2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航教案21.2.4一元二次方程的根与系数的关系.doc
九年级数学上册第二十一章21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系备课资料教案
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第二十一章 21。
2。
4一元二次方程的根与系数的关系知识点：一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=—,x1x2=，即任何一个一元二次方程的根与系数的关系：两根之和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
归纳整理:(1）如果x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.（2）一元二次方程根与系数的关系的应用:①检验解一元二次方程所得的根是否正确；②已知方程的一根,求另一根或方程中的字母系数;③已知方程的两个根的和和积，求一元二次方程;④已知两个根之间的关系，确定方程中字母系数的值；⑤不解方程,判断一元二次方程根的符号。
(3）注意：使用一元二次方程根与系数的关系时要注意前提条件:①是在一元二次方程条件下,即注意二次项系数a≠0;②是在方程有实数根的前提下,即Δ≥0;两者缺一不可。
考点：利用一元二次方程根与系数的关系解决问题【例】已知关于x的一元二次方程x2—2x-a=0。
新人教版九年级数学上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案设计
新人教版九年级数学上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案设计学习目标1.探究并能推导一元二次方程的根与系数的关系.2.熟练运用根与系数的关系求两根和、两根积.3.提高综合运用基础知识解决较复杂问题的能力.学习过程一、设计问题,创设情境(一)温故知新1.一元二次方程的一般形式是什么?2.一元二次方程的求根公式是什么?使用它的前提又是什么?3.你能说一下哪些方面能反映一元二次方程的系数与根的关系吗?(二)探究活动1.一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗?填写下表:方程两个根两根之和两根之积x1x2x1+x2x1x2x2+x-6=0x2+10x+9=x2-6x+8=02.你发现了吗:如果x2+px+q=0有两个根x1,x2,那么这两个根与系数有怎样的关系?3.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)如果有两个根x1,x2,那么它们与系数会有怎样的关系呢?你能推导出你的结论吗?二、信息交流,揭示规律1.学生尝试推导得出的结论方法一:ax2+bx+c=0(a≠0)➡x2+x+=0,那么就有:x1+x2=-,x1x2=.方法二:根据求根公式x=(b2-4ac≥0),推导:2.师生共同得出结论:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么:3.教师总结:上述结论称为一元二次方程的根与系数的关系,也叫韦达定理(可以根据学生能力决定是否给出定理的名字).三、运用规律,解决问题1.例题:根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1与x2的和与积:(1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.2.跟踪练习:不解方程,求下列方程两个根的和与积:(1)x2-3x=15;(2)3x2+2=1-4x;(3)5x2-1=4x2+x;(4)2x2+x+2=3x+1.3.学生讨论:通过前面的练习,总结在运用关系解决问题时对步骤有什么要求?四、变式训练,深化提高1.设x1,x2是方程x2-4x+1=0的两个根,则x1+x2= ,x1x2= .2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1,则p= ,q= .3.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根,则另一个根是,m= .4.已知两个数的和是1,积是-2,则这两个数是.5.判断正误:以2和-3为根的方程是x2-x-6=0.()6.设想x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,不解方程求下列式子的值:+;+;x2+x1.7.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4.(1)求k的值;(2)求(x1-x2)2的值.五、反思小结,观点提高1.本节课我们学习了一个什么关系?2.在利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积时要注意什么步骤?3.同学们会利用根与系数的关系解决哪些类型的问题了?在解决问题的过程中你有哪些收获和疑惑?参考答案一、设计问题,创设情境(一)温故知新1.ax2+bx+c=0(a≠0).2.x=(b2-4ac≥0).3.根的判别式求根公式.(二)探究活动填写下表方程两个根两根之和两根之积x1x2x1+x2x1x2x2+x-6=0 -3 2 -1 -6 x2+10x+9=0 -1 -9 -10 9 x2-6x+8=0 2 4 6 82.x1+x2=-p,x1x2=qx1+x2=-,x1x2=二、信息交流,揭示规律1.x1+x2=+===.x1x2=·===.2.x1+x2=-;x1x2=.三、运用规律,解决问题1.解:(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15.(2)x1+x2=-,x1x2=-3.(3)方程化为4x2-5x+1=0.x1+x2=,x1x2=.2.解:(1)原方程化为x2-3x-15=0,则x1+x2=3,x1x2=-15.(2)原方程化为3x2+4x+1=0,则x1+x2=-,x1x2=.(3)原方程化为x2-x-1=0,则x1+x2=1,x1x2=-1.(4)原方程化为2x2-2x+1=0,则x1+x2=1,x1x2=.3.略四、变式训练,深化提高1.412.1-23. -34.2-15.×6.解:根据根与系数的关系,x1+x2=3,x1x2=,所以+===2,+=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×=6,x2+x1=(x1+x2)x1x2=3×=.7.解:(1)根据根与系数的关系,x1+x2=-k;x1x2=, 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=+(-k)+1=4, 解得k=-7.(2)因为k=-7,所以x1+x2=7,x1x2=-4,则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=72-4×(-4)=65.。
人教版九年级数学上21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》导学案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学案一、学习目标：（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。
（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。
二、学习重点、难点、疑点及解决办法：1．学习重点：一元二次方程根与系数的关系及应用。
2．学习难点：正确理解根与系数的关系。
3．学习疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。
△4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意≥0这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数a△≠0，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件≥0和a≠0。
三、探索新知回忆：1、一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程的求根公式是什么？3、一元二次方程的解的情况怎样确定？知识小竞赛：设x、x是下列一元二次方程的两个根，填写下表12一元二次方程方程的两个根x+x12x•x 12x2+5x+6=0x=-2x=-3122 3x 2 - 4 x + 3 = 02 x 2- x - 1 = 0x = 3 x =11 21x = - x =1 1 23x 2 + x - 2 = 0x =21x =-12猜想：根据所填写的表格，请你猜想出 x + x ， x • x 与方程的系数有什么关系1 212吗？你的猜想是否正确呢?请用求根公式加以验证（分组证明）已知：如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 （ a ≠ 0 ）的两个根分别是 x 、 x.1 2求证：x + x = - 1 2 bax • x = 1 2 ca证明：归纳：如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 （ a ≠ 0 ）的两个根分别是 x 、 x ，那么：12这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计2
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21章是关于一元二次方程的学习，而21.2.4节主要讲解了一元二次方程的根与系数的关系。
这部分内容是在学习了根的判别式、求根公式等知识的基础上进行的，对于学生来说，这部分内容比较抽象，需要通过实例分析、自主探究等方法来理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的求解已经有了一定的了解。
但是，对于一元二次方程的根与系数的关系，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析、小组讨论等方式来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系。
2.能够运用根与系数的关系来解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的根与系数的关系。
2.难点：如何运用根与系数的关系来解决实际问题。
五. 教学方法1.实例分析：通过具体的例子，让学生理解一元二次方程的根与系数的关系。
2.自主探究：让学生通过自主学习，探索一元二次方程的根与系数的关系。
3.小组讨论：让学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作能力。
4.练习巩固：通过课堂练习，让学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，帮助学生更好地理解知识。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于课堂练习和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的一元二次方程，引导学生思考根与系数的关系。
例如，给出方程x^2 - 4x + 3 = 0，让学生观察它的根与系数之间的关系。
2.呈现（15分钟）利用PPT课件，呈现一元二次方程的根与系数的关系的定义和性质。
通过图示和举例，让学生直观地理解这个关系。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组解决一个实际问题，运用一元二次方程的根与系数的关系来求解。
例如，给出问题：一个二次函数的图象与x轴相交于点(1,0)和点(3,0)，求这个二次函数的解析式。
2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航同步习题精讲课件21.2.1.2用配方法解一元二次方程
知识点1 配方 1．(3分)用配方法解下列方程，其中应在方程左右 两边加上4的是( B ) A．x2－2x＝5 B．x2＋4x＝5 C．2x2－4x＝5 D．x2＋2x＝5
2．(3 分)下列配方有错误的是( D ) A．x2－4x－1＝0，化为(x－2)2＝5 B．x2＋6x＋8＝0，化为(x＋3)2＝1 7 2 97 C．2x －7x－6＝0，化为(x－ ) ＝ 4 16
10．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的 高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为( C ) A．1 s B．2 s C．1 s或2 s D．不能确定
11．若 a，b，c 是△ABC 三边长，且满足 a2－6a＋ b2－8b＋ c－5＋25＝0，则此三角形是( B ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．等腰三角形
5． (3 分)用配方法解一元二次方程 x2＋5＝2 5x 的两个根为( C ) A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝ 5 C．x1＝x2＝ 5 D．x1＝x2＝－ 5 6．(8 分)用配方法解下列方程： (1)x2－2x＝1; (2)x2＋1＝3x.
x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2
3＋ 5 3－ 5 x1＝ ，x2＝ 2 2
2
D．3x2－4x－2＝0，化为(3x＋2)2＝6
3．(6 分)填空： (1)x2＋(____) 10x ＋25＝(x＋5)2；
1 1 1 2 2 (2)x2－ x＋(____) ＝(x－____) ； 6 6 3 p p 2 2 (3)x ＋px＋(____) . 2 2 ＝(x＋____)
人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根与系数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.培养学生的数学建模素养，通过运用根与系数的关系解决实际问题，使学生能够建立数学模型，感受数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数的关系，特别是根的判别式Δ=b²-4ac的应用。
-重点内容：
-判别式Δ的物理意义及其与方程根的关系。
-根与系数的关系式x₁+x₂=-b/a和x₁x₂=c/a的推导和应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.能够运用根与系数的关系解决实际问题，如求解二次方程的根、判断根的符号等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索一元二次方程的根与系数的关系，使学生能够运用逻辑推理分析问题，从而提高解决问题的能力。
2.培养学生的数学抽象素养，让学生从具体的方程实例中抽象出根与系数之间的关系，培养学生对数学规律的抽象概括能力。
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》一. 教材分析《一元二次方程》是人民教育出版社九年级上册数学的一个重要内容，它标志着学生从简单方程的认识过渡到更复杂的一元二次方程的解决。
本节内容通过实例引入一元二次方程，使学生了解一元二次方程的定义、特点以及解法。
教材通过问题驱动，引导学生探索求解一元二次方程的方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了简单方程的解法、不等式的性质等知识，具备了一定的数学基础。
但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其定义和解法。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知困难，通过实例和问题引导学生理解和掌握一元二次方程。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义和特点；2.学会求解一元二次方程的配方法、公式法等基本方法；3.能够应用一元二次方程解决实际问题；4.培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和特点；2.一元二次方程的解法；3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实际问题，引导学生认识一元二次方程；2.问题驱动：提出问题，引导学生探索求解一元二次方程的方法；3.小组合作：分组讨论，共同探索一元二次方程的解法；4.归纳总结：引导学生总结一元二次方程的解法，并应用于实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的定义、解法等知识；2.实例材料：准备生活中的实际问题，用于导入和巩固知识；3.练习题库：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于巩固和拓展知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线与x轴的交点问题，引导学生认识一元二次方程。
通过问题驱动，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义、特点和解法。
通过实例演示和讲解，使学生理解和掌握一元二次方程的基本解法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法。
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教案设计3
21.2 .4一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析：《一元二次方程根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2节的内容，该内容是在在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
因此本节课起着承上启下的作用。
二、学情分析：九年级阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在前面学习了一元二次方程的解法后，对根与系数的关系进行探究就比较容易。
三、教学目标：(一)知识与技能了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。
(二)过程与方法通过问题的引导，发现、证明并归纳一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
(三)情感态度价值观在经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程中，培养观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励他们培养勇于探索的精神。
四、教学策略教学方法：讲授法、练习法、课堂合作探究法。
教学工具：ppt课件、白板笔。
五、重点难点：重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用难点：探索发现一元二次方程根与系数关系六、教学过程：题，就需要跟老师进入本节新课-----一元二次方程根与系数的关系（板书）（二）观察猜想理论验证：（15分钟）1.观察猜想二次项系数为1时根与系数的关系：活动一：观察这些方程的两根的和、两根的积与系数有什么关系？你发现了什么规律？让学生分4人为一小组进行合作探究，验证这个猜想。
（教师着重引导）和学生一起归纳结论：二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项.2.猜想验证一元二次方程根与系数的关系：思考：一般的一元二次方程ax 2 +bx +c = 0中，二次项系数a 未必是 1，两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？（让学生回忆一元二次方程求根公式）活动二：思考，并继续以刚才的4人为一小组合作写出推导过程：若一元二次方程ax2 +bx+c = 0（a≠0）的两个根为x1, x2，则 x1+ x2= x1x2= .学生合作探究过程中教师巡堂指导，探究完毕各组派代表上台汇报，老师表扬并点评。
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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
重点
根与系数的关系及其推导 难点
正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．
一、复习引入
1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．
2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？
3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac
2a
，
x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根
之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？
(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或
等于零．)
(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．
即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0
∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c
a
(可以利用求根公式给出证明)
例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)1
3
x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0
例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1) (2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－73
4
)
例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)
例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.
三、课堂小结
1．根与系数的关系．
2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零． 四、作业布置
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．
(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0 (4)3x 2＋x ＋1＝0
2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值． 3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.。