江西省2020届高三上学期第二次大联考数学(理)试题 扫描版含答案
江西省重点中学协作体2020届高三第二次联考数学试题(理科)
江西省重点中学协作体2020届高三年级第二次联考数学试卷（理科）2020.6满分： 150分 时间： 120 分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}0,,2a a A =，{}2,1=B ，若{}1=B A ,则实数a 的值为（ ） A ．1± B ．0 C ． 1 D ． -1 2．设复数iiz 213+-=，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i 57-B ．i 57C ．57-D ．57 3．已知7log 6log 3232.0===-c b a ，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． b ＜a ＜c B ． a ＜c ＜b C ． a ＜b ＜c D ． b ＜c ＜a4．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，3B ．0，4C ．2，3D ．2，45．在△ABC 中， D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3=+，则△ABP 与△ABC 面积之比为（ ） A ．41 B ．31 C ．32 D ．61 6．某几何体的三视图如图所示（网格中的每个网格小正方形的边长为单位1）， 则该几何体的体积为（ ） A ．316 B ．6 C ．320 D ．322 7．已知数列{}n a 满足)(13,111++∈+==N n a a a a n nn ，则数列{}1+n n a a 的前10项和=10S （ ）A ．289 B ．2827 C ．3110 D ．3130 8．已知平面四边形ABCD 是菱形，3π=∠BAD ，32=AB ，将△ABD 沿对角线BD 翻折至BD A '∆的位置，且二面角C BD A --'的平面角为32π，则三棱锥BCD A -'的外接球的表面积为（ ） A ．π16 B ．π24 C ．π28 D ．π329．已知直线l 与双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线分别交于),(),,(2211y x B y x A 两点，且021>x x ，若4-=⋅OB OA ，且△AOB 的面积为32，则E 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．510．已知函数x x f cos )(=，函数g （x ）的图象可以由函数f （x ）的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的)0(1>ωω倍得到，若函数g （x ）在)23,2(ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．]94,0(B ．]98,94[C ．]98,94(D ．]98,0(11．已知函数11)1sin()(----=x x ex ex f ，若1)(2020)2021()2018()2019(22++=++-+-b a f f f ,R b a ∈，．则22+-b a 的最大值为( )A ．222+B ．22+C ．122+D ．222-12．已知函数13)(ln 2)(---=xm ex m x x x f ，当e x ≥时， f （x ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围为A ．]4,(e -∞B ．]3,(e -∞C ．]2,(e -∞D ．]23,(e -∞ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13=26，则3a 9－2a 10= ．14．已知实数x ，y 满足条件20220230x y x y x y +->⎧⎪--<⎨⎪+-<⎩，则22x y z xy +=的取值范围为 ．15．已知1182)n x dx π-=⎰，则(1nx 的展开式中的常数项为 ． 16．在平面四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠C=75°，，则AB 的取值范围是 ． 二、解答题：（本大题共6小题，共70分，17-21题每题12分，选做题10分。
2020届江西省高三上学期第二次大联考数学(理)试题
2020届江西省高三上学期第二次大联考数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}2|2150A x x x =+-≤，{}|21,B x x n n N ==-∈，则AB =（ ）A ．{}1,1,3-B ．{}1,1-C ．{}5,3,1,1,3---D ．{}3,1,1-- 2．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ）A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -3．已知函数()()21log ,04,0x f x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则()2f -=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24．若1a =，2b =，则a b +的取值范围是（ ）A ．[]1,9B ．()1,9C ．[]1,3D ．()1,35．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777D ．50100200,,777 6．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则(π)f =（ ）A ．13B ．13- C ．3 D ．3- 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4π3C ．3D ．3 8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<9．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“cos B <”的充要条件；③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ）A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(0,2]11．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A． B ．84π C ．252π D ．126π12．已知函数()e ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件32020440x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.14．若函数22()21x ax f x x =++为奇函数，则a =_______. 15．记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则57a b =______. 16．已知函数()()()224f x x x ax b =-++的图象关于1x =对称，记函数()f x 的所有极值点之和与积分别为m ，n ，则()f m n +=______.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求C 的取值范围；（2）若cos C =，求c a 的值. 18．已知首项为4的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG .（2）求二面角A BF D --的正弦值．20．已知函数()1sin cos 2f x b x a x ⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()223g x x x m =-+-，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.21．已知函数()e 2x f x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．22．已知函数()252ln f x x x x =-+.（1）求()f x 的极值；（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：313x x -<.参考答案1．A【解析】【分析】化简集合A ，按照交集定义，即可求解.【详解】因为{}5|3A x x =-≤≤，{}|21,B x x n n N ==-∈，所以{}1,1,3A B ⋂=-.故选;A.【点睛】本题考查集合的运算，要注意集合元素表示的意义，属于基础题.2．B【解析】【分析】由题意得,13i 23i z =+,求解即可. 【详解】因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 3932i 23i (23i)(23i)49z -+====+++-+. 故选:B .【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.3．A【解析】【分析】根据解析式特征，将自变量2-转化为2，即可得出结论.【详解】由题意可得()()2122log 12f f ⎛⎫-===-⎪⎝⎭. 故选:A.本题考查分段函数求函数值，理解解析式是解题的关键，属于基础题.4．C【解析】【分析】设向量a ，b 的夹角为θ，由向量数量积运算律将2a b +表示为cos θ关系式，利用cos θ有界性，即可求解. 【详解】设向量a ，b 的夹角为θ，因为1a =，2b =， ()[]222254cos 1,9a b a a b b θ+=+⋅+=+∈，则()[]21,3a b a b +=+∈. 故选:C.【点睛】 本题考查向量模长取值范围，考查向量的数量积运算，属于基础题.5．D【解析】【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D .【点睛】 本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 6．B【分析】结合图象,可求出,T ω的值,由π123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,可求得sin A ϕ的值,再由(π)sin f A ϕ=可求出答案.【详解】 由图象知，5π3ππ4884T =-=，即2ππT ω==，则2ω=±，从而()sin(2)f x A x ϕ=±+. 因为πsin(π)2f A ϕ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭13=,所以1sin 3A ϕ=-,则1(π)sin(2π)sin 3f A A ϕϕ=±+==-. 故选:B .【点睛】本题考查三角函数求值,考查三角函数的图象性质的应用,考查学生的推理能力与运算求解能力,属于中档题.7．D【解析】【分析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积1114π23V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积21442V =⨯⨯=故该几何体的体积123V V V =+=+. 故选:D .【点睛】 本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.8．A【解析】【分析】 利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出1.180.3log 0.2log 42、、的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知()f x 在(],0-∞上是增函数，在0,上是减函数. 因为0.30.30.3100102log log 4log 193-=<<=-，3881log 0.125log 0.2log 10-=<<=，1.122>， 所以 1.180.3log 0.2log 42<<，故c b a <<. 故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.9．C【解析】【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos 2B <,即充分性成立;必要性:ABC 中,0180B ︒︒<<,若cos B <结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.11．C 【解析】 【分析】先确定球心位置，球心为过ABE ∆的中心1O 且垂直于平面ABE 的直线，与过矩形BCDE 的中心2O 且垂直于平面BCDE 的直线的交点，由已知通过解直角三角形，求出外接球的半径，即可求解. 【详解】设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ， 过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ， 过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ， 则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O ， 即几何体ABCDE 外接球的球心..取BE 的中点F ， 连接1O F ，2O F ，由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒.连接OF ，因为12OFO OFO ∆≅∆，从而1OO =.连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径.又16O A =，则22211273663OA OO O A =+=+=，故所得几何体外接球的表面积等于252π. 故选:C.【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，应用球的几何性质确定球心是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)x g x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可.【详解】由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >, 因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.设()e (0)xg x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增,因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln xm x>. 设ln ()(0)x h x x x =>,则21ln ()(0)xh x x x '-=>. 令()0h x '=,解得e x =,易得()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减, 从而max 1()(e)e h x h ==，故1em >. 故选:A. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 13．3 【解析】 【分析】作出可行域,可得当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,z 取得最大值,求解即可. 【详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立32020x y x y --=⎧⎨+-=⎩,可求得点()1,1A ,当直线2z x y =+经过点(1,1)A 时,max 1213z =+⨯=. 故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题. 14．-2 【解析】 【分析】由()f x 是定义在R 上的奇函数,可知对任意的x ,()()f x f x -=-都成立,代入函数式可求得a 的值. 【详解】由题意,()f x 的定义域为R ,222()12121x x ax a f x x x ⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭, ()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-,即对任意的x ,()22112121x x a a x x -⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭都成立,故112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭,整理得20a +=,解得2a =-. 故答案为:2-. 【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题. 15．85【解析】 【分析】根据题意设()35n S kn n =+，()7n T kn n =+，利用等差数列的性质(若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+)可得959S a =，13713Tb =，从而求得比值. 【详解】因为357n n S n T n +=+，所以可设()35n S kn n =+，()7n T kn n =+， 912959S a a a a =+++=，95329S a k ∴==， 131213713S b b b a =+++=，1372013T b k ∴==，故5785a b =.故答案为：85【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 16．15- 【解析】 【分析】根据()f x 图象关于1x =对称必要条件，有()()()()0224f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，求出,a b ，并验证函数关于1x =对称，求出()f x '，进而求出极值点，即可得出结论.【详解】因为()f x 的图象关于1x =对称，所以()()()()0224f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 即()()()0401641640b a b ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得40a b =-⎧⎨=⎩，所以()()()2244f x x xx =--，此时()222[(2)4)[])4(2)(2f x x x x -----=-22(4)(4)(),()x x x f x f x =--=∴关于直线1x =对称，()2232'2(4)(4)(24)412816f x x x x x x x x x =-+--=--+()()32224[()2(2)]4124x x x x x x x =--+-=---.令()'0f x =，得1x =或2240x x --=， 从而123m =+=，()144n =⨯-=-， 故()()13515f m n f +=-=-⨯=-. 故答案为:15-. 【点睛】本题考查函数的对称性求参数，要注意必要条件应用，减少计算量，但要验证，考查函数的极值，以及根与系数的关系的运用，属于中档题.17．（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）3【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件等式中的角化为边，再由余弦定理和基本不等式，求出cos C 的范围，即可得出结论；（2）根据所求为,c a 比值，利用（1）中边的关系，将b 用,a c 表示，由已知结合余弦定理，得到,a c 齐次关系式，即可求解. 【详解】（1）因为()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-，所以()()22a b c a b c c ab -+--=-，整理得2222a b c +=，即2221122c a b =+. 由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=，则2211122cos 222a bab C ab ab +=≥=， 因为0C π<<，所以C 的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由（1）可得2222b c a =-，即b =，则2222cos 23a b c C ab +-===，整理得4224384c a c a =-，即()()22223220c a ca --=，则c a =c a=因为22220b c a =->，所以2212c a >，则c a. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意基本不等式在解题的运用，属于中档题.18．（1）见解析；（2）()()21log 12n n n S n +=++【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，将已知递推公式整理为2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的结构形式，即可得证； （2）由（1）求出数列{}n a 的通项公式，进而求出{}n b 的通项公式，并根据其通项特征，即可求出前n 项和.【详解】（1）证明：因为11221n n n na a n +++=+，所以()11122n n n n a na +++=+，所以()111122n n n nn a na -++=+，所以()111122n nn nn a na +++-=.因为14a =，所以122a =. 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列. （2）解：由（1）可知12n n na n =+，则12nn n a n+=⋅. 因为2log n n b a =，所以2222111log 2log log 2log n n n n n n b n n n n +++⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭， 则123n nS b b b b =+++⋅⋅⋅+()2222341log 21log 2log 3log 23n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222341log 2log log log 12323n n n +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()21log 12n n n +=++.【点睛】本题考查用定义证明等差数列，以及求数列的前n 项和，合理利用辅助数列是解题的关键，属于中档题.19．（1）见解析；（2）sin 35θ= 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ABCE 是菱形,进而可知AC BE ⊥,然后可得到AC ⊥平面BEFG ,即可证明平面ACF ⊥平面BEFG ;（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,分别求出平面ABF 和DBF的法向量,m n ,然后由cos ,||||m nm n m n ⋅〈〉=,可求出二面角A BF D --的余弦值,进而可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =, 因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形, 因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG .因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知AC ,BE ,OP 两两垂直,故以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ===,所以四边形ABCE 是菱形，且60BAD ︒∠=,所以(0,(1,0,0),(1,0,0),((1,0,2)A B E DF ---,则(1,3,0),(2,0,2),(3,AB BF BD ==-=-,设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =,则11110220m AB x m BF x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨取11y =-,则(3,m =-,设平面DBF 的法向量为()222,,n x y z =,则222230220n BD x n BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨取21x =,则(1,3,1)n =,故cos ,35||||7m n m n m n ⋅〈〉===⨯.记二面角A BF D --的大小为θ,故sin 35θ==.【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题. 20．（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）[]1,3- 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入()f x ，用待定系数法求出参数,a b ，再由辅助角公式求出()f x ； （2）求出()f x 在[]0,π的值域，所求的问题等价为()f x 在[]0,π的值域，是()g x 在[]2,m -值域的子集，根据二次函数图像和性质求出()g x 在[]2,m -的最值，即可求解. 【详解】（1）因为()01f =-，13f π⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以()1012111322f a f b a π⎧==-⎪⎪⎨⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1a =，2b =.()13sin cos 2222f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[]1,2f x ∈-. ()g x 的图象的对称轴是1x =.①当21m -<<时，()()2min 3g x g m m m ==--，()()max 25g x g m =-=+，则2213152m m m m -<<⎧⎪--≤-⎨⎪+≥⎩，解得11m -≤<，符合题意； ②当14m ≤≤时，()()min 14g x g m ==-，()()max 25g x g m =-=+，则144152m m m ≤≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得13m ≤≤，符合题意； ③当4m >时，()()min 14g x g m ==-，()()2max 3g x g m m m ==--， 则244132m m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪--≥⎩，不等式组无解. 综上，m 的取值范围是[]1,3-. 【点睛】本题考查三角恒等变换化简函数式，考查正弦函数的性质，解题的关键是“任意”“存在”的等式关系等价转化为函数值域关系，属于中档题.21．（1）y x =-；（2）[2,)+∞ 【解析】 【分析】（1）1m =,对函数()y f x =求导,分别求出(0)f 和(0)f ',即可求出()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;（2）对()f x 求导,分2m ≥、02m <<和0m ≤三种情况讨论()f x 的单调性,再结合()0f x >在(0,)+∞上恒成立,可求得m 的取值范围.【详解】（1）因为1m =,所以()e 21x f x x =--,所以()e 2xf x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2xf x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增, 从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ②当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2xf x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意.综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题. 22．（1）极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；()f x 的极小值为()262ln 2f =-+；（2）见解析【解析】 【分析】（1）求导求出()f x '，求出单调区间，进而求出极值；（2）由（1）1231022x x x <<<<<，结合极值点考虑111,22x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭与2x 的大小关系，()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，只需比较1(1)f x -与2()f x 大小关系，而21()()f x f x =，转化为比较1(1)f x -与1()f x 比较大小，构造函数()()()11,0,2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，1()02F =，通过求导求出1(),(0,)2F x x ∈的单调性，即可得出12,x x 的不等量关系，同理构造函数()()(),1,224x G x f x f x ⎪=∈-⎛⎫⎝⎭-，得出23,x x 的不等量关系，即可证明结论.【详解】 （1）解：因为()252ln f x x x x =-+，所以()()()()2122'250x x f x x x x x--=-+=>， 所以当()10,2,2x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >； 当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0f x <， 则()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 故()f x 的极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； ()f x 的极小值为()262ln 2f =-+.（2）证明：由（1）知1231022x x x <<<<<. 设函数()()()1F x f x f x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()'''1F x f x f x =+-()()()()()()221221122111x x x x x x x x x ---+-=+=--，则()'0F x >在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()102F x F ⎛⎫<=⎪⎝⎭，即()()1f x f x <-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立. 因为110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()2111f x f x f x =<-. 因为211,1,22x x ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，且()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以211x x >-，即121x x +>.① 设函数()()()4G x f x f x =--，1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()()()'''4G x f x f x =+-()()()()()()22122722244x x x x x x x x x -----=+=--，则()'0G x >在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即()G x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故()()20G x G <=，即()()4f x f x <-在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立. 因为21,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()()()3224f x f x f x =<-. 因为3x ，()242,x -∈+∞，且()f x 在()2,+∞上单调递增， 所以324x x <-，即234x x +<.② 结合①②，可得313x x -<. 【点睛】本题考查导数是综合应用，涉及到单调性、极值、最值、证明不等式，构造函数是解题的关键点和难点，属于较难题.。
江西省红色七校2020届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含解析
江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）试题（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、永新中学、瑞金一中、遂川中学） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ） A. 0 B. 12 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的定义求得结果. 【详解】()221112z i =-+=-+=本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =，则()UA B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,0,1,2}-C. {|2}x x <D.{|12}x x -<【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果. 【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U A C B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题. 3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，sin 0α≠ B. α∀∈R ，sin 0α≠ C. α∀∈R ，sin 0α< D. α∀∈R ，sin 0α>【答案】B【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠ 本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题. 4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ） A. sin y x = B. y x =C. 3y x =-D. )lny x =【答案】D 【解析】 【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误； 3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)lny x =为奇函数；当0x ≥x 单调递增，由复合函数单调性可知)lny x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S S =2，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. -1 B. 1C. ±1D. 2【答案】C 【解析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果. 【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意 当1q ≠时，由42S S =2得：()()421112111a q a q qq--=--，即212q+=，解得：1q =-综上所述：1q =± 本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误.6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D 【解析】 【分析】记椭圆的另一个焦点为1F ,则1QF PF =,由1+2PF PF a =,PQ 2b ≥,即可求出PQF ∆周长的最小值．【详解】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F ,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因220a b ->,2cos 0θ≥,所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+=故选：D【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题,熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键,属于基础题．7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ） A. 18种 B. 9种C. 6种D. 3种【答案】A 【解析】 【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．【详解】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有111332118C C C ⋅⋅⋅=种． 故答案选A ．【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（ ）A. ()1.5,0.10B. ()2.5,0.25C. ()2.5,250D. ()3,300【答案】C 【解析】 【分析】写出四个区间中点的横纵坐标，从而可求出 2.5x =，250y =，进而可选出正确答案.【详解】解：由频率分布直方图可知， 第一个区间中点坐标，111.0,0.101000100x y ==⨯=，第二个区间中点坐标，222.0,0.211000210x y ==⨯=， 第三个区间中点坐标，333.0,0.301000300x y ==⨯=， 第四个区间中点坐标，444.0,0.391000390x y ==⨯=， 则()12341 2.54x x x x x =+++=，()123412504y y y y y =+++=， 则一定在其线性回归直线上点为(),x y ()2.5,250=.故选:C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了线性回归直线方程的性质.本题的关键是利用线性回归直线方程的性质，即点(),x y 一定在方程上.9.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（ ）A. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C. 对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D. 对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，可以通过特殊点即端点来判断即可. 【详解】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤， 即动点M 在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，所以任意点M ，由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ， 当点N 与C 重合时，截面E 为三角形，因此A 选项正确； 当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，当点N 不与端点C 、D 重合时，截面E 为等腰梯形， 所以,B C 选项错误；只有当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，所以D 选项错误； 故选：A【点睛】本题考查了用不同的平面去截正方体所得到的截面，考查了学生的空间想象能力，属于一般题.10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. b a c << D. c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】 由4lg 27log 3lg 64a ==，8lg 25log 5lg 64c ==比较a 、c 的大小，利用中间量12比较b 、c ，从而得解． 【详解】27464lg 27log 3log lg 64a ===，25864lg 25log 5log lg 64c ===， ∴ 3548log log > ，即a c > ，2<，5>，∴581log 2c =>=251log 2b =<= ， ∴5285log log >，即c b > ，∴352485log log log >> ，即a c b >>．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较，有一定难度．11.已知F 是双曲线22:22-1x y E a b= (0,0)a b >>左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（ ）A. C. - D. 【答案】D【解析】 【分析】联立直线和渐近线方程求得,A B 纵坐标，根据2B A y y =可得,a b 之间的关系，从而可用a 表示出,A B 坐标，利用中点坐标公式得到C ，从而求得斜率. 【详解】由题意知，双曲线渐近线为：b y x a=±设直线方程为：)y x c =+由)y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：A c y a b=；同理可得：Bc y a b = A 是FB 中点 2B A y y ∴=b ⇒=2c a ⇒=A y ∴=，B y = 12A x a ⇒=-，B x a =24A B C x x ax +∴==，2A B C y y y +==COC Cy k x ∴== 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出,,a b c 之间的关系.12.函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (0,2]D. (0,2)【答案】A 【解析】 【分析】函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由()10ϕ=，()10g =，可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，()g x 的单调，根据单调性得到()x ϕ与()g x 的大致图象，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，即可解得实数a 的取值范围．【详解】解：函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于：函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，11()x x g x e e --∴'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数，又()sin x a x ϕπ= (0)a >是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图象如图：∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，()1cos a a ϕπππ'==-， ()111112g e e --'=--=-，2a π∴--，解得2aπ，又0a >，∴实数a 的范围为20,π⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ．【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为____． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出cos A 的形式，进而求得结果. 【详解】由正弦定理得：222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=则2221cos 22b c a A bc +-== ()0,A π∈ 3A π∴=本题正确结果：3π【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】 【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递增，将不等式(21)(2)f x f x ->-转化为212x x ->- ，即可解得(21)(2)f x f x ->-的解集． 【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =____.【答案】21n - 【解析】 【分析】利用11n n n a S S ++=-得到递推关系式，整理可知12n n a a +-=，符合等差数列定义，利用()21141S a =+求出1a 后，根据等差数列通项公式求得结果.【详解】由题意得：()21141n n S a ++=+ 则()()2211144411n n n n n S S a a a +++-==+-+ 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+{}n a 各项均为正数，即10n n a a ++≠ 12n n a a +∴-=由()21141S a =+得：11a =∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列()11221n a n n ∴=+-⨯=-本题正确结果：21n -【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用11n n n a S S ++=-证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.【答案】231,⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，其中AB 与y 轴垂直，故C 的坐标可以用,λμ表示为3(),22μλλμ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，由C 在单位圆上可得λμ+的取值范围． 【详解】如图以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32所以点13,22A ⎛- ⎝⎭ ，点13,22B ⎛ ⎝⎭， 故132OA ⎛=- ⎝⎭，132OB ⎛= ⎝⎭，即32OA λλλ⎛=- ⎝⎭，32OB μμμ⎛= ⎝⎭，所以 3()2OC OA OB μλλμλμ⎛-+=+= ⎝⎭， 又 C 是劣弧AB （包含端点）上一动点, 设点C 坐标为(,)x y ，故11221x y ⎧-≤≤⎪⎪≤≤ ，因为(,)2OC OA OB x y μλλμ⎛-=+== ⎝⎭，1≤≤，解得：13λμ≤+≤， 故λμ+的取值范围为1,3⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查向量的线性运算中的最值问题，可根据图形的的特点建立合适的平面直角坐标系，把向量的最值问题转化为函数的最值问题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数21()cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+ 12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯=【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.附：()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-+≈，(22)0.9544P X μσμσ-+≈，(33)0.9974P X μσμσ-+≈.【答案】（Ⅰ）0.0013 （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率，化为(3,3)μσμσ-+的形式，然后求解即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的． 【详解】解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知(,)XN 25005．由于=-⨯48550035，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知()(()..P X P X <=--⨯≤≤+⨯≈⨯=1148515003550035000260001322.(Ⅱ)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为....-⨯==⨯6000130001300000016916910，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.【点睛】本题主要考查了正态分布中3σ 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题． 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EB AB 的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；25【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点M ,连接CM MD ，，证明DE CMD ⊥ ，即可说明1DE AB ⊥，由底面为正方形，可求得EBAB =1114; （Ⅱ）以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面11AB C 的法向量为n ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC BC =，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱111ABC A B C =为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面， 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CDMD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1， 所以1DE AB ⊥,连接1A B ,设11A B AB O ⋂=，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以1//DE A B , 又因为D 为1BB 的中点， 所以E 为1OB 的中点,所以EB AB =1114. （Ⅱ）如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45， 所以AB a =122， 所以DM CM a ==2,所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a a D a a E a a ---111300*********, 所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022， 设平面11AB C 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20x y x z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 则n 的一组解为(2,2,1)n =-．所以cos ,DE DE DE →⋅===⨯225252n n n所以直线DE 与平面11AB C . 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20.已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2p = (Ⅱ) 最小值4. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到124x x =-，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m ；联立两切线方程，可用k 表示出M ，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值. 【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为：2p y =- 焦点到准线的距离为2，即2p =. (Ⅱ)抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x x l y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =即:1l y kx =+联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l的距离d ==()241AB k ==+所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值. 21.已知1x =是函数2()ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07160f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，4516e 7<，其中e 为自然对数的底数） 【答案】(Ⅰ) 14a = (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据'(1)0f =，求得实数a 的值，通过导数验证函数单调，可知时14a =极值点为1x =，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数()f x 的极小点值位于(2,)+∞ ，此时()g x 的零点位于,x ∈（）0742，且此0x 为()f x 的极小点值点，代入()g x ，()f x 中，化简即可得到()f x 关于0x 的二次函数，求解二次函数在区间,（）742上的值域即可证明结论．【详解】解：(Ⅰ)因为'()ln f x ax x =--122，且1x = 是极值点，所以'()f a =-=11202，所以14a = . 此时'()ln x f x x =--122 ，设()'()g x f x = ，则'()x g x x x-=-=11222 .则当02x << 时，'()()g x g x <，0 为减函数. 又(1)()ln g g ==-<，102202， 所以在01x <<时，()0>g x ，()f x 为增函数；12x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（Ⅱ）当2x > 时，'()0g x >，()g x 为增函数，且()ln g =->342202，(2)0g < 所以存在(),x x ∈=（）,00240g 当02x x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数；0x x > 时，()0>g x ，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又()ln g =-757242 ，已知e <54167 ，可得()ln e <⇒<54775422 ， 所以()g <702，所以x <<0742 ，且满足ln x x --=001022.所以()ln ()x x x f x x x x =+-=-+∈，2200000007042416.其中0()0f x >也可以用如下方式证明：()ln (ln )x x f x x x x x x =+-=+-2114242 ，设()ln x h x x =+-142 ， 则'()x h x x x -=-=11444.则当04x << 时，'()0h x < ，()h x 为减函数；当4x > 时，'()0h x >，()h x 为增函数. 所以()()ln h x h ≥=->342202所以在()0f x > ，所以0()0f x >【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题． 四、选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫< ⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= +34【解析】【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=，设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ， 所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆取得最大值为：+324【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.【选修4-5：不等式选讲】23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+++.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（Ⅱ）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (,1)-∞ (Ⅱ) 0a <或2a >【解析】【分析】(Ⅰ)根据x 的范围得到分段函数()f x 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到()f x 的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】(Ⅰ)1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，22x x ->，即0x < 1x ∴<-当11x -≤≤时，22x >，即1x < 11x ∴-≤<当1x >时，22x x >，无解综上，()2f x x >的解集为(),1-∞(Ⅱ)()11f x x x a a =+++≥-当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->0a ∴<或2a >【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.。
江西省重点中学协作体2020届高三年级第二次联考数学(理科)试卷文字版含答案
江西省重点中学协作体2020届高三年级第二次联考数学试卷（理科）2020.6满分： 150分 时间： 120 分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}0,,2a a A =，{}2,1=B ，若{}1=B A I ,则实数a 的值为（ ） A ．1± B ．0 C ． 1 D ． -12．设复数ii z 213+-=，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i 57- B ．i 57 C ．57- D ．57 3．已知7log 6log 3232.0===-c b a ，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ． b ＜a ＜cB ． a ＜c ＜bC ． a ＜b ＜cD ． b ＜c ＜a4．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，3B ．0，4C ．2，3D ．2，45．在△ABC 中， D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3=+，则△ABP 与△ABC 面积之比为（ ）A ．41B ．31C ．32D ．61 6．某几何体的三视图如图所示（网格中的每个网格小正方形的边长为单位1），则该几何体的体积为（ ）A ．316B ．6C ．320D ．322 7．已知数列{}n a 满足)(13,111++∈+==N n a a a a n n n ，则数列{}1+n n a a 的前10项和=10S （ ） A ．289 B ．2827 C ．3110 D ．3130 8．已知平面四边形ABCD 是菱形，3π=∠BAD ，32=AB ，将△ABD 沿对角线BD 翻折至BD A '∆的位置，且二面角C BD A --'的平面角为32π，则三棱锥BCD A -'的外接球的表面积为（ ） A ．π16 B ．π24 C ．π28 D ．π329．已知直线l 与双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于),(),,(2211y x B y x A 两点，且021>x x ，若4-=⋅OB OA ，且△AOB 的面积为32，则E 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．510．已知函数x x f cos )(=，函数g （x ）的图象可以由函数f （x ）的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的)0(1>ωω倍得到，若函数g （x ）在)23,2(ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．]94,0( B ．]98,94[ C ．]98,94( D ．]98,0( 11．已知函数11)1sin()(----=x x e x e x f ，若1)(2020)2021()2018()2019(22++=++-+-b a f f f Λ,R b a ∈，．则22+-b a 的最大值为( )A ．222+B ．22+C ．122+D ．222-12．已知函数13)(ln 2)(---=x m e x m x x x f ，当e x ≥时， f （x ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围为A ．]4,(e -∞B ．]3,(e -∞C ．]2,(e -∞D ．]23,(e -∞ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13=26，则3a 9－2a 10= ．14．已知实数x ，y 满足条件20220230x y x y x y +->⎧⎪--<⎨⎪+-<⎩，则22x y z xy +=的取值范围为 ． 15．已知1218(12)n x x dx π-=-⎰，则(1n x x的展开式中的常数项为 ． 16．在平面四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠C=75°，6，则AB 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题，共70分，17-21题每题12分，选做题10分。
江西省红色七校2020届高三第二次联考理科数学试题
绝密★启用前江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（）A.0B.1D.22.已知全集U R =，集合{}1,0,1,2,3A =-，{}|2B x x =≥，则()U A C B =（）A.{}1,0,1-B.{}1,0,1,2-C.{}|2x x <D.{}|12x x -≤<3.命题“R α∃∈，sin 0α=”的否定是（） A.R α∃∈，sin 0α≠ B.R α∀∈，sin 0α≠ C.R α∀∈，sin 0α<D.R α∀∈，sin 0α>4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（） A.sin y x = B.y x =C.3y x =-D.)y x =5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S S =，则数列{}n a 的公比q =（） A.-1B.1C.1±D.26.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PFQ △的周长的最小值为（） A.12B.14C.16D.187.把标号为1，2，3，4的四个小球放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（） A.18种B.9种C.6种D.3种8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（）A.()1.5,0.10B.()2.5,0.25C.()2.5,250D.()3,3009.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（）A.对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B.对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C.对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D.对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形 10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（） A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<11.已知F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 且倾斜角为30︒的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（） A.3-3 C.33- D.3312.函数()11sin x x f x ee a x π--+=-+（x R ∈，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（） A.20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦B.20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(]0,2D.()0,2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为______.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递增，则不等式()()212f x f x ->-的解集为______.15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =______.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为2，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若(),OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围为______.三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()21cos cos (0)2x x f x x ωωωω=-+>，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （1）求ω的值； （2）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()cos αβ-的值. 18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）. （1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 附：()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9544P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9974P X μσμσ-≤≤+≈.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（1）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EB AB 的值； （2）在（1）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45︒，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值.20.已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M . （1）求p 的值；（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 21.已知1x =是函数()2ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （1）求实数a 的值；（2）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07016f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，54167e <，其中e 为自然对数的底数） 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫≤<⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB △面积的最大值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()1f x x x a =+++.（1）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（2）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围. 江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）参考答案 一、选择题 1-5：CABDC 6-10：DACAB11-12：DA二、填空题13.3π14.()(),11,-∞-+∞15.21n -16.⎡⎢⎣⎦三、解答题17.（1）21()cos cos 2f x x x x ωωω=-+1cos 21sin 2222x x ωω+=-+1sin 2cos 2sin 2226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵21x x -的最小值为2π，∴22T π=，即22T ππω==，∴1ω=.（2）由（1）知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1555sin sin()sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5sin 13β=， 又∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4sin 5α=，12cos 13β=， ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+312455651351365=⨯+⨯=. 18.（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖量为g X ，由题意可知()2500,5X N .由于48550035=-⨯，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知1(485)(1(5003550035)2P X P X <=--⨯≤≤+⨯10.00260.00132≈⨯=.（2）检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为60.00130.00130.00000169 1.6910-⨯==⨯，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的. 19.证明：取AB 中点M ，连接CM ，MD ，有1//MD AB ， 因为AC BC =，所以CM AB ⊥， 又因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11ABB A ， 又因为平面ABC平面11ABB A AB =，所以CM ⊥平面11ABB A ，又因为DE ⊂平面11ABB A ，所以CM DE ⊥， 又因为DE CD ⊥，CD MD D =，CD ⊂平面CMD ，CM ⊂平面CMD ，所以DE ⊥平面CMD ，又因为MD ⊂平面CMD ，所以DE MD ⊥， 因为1//MD AB ，所以1DE AB ⊥， 连接1A B ，设11A BAB O =，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥，又因为DE ⊂平面11AA B B ，1A B ⊂平面11AA B B ，所以1//DE A B ， 又因为D 为1BB 的中点，所以E 为1OB 的中点，所以1114EB AB =.（2）如图以M 为坐标原点，分别以MA ，MO ，MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，由（1）可知45CDM ∠=︒所以122AB =，所以2DM CM ==，所以()1,0,0A ，()11,2,0B -，()10,2,2C ，()1,1,0D -，13,,022E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()12,2,0AB =-，()111,0,2B C =，11,,022DE ⎛⎫=⎪⎝⎭， 设平面11AB C 的法向量为(),,n x y z =，则11100AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y x z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，则n 的一组解为()2,2,1n =-.所以22525c 2os ,DE n DE n DE n=⋅⨯==， 所以直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值为25.20.（1）由题意知，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p y =-， 焦点到准线的距离为2，即2p =. （2）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以1'2y x =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x xy x x -=-，由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-， 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，所以2440x kx m --=， 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+，联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得21x k y =⎧⎨=-⎩，即()2,1M k -， M 点到直线l的距离d ==，()241A B k ==+，所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥，当0k =时，MAB △面积取得最小值4.21.（1）因为1'()2ln 2f x ax x =--，且1x =是极值点， 所以()1'1202f a =-=，所以14a =.此时()1'ln 22x f x x =--，设()()'g x f x =，则()1122'2x x x xg -=-=.则当02x <<时，()'0g x <，()g x 为减函数. 又()10g =，()12ln 202g =-<， 所以在01x <<时，()0g x >，()f x 为增函数；12x <<时，()0g x <，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（2）当2x >时，()'0g x >，()g x 为增函数，且()342ln 202g =->，()20g <， 所以存在()02,4x ∈，()00g x =；当02x x <<时，()0g x <，()f x 为减函数；0x x >时，()0g x >，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又757ln 242g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，已知54167e <，可得47754ln 22s e ⎛⎫<⇒< ⎪⎝⎭，所以702g ⎛⎫<⎪⎝⎭，所以0742x <<且满足001ln 022x x --=. 所以()2200000007ln 0,42416x x x f x x x x ⎛⎫=+-=-+∈ ⎪⎝⎭. 其中()00f x >也可以用如下方式证明：211()ln ln 4242x x f x x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，设1()ln 42x h x x =+-， 则114'()44x h x x x-=-=. 则当04x <<时，()'0h x <，()h x 为减函数； 当4x >时，()'0h x >，()h x 为增函数. 所以3()(4)2ln 202h x h ≥=->， 所以在()0f x >，所以()00f x >. 四、选做题22.（1）法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为2220x y x +-=. 设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ， 所以00x yy x =⎧⎨=⎩， 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. 法二：由题可知，y x =的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设曲线2C 上一点(),ρθ关于()4R πθρ=∈的对称点为()00,ρθ，所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（2）直线1l 的极坐标方程为θα=，直线2l 的极坐标方程为3πθα=+，设()11,A ρθ，()22,B ρθ， 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩，解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴121sin sin 233AOB S ππρραα⎛⎫=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭△1sin 22ααα⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭2223πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为02πα≤<，所以42333πππα≤+<， 当232ππα+=，即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S △34+. 23.（1）1a =-时，2,1()2,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩， 当1x <-时，22x x ->，即0x <，∴1x <-； 当11x -≤≤时，22x >，即1x <，∴11x -≤<； 当1x >时，22x x >，无解， 综上，()2f x x >的解集为(),1-∞. （2）()11f x x x a a =+++≥-，当1a -≤-，即1a ≥时，1a x -≤≤-时等号成立； 当1a ->-，即1a <时，1x a -≤≤-时等号成立， 所以()f x 的最小值为1a -， 即11a ->，∴0a <或2a >.。
江西省2020届高三上学期第二次大联考数学(理)试题
江西省2020届高三上学期第二次大联考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|2150A x x x =+-≤，{}|21,B x x n n N ==-∈，则A B =I （ ） A. {}1,1,3- B. {}1,1- C. {}5,3,1,1,3---D. {}3,1,1--2. 若复数z 满足()2313i z i +=，则z =（ ） A. 32i -+B. 32i +C. 32i --D. 32i -3. 已知函数()()21log ,04,0x x f x x f x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则()2f -=（ ）A. -1B. 0C. 1D. 24. 若1a =r ，2b =r ，则a b +r r的取值范围是（ ） A. []1,9 B. ()1,9C. []1,3D. ()1,35.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青.苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗.青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A.257，507，1007B. 2514，257，507C.1007，2007，4007 D. 507，1007，20076. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A. 13B. 13-D. 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. 43πD. 8. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数， 且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c b a << B. a b c << C. a c b <<D. c a b <<9. 给出下列三个命题：①“0x R ∃∈，200210x x -+≤”的否定；②在ABC ∆中，“30B >︒”是“cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中假命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A. 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,211. 在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ）A.B. 84πC. 252πD. 126π12. 已知函数()ln mx f x me x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C. [)1,+∞D. (),e -∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 若x ，y 满足约束条件32020440x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.14. 若函数()2221x a f x x x =++为奇函数，则a =______.15. 记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则57a b =______. 16. 已知函数()()()224x x a b f x x =-++的图象关于1x =对称，记函数()f x 的所有极值点之和与积分别为m ，n ，则()f m n +=______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求C 的取值范围； （2）若cos C =，求ca的值. 18. 已知首项为4的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .19. 如图，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，224AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值.20. 已知函数()1sin cos 2f x b x a x ⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()223g x x x m =-+-，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围. 21. 已知函数()2x f x me x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x >在()0,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 22. 已知函数()252ln f x x x x =-+. （1）求()f x 的极值；（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：313x x -<.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题 1-5：ABACD6-10：BDACB11-12：CA1. A 【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.因为{}|53A x x =-≤≤，{}|21,B x x n n N ==-∈，所以{}1,1,3A B =-I . 2. B 【解析】本题考查复数的运算，考查运算求解能力. 因为()2313i z i +=，所以()()()13231332232323i i i z i i i i -===+++-. 3. A 【解析】本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力.由题意可得()()2122log 12f f ⎛⎫-===- ⎪⎝⎭.4. C 【解析】本题考查平面向量，考查运算求解能力.设向量a r ，b r 的夹角为θ，因为1a =r ，2b =r ，所以[]2cos 2,2a b θ⋅=∈-r r，所以()[]2222521,9a ba ab b a b +=+⋅+=+⋅∈r r r r r r r r ，则[]1,3a b +=r r .5. D 【解析】本题考查数列与数学文化，考查运算求解能力.设羊户赔粮1a ，马户赔粮2a ，牛户赔粮3a ，则1a ，2a ，3a 成等比数列，且公比2q =，12350a a a ++=，则()21150a q q ++=，故1250501227a ==++，2110027a a ==，23120027a a ==. 6. B 【解析】本题考查三角函数，考查推理论证能力与运算求解能力. 由图象知，534884T πππ=-=，即T π=，则2ω=±，从而()()sin 2f x A x ϕ=±+.因为()1sin 23f A ππϕ⎛⎫=±+= ⎪⎝⎭，所以1sin 3A ϕ=-，()()1sin 2sin 3f A A ππϕϕ=±+==-.7. D 【解析】本题考查三视图，考查空间想象能力与运算求解能力.由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4，高为4的正三棱柱，则上半部分的半个圆锥的体积1114233V π=⨯⨯⨯=，下半部分的正三棱柱的体积21442V =⨯⨯=，故该几何体的体积123V V V =+=+8. A 【解析】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.由题意可知()f x 在(],0-∞上是增函数，在()0,+∞上是减函数.因为0.30.30.3100102log log 4log 193-=<<=-，3881log 0.125log 0.2log 10-=<<=，1.122>，所以 1.180.3log 0.2log 42<<，故c b a <<.9. C 【解析】本题考查命题，考查运算求解能力与推理论证能力.因为“0x R ∃∈，200210x x -+≤”是真命题，所以其否定是假命题，即①是假命题；在ABC ∆中，“30B >︒”是“cos B >的充要条件，即②是真命题；将函数2cos 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2cos 23y x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象，即③是假命题.10. B 【解析】本题考查三角函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.因为cos y x =在[],0π-上单调递增，所以cos y x ω=在,0πω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在2,33ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2,,3233ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得203ω<≤. 1l. C 【解析】本题考查简单几何体的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力. 设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ，则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O 即几何体ABCDE 外接球的球心.取BE 的中点F （图略），连接1O F ，2O F ，由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒.连接OF ，因为12OFO OFO ∆≅∆，从而1OO =连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径.又16O A =，则22211273663OA OO O A =+=+=，故所得几何体外接球的表面积等于252π.12. A 【解析】本题考查导数与函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力. 由题意可知0m >，则ln 0mx me x ->在(]0,1上恒成立.当1x >时，()0f x >等价于ln mx me x >，因为1x >，所以ln ln mx x mxe e x >.设()()0x g x xe x =>，显然()g x 在()0,+∞上单调递增，因为0mx >，ln 0x >，所以()()ln g mx g x >等价于ln mx x >，即。
2020届江西南昌四校联盟高三年级第二次联考理科数学试卷(含答案)
则 P 的值可以是
(参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305,sin3.75°≈0.0654)
A.2.6
B.3
C.3.1
7.函数
f
(x)
=
( 1
2 +e
x
−1) sin
x
图象的大致形状是
D.3.14
8.在明代珠算发明之前,我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一
18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB⊥
BC, AP = AB = BC = 1 AD ,E 为 AD 的中点,AC 与 BE 相交于点 O. 2
(1)证明:PO⊥平面 ABCD. (2)求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值.
19.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,点 M(-2,0),N 是曲线 x = 1 y2 + 2 上的任意一点,动点 C 满足 4
2 |,
且直线 PF 2 与以 C 的实轴为直径的圆相切,则 C 的渐近线方程为
A. y = ± 4 x 3
B. y = ± 3 x 4
C. y = ± 3 x 5
11.已知函数 f(x)=|cosx+cos|2x|,有下列四个结论:
D. y = ± 5 x 3
①若 x∈[-π,π],则 f(x)有 2 个零点,
A.[2,3]
B.(1,3]
C.[-1,3]
D.(1,+∞)
2.设复数 z=a+bi(a,b∈R),定义 z = b + ai ,若 z = i ,则复数 z= 1+i 2−i
2020届江西南昌四校联盟高三年级第二次联考理科数学试卷(word版含答案)
2020届四校联盟高三年级第二次联考试卷数学试卷（理科）考试时间：120分钟|总分：150分2020.3.29一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合2{|230}A x x x =--…,{}|21x B y y ==+,则A ⌒B= A.[2,3]B.(1,3]C.[-1,3]D.(1,+∞)2.设复数z=a+bi(a,b ∈R),定义z b ai =+,若12i iz i =+-,则复数z= A.1355i + B.1355i -C.3155-+D.3155i --3.已知函数f(x)=3x-2cosx,若a f =b=f(2),c=f(log 27),则a,b,c 的大小关系是 A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a4.已知α,β是两个不重合的平面,直线AA 1∩α=A,AA 1∩β=A 1,直线BB 1∩α=B,BB 1∩β=B 1,AA 1∥BB 1,p:α∥β,q:AA 1=BB 1,则P 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2x-1)(2-2x)5的展开式中8x的项的系数为A.120B.80C.60D.406.三世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割术,就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路,刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,若输出的n=24,则P 的值可以是(参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305,sin3.75°≈0.0654)A.2.6B.3C.3.1D.3.147.函数2()(1)sin1xf x xe=-+图象的大致形状是8.在明代珠算发明之前,我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍,如图,是利用算筹表示数1～9的一种方法,例如:47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为A.1114B.314C.7384D.679.已知正三角形ABC 的边长为平面ABC 内的动点P,M 满足||1AP =u u u r，PM MC =u u u u r u u u u r ，则2||BP BM BC ++u u u r u u u u r u u u r 的最大值是A.4414B.494C.10.已知P 为双曲线2222:1(0,)x y C a b a b-=>0)上一点,F 1,F 2为双曲线C 的左、右焦点,若|PF 1|=|F 1F2|,且直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切,则C 的渐近线方程为A.43y x =±B.34y x =±C.35y x =±D.53y x =±11.已知函数f(x)=|cosx+cos|2x|,有下列四个结论:①若x ∈[-π,π],则f(x)有2个零点,②f(x)最小值为③f(x)在区间(0,)4π单调递减④π是f(x)的一个周期 则上述结论中错误的个数为 A.0 B.1C.2D.312.已知函数f(x)=alnx+2x,若不等式f(x+1)<ax+2e x在(1,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围为 A.[-2,+∞) B.[-4,+∞) C.(-4,+∞) D.(–∞,-2)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分) 13.若121(sin )1,ax b x dx -+=⎰则cos()6a ππ-=_____. 14.函数f(x)=x(x-S 1)(x-S 2)…(x -S 8),其中S n 为数列{a n }的前n 项和,若1(1)n a n n =+,则f'(0)=____15.已知A,B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面,AB ⊥BC,AB=2,BC=4,若球O 的体积为,则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为____.16.在平面直角坐标系中,已知双曲线C:x 2-y 2=1的渐近线为l 1,l 2,G 1(a 1,b 1)是双曲线上一点,过G 1作双曲线的切线G 1H 1与直线l 1交于H 1,过H 1作G 2H 1∥l 2与双曲线交于G 2(a 2,b 2),…,以此类推,过G n (a n ,b n )作双曲线的切线GnH n 与直线l 1交于H n ,过H n 作G 1n +H n ∥l 2与双曲线交于()n 111,n n G a b +++,若a 1=-1,则数列{a n }的前n 项和是______三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(本小题满分12分)在ΔABC 中,4B π=,角A 的平分线AD 交BC 于点D,设5,sin ,5BAD αα∠==(1)求sinC ﹔(2)若28BA BC ⋅=u u u r u u u r,求AC 的长18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AP ⊥平面PCD,AD ∥BC,AB ⊥BC,12AP AB BC AD ===,E 为AD 的中点,AC 与BE 相交于点O. (1)证明:PO ⊥平面ABCD.(2)求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,点M(-2,0),N 是曲线2124x y =+上的任意一点,动点C 满足0MC NC +=u u u u r u u u r r .(1)求点C 的轨迹方程;(2)经过点P(1,0)的动直线l 与点C 的轨迹方程交于A,B 两点,在x 轴上是否存在定点D(异于点P),使得∠ADP=∠BDP ﹖若存在,求出D 的坐标;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别为123,,p p p ,若123,,p p p 互不相等,假定各人能否完成任务的事件相互独立.(1)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?(2)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ,其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列,求所需派出人员数目X 的分布列和均值EX(数学期望);(3)假定1>p 1>p 2>P 3,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小.21.(本小题满分12分)已知函数2()4x xf x e =-,其中e 为自然对数的底数. (1)设函数g(x)=(x+1)f'(x),判断g(x)在(-1,+∞)上的单调性;(2)若函数F(x)=ln(x+1)-af(x)+4在定义域内无零点,试确定正数a 的取值范围.(二)选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中,直线l 1的倾斜角为30°,且经过点A(2,1).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 2︰pcosθ=3,从原点O 作射线交l 2于点M,点N 为射线OM 上的点,满足|OM|·|ON|=12,记点N 的轨迹为曲线C.(1)求出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)设直线l1与曲线C交于P,Q两点,求|AP|·|AQ|的值.23.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]已知a>0,b>0,c>0设函数f(x)=|x-b|+|x+c|+a(x∈R) (1)若a=b=c=1,求不等式f(x)<5的解集;(2)若函数f(x)的最小值为1,证明149:18()a b c a b b c c a++++ +++….。