =13,AB=12,BC =10,AD =12BC . 点E 、F 分别是棱PB 、边CD 的中点.(1)求证:AB ⊥面PAD ;A BCD F E(2)求证:EF ∥面PAD .证明:(1)因为PD ⊥面ABCD , 所以PD ⊥AB 在平面ABCD 中,D 作DM //AB ,则由AB =12得DM =12. 又BC =10,AD =12BC ,则AD =5,从而CM =5. 于是在△CDM 中,CD =13,DM =12,CM=5,则由22251213+=及勾股定理逆定理得DM ⊥BC .又DM //AB ,BC //AD ,所以AD ⊥AB . 又PD ∩AD =D ,所以AB ⊥面PAD(2)[证法一] 取AB 的中点N ,连结EN 、FN . 因为点E 是棱PB 的中点,所以在△ABP 中,EN //12PA .又PA ⊂面PAD ,所以EN //面PAD因为点F 分别是边CD 的中点,所以在梯形ABCD 中,FN //AD . 又AD ⊂面PAD ,所以FN //面PAD又EN ∩FN =N ,PA ∩DA =A ,所以面EFN //面PAD 又EF ⊂面EFN ,则EF //面PAD[证法二] 延长CD ,BA 交于点G . 连接PG ,EG ,EG 与PA 交于点Q. 由题设AD ∥BC ,且AD =12BC ,所以CD =DG ,BA=AG ,即点A 为BG 的中点.又因为点E 为棱PB 的中点,所以EA 为△BPG 的中位线,即EA ∥PG ,且EA :PG =1:2,故有EA :PG =EQ :QG =1:2 又F 是边CD 的中点,并由CD =DG ,则有FD :DG=1:2在△GFE 中,由于EQ :QG =1:2,FD :DG =1:2,所以EF ∥DQ . 又EF ⊄面PAD ,而DQ ⊂面PAD ,所以EF ∥面PAD28．（江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷）在三棱柱111ABC A B C -中,已知底面ABC 是边长为a 的正三角形,侧棱1AA a =,点,,,D E F O 分别为边11,,,AB AC AA BC 的中点,1AO⊥底面ABC . (Ⅰ)求证:线段DE ∥平面11BB C C ; (Ⅱ)求证:FO ⊥平面11BB C C .CABC 1A 1B 1EODF(Ⅰ)因为平面11ACC A 为平行四边行,1E AC 为的中点, 所以1,,A E C 共线, 11 D AB DE BC E AC ⎫⇒⎬⎭为的中点为的中点,又11111111DE BC BC BCC B DE BCC B DE BCC B ⎫⎪⊆⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面 (Ⅱ)因为ABC ∆是边长这a 的正三角形,所以AO =. 又1AO ⊥底面ABC ,所以1AO AO ⊥, 又12AA a =,所以12AO =. 又F 为1AA 的中点,所以1111OF AA OF BB BB AA ⊥⎫⇒⊥⎬⎭又1BC AO BC BC A O ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面1AOA BC OF ⇒⊥,所以OF ⊥平面11BB C C29．（江苏省涟水县金城外国语学校2013届高三下学期期初检测数学试题）如图,菱形ABCD 的边长为6,60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC折起,得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC 的中点(Ⅰ)求证://OM 平面ABD ;(Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面M D O ; (III)求三棱锥M A B D -的体积.证明:(Ⅰ)因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点,所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点,所以OM 是ABC ∆的中位线,//OM AB因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ,所以//OM 平面ABD (Ⅱ)由题意,3OM OD ==,所以90DOM ∠=,OD OM ⊥.又因为菱形ABCD ,所以OD AC ⊥. 因为OM AC O = ,所以OD ⊥平面ABC ,因为OD ⊂平面MDO ,所以平面ABC ⊥平面MDO .(Ⅲ)三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积.由(Ⅱ)知,OD ⊥平面ABC ,所以OD 为三棱锥D ABM -的高,且3OD =.ABM ∆的面积为ABCMOD。