2013年高考数学试题分类汇编——函数与导数(修改)经典
2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分(修改)(2)
2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分一、选择题1 ．(2013年高考湖北卷（理))已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <,则( ）A ．121()0,()2f x f x >>- B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-【答案】D2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =【答案】C3．（辽宁（理）)设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （ ）A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【答案】D4 ．（全国（理)）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是( ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D5 ．(浙江数学（理））已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则 （ )A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值【答案】C二、填空题6 ．(2013年高考江西卷(理））设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)xf =______________ 【答案】27。
2013年高考数学文科试题分类汇编导数 2
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：导数一、选择题1 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是 （ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x = 【答案】C2 ．（2013年高考大纲卷（文））已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A ．9B ．6C ．-9D ．-6 【答案】D3 ．（2013年高考湖北卷（文））已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞ 【答案】B4 ．（2013年高考福建卷（文））设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点 【答案】D5 ．（2013年高考安徽（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若112()f x x x =<,则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y =f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B 7．（2013年高考广东卷（文））若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =___________【答案】12 8 ．（2013年高考江西卷（文））若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_____【答案】2（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.【答案】解:(Ⅰ)46(2)680y x x y -=-⇒--=; (Ⅱ)当1a>时,函数()y f x =最小值是233a a -;当1a <-时,函数()y f x =最小值是31a -;（2013年高考大纲卷（文））已知函数()32=33 1.f x x ax x +++(I)求()f ;a x =的单调性;(II)若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【答案】(Ⅰ)当(1)x ∈-∞时,'()0f x >,()f x 在(1)-∞是增函数;当11)x ∈时,'()0f x <,()f x 在11)是减函数;当1,)x ∈+∞时,'()0f x >,()f x 在1,)+∞是增函数; (Ⅱ)a 的取值范围是5[,)4-+∞.（2013年高考课标Ⅱ卷（文））己知函数f(X) = x 2e -x(I)求f(x)的极小值和极大值;(II)当曲线y = f(x)的切线l 的斜率为负数时,求l 在x 轴上截距的取值范围.（2013年高考北京卷（文））已知函数2()sin cos f x x x x x =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值.(Ⅱ)若曲线()y f x =与直线y b = 有两个不同的交点,求b 的取值范围.【答案】解:解得0a =,(0)1b f ==.(II)()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点,那么b 的取值范围是(1,)+∞.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.【答案】121()()2 4.(0)4,(0)4,4,8,4;f x e ax a b x f f b a b a b =++--===+===（I ）由已知得故从而 (II) 当2=-2-2=41-)x f x f e -时，函数（）取得极大值，极大值为（）（.（2013年高考福建卷（文））已知函数()1x a f x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值;(2)求函数()f x 的极值;(3)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.【答案】解:(Ⅰ)解得a e =.(Ⅱ)综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值; 当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. (Ⅲ)综上,得k 的最大值为1.（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=x e x21x 1+-. (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)证明:当f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)时,x 1+x 2<0.【答案】解: (Ⅰ) 所以,）上单调递减，上单调递增；在，在（∞+∈∞=0[]0-)(x x f y .(Ⅱ).0)()(212121<+≠=x x x x x f x f 时，且所以，当（2013年高考广东卷（文））设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()'2321f x x kx =-+【答案】(1)()f x 在R 上单调递增.(2)综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--（2013年高考山东卷（文））已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈(Ⅰ)设0a ≥,求)(x f 的单调区间(Ⅱ) 设0a >,且对于任意0x >,()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小解答：当0a >时函数()f x 的单调递减区间是。
2013年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数)
2013年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数)1．(2013广东.理)（14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .2．（本小题满分14分）(2013广东文)设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．3（本小题共13分）(2013北京.理)设l 为曲线ln :x C y x =在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．4．（13分）（2013•北京.文）已知函数2()sin cos f x x x x x =++(1)若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值；(2)若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，求b 的取值范围．5．(2013大纲版.文)（12分）已知函数32()331f x x ax x =+++(1)求当a =,讨论()f x 的单调性;(1)若[2,)x ∈+∞时,()0f x ≥,求a 的取值范围.6．（13分）（2013•福建）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．7．（14分）（2013•福建）已知函数()1(),xa f x x a R e =-+∈(e 为自然对数的底数) (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数()f x 的极值；(3)当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．8．（13分）（2013•安徽）设函数23*222()1(,)23nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ，证明： （1）对每个*n N ∈，存在唯一的2[,1]3n x ∈，满足()0n n f x =； （2）对于任意*p N ∈，由（1）中n x 构成数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<． 9. (本小题满分14分) (2013陕西.理)已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线1y kx =+与()f x 的反函数的图像相切, 求实数k 的值;(Ⅱ) 设0x >, 讨论曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.(Ⅲ) 设a b < , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.10. (本小题满分14分) (2013陕西.文)已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求()f x 的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a b <, 比较2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.14（本小题满分13分）(2013湖南.理)已知0a >，函数()2x a f x x a-=+ （1） 记()f x 在区间[0,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式（2） 是否存在a ，使函数()y f x =在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若村子啊，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由（1）求()f x 的单调区间，最大值；（2）讨论关于x 的方程|ln |()x f x =根的个数.17(山东.文)(本小题满分12分)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈(Ⅰ)设0a ≥，求)(x f 的单调区间(Ⅱ) 设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥。
2013年全国各地高考文科数学精彩试题分类汇编导数
实用标准文档文案大全2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：导数一、选择题1 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数32()fxxaxbxc????,下列结论中错误的是（）A．0x??R,0()0fx?B．函数()yfx?的图像是中心对称图形C．若0x是()fx的极小值点,则()fx在区间0(,)x??上单调递减D．若0x是()fx的极值点,则0'()0fx?【答案】C2 ．（2013年高考大纲卷（文））已知曲线??421-128=yxaxaa????在点，处切线的斜率为，（）A．9B．6C．-9D．-6【答案】D3 ．（2013年高考湖北卷（文））已知函数()(ln)fxxx ax??有两个极值点,则实数a的取值范围是（）A．(,0)??B1(0,)2C．(0,1)D．(0,)??【答案】B4 ．（2013年高考福建卷（文））设函数)(xf的定义域为R,)0(00?xx是)(xf的极大值点,以下结论一定正确的是（）A．)()(,0xfxfRx???B．0x?是)(xf?的极小值点C．0x?是)(xf?的极小值点D．0x?是)(xf??的极小值点【答案】D5 ．（2013年高考安徽（文））已知函数32()fxxaxbxc????有两个极值点12,xx,若112()fxxx??,则关于x的方程23(())2()0fxafxb???的不同实根个数为（）A．3B．4 C．5 D．6【答案】A6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f'(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是实用标准文档文案大全【答案】B二、填空题7 ．（2013年高考广东卷（文））若曲线2ln yaxx??在点(1,)a处的切线平行于x轴,则a?____________.【答案】128 ．（2013年高考江西卷（文））若曲线1yx???(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________.【答案】2三、解答题9 ．（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.【答案】解:(Ⅰ)当1a?时,32()266(2)1624124fxxxxf????????,所以2()6126(2)242466fxxxf??????????,所以()yfx?在(2,(2))f处的切线方程是:46(2)680yxxy???????;(Ⅱ)因为22()66(1)66[(1)]6(1)()fxxaxaxaxaxxa????????????①当1a?时,(,1][,)xa?????时,()yfx?递增,(1,)xa?时,()yfx?递减,所以当[0,2||]xa?时,且2||2a?,[0,1][,2||]xaa?时,()yfx?递增,(1,)xa?时,()yfx?递减,所以最小值是32223()23(1)63faaaaaaa??????;②当1a??时,且2||2a?,在[0,2||]xa?时,(0,1)x?时,()yfx?递减,[1,2||]xa?时,()yfx?递增,所以最小值是(1)31fa??;综上所述:当1a?时,函数()yfx?最小值是233aa?;当1a??时,函数()yfx?最小值是31a?;10．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V A DC B实用标准文档文案大全立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000?元(?为圆周率). (Ⅰ)将V表示成r的函数()Vr,并求该函数的定义域;zhangwlx(Ⅱ)讨论函数()Vr的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx 【答案】11．（2013年高考陕西卷（文））已知函数()e,x fxx??R.(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y= f (x)与曲线2112yxx???有唯一公共点. (Ⅲ) 设a<b,比较2abf???????与()()fbfaba??的大小, 并说明理由.【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数xxgln)(?,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.实用标准文档文案大全1(1)g'x1(x)g'????k.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线1212???xxy有唯一公共点,过程如下.则令,,121121)()(22Rxxxexxxfxh x?????????0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('????????hhhexhxhxexh xx ，，且的导数因此,单调递增时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0xhyxhxxhyxhx????????0)(,0)0(') ('??????xRxhyhxhy个零点上单调递增，最多有一在所以所以,曲线y=f(x)与曲线1212???xxy只有唯一公共点(0,1).(证毕) (Ⅲ)设)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbfbfaf??????????????aabba eabeabababeabeab?????????????????????)(2)2()2()(2)2()2(令xxx exexxgxexxxg???????????????)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则.）上单调递增，在（的导函数?????????0)('所以,0)11()('')('xgexexxgxg xx,且,0)0(,),0()(0)('.0)0('?????gxgxgg而上单调递增在，因0)(),0(???xg上所以在.,0)2(2)(0baexxxgx x????????且时，当0)(2)2()2(????????????aab eabeabab所以abafbfbfaf????)()(2)()(,b<a时当12．（2013年高考大纲卷（文））已知函数??32=331.fxx ax x???(I)求??2f;ax?时，讨论的单调性;(II)若????2,0,.xfxa????时，求的取值范围??32=-3231.fxxxx??【答案】(Ⅰ)当-2a?时,实用标准文档文案大全'2()3623fxxx???.令'()0fx?,得,121x??,221x??.当(,21)x????时,'()0fx?,()fx 在(,21)???是增函数;当(21,21)x???时,'()0fx?,()fx在(21,21)??是减函数;21,)x???时,'()0fx?,()fx21,???是增函数;(Ⅱ)由(2)0f?得,54a??. 当54a??,(2,)x???时,'2251()3(21)3(1)3()(2)022fxx ax xxxx??????????,所以()fx在(2,)??是增函数,于是当[2,)x???时,()(2)0fxf??. 综上,a的取值范围是5[,)4???.13．（2013年高考辽宁卷（文））(I)证明:当??20,1sin;2xxxx???时，(II)若不等式????3222cosx40,12xaxxxxa??????对恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答案】实用标准文档文案大全实用标准文档文案大全实用标准文档文案大全14．（2013年高考四川卷（文））已知函数22,0()ln,0xxaxfxxx????????,其中a 是实数.设11(,())Axfx,22(,())Bxfx为该函数图象上的两点,且12xx?.(Ⅰ)指出函数()fx的单调区间;(Ⅱ)若函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直,且20x?,证明:211xx??; (Ⅲ)若函数()fx的图象在点,AB处的切线重合,求a的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)函数()fx的单调减区间为)1,(???,单调增区间为)0,1(?,),0(?? (Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为)(1xf?,点B处的切线斜率为)(2xf?, 故当点,AB处的切线互相垂直时,有)(1xf?1)(2????xf, 当x<0时,22)(??xxf因为021??xx,所以1)22()22(21?????xx,所以0221??x,0222??x,因此1)22()22()]22()22([21212112????????????xxxxxx,(当且仅当122)22(21?????xx,即231??x且212??x时等号成立)所以函数()fx的图象在点,AB处的切线互相垂直时有211xx??. (Ⅲ)当021??xx或012??xx时,)(1xf?)(2xf??,故210xx??. 当01?x时,()fx的图象在点))(,(11xfx 处的切线方程为实用标准文档文案大全)()22()2(11121xxxaxxy???????即axxxy????211)22(.当02?x时,()fx的图象在点))(,(22xfx处的切线方程为)(1ln222xxxxy????即1ln122????xxxy. 两切线重合的充要条件是???????????②①axxxx212121ln221,由①及210xx??知,2102??x, 由①、②得1)21(411ln1)121(ln222222?????????xxxxa, 令21xt?,则20??t,且tttaln412???设)20(ln41)(2?????ttttth,则023)1(1121)(2????????ttttth所以)20()(??tth为减函数,则2ln1)2()(????hth, 所以2ln1???a,而当)2,0(?t且t趋向于0时,)(th无限增大, 所以a的取值范围是),2ln1(????. 故当函数()fx的图象在点,AB处的切线重合时,a的取值范围是),2ln1(????. 15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））己知函数f(X) = x2e-x(I)求f(x)的极小值和极大值;(II)当曲线y = f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围. 【答案】实用标准文档文案大全16．（2013年高考北京卷（文））已知函数2()sincosfxxxxx???.(Ⅰ)若曲线()yfx?在点(,())afa)处与直线yb?相切,求a与b的值.(Ⅱ)若曲线()yfx?与直线yb?有两个不同的交点,求b的取值范围.[来源:学|科|网] 【答案】解:由2()sincosfxxxxx???,得()(2cos)fxxx???.(I)因为曲线()yfx?在点(,())afa处与直线yb?相切,所以()(2cos)0faaa????()bfa?,解得0a?,(0)1bf??.(II)令()0fx??,得0x?.()fx与()fx?的情况如下:(,0)0(0,)()0()1xfxfx???????所以函数()fx在区间(,0)??上单调递减,在区间(0,)??上单调递增,(0)1f?是()fx的最小值.实用标准文档文案大全当1b?时,曲线()yfx?与直线yb?最多只有一个交点;当1b?时,2(2)(2)421fbfbbb?????>421bbb???, (0)1fb??, 所以存在1(2,0)xb??,2(0,2)xb?,使得12()()fxfxb??.由于函数()fx在区间(,0)??和(0,)??上均单调,所以当1b?时曲线()yfx?与直线yb?有且只有两个不同交点.综上可知,如果曲线()yfx?与直线yb?有且只有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,)??.17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)已知函数2()()4x fxeaxbxx????,曲线()yfx?在点(0,(0))f处切线方程为44yx??. (Ⅰ)求,ab的值;(Ⅱ)讨论()fx的单调性,并求()fx的极大值.【答案】121()()24.(0)4,(0)4,4,8,4;fxe ax abxffbabab????????????（I）由已知得故从而(II) 由(I)知,2)4(1)4,x fxexxx????（11()4(2)244(2)().2xx fxexxxe???????令1()0=-1n2x=-2.fxx?得，或从而当11(,2)(10;(22,),12))()xnfxxnfx???????????当时，（时，<0.故()--2-12+-2-12fxnn??在（，），（，）单调递增，在（，）单调递减. 当2=-2-2=41-)xfxfe?时，函数（）取得极大值，极大值为（）（.18．（2013年高考天津卷（文））设[2,0]a??, 已知函数332(5),03,0(,).2xfaxxaxxxxxa?????????????(Ⅰ) 证明()fx在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()yfx?在点(,())(1,2,3)iii xfxiP?处的切线相互平行, 且1230,xxx?证明12313xxx???.【答案】实用标准文档文案大全19．（2013年高考福建卷（文））已知函数()1x afxxe???(aR?,e为自然对数的底数).(1)若曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数()fx 的极值;(3)当1a?的值时,若直线:1lykx??与曲线()yfx?没有公共点,求k的最大值.??1x afxxe???,得??1x afxe???. 又曲线??yfx?在点【答案】解:(Ⅰ)由????1,1f处的切线平行于x轴,实用标准文档??10f??,即10ae??,解得ae?. (Ⅱ)??1x afxe???, ①当文案大全得0a?时,??0fx??,??fx为??,????上的增函数,所以函数??fx无极值. ②当0a?时,令??0fx??,得x ea?,lnxa?.??,lnxa???,??0fx??;??ln,xa???,??0fx??.所以??fx在??,lna??上单调递减,在??ln,a??上单调递增,故??fx在lnxa?处取得极小值,且极小值为??lnlnfaa?,无极大值. 综上,当0a?时,函数??fx无极小值;当0a?,??fx在lnxa?处取得极小值lna,无极大值. (Ⅲ)当1a?时,??11x fxxe???令????????111x gxfxkxkxe??????, 则直线l:1ykx??与曲线??yfx?没有公共点, 等价于方程??0gx?在R上没有实数解. 假设1k?,此时??010g??,1111101k gke????????????, 又函数??gx的图象连续不断,由零点存在定理,可知??0gx?在R上至少有一解,与“方程??0gx?在R上没有实数解”矛盾,故1k?. 又1k?时,??10x gxe??,知方程??0gx?在R上没有实数解. 所以k 的最大值为1. 解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当1a?时,??11x fxxe???. 直线l:1ykx??与曲线??yfx?没有公共点, 等价于关于x的方程111x kxxe????在R上没有实数解,即关于x的方程: ??11x kxe?? (*)在R上没有实数解.实用标准文档文案大全①当1k?时,方程(*)可化为10x e?,在R上没有实数解. ②当1k?时,方程(*)化为11x xek??.令??x gxxe?,则有????1x gxxe???.令??0gx??,得1x??,当x变化时,??gx?的变化情况如下表:1???1,?????gx??0???gx1e?当1x??时,??min1gxe??,同时当x趋于??时,??gx趋于??, 从而??gx的取值范围为1,e?????????.所以当11,1ke???????????时,方程(*)无实数解, 解得k的取值范围是??1,1e?. 综上,得k的最大值为1.20．（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=x ex21x1??. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.【答案】解:(Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222xxxxexxexxexxf xxx?????????????? ??（（（;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当xfyxfx??????????单调递减）时，，当)(,0)('0[xfyxfx?????.所以,）上单调递减，上单调递增；在，在（?????0[]0-)(xxfy. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可.]1)1[(11111)()(2222xexxeexxexxxfxf xxxx???????????????.实用标准文档文案大全1)21()('0,1)1()(22?????????xx exxgxxexxg令.,04)21()('1)21()(222?????????xxx xeexxhexxh令0)0()(0)(???????hxhxhy）上单调递减，在（0)0()(0)(???????gxgxgy）上单调递减，在（.000]1)1[(122???????????yxxexxey xx时）上单调递减，但，在)()(0)()(xfxfxfxf???????.0)()(212121????xxxxxfxf时，且所以，当??Rk?.21．（2013年高考广东卷（文））设函数xkxxxf???23)((1) 当1?k时,求函数)(xf的单调区间;(2) 当0?k时,求函数)(xf在??kk?,上的最小值m和最大值M,??'2321fxxkx?????'2321,41280fxxx?????????【答案】(1)当1k?时??'0fx??,??fx在R上单调递增.(2)当0k?时,??'2321fxxkx???,其开口向上,对称轴3kx? ,且过??01，(i)当????24124330kkk???????,即30k???时,??'0fx?,??fx 在??,kk?上单调递增,从而当xk?时,??fx取得最小值??mfkk?? , 当xk??时,??fx取得最大值??3332Mfkkkkkk?????????.(ii)当????24124330kkk???????,即3k??时,令??'23210fxxkx????解得:221233,33kkkkxx??????,注意到210kxx???,-kk3kx?．实用标准文档文案大全(注:可用韦达定理判断1213xx??,1223kxxk???,从而210kxx???;或者由对称结合图像判断)????????????12min,,max,mfkfxMfkfx????????????32211111110fxfkxkxxkxkx???????????fx?的最小值??mfkk??,??????????232322222222=[1]0fxfkxkxxkkkkxkxkk?????????????????fx?的最大值??32Mfkkk?????综上所述,当0k?时,??fx的最小值??mfkk??,最大值??32Mfkkk?????解法2(2)当0k?时,对??,xkk???,都有32332()()(1)()0fxfkxkxxkkkxxk???????????,故????fxfk?32332222()()()(221)()[()1]0fxfkxkxxkkkxkxkxkxkxkk???????????????? ???故????fxfk??,而()0fkk??,3()20fkkk?????所以3max()()2fxfkkk?????,min()()fxfkk??(1) 解法3:因为2()321fxxkx????,22(2)4314(3)kk????????;①当0??时,即30k???时,()0fx??,()fx在R上单调递增,此时无最小值和最大值;②当0??时,即3k??时,令()0fx??,解得22223363kkkkx??????或22223363kkkkx??????;令()0fx??,解得233kkx???或233kkx???;令()0fx??,解得223333kkkkx??????; ③因为223033kkkkk???????,2232333kkkkkk??????作??fx的最值表如下:实用标准文档文案大全(fx 极大值极小值32k ??则23min(),3kkmfkf?????????????????????,23max(),3kkMfkf?????????? ????????????;因为22222333313333kkkkkkkkfk?????????????????????????????????? ??????????????????3222(26)3927kkkk??????;3223222(26)1832(26)318()32727kkkkk kkkkkffk??????????????????????2480279kk?????,所以23min(),()3kkmfkffkk???????????????????????;因为22222333313333kkkkkkkkfk??????????????????????????????? ?????????????????????3222(26)3927kkkk??????;2322332(26)395427()327kkkkkkkkffk???????????????????32322352(26)36 52(26)33650420272727kkkkkkkkkk????????????;所以233max(),()23kkMfkffkkk???????????????????????????; 综上所述,所以mk?,32Mkk???.22．（2013年高考山东卷（文））已知函数2()ln(,)fxaxbxxabR????(Ⅰ)设0a?,求)(xf的单调区间实用标准文档文案大全(Ⅱ) 设0a?,且对于任意0x?,()(1)fxf?.试比较lna与2b?的大小【答案】当0a 时函数()fx的单调递减区间是实用标准文档文案大全23．（2013年高考湖北卷（文））设0a?,0b?,已知函数()1axbfxx???. (Ⅰ)当ab?时,讨论函数()fx的单调性;(Ⅱ)当0x?时,称()fx为a、b关于x的加权平均数. (i)判断(1)f, ()bfa,()bfa是否成等比数列,并证明()()bbffaa?; (ii)a、b的几何平均数记为G.称2abab?为a、b的调和平均数,记为H. 若()HfxG??,求x的取值范围.【答案】(Ⅰ)()fx的定义域为(,1)(1,)??????,22(1)()()(1)(1)axaxbabfxxx?????????. 当ab?时,()0fx??,函数()fx在(,1)???,(1,)???上单调递增;当ab?时,()0fx??,函数()fx在(,1)???,(1,)???上单调递减.(Ⅱ)(i)计算得(1)02abf???,2()0babfaab???,()0bfaba??.故22(1)()[()]2bababbffabfaaba??????, 即2(1)()[()]bbfffaa?. ①所以(1),(),()bbfffaa成等比数列. 因2abab??,即(1)()bffa?.实用标准文档文案大全,(故()()()bbffxfaa??. ②当ab?时,()()()bbffxfaaa???.这时,x的取值范围为(0,)??;当ab?时,01ba??,从而bbaa?,由()fx在(0,)??上单调递增与②式, 得bbxaa??,即x的取值范围为,bbaa??????; 当ab?时,1ba?,从而bbaa?,由()fx在(0,)??上单调递减与②式, 得bbxaa??,即x的取值范围为,bbaa??????.。
2013年全国高考函数与导数真题汇编 -
2013年全国高考函数与导数真题汇编一、选择题1. 【2013·安徽理·4】" a≤0"是"函数f(x)=∣(ax−1)x∣在区间(0,+∞)内单调递增"的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 【2013·安徽理·8】函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,⋯,x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}3. 【2013·安徽理·10】若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 【2013·北京理·10】函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y轴对称，则f(x)=( )A. e x+1B. e x−1C. e−x+1D. e−x−15. 【2013·福建理·8】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A. ∀x∈R,f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点6. 【2013·广东理·8】定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 17. 【2013·湖北理·8】已知a为常数，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则( )A. f(x1)>0，f(x2)>−12B. f(x1)<0，f(x2)<−12C. f(x1)>0，f(x2)<−12D. f(x1)<0，f(x2)>−128. 【2013·湖南理·8】函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2−4x+5的图象的交点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 09. 【2013·江西理·2】函数y=√xln(1−x)的定义域为( )A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1]10.【2013·江西理·10】如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点．设弧FG⏜的长为x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f(x)的图象大致是( )A. B.C. D.11. 【2013·辽宁理·11】已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8，设H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}（max{p,q}表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值）．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A−B=( )A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−1612. 【2013·辽宁理·12】设函数f(x)满足x2fʹ(x)+2xf(x)=e xx ，f(2)=e28，则x>0时，f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值13. 【2013·全国大纲理·4】已知函数f(x)的定义域为(−1,0)，则函数f(2x+1)的定义域为( )A. (−1,1)B. (−1,−12)C. (−1,0)D. (12,1)14. 【2013·全国大纲理·5】函数f(x)=log2(1+1x)(x>0)的反函数f−1(x)=( )A. 12x−1(x>0) B. 12x−1(x≠0)C. 2x−1(x∈R)D. 2x−1(x>0)15. 【2013·全国大纲理·9】若函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数，则a的取值范围是( )A. [−1,0]B. [−1,+∞)C. [0,3]D. [3,+∞)16. 【2013·新课标Ⅱ理·8】设a=log36，b=log510，c=log714，则( )A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c17. 【2013·新课标Ⅱ理·10】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )A. ∃x0∈R，f(x0)=0B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减D. 若x0是f(x)的极值点，则fʹ(x0)=018. 【2013·陕西理·3】已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=( )A. 2B. 1C. 0D. −219. 【2013·四川理·7】函数y=x33x−1的图象大致是( )A. B. C. D.20. 【2013·四川理·10】设函数 f (x )=√e x +x −a （a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线 y =sinx 上存在 (x 0,y 0) 使得 f(f (y 0))=y 0，则 a 的取值范围是 ( ) A. [1,e ] B. [e −1−1,1] C. [1,1+e ] D . [e −1−1,e +1]21. 【2013·天津理·7】函数 f (x )=2x ∣log 0.5x ∣−1 的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 422. 【2013·天津理·8】已知函数 f (x )=x (1+a∣x∣)．设关于 x 的不等式 f (x +a )<f (x ) 的解集为 A ，若 [−12,12]⊆A ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (1−√52,0) B. (1−√32,0)C. (1−√52,0)∪(0,1+√32) D. (−∞,1−√52)23. 【2013·浙江理·3】已知 x ，y 为正实数，则 ( )A. 2lgx+lgy =2lgx +2lgyB. 2lg (x+y )=2lgx ⋅2lgyC. 2lgx⋅lgy =2lgx +2lgyD. 2lg (xy )=2lgx ⋅2lgy 24. 【2013·浙江理·8】已知 e 为自然对数的底数，设函数 f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1,2) ，则 ( ) A. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 B. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值 C. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 D. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值25. 【2013·重庆理·6】若 a <b <c ，则函数 f (x )=(x −a )(x −b )+(x −b )(x −c )+(x −c )(x −a ) 的两个零点分别位于区间 ( ) A. (a,b ) 和 (b,c ) 内 B. (−∞,a ) 和 (a,b ) 内 C. (b,c ) 和 (c,+∞) 内 D. (−∞,a ) 和 (c,+∞) 内二、填空题1.【2013·湖北理·12】若曲线 y =kx +lnx 在点 (1,k ) 处的切线平行于 x 轴， 则 k = ．2. 【2013·湖南理·12】若 ∫x 2T0dx =9，则常数 T 的值为________________ ．3. 【2013·湖南理·16】设函数 f (x )=a x +b x −c x ，其中 c >a >0，c >b >0． （1）记集合 M ={(a,b,c )∣ a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a =b}，则 (a,b,c )∈M 所对应的 f (x ) 的零点的取值集合为________________ ；（2）若 a ，b ，c 是 △ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________________ ．（写出所有正确结论的序号） ① ∀x ∈(−∞,1)，f (x )>0； ② ∃x ∈R ，使 a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若 △ABC 为钝角三角形，则 ∃x ∈(1,2)，使 f (x )=0．4. 【2013·江苏理·11】已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时， f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为________________ ．5. 【2013·江苏理·13】在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A (a,a ) ， P 是函数 y =1x(x >0) 图象上一动点，若点 P,A 之间的最短距离为 2√2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为________________ ．6. 【2013·江西理·13】设函数 f (x ) 在 (0,+∞) 内可导，且 f (e x )=x +e x ，则 fʹ(1)=________________ ．7. 【2013·新课标Ⅰ理·16】若函数 f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b ) 的图象关于直线 x =−2 对称，则 f (x ) 的最大值是________________ ．8. 【2013·陕西理·16】定义"正对数"：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，现有四个命题：①若 a >0,b >0，则 ln +(a b )=bln +a ；②若 a >0,b >0，则 ln +(ab )=ln +a +ln +b ； ③若 a >0,b >0，则 ln +(ab)≥ln +a −ln +b ；④若 a >0,b >0，则 ln +(a +b )≤ln +a +ln +b +ln2．其中真命题有________________ （写出所有真命题的编号）．9. 【2013·上海理·12】设 a 为实常数，y =f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=9x +a 2x+7，若 f (x )≥a +1 对一切 x ≥0 成立，则 a 的取值范围为________________ ．10. 【2013·上海理·14】对区间 I 上有定义的函数 g (x )，记 g (I )={y∣ y =g (x ),x ∈I }，已知定义域为 [0,3] 的函数 y =f (x ) 有反函数 y =f −1(x )，且 f −1([0,1))=[1,2),f −1((2,4])=[0,1)，若方程 f (x )−x =0 有解 x 0，则 x 0=________________ ．11. 【2013·四川理·14】已知 f (x ) 是定义域为 R 的偶函数，当 x ≥0 时， f (x )=x 2−4x ，那么，不等式 f (x +2)<5 的解集是________________ ．2013参考答案一、选择题1. C2. B3. A4. D5. D6. C7. D8. B9. B 10. D 11. B 12. D 13. B 14. A 15 D 16. D 17. C 18. D 19. C 20. A 21. B 22. A 23. D 24. C 25. A二、填空题1. -12. 33. {x∣ 0<x≤1}；①②③4. (−5,0)∪(5,+∞)5. −1；√106. 27. 168. ①③④9. a≤−8710. 211. {x∣ −7<x<3}2013年高考真题1. 【2013·安徽理·20】设函数f n(x)=−1+x+x222+x332+⋯+x nn2(x∈R,n∈N∗)．证明：Ⅰ 对每个n∈N∗，存在唯一的x n∈[23,1]，满足f n(x n)=0；Ⅰ 对任意p∈N∗，由（1）中x n构成的数列{x n}满足0<x n−x n+p<1n．2. 【2013·北京理·20】设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线．Ⅰ 求L的方程；Ⅰ 证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．3. 【2013·广东理·17】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)．Ⅰ 当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 求函数f(x)的极值．4. 【2013·福建理·17】设函数 f (x )=(x −1)e x −kx 2(k ∈R )． Ⅰ 当 k =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 当 k ∈(12,1] 时，求函数 f (x ) 在 [0,k ] 上的最大值 M ．5. 【2013·湖北理·22】设 n 为正整数，r 为正有理数． Ⅰ 求函数 f (x )=(1+x )r+1−(r +1)x −1(x >−1) 的最小值； Ⅰ 证明：n r+1−(n−1)r+1r+1<n r <(n+1)r+1−n r+1r+1;Ⅰ 设 x ∈R ，记 [x ] 为不小于 x 的最小整数，例如 [2]=2，[π]=4，[−32]=−1．令 S =√813+√823+√833+⋯+√1253，求 [S ] 的值．（参考数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7）6. 【2013·湖南理·22】已知 a >0，函数 f (x )=∣∣x−a x+2a ∣∣．Ⅰ 记 f (x ) 在区间 [0,4] 上的最大值为 g (a )，求 g (a ) 的表达式；Ⅰ 是否存在 a ，使函数 y =f (x ) 在区间 (0,4) 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．7. 【2013·江苏理·20】设函数 f (x )=lnx −ax,g (x )=e x −ax ，其中 a 为实数．Ⅰ 若 f (x ) 在 (1,+∞) 上是单调减函数，且 g (x ) 在 (1,+∞) 上有最小值，求 a 的取值范围；Ⅰ 若 g (x ) 在 (−1,+∞) 上是单调增函数，试求 f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．8. 已知函数f(x)=a(1−2∣∣x−12∣∣)，a为常数且a>0．Ⅰ 证明：函数f(x)的图象关于直线x=12对称；Ⅰ 若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2，试确定a的取值范围；Ⅰ 对于（2）中的x1,x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0)，记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性9. 【2013·辽宁理·21】已知函数f(x)=(1+x)e−2x,g(x)=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0,1]时，Ⅰ 求证：1−x≤f(x)≤11+x；Ⅰ 若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．10. 【2013·全国大纲理·22】已知函数f(x)=ln(1+x)−x(1+λx)1+x．Ⅰ 若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；Ⅰ 设数列{a n}的通项a n=1+12+13+⋯+1n，证明：a2n−a n+14n>ln2．11. 【2013·新课标Ⅰ理·21】设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=e x(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+ 2．Ⅰ 求a，b，c，d的值；Ⅰ 若 x ≥−2 时， f (x )≤kg (x ) ，求 k 的取值范围．12. 【2013·新课标Ⅱ理·21】已知函数 f (x )=e x −ln (x +m )． Ⅰ 设 x =0 是 f (x ) 的极值点，求 m ，并讨论 f (x ) 的单调性； Ⅰ 当 m ≤2 时，证明 f (x )>0．13. 【2013·陕西理·21】设函数 f (x )=xe 2x +c （e =2.71828⋯ 是自然对数的底数，c ∈R ）． Ⅰ 求f (x ) 的单调区间、最大值；Ⅰ 讨论关于 x 的方程 ∣lnx∣=f (x ) 根的个数14. 【2013·四川理·21】已知函数 f (x )={x 2+2x +a,x <0lnx,x >0，其中 a 是实数．设A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2)) 为该函数图象上的两点，且 x 1<x 2．Ⅰ 指出函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线互相垂直，且 x 2<0，求 x 2−x 1 的最小值； Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．15. 【2013·天津理·20】 已知函数 f (x )=x 2lnx ． Ⅰ 求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t=f(s)．Ⅰ 设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g(t)，证明：当t>e2时，有25<lng(t)lnt<12．16. 【2013·浙江理·20】已知a∈R，函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3Ⅰ 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 当x∈[0,2]时，求∣f(x)∣的最大值．17. 【2013·重庆理·17】设f(x)=a(x−5)2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．Ⅰ 确定a的值；Ⅰ 求函数f(x)的单调区间与极值．2013参考答案1. （1） 对每个 n ∈N ∗，当 x >0 时，f n ′(x )=1+x 2+⋯+x n−1n>0,故 f n (x ) 在 (0,+∞) 内单调递增． 由于 f 1(1)=0，当 n ≥2，f n (1)=122+132+⋯+1n 2>0, 故 f n (1)≥0．又f n (23)=−1+23+∑(23)kk2nk=2≤−13+14∑(23)knk=2=−13+14⋅(23)2[1−(23)n−1]1−23=−13⋅(23)n−1<0,所以存在唯一的 x n ∈[23,1]，满足 f n (x n )=0．（2） 当 x >0 时，f n+1(x )=f n (x )+x n+1(n +1)2>f n (x ),故f n+1(x n )>f n (x n )=f n+1(x n+1)=0.由 f n+1(x ) 在 (0,+∞) 内单调递增知，x n+1<x n ，故 {x n } 为单调递减数列．从而对任意的 n,p ∈N ∗,x n+p <x n ，对任意的 p ∈N ∗，由于f n (x n )=−1+x n +x n 222+⋯+x n nn2=0, ⋯⋯①f n+p (x n+p )=−1+x n+p +x n+p 222+⋯+x n+p n n 2+x n+pn+1(n +1)2+⋯+x n+p n+p (n +p )2=0, ⋯⋯②①式减去②式并移项，利用 0<x n+p <x n ≤1，得x n −x n+p=∑x n+pk−x nk k 2nk=2+∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑12n+pk=n+1<∑1k (k −1)n+pk=n+1=1n −1n +p <1n .因此，对任意 p ∈N ∗，都有0<x n −x n+p <1n.2（1） 设 f (x )=lnx x，则fʹ(x )=1−lnxx 2. 所以 fʹ(1)=1 ，所以 L 的方程为 y =x −1 ．（2） 令 g (x )=x −1−f (x ) ，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0,x ≠1).g (x ) 满足 g (1)=0 ，且gʹ(x )=1−fʹ(x )=x 2−1+lnx x 2.当 0<x <1 时，x 2−1<0,lnx <0,所以 gʹ(x )<0 ，故 g (x ) 单调递减； 当 x >1 时，x 2−1>0,lnx >0,所以 gʹ(x )>0 ，故 g (x ) 单调递增．所以，g (x )>g (1)=0(∀x >0,x ≠1).所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．3（1） 当 a =2 时，f (x )=x −2lnx,fʹ(x )=1−2x(x >0),因而f (1)=1,fʹ(1)=−1,所以曲线 y =f (x ) 在点 A(1,f (1)) 处的切线方程为y −1=−(x −1),即x +y −2=0.（2） 由fʹ(x )=1−a x =x −ax,x >0知：①当 a ≤0 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 为 (0,+∞) 上是增函数，函数 f (x ) 无极值． ②当 a >0 时，由 fʹ(x )=0，解得 x =a ． 又当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )<0； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )>0，从而函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值，且极小值为f (a )=a −alna,无极大值．综上，当 a ≤0 时，函数 f (x ) 无极值；当 a >0 时，函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值 a −alna ，无极大值． 4（1）fʹ(x )=(x −1)e x +e x −2kx=xe x −2kx=x (e x−2k ).当 k =1 时，令 fʹ(x )=x (e x −2)=0，得x 1=0,x 2=ln2;当 x <0 时，fʹ(x )>0；当 0<x <ln2 时，fʹ(x )<0；当 x >ln2 时，fʹ(x )>0； Ⅰ函数 f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,0),(ln2,+∞)；单调递减区间为 (0,ln2)． （2） Ⅰ 12<k ≤1，Ⅰ 1<2k ≤2，所以0<ln (2k )<ln2.记 h (k )=k −ln (2k )，则 hʹ(k )=1−22k=k−1k在 k ∈(12,1) 有 hʹ(k )<0，Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，h (k )=k −ln (2k )>h (1)=1−ln2>0，即k >ln (2k )>0.Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，函数 f (x ) 在 [0,ln (2k )) 单调递减，在 (ln (2k ),k ] 单调递增． f (0)=−1，f (k )=(k −1)e k −k 3，记 g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3，下证明 g (k )≥−1．gʹ(k )=k(e k −3k),设 p (k )=e k −3k ，令pʹ(k )=e k −3=0,得k =ln3>1, Ⅰ p (k )=e k −3k 在 (12,1] 为单调递减函数，而p (12)=√e −32>√2.25−1.5=0,p (1)=e −3<0,Ⅰ gʹ(k )=k(e k −3k)=0 的一个非零的根为 k 0∈(12,1]，且 e k 0=3k 0． 显然 g (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,k 0) 单调递增，在 (k 0,1] 单调递减， Ⅰ g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,1) 上的最大值为g (k 0)=(k 0−1)3k 0−k 03=−k 03+3k 02−3k 0=(1−k 0)3−1>−1,g (12)=−12√e −18>−1⇔74>√e 而 74>√3>√e 成立，Ⅰ g (12)>−1,g (1)=−1．综上所述，当 k ∈(12,1] 时，函数 f (x ) 在 [0,k ] 的最大值M =(k −1)e k −k 3.5（1）因为fʹ(x)=(r+1)(1+x)r−(r+1)=(r+1)[(1+x)r−1],令fʹ(x)=0，解得x=0.当−1<x<0时，fʹ(x)<0，所以f(x)在(−1,0)内是减函数；当x>0时，fʹ(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)内是增函数．故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.（2）由（1）知，当x∈(−1,+∞)时，f(x)≥f(0)=0，即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,当且仅当x=0时等号成立，故当x>−1且x≠0时，有(1+x)r+1>1+(r+1)x. ⋯⋯①在①中，令x=1n（这时x>−1且x≠0），得(1+1n)r+1>1+r+1n.上式两边同乘n r+1，得(n+1)r+1>n r+1+n r(r+1)，即n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯②当n>1时，在①中令x=−1n（这时x>−1且x≠0），类似可得n r>n r+1−(n−1)r+1r+1. ⋯⋯③且当n=1时，③也成立．综合②③，得n r+1−(n−1)r+1r+1<n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯④（3）在④中，令r=13，n分别取值81,82,83,⋯,125，得34(8143−8043)<√813<34(8243−8143),34(8243−8143)<√823<34(8343−8243),34(8343−8243)<√833<34(8443−8343),⋯⋯,34(12543−12443)<√1253<34(12643−12543). 将以上各式相加并整理，得34(12543−8043)<S <34(12643−8143). 代入数据计算，可得34(12543−8043)≈210.2,34(12643−8143)≈210.9. 由 [S ] 的定义，得 [S ]=211．6（1） 当 0≤x ≤a 时，f (x )=a−x x+2a ；当 x >a 时，f (x )=x−a x+2a．因此，当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )=−3a(x+2a )2<0，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )=3a(x+2a )2>0，f (x ) 在 (a,+∞) 上单调递增． ①当 a ≥4 时，则 f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，g (a )=f (0)=12．②当 0<a <4 时，则 f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增，所以g (a )=max {f (0),f (4)}. 而f (0)−f (4)=12−4−a 4+2a =a −12+a, 故当 0<a ≤1 时，g (a )=f (4)=4−a4+2a ；当 1<a <4 时，g (a )=f (0)=12． 综上所述，g (a )={4−a4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.（2） 由（1）知，当 a ≥4 时，f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，故不满足要求． 当 0<a <4 时，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增．若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2)使曲线y=f(x)在(x1,f(x1))，(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直，则x1∈(0,a)，x2∈(a,4)，且fʹ(x1)⋅fʹ(x2)=−1，即−3a (x1+2a)2⋅3a(x2+2a)2=−1亦即x1+2a=3ax2+2a. ⋯⋯①由x1∈(0,a)，x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a)，3ax2+2a ∈(3a4+2a,1)．故①成立等价于集合A={x∣ 2a<x<3a}与集合B={x∣ 3a4+2a<x<1}的交集非空．因为3a4+2a <3a，所以当且仅当0<2a<1，即0<a<12时，A∩B≠∅．综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是(0,12)．7（1）令fʹ(x)=1−a=1−ax<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞)，故a>0，进而解得x>a−1,即f(x)在(a−1,+∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0,a−1)上是单调增函数．由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，故(1,+∞)⊆(a−1,+∞),从而a−1≤1，即a≥1．令gʹ(x)=e x−a=0,得x=lna.当x<lna时，gʹ(x)<0；当x>lna时，gʹ(x)>0．又g(x)在(1,+∞)上有最小值，所以lna>1，即a>e.综上可知，a∈(e,+∞)．（2）当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令gʹ(x)=e x−a>0,解得a<e x，即x>lna.因为g(x)在(−1,+∞)上是单调增函数，类似（1）有lna≤−1，即0<a≤e−1．结合上述两种情况，得a≤e−1.①当a=0时，由f(1)=0以及fʹ(x)=1x>0，得f(x)存在唯一的零点；②当a<0时，由于f(e a)=a−ae a=a(1−e a)<0,f(1)=−a>0,且函数f(x)在[e a,1]上的图象连续，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x>0时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0<a≤e−1时，令fʹ(x)=1−a=0,解得x=a−1.当0<x<a−1时，fʹ(x)>0；当x>a−1时，fʹ(x)<0，所以，x=a−1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a−1)=−lna−1.a．当−lna−1=0，即a=e−1时，f(x)有一个零点x=e．b．当−lna−1>0，即0<a<e−1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a<e−1，由于f(e−1)=−1−ae−1<0,f(a−1)>0,且函数f(x)在[e−1,a−1]上的图象连续，所以f(x)在(e−1,a−1)上存在零点．另外，当x∈(0,a−1)时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,a−1)上是单调增函数，所以f(x)在(0,a−1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a−1,+∞)上的情况．先证f(e a−1)=a(a−2−e a−1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2．设h(x)=e x−x2，则hʹ(x)=e x−2x,再设l(x)=hʹ(x)=e x−2x，则lʹ(x)=e x−2.当x>1时，lʹ(x)=e x−2>e−2>0,所以l(x)=hʹ(x)在(1,+∞)上是单调增函数．故当x>2时，hʹ(x)=e x−2x>hʹ(2)=e2−4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h (x )=e x −x 2>h (e )=e e −e 2>0,即当 x >e 时，e x >x 2．当 0<a <e −1，即 a −1>e 时，f(e a −1)=a −1−ae a−1=a(a −2−e a −1)<0. 又 f (a −1)>0，且函数 f (x ) 在 [a −1,e a −1] 上的图象连续，所以 f (x ) 在 (a −1,e a −1) 上存在零点． 又当 x >a −1 时，fʹ(x )=1x−a <0, 故 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上是单调减函数， 所以 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上只有一个零点． 综合①②③可知，当 a ≤0 或 a =e −1 时，f (x ) 的零点个数为 1，当 0<a <e −1 时，f (x ) 的零点个数为 2．8（1） 因为f (1+x)=a (1−2∣x∣), f (12−x)=a (1−2∣x∣), 有f (1+x)=f (1−x). 所以函数 f (x ) 的图象关于直线 x =12 对称． （2） 当 0<a <12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤12,4a 2(1−x ),x >12,所以 f(f (x ))=x 只有一个解 x =0． 又 f (0)=0，故 0 不是二阶周期点． 当 a =12 时，有f(f (x ))={x,x ≤12,1−x,x >12,所以 f(f (x ))=x 有解集 {x∣ x ≤12}．又当 x ≤12时，f (x )=x ，故 {x∣ x ≤12} 中的所有点都不是二阶周期点．当 a >12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤14a ,2a −4a 2x,14a <x ≤12,2a (1−2a )+4a 2x,12<x ≤4a −14a ,4a 2−4a 2x,x >4a −14a,所以 f(f (x ))=x 有四个解：0,2a 1+4a2,2a1+2a ,4a 21+4a 2．又f (0)=0,f (2a )=2a,f (2a 1+4a 2)≠2a 1+4a 2,f (4a 21+4a 2)≠4a 21+4a 2, 故只有 2a1+4a 2,4a 21+4a 2 是 f (x ) 的二阶周期点． 综上所述，所求 a 的取值范围为 a >12． （3） 由（2）得x 1=2a1+4a 2,x 2=4a 21+4a 2, 因为 x 3 为函数 f(f (x )) 的最大值点，所以x 3=14a 或 x 3=4a −14a. 当 x 3=14a 时，S (a )=2a−14(1+4a 2)，求导得Sʹ(a )=2(a −1+√22)(a −1−√22)(1+4a 2)2,所以当 a ∈(12,1+√22) 时，S (a ) 单调递增，当 a ∈(1+√22,+∞) 时，S (a ) 单调递减；当x3=4a−14a 时，S(a)=8a2−6a+14(1+4a2)，求导得Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2,因为a>12，从而有Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2>0,所以当a∈(12,+∞)时，S(a)单调递增．9（1）要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≥1−x,只需证明(1+x)e−x≥(1−x)e x.记h(x)=(1+x)e−x−(1−x)e x，则hʹ(x)=x(e x−e−x),当x∈(0,1)时，hʹ(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)=0.所以f(x)≥1−x,x∈[0,1].要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≤11+x，只需证明e x≥x+1.记K(x)=e x−x−1，则Kʹ(x)=e x−1,当x∈(0,1)时，Kʹ(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)=0.所以f(x)≤11+x,x∈[0,1].综上，1−x≤f(x)≤11+x,x∈[0,1].（2）方法一：f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥1−x−ax−1−x32−2xcosx=−x(a+1+x22+2cosx).设G(x)=x22+2cosx，则Gʹ(x)=x−2sinx.记H(x)=x−2sinx，则Hʹ(x)=1−2cosx,当x∈(0,1)时，Hʹ(x)<0，于是Gʹ(x)在[0,1]上是减函数，从而当x∈(0,1)时，Gʹ(x)<Gʹ(0)=0,故G(x)在[0,1]上是减函数，于是G(x)≤G(0)=2，从而a+1+G(x)≤a+3,所以，当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立，下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)−g(x)≤11+x−1−ax−x32−2xcosx=−x1+x−ax−x32−2xcosx=−x(11+x +a+x22+2cosx).记I(x)=11+x+a+x22+2cosx=11+x+a+G(x),则Iʹ(x)=−1(1+x)2+Gʹ(x),当x∈(0,1)时，Iʹ(x)<0．故I(x)在[0,1]上是减函数．于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos1,a+3].因为当a>−3时，a+3>0，所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)>0,此时f(x0)<g(x0),即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．方法二：先证当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.记F(x)=cosx−1+12x2，则Fʹ(x)=−sinx+x.记G(x)=−sinx+x，则Gʹ(x)=−cosx+1,当x∈(0,1)时，Gʹ(x)>0，于是G(x)在[0,1]上是增函数，因此当x∈(0,1)时，G(x)>G(0)=0,从而F(x)在[0,1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)=0,所以当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx.同理可证，当x∈[0,1]时，cosx≤1−14x2.综上，当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.因为当x∈[0,1]时，f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥(1−x)−ax−x32−1−2x(1−14x2)=−(a+3)x.所以当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．因为f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≤1−1−ax−x3−2x(1−1x2)=x2+x3−(a+3)x≤32x[x−23(a+3)],所以存在x0∈(0,1)（例如x0取a+33和12中的较小值）满足f(x0)<g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．10（1） 由已知f (0)=0,fʹ(x )=(1−2λ)x −λx 2(1+x )2,fʹ(0)=0.若 λ≤0，则在 (0,+∞) 上，fʹ(x )>0，f (x ) 单调递增，f (x )>f (0)=0，不符题意； 若 0<λ<12，则当 0<x <1−2λλ时，fʹ(x )>0，所以 f (x )>0．若 λ≥12，则当 x >0 时，fʹ(x )<0，f (x ) 单调递减，所以当 x >0 时，f (x )<0． 综上，λ 的最小值是 12．（2） 令 λ=12．由（1）知，当 x >0 时，f (x )<0，即x (2+x )2+2x>ln (1+x ).取 x =1k ，则2k +12k (k +1)>ln (k +1k).于是a 2n −a n +14n =∑(12k +12(k +1))2n−1k=n=∑2k +12k (k +1)2n−1k=n >∑lnk +1k2n−1k=n=ln2n −lnn =ln2,所以a 2n −a n +14n>ln2.11. （1） 由已知得 f (0)=2，g (0)=2，fʹ(0)=4，gʹ(0)=4． 而fʹ(x)=2x+a,gʹ(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2．（2）由（1）知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)−f(x)=2ke x(x+1)−x2−4x−2，则Fʹ(x)=2ke x(x+2)−2x−4=2(x+2)(ke x−1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1．令Fʹ(x)=0，得x1=−lnk,x2=−2.（i）若1≤k<e2，则−2<x1≤0,从而当x∈(−2,x1)时，Fʹ(x)<0；当x∈(x1,+∞)时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，故F(x)在[−2,+∞)上的最小值为F(x1)，而F(x1)=2x1+2−x12−4x1−2=−x1(x1+2)≥0.故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（ii）若k=e2，则Fʹ(x)=2e2(x+2)(e x−e−2),从而当x>−2时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,+∞)上单调递增，而F(−2)=0，故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（iii）若k>e2，则F(−2)=−2ke−2+2=−2e−2(k−e2)<0.从而当x≥−2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1,e2]．12. （1）fʹ(x)=e x−1x+m.由x=0是f(x)的极值点得fʹ(0)=0，所以m=1．于是f(x)=e x−ln(x+1),定义域为(−1,+∞)，fʹ(x)=e x−1 x+1.函数fʹ(x)=e x−1x+1在(−1,+∞)上单调递增，且fʹ(0)=0，因此，当x∈(−1,0)时，fʹ(x)<0；当x∈(0,+∞)时，fʹ(x)>0．所以f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．（2）当m≤2，x∈(−m,+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数fʹ(x)=e x−1 x+2在(−2,+∞)上单调递增．又fʹ(−1)<0，fʹ(0)>0，故fʹ(x)=0在(−2,+∞)上有唯一实根x0，且x0∈(−1,0)．当x∈(−2,x0)时，fʹ(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，fʹ(x)>0，从而当x=x0时，f(x)取得最小值．由fʹ(x0)=0得e x0=1x0+2,ln(x0+2)=−x0,故f(x)≥f(x0)=1x0+2+x0=(x0+1)2 x0+2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0．13. （1）因为fʹ(x)=(1−2x)e−2x,由fʹ(x)=0，解得x=1 2 .当x<12时，fʹ(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，fʹ(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,12)，单调递减区间是(12,+∞)，最大值为f(12)=12e−1+c．（2）令g(x)=∣lnx∣−f(x)=∣lnx∣−xe−2x−c,x∈(0,+∞).（1）当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则g (x )=lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e−2x(e 2x x+2x −1). 因为e 2x x>0，2x −1>0，所以gʹ(x )>0.因此 g (x ) 在 (1,+∞) 上单调递增． （2）当 x ∈(0,1) 时，lnx <0，则g (x )=−lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e −2x(−e 2xx +2x −1).因为 e 2x ∈(1,e 2),e 2x >1>x >0，所以−e 2x x<−1. 又 2x −1<1，所以 −e 2x x+2x −1<0，即gʹ(x )<0.因此 g (x ) 在 (0,1) 上单调递减． 综合（1）（2）可知，g (x ) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,+∞) 单调递增； 所以，g (x ) 的最小值是 g (1)=−e −2−c ．①当 g (1)=−e −2−c >0，即 c <−e −2 时，g (x ) 没有零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0；②当 g (1)=−e −2−c =0，即 c =−e −2 时，g (x ) 只有一个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1；③当 g (1)=−e −2−c <0，即 c >−e −2 时， 当 x ∈(1,+∞) 时，由（1）知g (x )=lnx −xe −2x −c ≥lnx −(12e −1+c)>lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 lnx −1−c >0，，即 x ∈(e 1+c ,+∞)； 当 x ∈(0,1) 时，由（1）知g (x )=−lnx −xe −2x −c ≥−lnx −(12e −1+c)>−lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 −lnx −1−c >0，即 x ∈(0,e −1−c )．所以当 c >−e −2 时，g (x ) 有两个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2． 综上所述，当 c <−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0； 当 c =−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1； 当 c >−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2．14. （1）函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为[−1,0),(0,+∞)．（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为fʹ(x1)，点B处的切线斜率为fʹ(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有fʹ(x1)fʹ(x2)=−1.当x<0时，对函数f(x)求导，得fʹ(x)=2x+2.因为x1<x2<0，所以(2x1+2)(2x2+2)=−1,所以2x1+2<0,2x2+2>0.因此x2−x1=12[−(2x1+2)+2x2+2]≥√[−(2x1+2)](2x2+2)=1,当且仅当−(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=−32且x2=−12时，等号成立．所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2−x1的最小值为1．（3）当x1<x2<0或x2>x1>0时，fʹ(x1)≠fʹ(x2),故x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y−(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x−x1),即y=(2x1+2)x−x12+a.当x2>0时，函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y−lnx2=1x2(x−x2),即y=12⋅x+lnx2−1.两切线重合的充要条件是{1x2=2x1+2, ⋯⋯①lnx2−1=−x12+a. ⋯⋯②由①及x1<0<x2知，−1<x1<0．由①②，得a=x12+ln12x1+2−1=x12−ln(2x1+2)−1.∵函数y=x12−1，y=−ln(x1+2)在区间(−1,0)上单调递减，∴a(x1)=x12−ln(2x1+2)−1在(−1,0)上单调递减，且x1→−1时，a(x1)→+∞；x1→0时，a(x1)→−1−ln2．∴a的取值范围是(−1−ln2,+∞)．15. （1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)．fʹ(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),令fʹ(x)=0，得x=√e．当x变化时，fʹ(x),f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间是√e )，单调递增区间是(√e+∞)．（2）当0<x≤1时，f(x)≤0．t>0，令h(x)=f(x)−t,x∈[1,+∞).由（1）知，h(x)在区间(1,+∞)内单调递增．h(1)=−t<0,h(e t)=e2t lne t−t=t(e2t−1)>0.故存在唯一的s∈(1,+∞)，使得t=f(s)成立．（3）因为s=g(t)，由（2）知，t=f(s)，且s>1，从而lng(t)=lns ()=lnsln(s2lns)=lns2lns+ln(lns)=u2u+lnu,其中u=lns．要使2 5<lng(t)lnt<12成立，只需0<lnu<u2．当t>e2时，若s=g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾，所以s>e，即u>1，从而lnu>0成立．另一方面，令F(u)=lnu−u,u>1,Fʹ(u)=1u−12,令Fʹ(u)=0，得u=2，当1<u<2时，Fʹ(u)>0，当u>2时，Fʹ(u)<0．故对u>1，F(u)≤F(2)<0,因此lnu<u2成立．综上，当t>e2时，有2 5<lng(t)lnt<12.16. （1）由题意fʹ(x)=3x2−6x+3a,故fʹ(1)=3a−3.又f(1)=1，所以所求的切线方程为y=(3a−3)x−3a+4.（2）由于fʹ(x)=3(x−1)2+3(a−1)，0≤x≤2．故①当a≤0时，有fʹ(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3−3a.② 当a≥1时，有fʹ(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3a−1.③ 当0<a<1时，设x1=1−√1−a，x2=1+√1−a，则0<x1<x2<2,fʹ(x)=3(x−x1)(x−x2).列表如下：由于 f (x 1)=1+2(1−a )√1−a,f (x 2)=1−2(1−a )√1−a,故f (x 1)+f (x 2)=2>0,f (x 1)−f (x 2)=4(1−a )√1−a >0,从而f (x 1)>∣f (x 2)∣.所以∣f (x )∣max =max {f (0),∣f (2)∣,f (x 1)}.① 当 0<a <23 时，f (0)>∣f (2)∣．又f (x 1)−f (0)=2(1−a )√1−a −(2−3a )=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +2−3a>0,故 ∣f (x )∣max=f (x 1)=1+2(1−a )√1−a ． ② 当 23≤a <1 时，∣f (2)∣=f (2)，且 f (2)≥f (0)． 又f (x 1)−∣f (2)∣=2(1−a )√1−a −(3a −2)=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +3a −2所以1）当 23≤a <34 时，f (x 1)>∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =f (x 1)=1+2(1−a )√1−a.2）当 34≤a <1 时，f (x 1)≤∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =∣f (2)∣=3a −1.综上所述，∣f (x )∣max={ 3−3a,a ≤0,1+2(1−a )√1−a,0<a <34,3a −1,a ≥34.17. （1）因为f(x)=a(x−5)2+6lnx，故fʹ(x)=2a(x−5)+6 x .令x=1，得f(1)=16a,fʹ(1)=6−8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−16a=(6−8a)(x−1).由点(0,6)在切线上可得6−16a=8a−6，故a=1 2 .（2）由（1）知，f(x)=12(x−5)2+6lnx(x>0),fʹ(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)x.令fʹ(x)=0，解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时，fʹ(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数；当2<x<3时，fʹ(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知，f(x)在x=2处取得极大值f(2)=9+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.。
2013年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数)
函数与导数1．设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .2．设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．3设l 为曲线ln :x C y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．4．已知函数2()sin cos f x x x x x =++(1)若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； (2)若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，求b 的取值范围．5．已知函数32()331f x x ax x =+++(1)求当a =,讨论()f x 的单调性;(2)若[2,)x ∈+∞时,()0f x ≥,求a 的取值范围.6．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值． 当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值()ln f a a a a =-，无极大值．7．已知函数()1(),xaf x x a R e =-+∈(e 为自然对数的底数) (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数()f x 的极值； (3)当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．9. 已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 若直线1y kx =+与()f x 的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设0x >, 讨论曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a b < , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.10. (本小题满分14分) (2013陕西.文) 已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求()f x 的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a b <, 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由. 解(Ⅰ)1y x =+.(Ⅱ) 证明曲线()y f x =与曲线1212++=x x y 有唯一公共点，过程如下。
2013文科高考汇编06：函数与导数
时，函数
f(x)的单调递减区间是
0,
1 b
，单调递增区间是
1 b
,
；
当
a＞0
时，函数
f(x)的单调递减区间是
0,
b
b2 4a
8a
单调递增区间是
b
b2 8a 4a
, .
高考真题汇编：函数与导数
⑵由题意，函数 f(x)在 x＝1 处取得最小值，
已知函数 f(x)＝x2e－x.
⑴求 f(x)的极小值和极大值；
⑵当曲线 y＝f(x)的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围．
解析：⑴f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝－e－xx(x－2)．①
当 x∈(－∞，0)或 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
当 x∈(0,2)时，f′(x)＞0.
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1
所以函数 f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1 是 f(x)的最小值．
当 b≤1 时，曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 最多只有一个交点；
当 b＞1 时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1＞4b－2b－1＞b，
当 x＞x2 时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增．
所以函数
f(x)的单调递减区间是
0,
b
b2 4a
8a
，单调递增区间是
2013高考数学试题分类汇编——函数
（2013上海卷）20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.（2013四川卷）21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．(2013上海春季卷)26．（本题满分7分） 如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。
(2013上海春季卷)31．已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”。
（1）将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标； （2）求函数22()log 4xh x x=- 图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”。
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2008年高考数学试题分类汇编 （函数与导数）
1.(全国一1)
函数y = ）
A ．{|1}x x ≤
B ．{|0}x x ≥
C ．{|10}x x x ≥或≤
D ．{|01}x x ≤≤
2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）
3.（全国一4）曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
4.（全国一8）若函数()y f x =
的图象与函数ln 1y =的图象关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．22e x -
B ．2e x
C ．21e x +
D ．2+2e x
5.（全国二4）函数1()f x x
x =-的图像关于（ ）
A ．y 轴对称
B 直线x y -=对称
C 坐标原点对称
D 直线x y =对称
7.（全国二7）设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1
B ．
12
C ．12
-
D ．1-
8.（安徽卷6）函数2()(1)1(0)f x x x =-+≤的反函数为
A
．1()11)f x x -=-≥ B ．
1()11)f x x -=+≥ C
．1()12)f x x -=-≥ D ．
1()12)f x x -=-≥
9.（安徽卷9）．设函数1()21(0),f x x x x
=+
-< 则()f x （ ）
A ．有最大值
B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
A ．
B ．
C ．
D ．
11.（北京卷5）函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A
．1()11)f x x -=+> B
．1()11)f x x -=-> C
．1()11)f x x -=+≥
D
．1()11)f x x -=-≥
12.（福建卷11）如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数y=f (x )的图象可能是
16.（湖北卷6）已知()f x 在R 上是奇函数，且
2
(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==
当时，则
A.-2
B.2
C.-98
D.98 21.（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1
f x
g x x =
-的定义域是
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ． [0,1)(1,4]
D ．(0,1) 23.（江西卷12）已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数
x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是
A ． [4,4]-
B ．(4,4)-
C ． (,4)-∞
D ．(,4)-∞- 24.（辽宁卷2）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
30.（山东卷5）设函数2
2
11()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，
，，，
≤则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．
1516
B ．2716
-
C ．8
9
D ．18
32.（陕西卷7）已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16m n =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ） A ．10
B ．4
C ．1
D ．2-
33.（陕西卷11）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），
(1)2f =
，则(2)f -等于（ ） A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
34.（四川卷２）函数()1
ln 212y x x ⎛⎫
=+>- ⎪⎝
⎭
的反函数是( )
（Ａ）()112
x y e x R =-∈
（Ｂ）()21x y e x R =-∈
（Ｃ）()()1
12
x
y e x R =
-∈
（Ｄ）()21x
y e x R =-∈
35.（四川卷9）函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =() （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132
（Ｄ）
213
38.（重庆卷6)函数12
10-=x
y
(0＜x ≤1)反函数是
(A)1)10
y x =＞
(B)y =x ＞
110
)
(C) y =110
＜x ≤)1
(D) y =110
＜x ≤)1
39.（重庆卷7)函数f (x
)=1x +的最大值为
(A)
25
(B)12
(C)
2
(D)1
二．填空题：
1.（安徽卷13）
函数2()log (1)
f x x =
-的定义域为 ．
2.（北京卷13）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中
A B C
，，的坐标分别为
(04)(
2，，，，，，则
((0f f
= ；函数()f x 在1x =处的导数
(1)f '= ．
3.（北京卷14）已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条
件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．②
7.（江苏卷14）()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ． 8.（辽宁卷13）函数21()x y e x +=-<<+∞∞的反函数是 ．
9.（山东卷15）已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++ 的值等于 ．
10.（上海卷4）若函数f (x )的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ． 11.（上海卷9）若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．
13.（浙江卷11）已知函数2()|2|f x x x =+-，则(1)f =__________。
三． 解答题：
1.（全国一21）．已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()f x 在区间2
13
3⎛
⎫
-- ⎪⎝
⎭
，内是减函数，求a 的取值范围．
2.（全国二21）．（本小题满分12分） 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．
（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．。