电磁场第二章

P(5,3, 4) 点的坐标矢量为：
r 5aˆx 3aˆy 4aˆz
x
点电荷电场强度的计算公式
其中： R r r 2aˆx 1aˆy 2aˆz
R | R | 22 12 22 3
aˆR
|
R R
|
2aˆx
1aˆ y 3
2aˆz
E
q
4π 0 R 2
aˆR
所以: E q 2aˆx 1aˆy 2aˆz
P
dS
R
S
lim
S 0
q S
dq dS
dS上 所带的电荷量： dq S dS
dq 产生的电场强度为：
dE
dq
4π 0 R 2
aˆR
Байду номын сангаас
S dS 4π 0 R 2
aˆR
该面电荷在空间产生的电场强度：
1
E
4π 0
S
S dS
R2
aˆR
c.体电荷分布: 电荷在某空间体积内连续分布 。
体电荷密度定义： 单位体积内的电荷量。
第2章 静电场与恒定电场
一、场量的定义和计算
(一) 电场
1. 什么是电场？
这种存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质称为电场。可见 电荷是产生电场的源。
2. 电场强度的定义 单位正电荷在电场中某点受到的作用力称为该点的电场强度。
电场强度严格的数学表达式为：
E lim F q qt 0 t
如果有多个点电荷源,场域中某点的电场强度应该是所有点电荷在该场中产 生的电场强度的矢量和。
E
n i 1
qi 40
x xi aˆx y yi aˆy z zi aˆz
x
xi2
y
yi2
z
zi2
3/ 2
(2) 连续分布的电荷源产生的电场
a.线电荷分布：电荷沿某一曲线连续分布 。
线电荷密度定义： 单位长度上的电荷量。
电荷 q在t 电场中要保持静止，
Fe
Fa
需受外力作用为：
Fa qt E
电荷在静电场中由P点移动到A点，外力所做的功为：
A
W
qt
E dl
P
电位差定义： 单位正电荷由P点移动到A点，外力所做的功称为A点和P点之间的电位差。
AP
W qt
A
E dl
P
例3：计算原点处一点电荷q 产生的电场中AP之间的电位差。
P
V
lim q V 0 V
dq dV
R
dV
dV上 所带的电荷量：
dq V dV
dq 产生的电场强度为：
dE
dq
4π 0 R 2
aˆR
V dV 4π 0 R 2
aˆR
该体电荷在空间产生的电场强度:
E 1
4π 0
V
V dV
R2
aˆR
例2：设有一无限大的均匀带电平面，面电荷密度为 。
S
求：距平面h高处的电场强度 。
l
均匀带电圆环
1. 静电场的环路定律，以及无旋性 由Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量
lE dl s ( E) dS 0 即 lE dl 0
说明 电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。
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（二）电位
1. 电位差
q 电荷 在t 电场中受力为：
Fe qt E
dS
s a
r dS
y
E S
4π 0
0
2π 0
[r2
rh h2
]3/ 2
d dr aˆ z
b
x
ar
Sh 4π 0
2π
[r2
1 h2 ]1/ 2
0
aˆz
S 2 0
aˆz
可见：无限大均匀带电平面产生的电场是均匀的,与距离 h无关，方向为该 平面的法线方向。
3. 几种典型电荷分布的电场强度
(1) 点电荷周围电场强度的计算公式：
q1
F/m
E
q
4π 0 R 2
aˆR
R21 q2
例1：在直角坐标系中，设一点电荷q 位于点
，
计算空间点
的电场强度。
P(5, 3, 4)
P(3, 2, 2)
解：如图
z
o
P(5,3, 4)
r P(3, 2, 2)
R
r
y
P(3, 2, 2) 点的坐标矢量为：
r 3aˆx 2aˆy 2aˆz
E
z
dE
dE
解：根据题意，选取圆柱坐标系
P zaz R
dS
s a
r b
x
dS ar
面元： dS rdrd
面元上的电荷量为： dq S rdrd
z y 从此电荷源到 轴上 P 点的距离矢量为：
R raˆr haˆz
距离大小为：
R (r2 h2 )1/ 2
根据面分布电荷在空间一点所产生的电场强度公式：
• 均匀带电直线段的电场强度：
ìïïïïïíïïïïïïî
Er Ez
l
4
r
0
l
4
r
0
(cos1 - cos2 )
（有限长）
(sin2 -sin1)
E
l 2 0
（无限长）
• 均匀带电圆环轴线上的电场强度：
Ez
(0, 0,
z)
al z 20 (a2 + z2
)3
2
z
2
l
M
1
均匀带电直线段
z
M
ao
y
x
1
E
4π 0
S
S dS
R2
aˆR
S 4π 0
0
2π 0
rdrd
[r2 h2 ]3/
2
[r
aˆr
haˆz
]
z
dE
dE
P zaz R
由d于S电 荷分布的对称性，对每一个d面S元 ，
将有一个对称面元 与之对应，这两个面元上的 电荷在P点产生的电场强度的径向分量相互抵消， 因此P点的电场强度的径向分量为零。
解：选取求坐标系，点电荷q 产生的电场
zA
o
x
E
q
4π 0
1 R2
aˆR
P
A
y
AP P E dl
dl dRaˆR Rd aˆ Rsindaˆ
所以：
AP
P A
q
4π 0
1 R2
aˆR
dRaˆR
RP RA
q
4π 0
1 R2
dR
结论： 空间两点的电位差只 与两点所在位置有关，
q
4π 0
P
l
lim
l 0
q l
dq dl
dl R
dl上 所带的电荷量：
dq ldl
dq 产生的电场强度为：
dE
dq
4π 0 R 2
aˆR
l dl 4π 0 R 2
aˆR
该线电荷在空间产生的电场强度：
E 1
4π 0
l Rld2laˆR
b.面电荷分布：电荷沿空间曲面连续分布。
面电荷密度定义： 单位面积上的电荷量。
在此要求实验电荷足够小，以使该电荷产生的电场不致使原电场发生畸变。
3. 库仑定律
F21
q1q2
4π 0 R212
aˆR21
其中： 为真0 空中介电常数。
0
1 36π
109
8.85 1012
4. 电场强度的计算
E
qqt
4π0qt R2
aˆR
q
4π 0 R 2
aˆR
其中： 是aˆ源R 电荷指向场点的方向。
4π0
27
结论： 在直角坐标系中，若源电荷
则P 点的电场强度为：(x, y, z)
所在点的坐q标为
，场点P 的坐(x标,为y, z) ，
E
q
4π 0
|
R R |3
q
4π 0
(
x
x)aˆx
(y
y)aˆ y
(z
z)aˆz
3
(x x)2 ( y y)2 (z z)2
多个电荷产生的电场