2 华东师范大学第二附属中学(创新班和理科班用)数学(高中上册)-4

合集下载

上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一上学
期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
二、单选题
a b c d∈，则正确的是（）
13．如果,,,R
三、解答题
17．已知不等式220x ax a -+>对任意实数x 恒成立．(1)求a 的取值范围；(2)求不等式2
3
21x
x a a -<<的解集．
18．已知命题[]2
:1,2,20p x x x m ∃∈--->是假命题．
(1)求实数m 的取值集合B ；
(2)设不等式(2)[(1)]0x a x a --+≤的解集为A ，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
19．
为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm ．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm ，设cm EF x =．
x=时，求海报纸的面积；
(1)当100cm
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形小）？
=
20．已知两条水平直线1l：y m
的图象从左至右相交于点A、B，直线
D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为
(1)记点A、B、C、D的横坐标分别为。

2024-2025学年华东师大二附中高二数学上学期开学考试卷附答案解析

2024-2025学年华东师大二附中高二数学上学期开学考试卷（考试时间：120分钟卷面满分：150分）2024.08一、填空题（本大题共有12题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分54分），考生需在答题纸的相应位置填写结果．1．直线l 上存在两点在平面α上，则l α（填一符号）．2．函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率是．3．已知{}n a 是等差数列，若75230a a --=，则9a 的值是．4．两条异面直线所成角的取值范围是5．已知复数i z a =-的实部与虚部相等，则i z -=．6．函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是．7．三个互不重合的平面能把空间分成．8．数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2024a =．9．在ABC V 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是．10．如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m .已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱5min 时他距离地面的高度为m .11．已知ABC V 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点，设,(0,0)==>>AM xAB AN y AC x y ，则4x y +的最小值为.12．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是.二、选择题（本大理共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分，每题有且仅有一个正确选项），考生需在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑．13．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，而积为S ，周长为L ，则下列说法不正确的是（）A ．若α，r 确定，则,L S 唯一确定B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定C ．若,S L 确定，则,r α唯一确定D ．若,S l 确定，则,r α唯一确定14．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15．数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b ⋅=，232n a n n =++，则{}n b 的前10项之和等于（）A ．13B ．512C ．12D ．71216．如图所示，角π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点P ，()1,0A ，PM x ⊥轴，AQ x ⊥轴，M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值分别等于线段,MP AQ 的长，且OAP OAQ OAP S S S << 扇形，则下列结论不正确的是（）A ．函数tan sin y x x x =++在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点B ．函数tan y x x =-在πππ3π,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C ．函数sin y x x =-有3个零点D ．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点三、解答题（本大题共5题，满分78分），考生需在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)求πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，求()cos αβ+18．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，P 为线段11B D 上一点．（1）求证：AC BP ⊥；（2）当P 为线段11B D 的中点时，求点A 到平面PBC 的距离．19．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠= ，224AB AD DC ===，点F 是BC 边上的中点.(1)若点E 满足2DE EC =，且EF AB AD λμ=+ ，求λμ+的值；(2)若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求AP DP ⋅的取值范围.20．如图，正方体的棱长为1，B C BC O ''= ，求：(1)AO 与A C ''所成角的度数；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值：(3)B OA C --的度数．21．若有穷数列{}n a 满足：10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为“n 阶01-数列”.(1)若“6阶01-数列”为等比数列，写出该数列的各项；(2)若某“21k +阶01-数列”为等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+，用,n k 表示）；(3)记“n 阶01-数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n = ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n = 能否为“n 阶01-数列”？若能，求出所有这样的数列{}n a ；若不能，请说明理由.【分析】由直线与平一面的位置关系可得结论.【详解】直线l 上存在两点在平面α上，则l ⊂α.故答案为：⊂.2．1π##1π-【分析】利用正弦型函数频率的定义可得结果.【详解】由题意可知，函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率212ππf ==.故答案为：1π.3．3【分析】利用等差数列的性质可求9a 的值.【详解】因为597+2a a a =，故5590+3a a a --=，所以9 3.a =故答案为：3.4．(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．5【分析】根据题意，得到1i z =--，结合复数模的运算法则，即可求解.【详解】由复数i z a =-的实部与虚部相等，可得1a =-，即1i z =--，则i 12i z -=--，所以i z -==6．ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【分析】根据正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，整体代换即可得所求函数的对称中心.【详解】因为正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以令ππ2,32k x k -=∈Z ，则ππ,46k x k =+∈Z ，所以函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .7．4或6或7或8【分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；四种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】若三个平面两两平行，则将空间分成4个部分，如图1，若二个平面平行，都和第三个平面相交，或三个平面交于同一条直线时，则将空间分成6个部分，如图2，若三个平面两两相交且交线互相平行，则将空间分成7个部分，如图3，若三个平面两两相交且交点共点，则将空间分成8个部分，如图4，故答案为：4或6或7或8．8．2【分析】由题意求出234,,a a a ，则数列{}n a 是周期为3的数列，即可求解.【详解】由题意知，23412311112,1,1112a a a a a a ====-==---，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以20246743222a a a ⨯+===.故答案为：29．499【分析】利用正弦定理和余弦定理求出外接圆的半径，再利用等面积法求三角形内切圆的半径，即可求解.【详解】设ABC V 外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r ，内切圆的圆心为O ，因为sin :sin :sin 5:7:8A B C =，所以由正弦定理可得，::5:7:8a b c =，不妨设5,7,8a b c ===，有余弦定理可得，2228811cos 211214b c a A bc +-===，因为()0,πA ∈，所以sin A =由正弦定理2sin aR A =得，3R =,又因为ABC ABO ACO BCO S S S S =++ ,1sin 2△==ABC S bc A所以()11112222a rb rc r a b c r ⋅+⋅+⋅=++=所以r =所以该三角形外接圆与内切圆的面积之比为222π49π9R R r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:499.10．85【分析】设在min t 时，距离地面的高度为()6050sin h t ωϕ=++，其中ππϕ-<<，根据题中条件求出ω、ϕ的值，可得出h 关于t 的函数关系式，然后将5t =代入函数解析式，即可得解.【详解】因为摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m ，设在min t 时，距离地面的高度为()()sin 0h A t b A ωϕ=++>，其中ππϕ-<<，则11060A b b +=⎧⎨=⎩，可得5060A b =⎧⎨=⎩，则()6050sin h t ωϕ=++，由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈，可得2π15ω=，所以2π15ω=，即2π6050sin 15h t ϕ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，当0t =时，可得6050sin 10ϕ+=，即sin 1ϕ=-，因为ππϕ-<<，解得2πϕ=-，所以2ππ2π6050sin 6050cos 15215h t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5t =，可得2π6050cos 560258515h ⎛⎫=-⨯=+= ⎪⎝⎭.所以，游客进舱5min 时他距离地面的高度为85m .故答案为：85.11．94##2.25【分析】由已知和平面向量基本定理可得1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线得111(0,0)44x y x y+=>>，利用基本不等式求解最值．【详解】因为()12AD AB AC =+且E 为AD 的中点，所以()1124==+ AE AD AB AC ，又因为(),0,0==>>AM xAB AN y AC x y ，所以11,AB AM AC AN x y== ，所以1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线，所以111(0,0)44x y x y +=>>，于是()114444⎛⎫+=++⎪⎝⎭x y x y xy 1191144444y x x y =+++≥++=，当且仅当44=y x x y 即12x y ==等号成立.故答案为：94.12．130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭【解析】根据题意可得22T π≥，从而可得2ω≤，讨论0ω>，0ω=或0ω<，再求出()sin()f x x ωϕ=+的单调递增区间，只需,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集即可求解.【详解】()()sin f x x ωϕ=+，0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，()f x 的每个增区间的长度为2T ，其中函数()f x 的最小正周期为2T ωπ=.函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调地藏，可得22T π≥，即2ω≤.①当0ω>时，此时02ω<≤，x ωϕ+单调递增，当22,22x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增，解得112,2,22x k k k Z πππϕπϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需11,2,2,222k k k Z πππππϕπϕωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊆--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥-- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2141,2,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，则21410214k k πωππ--⨯≤≤+-⨯，即141,2,4k k k Z ω⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，由124141204k k k ⎧+>-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1588k -<<，k Z ∈ ，0k ∴=.所以，10,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②当0ω=时，函数()sin f x ϕ=为常函数，不合乎题意；③当0ω<时，20ω-≤<，x ωϕ+单调递减，由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解得13122,22k x k k Z πππϕπϕωω⎛⎫⎛⎫+-≤≤+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，可得13222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥+- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122,43,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈+-+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，于是12210434k k πωππ+-⨯≤≤+-⋅，即521,4,2k k k Z ω⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，由5142225402k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得518k -≤<-，由Z k ∈，1k =-，此时，32ω=-.综上所述，实数ω的取值范围是130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故答案为：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想.13．C【分析】利用211,,222l r S r rl L r l αα====+，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果.【详解】因为211,,222l r S r rl L r l αα====+，对于选项A ，若α，r 确定，则,L S 唯一确定，所以选项A 正确，对于选项B ，若α，l 确定，由l r α=知，r 确定，则L ，S 唯一确定，所以选项B 正确，对于选项C ，若,S L 确定，由1,22S rl L r l ==+，消l 得到2102r Lr S -+=，又2144L S ∆=-，当0∆>时，r 有两个值，当0∆=时，r 有1个值，当0∆<时，r 无解，所以选项C 错误，对于选项D ，若,S l 确定，由12S rl =知，r 确定，又l r α=，所以α确定，故选项D 正确，故选：C.14．D【详解】如图：由于平面11AA D D ，平面ABCD ，平面11ABB A 上不存在满足条件的直线l ，只需考虑正方体内部和正方体外部满足条件的直线l 的条数.第一类：在正方体内部,由三余弦定理知l 在平面ABCD 内的射影为BAD ∠的角平分线,在平面11AA D D 内的射影为1A AD ∠的角平分线，则l 在正方体内部的情况为体对角线1AC ；第二类：在图形外部与每条棱的外角度数和另2条棱夹角度数相等，有3条.所以共有4条满足条件的直线,故选D.15．B【分析】利用裂项相消法求和.【详解】∵1n n a b ⋅=,∴()()21111321212n b n n n n n n ===-++++++，∴101111111111523341011111221212S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选:B ．16．C【分析】利用当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，可得各个函数在π(0,)2上零点的个数，再根据奇函数的对称性得到函数在π(,0)2-上零点的个数，且各个函数都有零点0x =，由此可判断A CD ；再结合函数tan y x =和y x =的图象，可判断B.【详解】由已知条件，当π(0,)2x ∈时，211111sin ,,tan 22222OAP OAQ OAP S OA MP x S OA x S OA AQ x =⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅= 扇形，所以当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，对于A ，当π(0,)2x ∈时，0sin tan x x x <<<，tan sin 0y x x x =++>，又tan sin y x x x =++为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0y x x x =++<，当0x =时，tan sin 0y x x x =++=，所以函数tan sin y x x x =++在ππ(,22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，故A 正确；对于B ，当π(0,)2x ∈时，因为tan x x <，即tan 0y x x =->，由tan y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan 0y x x =-<，当0x =时，tan 0y x x =-=，所以函数tan y x x =-在ππ(,)22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，作出函数tan ,y x y x ==的图象，如图所示，由图可知，当π3π(,)22x ∈时，函数tan y x =和y x =的图象只有一个交点，所以函数tan y x x =-在π3π(,)22x ∈内有且仅有1个零点，所以函数tan y x x =-在πππ3π(,)(,)2222- 内有2个零点，故B 正确；对于C ，当π2x ≥时，sin 1x x ≤<，所以sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当π02x <<时，由sin x x <，即sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当0x =时，sin 0y x x =-=，此时函数的零点为0x =，又sin y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，所以0x <时函数无零点，综上所述，函数sin y x x =-有且仅有1个零点，故C 错误；对于D ，当π(0,)2x ∈时，因为tan sin 0x x ->，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2sin 0y x x x x x x x x x =+--=+-+=>，又tan sin y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0x x -<，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2tan 0y x x x x x x x x x =+--=++-=<，当0x =时，tan sin |tan sin |0y x x x x =+--=，所以函数tan sin |tan sin |y x x x x =+--在ππ(,22x ∈-内有1个零点，故D 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的图像及性质，解题的关键是由OAP OAQ OAP S S S << 扇形得sin tan <<x x x ，并结合三角函数图象求解.17．(2)1-【分析】（1）利用二倍角公式及两角和正弦公式计算即可；（2）根据角β的终边与角α的终边关于y 轴对称求出sin ,cos ββ，然后利用两角和的余弦公式计算即可.【详解】（1）因为3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=，所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，27cos212sin 25αα=-=，所以πππ2417sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225ααα⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪⎝⎭（2）因为角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，所以3sin sin 5βα==，4cos cos 5βα=-=-，所以()4433cos cos cos sin sin 15555αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.18．（1）证明见解析；（2）17．【分析】（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可（2）利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而求解即可【详解】（1）证明：连接BD ，因为1111ABCD A B C D -是长方体，且2AB BC ==，所以四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为BD ⊂平面11BB D D ，1BB ⊂平面11BB D D ，且1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，因为BP ⊂平面11BB D D ，所以AC BP ⊥．（2）点P 到平面ABC 的距离24AA =，ABC V 的面积122ABC S AB BC =⋅⋅=△，所以111824333P ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯=△，在1Rt BB P △中，B 1=4，1B P =BP =，同理CP =．又2BC =，所以的面积122PBC S =⨯=△．设三棱锥A PBC -的高为h ，则因为A PBC P ABC V V --=，所以1833PBC S h ⋅=△，83=，解得h =A PBC -．所以点A 到平面A PBC -【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而得出11133P ABC ABC A PBC PBC V S AA V S h --=⋅=⋅=△△，进而求出三棱锥A PBC -的高h19．(1)112-；(2)1,810⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以,AB AD 为基底表示出EF 得出,λμ的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出AP DP ⋅ 的取值范围；法2：利用极化恒等式得出21AP DP PM =⋅- ，即可得出结果.【详解】（1）如下图所示：由2DE EC = 可得13EC DC = ，所以111115132622122EF EC CF DC CB AB AB AD AB AD ⎛⎫=+=+=+-=- ⎪⎝⎭，又EF AB AD λμ=+ ，可得51,122λμ==-所以112λμ+=-；（2）法1：以点A 为坐标原点，分别以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,4,0,2,2A D B C ，则()3,1F ，由点P 是线段AF 上的动点（含端点），可令[],0,1AP t AF t =∈ ，所以()3,AP t AF t t == ，则()3,2DP AP AD t t =-=- ，所以[]2102,0,1AP DP t t t ⋅=-∈ ，由二次函数性质可得当110t =时取得最小值110-；当1t =时取得最大值8；可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ 法2：取AD 中点M ，作MG AF ⊥垂足为G ，如下图所示：则()()()2AP DP PA PD PM MA PM MD PM PM MA MD MA MD ⋅=⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 2221PM MA PM =--=显然当点P 位于点F 时，PM 取到最大值3，当点P 位于点G 时，PM ，可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦20．(1)30o 90【分析】（1）先由已知条件求出,AC OC 和AO OC ⊥，从而求出30OAC ∠= ，接着由正方体性质求出//AC A C ''，再结合异面直线所成角定义即可得OAC ∠是AO 与A C ''所成角，从而得解；（2）在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE ，求证OE ⊥平面ABCD 即可得OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，再依据已知条件求出OE 和AE 即可由tan OE OAE AE ∠=求出AO 与平面ABCD 所成角的正切值.（3）求证OC ⊥平面ABO 即可得证平面ABO ⊥平面AOC ，从而即可得B OA C --的度数.【详解】（1）连接AB '，则由正方体性质得AB AC B C ''====O 为B C '的中点，所以1222OC B C '==且AO OC ⊥，所以1sin 2OC OAC AC ∠==，故30OAC ∠= ，又由正方体性质可知//AA CC ''且AA CC ''=，所以四边形AA C C ''是平行四边形，所以//AC A C ''，所以OAC ∠是AO 与A C ''所成角，故AO 与A C ''所成角的度数为30o .（2）如图，在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE，由正方体性质可知平面BCC B ''⊥平面ABCD ，又平面BCC B '' 平面ABCD BC =，所以OE ⊥平面ABCD ，所以E 为BC 中点，AE 为AO 在平面ABCD 上的射影，所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，由题意，在Rt OAE 中，12OE BE ==，AE ===所以152tan 552OE OAE AE ∠===，所以AO 与平面ABCD（3）由（1）知AO OC ⊥，又由正方体性质可知AB ⊥平面BB C C ''，而OC ⊂平面BB C C ''，所以AB OC ⊥，又AO AB A = ，AO AB ⊂、平面ABO ，所以OC ⊥平面ABO ，又OC ⊂平面AOC ，所以平面ABO ⊥平面AOC ，所以B OA C --的度数为90 .21．(1)111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---(2)答案见解析(3)不是，理由见解析【分析】（1）根“n 阶01-数列”的定义求解即可；（2）结合“n 阶01-数列”的定义，首先得120,k k a a d ++==，然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及“n 阶01-数列”的定义得出矛盾即可求解.【详解】（1）设123456,,,,,a a a a a a 成公比为q 的等比数列，显然1q ≠，则有1234560a a a a a a +++++=，得()61101aq q -=-，解得1q =-，由1234561a a a a a a +++++=，得161a =，解得116a =±，所以数列111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---为所求；（2）设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +≥ 的公差为d ，123210k a a a a +++++= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴+++=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，矛盾，当0d >时，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N ，当0d <时，同理可得()1122k k kd -+=-，即()11d k k =-+，由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n na n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N ，综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N ；（3）记12,,,n a a a 中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤= ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，可知：12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ ，且1212m m n a a a +++++=- ，1k m ∴≤≤时，0,0;1k k a S m k n ≥≥+≤≤时，0,0k k n a S S <≥=123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ ，又1230n S S S S ++++= 与1231n S S S S ++++= 不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n = 不为“n 阶01-数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。

上海市华东师范大学第二附属中学创新班和理科班用高三

6.4 反三角函数三角函数解决知道角求三角函数值的问题，例如π1sin62=，5πcos 6=这类问题称作“知角求值”问题．在科学研究和生产实践中还会遇到大量的知道三角函数值，需要求角的问题，例如知道1sin 2x =，cos x =，是什么？这类题称作“知值求角”问题．那么我们如何来解决这类问题呢？“知角求值”与“知值求角”是关系十分密切的问题，类似的情形我们在数学学习中是否遇到过呢？是什么问题呢？本质是函数与反函数的问题．那么我们如何来解决三角函数的反函数问题呢？首先回顾一下反函数的定义．若确定函数()y f x =的映射是一一映射，则()y f x =存在反函数．三角函数在定义域内是否是一一对应的呢？我们知道三角函数都是周期函数，因此定义三角函数的映射不是一一对应的，从而三角函数不存在反函数．那么我们如何解决“知值求角”的问题呢？目前的焦点是如何摆脱不是“一一映射”的困扰．是什么因素造成了正弦函数sin y x =无法构成一一映射呢？是正弦函数的对应法则？还是函数的定义域？决定因素是定义域！那么我们是否有可能选择自变量的取值范围，使定义在此范围上的函数sin y x =具有一一映射的特点？现在看看我们该做些什么．我们要寻找这样的集合A ，使得对于每一个正弦值（落在区间[]11-，内），在集合A 中有且只有唯一的与之对应．我们可以先考虑寻找的集合A 具有这样的特点：对于每一个正弦值，都在集合A 存在弧度数为的角与之对应．其次是关注这样的是否唯一．若不唯一，则调整集合A ，使之满足要求．让学生寻找集合A ，然后分析讨论．满足条件的集合是()ππππ22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．对于每一个整数，函数ππsin ππ22y x x k k ⎛⎫⎡⎤=∈-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，都有反函数．在三角问题的研究中使用频率最高的是锐角，因此我们在确定反正弦函数时，就锁定了函数，ππsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，．定义：把函数ππsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的反函数，叫做反正弦函数，记为[]arc sin 11y x x =∈-，，．对定义的理解：（1）arc sin x 表示一个区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内的角；（2）这个角的正弦值为．总之arc sin x 是一个落在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内正弦值是的角．由反正弦函数的定义有()()sin arc sin 11x x x =-≤≤；()ππarc sin sin 22y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤．根据前面有关反函数的知识可知：互为反函数的图像关于直线y x =对称，于是函数arc sin y x =，[]11x ∈-，的图像与函数ππsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的图像关于直线y x =对称（见图6－17）．图6-17反正弦函数的主要性质：（1）arc sin y x =的定义域是[]11-，，值域是ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，且在1x =-时取到最小值π2-，1x =时取到最大值π2．（2）单调性由于正弦函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故其反函数arc sin y x =在[]11-，上也是单调递增的．（3）奇偶性由arc sin y x =，[]11x ∈-，的图像知，它的图像关于原点对称，它是一个奇函数，且有()arc sin arc sin x x -=-．类似的，根据余弦函数、正切函数、余切函数的类似性质，我们可以定义它们的性质分别如下：定义：余弦函数cos y x =在区间[]0π，上的反函数，叫做反余弦函数，记作arc cos y x =，它的定义域是[]11-，，值域是[]0π，．对定义的理解：（1）arc cos x 表示一个区间[]0π，内的角；（2）这个角的余弦值为．总之，arc cos x 是一个落在区间[]0π，内正弦值是的角．由反余弦函数的定义有()()cos arc cos 11x x x =-≤≤； ()()arc cos cos 0πx x x =≤≤．反余弦函数的图像如图6－18所示．∈（0，π）图6-18反余弦函数的主要性质：（1）arc cos y x =的定义域是[]11-，，值域是[]0π，，且在1x =-时取到最大值，1x =时取到最小值0．（2）单调性由于余弦函数cos y x =在[]0π，上单调递减，故其反函数arc cos y x =在[]11-，上也是单调递减的．（3）奇偶性由[]arc cos 11y x x =∈-，，的图像知，它的图像既不关于原点对称，也不关于轴对称，它是一个非奇非偶函数．可以证明()arc cos πarc cos x x -=-．反正弦函数和反余弦函数之间有个重要关系，见下述例题：例l ．求证πarc sin arc cos 2x x +=，[]11x ∈-，．证明：()sin arc sin x x =，()πsin arc cos cos arc cos 2x x x ⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦．又由于ππarc sin 22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，[]arc cos 0πx ∈，，πππarc cos 222x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，所以πarc sin arc cos 2x x =-，即πarc sin arc cos 2x x +=，[]11x ∈-，一般说来，要证明两个角αβ=的方法是：先证明这两个角的同一个三角函数值相等，比如sin sin αβ=；再证明这两个角在同一个单凋区间内．定义：正切函数tan y x =在区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内的反函数，叫做反正切函数，记作arc tan y x =，它的定义域是R ，值域是ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，．对定义的理解：（1）arc tan x 表示一个区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内的角；（2）这个角的正切值为；总之arc tan x 是一个落在区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内正切值是的角，见图6－19．图6-19由反正切函数的定义()()tan arc tan x x x =-∞<<+∞； ()ππarc tan tan 22y y y ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．定义：余切函数cot y x =在区间()0π，内的反函数，叫做反余切函数，记作arc cot y x =，它的定义域是R ，值域是()0π，．对定义的理解（1）arc cot x 表示一个区间()0π，内的角；（2）这个角的余切值为；总之arc cot x 是一个落在区间()0π，内余切值是的角，见图6－20．x ，x ∈（0，π）图6-20由反正切函数的定义()()cot arc cot x x x =-∞<<+∞； ()()arc cot cot 0πy y y =<<．反正切、反余切函数的性质如下：（1）arc tan y x =的定义域是()-∞+∞，，值域是ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，；arc cot y x =的定义域是()-∞+∞，，值域是()0π，．（2）单调性 arc tan y x =是()-∞+∞，上的增函数；arc cot y x =是()-∞+∞，上的减函数．（3）奇偶性 arc tan y x =是一个奇函数，对任意x ∈R 有()arc tan arc tan x x -=-；acr cot y x =是一个非奇非偶函数，且对任意x ∈R 有()arc cot πarccot x x -=-．反正切、反余切函数之间有个重要的关系式：πarc tan arc cot 2x x x +=∈R ，例2．求下列各式的值：（1）1arc cos 2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）arc sin ⎛ ⎝⎭；（3）5arc tan tan 4⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()arc tan tan 4．解：（1）因为2π1cos32=-，且2π0π3<<，由定义知12πarc cos 23⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）因为πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且ππ22x -<<，于是由定义有πarc sin 3⎛=- ⎝⎭；（3）因为5ππtan πtan πtan 1444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5πarc tan tan arc tan 144⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）因为()tan 4tan 4π=-，且ππ4π22-<-<，所以 ()()arc tan tan4arc tan tan 4π4π=-=-⎡⎤⎣⎦．例3．求值：（1）1sin arc cos 3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）14cos arc sin 25⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）13tan arc sin arc cos 25⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）设1arc cos 3α=，则1cos 3α=，且π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是1sin arc cos sin 3α⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2）设4arc sin5α=，则4sin 5α=，且π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是3cos 5α=，所以，14cos arc sin cos 252α⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）设1arc sin2α=，3arc cos 5β=，则13sin cos 25αβ==，，于是cos α==，4sin 5β==，tan α=4tan 3β=．()4tan tan tan 1tan tan αβαβαβ---====+⋅．例4．求值：（1）πarc sin sin 4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3πarc sin sin 4⎛⎫ ⎪⎝⎭．解：（1）ππarc sin sin 44⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2）3ππarc sin sin arc sin 44⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭．例5．比较下列各组数的大小：（1）2arc sin 3与4arc sin 7；（2）arc cot1.3与arc cot1.31；（3）2arc sin 3与2arc cot 3；（4）1arc tan 3与arc cot 2．解：（1）由于arc sin x 是一个单调递增的函数，且2437>，于是；（2）由于arc cot x 是一个单调递减的函数，1.3 1.31<，于是arc cot1.3arc cot1.31>；（3）设2arc cot3α=，则2cot 3α=，且π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是1sin csc αα====，所以arc α=．又23<，故22arc sin arc cot 33<．（4）设ar cc o t2α=，则co t α=2，1tan 2α=，于是1arc cot 2arc tan 2=，故1a r ct a n a r cc o t23<．例6．已知()()πarc sin sin sin arc sin sin sin 2αβαβ++-=，求22sin sin αβ+的值．解：()()πarc sin sin sin arc sin sin sin 2αβαβ++-=， ()arc sin sin sin αβ+与()arc sin sin sin αβ-互余．()()sin arc sin sin sin cos arc sin sin sin αβαβ+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，sin sin αβ∴+化简，得221sin sin 2αβ+=．例7．用反正弦函数值的形式表示下列各式中的：（1）3ππsin 522x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，，；（2）[]3sin 0π5x x =∈，，；（3）3sin 5x =-，[]π2πx ∈，．解：（1）3arc sin 5x =；（2）3arc sin 5x =，或3πarc sin 5x =-；（3）3πarc sin 5x =+，或32πarc sin 5x =-．例8．比较arc sin a 与()2arc sin 1a a ≤的大小．解：当0a =，或1a =时，22arc sin arc sin a a a a =⇒=；当[)10a ∈-，时，22arc sin arc sin a a a a <⇒<；当()01a ∈，时22arc sin arc sin a a a a >⇒>．基础练习1．求下列反正弦函数的值：（1）1arc sin 2；（2）arc ；（3）arc sin 0；（4）arc sin1；（5）arc sin ⎛ ⎝⎭；（6）()arc sin 1-．2．求下列函数的定义域和值域：（1）12arc cos log y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()12log arc cos y x =；（3）()arc cos arc sin y x =；（4）()arc sin arc cos y x =．3．求值：（1）4sin arc tan 3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）12tan arc cos 13⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）3cos 2arc tan 4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）()arc sin sin 6；（5）11arc tan 2arc tan 73+；（6）4πarc tan tan 5⎛⎫ ⎪⎝⎭；（7）1arc tan arc tan x x+；（8）((arc sin arc cos -．4．求下列函数的反函数：（1）π3πsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，；（2）π02y x ⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎭，；（3）()πlg sin 02y x x ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，；（4）()(]()lg arc sin 01y x x =∈，．5．用反正切函数值的形式表示下列各式中的：（1）4ππtan 322x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，，；（2）123πtan π52x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，；（3）()24tan 2π07x x =-∈-，，．能力提高 6．求值：（可用反三角函数表示）：（1）34arc cos arc sin 45-；（2）()()arc sin sin 2arc cos cos4+；（3）315arc sin arc sin 517+．7．当[]11x ∈-，时，比较arc sin x 与arc cos x 的大小．§6.4 反三角函数基础练习 1．（1）1πarc sin26=；（2）πarc 3=；（3）arc sin 00=；（4）πarc sin12=；（5）πarc sin 4⎛=- ⎝⎭；（6）πarc sin(1)2-=-． 2．（1）[0π]A =，；（2）12log πA ⎡⎫=+∞⎢⎪⎢⎭⎣，；（3）[0π]A =，；（4）π0lg 2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，．3．（1）45；（2）512-；（3）725；（4）62π-；（5）π4；（6）π4-；（7）π02π02x x ⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，，；（8）π-．4．（1）πarc sin ([11])y x x =-∈-，；（2）2arc sin ([01])y x x =∈，；（3）arc sin10((0])x y x =∈-∞，；（4）πsin102x y x ⎛⎫⎛⎤=∈-∞ ⎪ ⎥⎦⎝⎝⎭，．5．（1）4arc tan 3x =；（2）12πarc tan 5x =-；（3）24arc tan 7x =-或24arc tan π7--．能力提高 6．（1）arc -（2）3π6-；（3）84πarc sin 85-． 7．当x =时，πa r c s i n a r c c o s 4x x ==；当1x ⎡∈-⎢⎢⎭⎣时，a r c s i n a r c c o s x x <；当1x ⎤∈⎥⎦⎝时，arc sin arc cos x x >．。

高中数学精编答案

高中数学精编答案【篇一：上中学子教辅书清单】txt>学科书名出版社原价化学五年高考试题透析2006~2010化学（上海卷）上海科技教育出版社 32.00数学高中数学一点通秘笈应试精练上海科学普及出版社 29.00数学上海市重点中学高考能力引导数学上海人民出版社 16.00数学高考突围（数学卷）最新上海高考检测定位模拟卷2009版文汇出版社 20.00 数学 2009年上海高考数学零距离突破系统复习用书（第二轮复习用）——专项训练提高数学 2009年上海高考数学零距离突破系统复习用书（第一轮复习用）——基础知识梳理篇数学高中数学精编代数下高二用浙江教育出版社 8.50英语复旦版高考英语听力强化训练（不含音带）复旦大学出版社10.00 英语精编高中英语教学与评估光明日报出版社 25.00英语灿烂在六月上海市最新高考模拟强化训练测试精编上海百家出版社 25.00 英语上海市高考英语仿真试卷2010（新题型）上海海文音像出版社 24.00英语上海市高考英语仿真试卷高考全新题型上海海文音像出版社 16.00 英语上海市英语高考信息模拟卷中国青年出版社 22.00英语 2010年最新版高考突围英语卷（含答案）中国少年儿童新闻出版社 30.00语文高中文言300实词例释（秦振良编著，上海古籍出版社）原子能出版社原子能出版社 24.00 50.00【篇二：2011届上中学子教辅书清单】txt>学科书名出版社原价力荐新旧化学高中化学概念地图广西师范大学出版社 21.00★化学高中化学图析题典广西师范大学出版社 31.00★化学化学竞赛教程高二年级华东师范大学出版社 14.00 全新化学化学竞赛教程高一年级华东师范大学出版社 14.00 全新化学重难点手册高二化学华中师范大学出版社 18.90 全新化学重难点手册高二化学（下册）华中师范大学出版社 18.50 崭新化学龙门专题高中化学电离平衡电化学龙门书局 15.00★化学龙门专题高中化学电离平衡电化学龙门书局 15.00★化学龙门专题高中化学高中化学实验龙门书局 15.00★化学龙门专题高中化学有机化学龙门书局 19.50★化学龙门专题高中化学有机化学龙门书局 19.50★化学化学（高中上册）华东师范大学第二附属中学（理科班专用）上海教育出版社 13.50化学化学（高中下册）华东师范大学第二附属中学（理科班专用）上海教育出版社 12.00化学五年高考试题透析2006~2010化学（上海卷）上海科技教育出版社 32.00★化学高中化学双基要点精析高二册上海科学技术文献出版社24.00★化学高中化学双基要点精析高一册上海科学技术文献出版社24.00★化学高中化学怎样学上海科学技术文献出版社 22.00★化学高中化学公式定理手册中国大百科全书出版社 9.00★崭新化学上海中学化学笔记a 待定★化学上海中学化学笔记b 待定★化学上海中学化学笔记c 待定★化学上海中学化学笔记d 待定★化学上海中学化学笔记e 待定★历史新课标龙门专题高中历史改革与人物龙门书局 11.00☆全新历史新课标龙门专题高中历史经济发展史龙门书局 15.00☆全新历史新课标龙门专题高中历史文化科技发展史龙门书局 13.00☆全新历史新课标龙门专题高中历史政治发展史龙门书局 16.00☆全新☆全新☆全新历史五年高考试题透析2004~2008历史（上海卷）上海科技教育出版社 18.50★全新历史上海中学历史笔记a 待定★历史上海中学历史笔记b 待定★生物金牌奥赛高级教程高中生物科学技术文献出版社 27.00数学奥数教程高一年级华东师范大学出版社 18.00 全新数学高考复习教程数学答案与详解华东师范大学出版社 22.00 全新数学高考复习教程数学上册华东师范大学出版社 21.00 全新数学重点难点手册高二数学（上册）华中师范大学出版社 16.00 全新数学重点难点手册高三数学华中师范大学出版社 18.90 全新数学重点难点手册高中数学2（必修）华中师范大学出版社19.50 全新数学文化课强化训练——上海市区县高三第一学期期末质量抽查试卷精编数学参考答案上海百家出版社 6.00数学初高中数学衔接上海辞书出版社+上海中学数学组编写12.00★崭新数学高中数学排列、组合、概率精练800题上海交通大学出版社7.00☆数学数学（高中上册）华东师范大学第二附属中学（理科班专用）上海教育出版社 16.50☆全新数学数学（高中下册）华东师范大学第二附属中学（理科班专用）上海教育出版社 13.50☆全新数学高中五星级题库数学（课改版）上海科技教育出版社 24.50 崭新数学同步课课练数学高二年级第二学期上海科技教育出版社14.00★数学同步课课练数学高二年级第一学期上海科技教育出版社14.00★数学高中数学一点通秘笈应试精练上海科学普及出版社 29.00★数学上海市重点中学高考能力引导数学上海人民出版社 16.00 全新数学高考突围（数学卷）最新上海高考检测定位模拟卷2009版文汇出版社 20.00 全新数学 2009年上海高考数学零距离突破系统复习用书（第二轮复习用）——专项训练提高原子能出版社 24.00数学 2009年上海高考数学零距离突破系统复习用书（第二轮复习用）——专项训练提高篇解题思路与方法实践社 8.00★全新数学 2009年上海高考数学零距离突破系统复习用书（第一轮复习用）——基础知识梳理篇原子能出版社 50.00数学 2009年上海高考数学零距离突破系统复习用书（第一轮复习用）——基础知识梳理篇解题思路与方法实践社 15.00★全新数学高中数学精编代数下高二用浙江教育出版社 8.50数学高中数学精编立体几何高一用浙江教育出版社 7.00☆全新★全新原子能出版★全新原子能出版数学上海中学数学订正本待定★物理华东师大版一课一练高二物理第一学期华东师范大学出版社15.00 全新物理华东师大版一课一练高一物理第二学期华东师范大学出版社15.00物理物理竞赛教程高一年级华东师范大学出版社 17.00 全新物理重点难点手册高二物理华中师范大学出版社 18.90 全新物理重点难点手册高三物理华中师范大学出版社 18.90 全新物理讲透【重点难点】高中物理力与运动吉林教育出版社 10.80 全新物理新课标龙门专题高中物理动量原子物理龙门书局 17.00☆全新物理新课标龙门专题高中物理高中电学（二）龙门书局 14.00☆全新物理新课标龙门专题高中振动波龙门书局 18.00☆全新物理物理（高中上册）华东师范大学第二附属中学（理科班专用）上海教育出版社 14.50物理物理（高中下册）华东师范大学第二附属中学（理科班专用）上海教育出版社 15.00英语领先一步文化课强化训练——上海市区县高三第一学期期末质量抽查试卷精编英语（3008版）英语高考英语——完形填空最新详解版（第四版）东华大学出版社 22.00★英语高考英语——阅读理解最新详解版（第四版）东华大学出版社 22.00★英语复旦版高考英语听力强化训练（不含音带）复旦大学出版社10.00★英语中级英语测试指导——高考英语语法新视角复旦大学出版社17.00★英语中级英语测试指导——高考英语语法新视角复旦大学出版社17.00★英语精编高中英语教学与评估光明日报出版社 25.00★英语精编高中英语教学与评估光明日报出版社 25.00★英语 2006年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）高考英语词汇手册华东理工大学出版社英语新课标高中英语语法一本通华东理工大学出版社 25.00☆全新英语阅读理解与完形填空——高中英语攻关华东理工大学出版社21.00 全新英语高考英语900句汉译英分册第五版华东师范大学出版社12.00★英语高中英语快速阅读高一上华东师范大学出版社 10.00 全新英语 2010年全国普通高等学校招生统一考试高考英语词汇手册人民教育出版社 13.00英语 2010年全国普通高等学校招生统一考试高考英语词汇手册人民教育出版社 13.00英语 2010年全国普通高等学校招生统一考试高考英语词汇手册人民教育出版社 13.00英语灿烂在六月上海市最新高考模拟强化训练测试精编上海百家出版社 25.00 ☆全新☆全新百家出版社待定 10.00☆全新★全新★崭新★英语上海市高考英语仿真试卷2010（新题型）上海海文音像出版社 24.00★英语上海市高考英语仿真试卷高考全新题型上海海文音像出版社16.00★英语上海市高考英语模拟卷精编听力（音带3盒+音带文本）上海海文音像出版社 37.00☆英语英语语法演练上海交通大学出版社 12.00☆全新英语中学英语语法30讲上海交通大学出版社 18.00☆全新英语中学英语语法练习3000题上海交通大学出版社 19.00★英语高考英语分类复习翻译与作文上海教育出版社 12.00★英语全国普通高等学校招生统一考试上海卷考试解读（英语）练习部分（含mp3一盘）上海教育出版社英语英语语法小题库上海科学技术出版社 11.80 全新英语奔腾英语高中专项训练新设计完形填空上海科学普及出版社16.50☆英语常春藤高考英语完全解析完形填空篇上海文艺出版社+百家出版社 28.00★全新英语常春藤高考英语完全解析阅读理解篇上海文艺出版社+百家出版社 28.00★英语高中英语语法导读与精练上海文艺出版社+百家出版社22.00★英语高中英语语法导读与精练上海文艺出版社+百家出版社22.00★英语高考英语听力模拟试题集（不含音带）上海译文出版社15.00★英语高考英语专题突破阅读理解上海远东出版社 29.80★英语高考英语词汇手册外文出版社 19.00★英语决胜听力提高篇文汇出版社 12.00★英语 2010全国各省市高考模拟试卷汇编西藏人民出版社 19.80★全新英语高考英语语法考点精讲与真题精练中国福利会出版社18.00☆全新英语上海市英语高考信息模拟卷中国青年出版社 22.00★英语 2010年最新版高考突围英语卷（含答案）中国少年儿童新闻出版社 30.00★英语上海中学英语错题收集本a 待定★英语上海中学英语错题收集本b 待定★英语上海中学英语考点整理待定★英语中译英 25.00★语文高中古诗文阅读解题题典东北师范大学出版社 18.50★全新语文高中语文解题题典东北师范大学出版社 23.00★崭新语文新编高中文言文助读东方出版中心 16.0036.00★语文高中语文概念地图广西师范大学出版社 22.00★全新语文赢在高考高考满分作文完全解读方案湖北长江出版集团+崇文书局 48.60★全新语文高考古诗词阅读专题训练上海辞书出版社 14.50 崭新语文高考文言文阅读强化训练上海辞书出版社 17.00☆语文高考文言文阅读强化训练上海辞书出版社 17.00☆语文高考文言文阅读训练上海辞书出版社 18.80★崭新语文高中古诗文译注与拓展高二年级上海科学普及出版社16.00★崭新语文高中古诗文译注与拓展高一年级上海科学普及出版社16.00★崭新语文上海中学学校课程系列丛书高中古诗文必背上海社会科学院出版社 20.00★语文上海中学学校课程系列丛书高中古诗文必读上海社会科学院出版社 20.00★语文走进新课程（高二年级第一学期）语文专题训练与解题指导文汇出版社 20.00 全新招生 2005-2007年上海市普通高等学校招生各专业录取人数及考分华东理工大学出版社+上海市教育考试院编 18.00★全新招生 2008年上海高考指南华东理工大学出版社+上海市教育考试院编 18.00★全新招生 2008上海市普通高等学校招生专业目录上海古籍出版社+上海市教育考试院编 28.00★全新招生 2010全国普通高等学校招生统一考试上海卷考试手册上海古籍出版社+上海市教育考试院编 15.00★全新招生上海市高中阶段学校招生信息2008年升学指导上海古籍出版社+上海市教育考试院编 10.00★全新招生 2010高考试题分析与评价上海教育出版社 32.00★全新政治高中《思想政治》学习与探究——高二年级分册（含答案）北方妇女儿童出版社 15.00★政治高中《思想政治》学习与探究——高一年级分册（含答案）北方妇女儿童出版社 15.00★综合高中综合专题讲座下册华东师范大学出版社 6.95 全新2012届1. 语文d 【教辅】高中文言300实词例释（秦振良编著，上海古籍出版社）【篇三：生物光合作用】=txt>绍兴县越崎中学数学组徐民江函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

2 华东师范大学第二附属中学(创新班和理科班用)数学(高中上册)-2

第二章不等式Inequality§2．1不等式的性质1．两个实数a 与b 之间的大小关系 ().a b a b a b a b a b a b 1->⇔>⎧⎪2-=0⇔=⎨⎪3->0⇔<⎩（）；（）；若a 、b +∈R ，则()()().aa b b aa b b aa b b ⎧4>1⇔>⎪⎪⎪5=1⇔=⎨⎪⎪6<1⇔<⎪⎩；；2．不等式的性质（1）（对称性或反身性）a b b a >⇔<；（2）（传递性）a b b c a c >>⇒>，；（3）（可加性）a b a c b c >⇒+>+，此法则又称为移项法则；（同向可相加）a b c d a c b d >>⇒+>+，；（4）（可乘性）a b c ac bc >>0⇒>，；a b >，c ac bc <0⇒<；（正数同向可相乘）a b c d ac bd >>0>>0⇒>，；（5）（乘方法则）()n n a b n a b >>0∈⇔>>0N ；（6）（开方法则）()a b o n n >>∈2⇔>0N ，≥；（7）（倒数法则）a b ab a b11>>0⇒<，. 我们证明性质（4）如果a b >，且c >0，那么ac bc >；如果a b >，且c <0，那么ac bc <. 证明：()ac bc a b c -=-. .a b a b >∴->0，根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c >0时，()a b c ->0，即ac bc >；当c <0时，()a b c -<0，即ac bc <.由性质（4），又可以得到：推论：如果a b >>0，且c d >>0，那么ac bd >．（同学们可以自己证明）很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，我们还可以得到：如果a b >>0，那么()n n a b n n >∈2N ，且≥. 例1．设()f x ax bx 2=+，且()()f f 1-12214，≤≤≤≤，求()f -2的取值范围.解：因()()f a b f a b 1-1=-221=+4，，≤≤≤≤为所以()()f f a 3-1+1=26，≤≤ 又()f a b a b a -2=4-2=2-2+2，所以()f 5-210≤≤.例2．已知二次函数()f x ax bx c 2=++的图像过点()-10，，问是否存在常数a b c ，，，使不等式()()x f x x 21+1≤≤2对一切x ∈R 都成立？解：假设存在常数a b c ，，，满足题意， ()f x 的图像过点()-10，， ()f a b c ∴-1=-+=0又不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立， ∴当x =1时，()()f 21111+12≤≤，即a b c 1++1≤≤， a b c ∴++=1由①②可得：a c b 11+==22，，()f x ax x a 211⎛⎫∴=++- ⎪22⎝⎭，由()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立得：()x ax x a x 22111⎛⎫++-1+ ⎪222⎝⎭≤≤恒成立， ()ax x a a x x a 22⎧11⎛⎫-+-0 ⎪⎪22∴⎝⎭⎨⎪2-1+-20⎩≥≤的解集为R ， a a a >0⎧⎪∴11⎨⎛⎫-4-0 ⎪⎪42⎝⎭⎩≤且()a a a 2-1<0⎧⎪⎨1+82-10⎪⎩≤，即()a a 2>0⎧⎪⎨1-40⎪⎩≤且()a a 21⎧<⎪2⎨⎪1-40⎩≤， a c 11∴=∴=44，，∴存在常数a b c 111===424，，使不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立. 例3．已知()()f x x a x 2=+2-2+4，（1）如果对一切()x f x ∈>0R ，恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对[]()x f x ∈-31>0，，恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）()a a 2∆=4-2-16<0⇒0<<4；（2）()()a f ⎧--2<-3⎪⎨-3>0⎪⎩或()a ⎧-3--21⎪⎨∆<0⎪⎩≤≤或()()a f ⎧--2>1⎪⎨1>0⎪⎩，解得a ∈∅或a 1<4≤或a 1-<<12，∴a 的取值范围为1⎛⎫-4 ⎪2⎝⎭，.基础练习1．判断下列命题是否成立，并说明理由．（1）如果a b c d ><，，那么a c b d +>+；（2）如果a b c d >>，，那么a c b d -2>-2；（3）如果a b c d >>，，那么ac bd >. 2．对于实数a b c ，，中，判断下列命题的真假： ①若a b >，则ac bc 22>； ②若ac bc 22>，则a b >；③若a b <<0，则a ab b 22>>；④若a b <<0，则a b 11<；⑤若a b <<0，则b a a b>； ⑥若a b <<0，则a b >； ⑦若c a b >>>0，则a bc a c b>--； ⑧若a b a b11>>，，则a b >0<0，.3.设n >-1，且n ≠1，则n 3+1与n n 2+的大小关系是________. 4．比较下列两个数的大小：（1与2（2）2（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明． 5．已知()()()f x ax c f f 2=--41-1-125，，≤≤≤≤，求()f 3的取值范围. 能力提高6．若不等式()()a x a x 2-2+2-2-4<0对一切x ∈R 成立，求a 的取值范围. 7．若关于x 的方程x ax a 22++-1=0有一正根和一负根，求a 的取值范围.8．关于x 的方程()m x m x 2-3+3=的解为不大于2的实数，求m 的取值范围．9．已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（） A ．2枝玫瑰花价格高； B ．3枝康乃馨价格高； C ．价格相同； D ．不确定．§2．2一元二次不等式及其解法求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式，一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形．像x x 2-5<0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．下面，我们来探究一元二次不等式x x 2-5<0的解集：（1）探究二次方程的根与二次函数的零点的关系：容易知道：二次方程有两个实数根：x x 12=0=5，二次函数有两个零点：x x 12=0=5，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．（2）观察图像，获得解集画出二次函数y x x 2=-5的图像，如图2-1，观察函数图像，可知：x图2-1当x <0，或x >5时，函数图像位于x 轴上方，此时，y >0，即x x 2-5>0；当x 0<<5时，函数图像位于x 轴下方，此时，y <0，即x x 2-5<0；所以，不等式x x 2-5<0的解集是{}|x x 0<<5. 探究一般的一元二次不筹式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： ()ax bx c a 2++>0>0，或()ax bx c a 2++<0>0，一般地，怎样确定一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集呢？从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：（1）抛物线y ax bx c 2=++与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax bx c 2++=0的根的情况；（2）抛物线y ax bx c 2=++的开口方向，也就是a 的符号. 总结结果：（1）抛物线()y ax bx c a 2=++>0与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax bx c 2++=0的判别式b ac 2∆=-4三种取值情况（∆>0∆=0∆<0，，）来确定．因此，要分二种情况讨论；（2）a <0可以转化为a >0，分∆>0∆=0∆<0，，三种情况，得到一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集.一元二次不等式ax bx c 2++>0或()ax bx c a 2++<0≠0的解集；设相就的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根为x 1、x 2且x x 12≤，b ac 2∆=-4，则不等式的解不等式的解集经常用区间来表示.区间是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点. a b ∀∈R ，，且a b <.{}|x a x b <<称为开区间，记为；()a b ，； {}|x a x b ≤≤称为闭区间，记为[]a b ，； {}|x a x b <≤称为左闭右开区间，记为[)a b ，；{}|x a x b <≤，称为左开右闭区间，记为(]a b ，.以上都是有限区间，以下是无限区间：[){}|a x x a +∞=，≥、(){}|a x x a +∞=>，、(]{}|a x x a -∞=，≤、(){}|b x x b -∞=<，、实数集()=-∞+∞R ，，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.区间长度的定义：两端点间的距离（线段的长度）称为区间的长度. 例1．解不等式x x 2-+2-3>0.解：整理，得x x 2-2+3<0.因为∆<0，方程x x 2-2+3=0无实数解，所以不等式x x 2-2+3<0的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅. 例2．已知{}|A x x x 2=-3+20≤，(){}|B x x a x a 2=-+1+0≤，（1）若AB ，求a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围. 解：{}|A x x =12，≤≤当a >1时，{}|B x x a =1≤≤；当a =1时，{}B =1；当a <1时，{}|B x a x =1≤≤.（1）若AB ，则a a a >1⎧⇒>2⎨>2⎩；（2）若B A ⊆，当a =1时，满足题意；当a >1时，a 2≤，此时a 1<2≤；当a <1时，不合题意. 所以，a 的取值范围为[)12，.例3．已知关于x 的不等式()()kx k x 2--4-4>0，其中k ∈R .（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由. 解：（1）当k =0时，()A =-∞4，；当k >0且k ≠2时，()A k k 4⎛⎫=-∞4++∞ ⎪⎝⎭，，；当k =2时，()()A =-∞44+∞，，；（不单独分析k =2时的情况不扣分）当k <0时，A k k 4⎛⎫=+4 ⎪⎝⎭，.（2）由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为k k4+-4≤时取等号当且仅当k =-2时取等号，所以当k =-2时，集合B 的元素个数最少. 此时()A =-44，，故集合()B =-3-2-10123，，，，，，.例4，已知a 为实数，关于x 的二次方程()()x a x a a 227-+13+--2=0有两个实根分布在()()0112，，，上，求a 的取值范围.解：令()()()f x x a x a a 22=7-+13+--2，由二次函数图像知 ()()().f f f 0>0⎧⎪1<0⎨⎪2>0⎩，，即.a a a a a 222⎧--2>0⎪-2-8<0⎨⎪-3>0⎩，，解得a -2<<-1或a 3<<4. 所以a 范围是()()-2-134，，.基础练习1．设a b c a b c 111222，，，，，均为非零实数，不等式a x b x c 2111++>0，a x b x c 2222++>0的解集分别是集合M N ，，则a b c a b c 111222==是“M N =”的充要条件对吗？ 2．已知不等式ax bx c 2++>0的解集为{}|x x 2<<4，求不等式cx bx a 2++<0的解集. 3．不等式()ax ab x b 2++1+>0的解是x 1<<2，求a b ，的值. 4．若不等式x kx 2-+-4<0的解集为R ，求实数k 的取值范围. 5．已知不等式ax x 2-3+6>4的解集为{}|x x x b <1>或. （1）求a 、b ；（2）解不等式x cax b->0-（c 为常数）. 能力提高6．若关于m 的不等式()mx m x m 2-2+1+-10≥的解集为空集，求m 的取值范围. 7．已知不等式组x x a a x a 22⎧-+-<0⎨+2>1⎩的整数解恰好有两个，求a 的取值范围．8．已知()f x ax bx c 2=++在[]01，上满足()f x 1≤，试求a b c ++最大值.§2．3分式不等式像x x 16<-1-1这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式，解分式不等式，关键是将它变为整式不等式去解，其一般特征为：分式不等式()()f xg x >0（或0≥）或()()f xg x <0（或0≤）要正确运用以下同解原理.（1）()()f xg x ≥0（或<0）与()()f x g x ⋅>0（或<0）同解.（2）()()f x g x 0≥（或0≤）与不等式组()()()f x g x g x ⎧⋅0⎪⎨≠0⎪⎩≥()()()f x g x g x ⎛⎫⎧⋅0⎪ ⎪⎨ ⎪≠0⎪⎩⎝⎭或≤同解. 例1．解不等式x x x x 22-9+117-2+1≥.解：移项，通分得x x x x 22-6+5+40-2+1≥，()()()x x x 22+13-4∴0-1≤ 转化为()()()()x x x x 22⎧2+13-4-10⎪⎨-1≠0⎪⎩，，≤ ()()x x x ⎧2+13-40⎪∴⎨-1≠0⎪⎩，，≤ 则所求不等式的解集为x x x ⎧14⎫-<11<⎨⎬23⎩⎭或≤≤.例2．解关于x 的不等式()x a x x ax222+-1+3>1+.解：原不等式等价于x x x ax22-+3>0+.由于x x 2-+3>0对x ∈R 恒成立， ∴x ax 2+>0，即()x x a +>0当a >0时，{}|x x a x <->0或；当a =0，{}|x x x ∈≠0R 且；当a <0时，{}|x x x a <0>-或.例3．k 为何值时，下式恒成立：x kx kx x 322+2+<14+6+3.解：原不等式可化为：()()x k x k x x 222+6-2+3->04+6+3，而x x 24+6+3>0，∴原不等式等价于()()x k x k 22+6-2+3->0，由()()k k 2∆=6-2-4⨯2⨯3-<0得k 1<<3. 基础练习1．解下列不等式：（1）x x x x 22-3+2<0-2-3；（2）x x -30-2≥；（3）x x1>；（4）()()x x x x 232-2≥+1>0++1；（5）x x x x 2215-11+2<0-2+3+2.2．已知关于x 的不等式k x bx a x c++<0++的解集为()()-2-123，，，求关于x 的不等式kx bx ax cx -1+<0-1-1的解集. 3．若a b c >>，a 、b 、c 为常数，求关于x 的不等式()()()x a x c x b 2-->0-的解集. 4．解不等式x x x x 1111+>++4+5+6+3. 5．若不等式x ax x 2+0+4+3≥的解集为{}|x x x -3<<-12或≥，求实数a 的值.6．若m n >>0，求关于x 的不等式()()mx n x x --20-1≥解集.§2．4 高次不等式像x x x 22+3>2+6这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数高于两次的不等式称为高次不等式. 我们研究()()()()x x x x -1+1-2-3<0的解，此不等式的左端是关于x 的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程()()()()x x x x -1+1-2-3=0得x 的四个解分别为1，-1，2，3．然后将x 的取值分成5段，使得四个因式x x x x -1+1-2-3，，，的积为负的范围就是所求的解集. 列表：借助于数轴并根据积的符号法则表示为图2-2.图2-2由图可知：原不等式的解集为()()23-11，，．此方法为“数轴标根法”也可以叫“串线法”，高次不等式常常用“数轴标根法”来解，其步骤是： ①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．（未知数系数一定为正数） ②把各因式的根标在数轴上. ③用曲线穿根，（奇次根穿透，偶次根不穿透）看图像写出解集．例1．解不等式x x x 32+3>2+6.解：原不等式化为()(x x x +3>0∴原不等式的解为x x -3<<例2．解不等式：()()()()x x x x x 2+1-20-3-5≤.解：原不等式等价于()()()x x x x -20-3-5≤或x =-1.标根（见图2-3）；图2-3解集为[](){}0235-1，，.基础练习1．解不等式x x x 32+3>2+6.2．解不等式()()x x x x 22-4-5++2<0. 3．解不等式()()()()x x x x 23+2-1+1-2<0. 能力提高4．对于一切x 1⎡⎤∈-2⎢⎥2⎣⎦，，不等式ax x x 32-++10≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．设P x x x x 432=+6+11+3+31，求使P 为完全平方数的整数x 的值.6．已知x y a x y b c >0>0=+==，，，，问是否存在正数m 使得对于任意正数x y ，可使a b c ，，为三角形的三边构成三角形，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由. 7．已知函数()()x k k x f x x x 42242++2-4+4=+2+4的最小值是0，求非零实数k 的值.§2．5无理不等式像x 3-不等式，关键是把它同解变形为有理不等式组．无理不等式一般有如下几种形式：>()()()()f xg x f x g x ⎧0⎫⎪⇒⎪⎬⎪⇔0⎨⎪⎭⎪>⎪⎩定义域≥≥例1>0. 解：根式有意义∴必须有：x x x 3-40⎧⇒3⎨-30⎩≥≥≥又有x -3 x -3解之：x 1>2∴{}{}|x x x x x x ⎧1⎫>3>=>3⎨⎬2⎩⎭>()()()()f x g x f x g x 2⎧0⎪⎪⇔0⎨⎪>⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥≥或()()fx g x ⎧0⎪⎨<0⎪⎩≥ 例2x >4-3.解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集： Ⅰ：()x x x x x x 222⎧4-30⎪⎪-+3-20⎨⎪-+3-2>4-3⎪⎩≥≥ Ⅱ：x x x 2⎧-+3-20⎨4-3<0⎩≥解Ⅰ：x x x x 4⎧⎪3⎪64⎪12⇒<⎨53⎪⎪63<<⎪52⎩≤≤≤≤ 解Ⅱ：x 4<23≤∴原不等式的解集为xx ⎧6⎫<2⎨⎬5⎩⎭≤.()()()()()f x g x g x f x g x 2⎧0⎪⎪⇔>0⎨⎪<⎡⎤⎪⎣⎦⎩型≥例3x +2. 解：原不等式等价于()x x x x x x 222⎧2-6+4⎪⎪+2>0⎨⎪2-6+4<+2⎪⎩≥0x x x x 21⎧⎪⇒>-2⎨⎪0<<10⎩或≥≤{}|x x x ⇒2<100<1或≤≤ 例4>.解：要使不等式有意义必须：x x x x x 1⎧2+10-⎧1⎪⇒⇒-2⎨⎨+102⎩⎪-1⎩≥≥≥≥≥.>)22∴>，即()x >-+1.x +10≥，∴不等式的解为x 2+10≥ 即x 1≥-2.基础练习1．解下列不等式：（1（2）x x 3-3+3 （3（4）(x -10. 2>3. 3>. 4>1.5．满足x 3-x 的集合为A ；满足()x a x a 2-+1+0≤的x 的集合为B . （1）若A B ⊂，求a 的取值范围；（2）若A B ⊇，求a 的取值范围；（3）若A B 为仅含一个元素的集合，求a 的值． 6．求不等式()x x 224<2+9的解集.7．求使关于x k 有解的实数k 的最大值. §2.6 绝对值不等式1．含有绝对值不等式有以下两种基本形式：（1）()x a a a x a <>0⇔-≤≤（()x a a a x a >0⇔-≤≤≤），（2）()x a a x a x a >>0⇔><-或（()x a a x a x a >0⇔-或≥≥≤）. 2．解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号，一般有以下方法：（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()f x g x <）；（4）图像法或数形结合法. 例1．解不等式x x 2-5+5<1.解法一：利用不等式()x a a <>0的解集是{}|x a x a -<<和整体的思想()()f x f x <1⇔-1<<1，因此，这个不等式可化为x x x x 22⎧-5+5<1⎪⎨-5+5>-1⎪⎩ ①②解不等式①得解集{}|x x 1<<4 解不等式②得解集{}|x x x <2>3或∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即解集为{}|x x x 1<<23<<4或解法二：平方去绝对值．原不等式可化为：()()xx x x 22-5+6-5+4<0，即()()()()x x x x -2-3-4-1<0 利用“数轴标根法”（见图2-4），图2-4∴原不等式的解集是{}|x x x 1<<23<<4或.例2．解关于x 的不等式()x m m 2-1<2-1∈R .解：若m 2-10≤，即m 12≤，则x m 2-1<2-1恒不成立，此时原不等式无解；若m 2-1>0，即m 1>2，则()m x m -2-1<2-1<2-1，所以m x m 1-<<. 综上，当m 12≤时，原不等式的解集为∅；当m 1>2时，原不等式解集为{}|x m x m 1-<<. 例3．解下列不等式：（1）x 4<2-37≤；（2）x x -2<+1；（3）x x 2+1+-2>4.解：（1）原不等式可化为x 4<2-3≤7或x 2-3<-4-7≤，∴原不等式解集为17⎡⎫⎛⎤-2-5⎪ ⎢⎥22⎣⎭⎝⎦，，.（2）原不等式可化为()()x x 22-2<+1，即x 1>2， ∴原不等式解集为1⎛⎫+∞ ⎪2⎝⎭，.（3）当x 1-2≤时，原不等式可化为x x -2-1+2->4，x ∴<-1，此时x ∴<-1；当x 1-<<22时，原不等式可化为x x 2+1+2->4，∴x >1，此时x 1<<2；当x 2≥时，原不等式可化为x x 2+1+-2>4， ∴x 5>3，此时x 2≥. 综上可得：原不等式的解集为()()-∞-11+∞，，.例4．某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，km AB =5，km BC =3，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度km/h v 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．（1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差；（2）若要求列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围. 解：（1）列车在B 、C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 v 300-7和v 480-11 （2）由于列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 v v 300480-7+-112≤ 当v 3000<7≤时，①式变形为v v300480-7+-112≤，解得v 300397≤≤. 当v 300480<711≤时，①式变形为v v 3004807-+-112≤，解得v 300480<711≤. 当v 480>11时，①式变形为v v3004807-+11-2≤，解得v 480195<114≤. 综上所述，v 的取值范围是195⎡⎤39⎢⎥4⎣⎦，.基础练习1.解不等式x x x 2-1<++1.2．已知{}|A x x a =2-3<，{}|B x x =10≤，且A B ，求实数a 的取值范围．3．求不等式x x 3+14+2>5的解集. 4．求不等式x x -1+-5<7的解集.5．（1）对任意实数x x x a +1+-2>，恒成立，求a 的取值范围. （2）对任意实数x x x a -1-+3<，恒成立，求a 的取值范围.能力提高6．在一条公路上，每隔km 100有个仓库（如图2-5），共有5个仓库，一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？五四三二一图2-57．若关于x 的不等式x x a -4++3<的解集不是空集，求a 的范围．§2.7绝对值的不等式的性质定理：a b a b a b -++≤≤证明：()a a a a b a b a b b b b ⎫-⎪⇒-+++⎬-⎪⎭≤≤≤≤≤≤a b a b ⇒++≤ ①又a a b b =+- b b -=由①a a b b a b b =+-++-≤ 即 a b a b -+≤ ② 综合①②：a b a b a b -++≤≤.注意：1︒左边可以“加强”同样成立，即a b a b a b -++≤≤.2︒这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3︒a b ，同号时右边取“=”，a b ，异号时左边取“=”. 推论1．n n a a a a a a 1212++++++……≤. 推论2．a b a b a b --+≤≤. 证明：在定理中以b -代b 得：()()a b a b a b a b --+-+-+-≤≤≤，即a b a b a b --+≤≤.例1．设a b <1<1，，求证a b a b ++-<2.证明：当a b +与a b -同号时，a b a b a b a b a ++-=++-=2<2；当a b +与a b -异号时，()a b a b a b a b b ++-=+--=2<2. a b a b ∴++-<2.例2．已知()f x a b ≠时，求证：()()f a f b a b -<-. 证明：()()f a f b -===()()a b a b a b a b a ba b+-+-=++≤a b =-.基础练习1．ab >0，则①a b a +> ②a b b +< ③a b a b +<- ④a b a b +>-四个式中正确的是（） A.①②B.②③C.①④D.②④2．x 为实数，且x x m -5+-3<有解，则m 的取值范围是（）A.m >1B.m 1≥C.m >2D.m 2≥ 3．不等式a b a b+1+≤成立的充要条件是（）A.ab ≠0B.a b 22+≠0C.ab >0D.ab <04．已知a b ≠，a b a b m n a ba b-+==-+，，那么m 、n 之间的大小关系为（）A.m n >B.m n <C.m n =D.m n ≤能力提高5．已知()()f x x ax b a b 2=++∈R ，，求证：()()()f f f 1+22+32≥. 6．实数x 1、x 2、…、x 2007∈R ，满足x x x x x x 213220072008-+-++-=2007…，设kk x x x y k12+++=…，k =123，，…，2007.求y y y y y y 213220072006-+-++-…的最大值.§2.8 含字母系数的不等式像()ax a x 2-+1+1<0这样，只含有两个或两个以上的未知数的不等式，称为含字母系数的不等式．解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解．例1．解关于x 的不等式()ax a x 2-+1+1<0其中a >0 解：由一元二次方程()ax a x 2-+1+1<0的根为x x a121-1=，知（1）当a1>1，即a 0<<1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-6：故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，.图2-6（2）a10<<1，即a >1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-7：图2-7故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，. （3）a1=1，即a =1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-8：故原不等式的解为∅.图2-8综上，当a 0<<1时原不等式的解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a >1时原不等式解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a =1时原不等式解集∅.例2．解关于x 的不等式()x x a a 2---1>0. 解：原不等式可以化为：()()x a x a +-1->0. 若()a a >--1即a 1>2，则x a >或x a <1-. 若()a a =--1即a 1=2，则x x x 211⎛⎫->0⇒≠∈ ⎪22⎝⎭R ，.若()a a <--1即a 1<2，则x a <或x a >1-. 例3．关于x 的不等式()ax a x a 2+-1+-1<0对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 解：当a >0时不合题意，a =0也不合题意，必有：()()a a a a a a a 22<0⎧<0⎧⎪⇒⎨⎨3-2-1>0∆=-1-4-1<0⎪⎩⎩()()a a a a <0⎧1⎪⇒⇒<-⎨3+1-1>03⎪⎩.例4．解不等式：aa x >1--2. 解：原不等式可化为：()()a x a x -1+2->0-2，即()()()a x a x -1+2--2>0⎡⎤⎣⎦.当a >1时，原不等式与()a x x a -2⎛⎫--2>0 ⎪-1⎝⎭同解.若a a -22-1≥，即a 0<1≤时，原不等式无解：若a a -2<2-1，即a <0或a >1，于是a >1时，原不等式的解为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，.当a <1时，若a <0，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，；若a 0<<1，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，. 综上所述：当a >1时，解集为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，；当a 0<<1时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，；当a =0时，解集为∅；当a <0时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，.基础练习1．设a b >0>0，，解关于x 的不等式ax bx -2≥.2．解关于x 的不等式：()()x a x x x 22-+1+1>1-1（其中a >1）.3．解关于x 的不等式：()m x x 2+1-4+10≤()m ∈R . 4．解关于x 的不等式：ax x x 2-1>0--2．5．关于x 的不等式()()()m x m x m 2+1-2-1+3-1<0的解是一切实数，求实数m 的取值范围．能力提高6．设m m ∈≠0R ，，解关于x 的不等式x m x m m m 211⎛⎫-++-<0 ⎪⎝⎭.7．设不等式()()x m x 22-1>-1对满足m 2≤的一切实数m 的值都成立，求x 的取值范围. 8．若关于x 的不等式ax +2<6的解休是()-12，，求不等式xax 1+2≤的解集. 9．设不等式x ax a 2-2++20≤的解集为M ，如果[]M ⊆14，，求实数a 的取值范围． 10．已知不等式xy ax y 22+2≤对于[][]x y ∈12∈23，，，恒成立，求a 的取值范围. §2．9基本不等式及其应用图2-9是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？图2-9将图中的“风车”抽象成如图2-10，在正方形ABCD 中有个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a b ，.这样，4个直角三角形的面积的和是ab 2，正方形的面积为a b 22+.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a b ab 22+2≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有a b ab 22+=2. 定理1（基本不等式1）：C图2-10一般的，如果a b ∈R ，，那么a b ab 22+2≥（当且仅当a b =时取“=”号）证明：因为()a b ab a b 222+-2=-当a b ≠时，()a b 2->0，当a b =时，()a b 2-=0，所以，()a b 2-0≥，即a b ab 22+2≥.特别的，如果a b >0>0，，我们用分别代替a 、b，可得a b +≥()a ba b +>0>02，通常我们称a b+2为a 、ba 、b 的几何平均数. 例1．已知x 、y 都是正数，求证：（1）y xx y+2≥；（2）()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.证明：x y ，都是正数x yx y x y y x2233∴>0>0>0>0>0>0，，，，，（1）x y y x +=2≥即x yy x+2≥. （2）x y x y x y 2233+0+0+0，，≥≥≥()()()x y x y x y x y 223333∴+++=8≥ 即()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.说明：在运用定理：a b+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形. 例2．（1）用篱笆围成一个面积为2m 100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）段长为m 36的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：（1）设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则xy =100，篱笆的长为()m x y 2+.由x y+2x y +≥()x y 2+40≥.等号当且仅当x y =时成立，此时x y ==10.因此，这个矩形的长、宽都为m 10时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）设矩形菜园的宽为m x ，则长为()m x 36-2，其中0x <<18，其面积()()x x S x x x x 22112+36-236⎛⎫=36-2=⋅236-2=⎪2228⎝⎭≤ 当且仅当x x 2=36-2，即x =9时菜园面积最大，即菜园长m 18，宽为9m 时菜园面积最大为2162m . 归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a b +∈R ，，且a b M +=，M 为定值，则M ab 24≤，等号当且仅当a b =时成立.2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a b +∈R ，，且ab P =，P 为定值，则a b +≥，等号当且仅当a b =时成立.定理2（基本不等式2）：如果a b c +∈R ，，，那么a b c abc 333++3≥（当且仅当a b c ==时取“=”）证明： ()a b c abc a b c a b ab abc 3333322++-3=++-3-3-3 ()()()()a b c a b a b c c ab a b c 22⎡⎤=+++-++-3++⎣⎦()a b c a ab b ac bc c ab 222⎡⎤=+++2+--+-3⎣⎦()()a b c a b c ab bc ca 222=++++---()()()()a b c a b b c c a 2221⎡⎤=++-+-+-⎣⎦2. a b c ∈+R ，，， ∴上式0≥.从而a b c abc 333++3≥.推论：如果a b c ∈+R ，，，那么a b c ++3a b c ==时取“=”）证明：a b c 333++++≥≥a b c++⇒3由此推出：a b c abc 3++⎛⎫⎪3⎝⎭≥.例3．求证：（1）()a b c a b c 111⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥9；（2）a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥.证明：（1） a b c ，，都是正数a b c a b c ++111∴>0++>03，≥ ()a b c a b c 111⎛⎫∴++++=9 ⎪⎝⎭≥.（2）a b c ，，都是正数a b c b c a ∴++=3≥，b c a a b c ++3≥. a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫∴++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥. 例4．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平正比，与它的长度l 的平方成反比，见图2-11．lda图2-11（1）将此枕木翻转90︒（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗?为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：（1）由题可设安全负荷ad y k l 212=⋅（k 为正常数），则翻转90︒后，安全负荷da y k l 222=⋅.因为y dy a 12=，所以，当d a 0<<时，y y 12<，安全负荷变大；当a d 0<<时，y y 12>，安全负荷变小.（2）如图2-12，设截取的枕木宽为a ，高为d ，则图2-12a d R 222⎛⎫+= ⎪2⎝⎭即a d R 222+4=4 枕木长度不变，u ad 2∴=最大时，安全负荷最大．u d d ∴====当且仅当d R d 222=-2，即取d a ===，时，u 最大，即安全负荷最大. 定理3（基本不等式3） *ni a a a n a R i n n+12+++∈∈1N …，，≤≤.这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念.如果n a a a n +12∈>1R ，，…，，且n +∈N ，则na a a n12+++…叫做这n 做这n 个正数的几何平均数．定理3的语言表述为：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基础练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()a b b c c a abc +++8≥. 2．设a b c +∈R ，，，且ab bc ca ++=108，求ab bc cac a b++的最小值. 3．（1）若x >0，求()f x x x9=4+的最小值；（2）若x <0，求()f x x x9=4+的最大值. 4．（1）若x ≠0，求x x1+的取值范围；（2）若ab =1，求a b +的取值范围；（3）若x 5<4，求x x 14-2+4-5的最大值；（4）若x >2，求x x x 2-3+3-2的最小值；（5）若x y >0，，且x y 19+=1，求x y +的最小值；（6）若x y >0，，x y +=1，求x y41+的最小值；（7）求y 2=y 2=（8）若a b >0，，且ab a b =++3，求ab 的取值范围.5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3m 4800，深为m 3，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每2m 1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？6．某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层m 21000的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高%5．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？能力提高7．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清冼一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定()f 0的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（3）设()f x x 21=1+，现有()a a >0单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．8．设a a a a 11211>-1≠=1+1+，.（1a a 12，之间；（2）a a 12，；（3.9．设常数a b +∈R ，，试探求不等式()ax a b b 2=+-1+>0对任意x >1成立的充要条件. 10.已知集合(){}|D x x x x x x k 121212=>0>0+=，，，（其中k 为正常数）. （1）设u x x 12=，求u 的取值范围；（2）求证：当k 1≥时，不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()x x D 12∈，恒成立；（3）求使不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥对任意()x x D 12∈，恒成立誓k 2的范围.11．已知a b c +∈R ，，，且满足()()kabc a b a b c a b c22++++4++≥，求k 的最小值.§2.10 不等式的证明证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容方方面面．如与数列、三角函数、函数等相结合，解答时需要综合运用这些知识.不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握等式的性质和一些基本不等式.不等式的证明常用方法有：比较法、分析法、综合性、反证法． 1，比较法比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式： ①求差比较法，步骤是：作差——变形——判断．变形方向：变为一个常数；或变为平方和形式；或变为因式之积的形式．这种比较法是普遍适用的，是无条件的.它的理论依据是实数大小关系：a b a b a b a b a b a b ->0⇔>⎧⎪-=0⇔=⎨⎪-<0⇔<⎩应用范围：常用于指（对）数式的比较．这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定. 例1．若a b n >0>1，，，则n n n n a b a b ab -1-1++≥ 证明：()()()()n n n n n n a b a b ab a a b b a b -1-1-1-1++=---()()n n a b a b A -1-1=--=.若a b >，则n n a b -1-1>，则A >0；若a b <，则n n a b -1-1<，则A <0；若a b =，则A =0. ∴原不等式成立.②求商比较法，步骤是：作商——变形——判断. 做商法是依据当b >0，且ab>1时，则a b >，反之则亦然．例2．设a b c ，，为正数，证明()a b c a n ca b c abc ++3≥.证明：易知上式是轮换的，不妨设a b c ≥≥. 上式即()a b ca b c a b c abc ++333≥a bb ca ca b c b c a c a b a b c a b a a b c b c c ---222+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=1 ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥.∴原不等式成立．比较法是证明不等式最基本，也是最常用的方法之一，它主要有作差或作商，变形，判断三个步骤．基础练习1．（1）若x >1，求证：x x x31>+-1；（2）若a b ∈R ，，求证：a b ab a b 22+++-1≥；（3）若a b <<0，求证：a b a b a b a b2222++<--；（4）若a b >0>0，，求证：a b b a a b a b ≥. 2．若x y z a b c +∈∈R R ，，，，，，则()b c c a a b x y z xy yz zx a b c222+++++2++≥. 3．若a b c ，，为不全相等的正数，则a b ab b c a c ac abc 22222++++>6. 4．已知ab R +∈，且a b ≠，求证：()()()a b a ab b a b 222222--+<-.2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法，分析法也称逆推法.例3(22>即12+>16+2+即35>19+，即4，即15<16(22>即12+>16+35>19+即35>19+，即4，即15<16例4．已知n ∈N ，求证：n n n n 111111111⎛⎫⎛⎫1++++++++ ⎪ ⎪+1352-12462⎝⎭⎝⎭……≥① 证明：要证明不等式（1），只须证()n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫1+++++1++++ ⎪ ⎪352-12462⎝⎭⎝⎭……≥②②式左边即n n n n 111⎛⎫+++++ ⎪22352-1⎝⎭…③ ②式右边即n n n 11111111⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪24622462⎝⎭⎝⎭……④n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪22462462⎝⎭⎝⎭…… 比较③和④可知要证②式成立，只须证明 n n 1111⎛⎫++++ ⎪22462⎝⎭…≥⑤ n n111111++++++352-1462……≥⑥ ⑤，⑥两式显然成立，故不等式①成立．用分析法证明不等式时，应注意每一步推理都要保证能够反推回来．分析法的优点就是比较符合探索题解的思路，缺点就是叙述往往比较冗长，因此，思路一旦打通，可改用综合法解答，它适用于条件简单而求证复杂或从条件无从下手的题．基础练习1<2．设,x y >0>0，证明不等式：()()x yxy11223323+>+.3．已知,,a b c 分别为一个三角形的三边之长，求证c a b a b b c c a++<2+++. 4.若,,x y z +∈R ，且x y z xyz ++=，证明不等式y z z x x yx y z x y z 2⎛⎫+++111++2++ ⎪⎝⎭≥.5，已知,,x y z ∈+R ，且x y z 222++=1，求证：x y z x y z 222++1-1-1-6．已知,,a b c 01≤≤，求证：a b cbc ca ab ++2+1+1+1≤. 3．综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式性质，函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．例5．已知△的三边长为,,a b c ，且a b c s ++=2，求证：()()()abcs a s b s c ---8≤. 证明：由条件得：,,s a s b s c ->0->0->0 ()()()s a s b c s a s c s a b 222-+-1⎛⎫∴--=2--= ⎪244⎝⎭≤.同理：()()()(),a b s b s c s c s a 22----44≤≤.三式相乘再开方得()()()abcs a s b s c ---8≤.在实际应用中，常常用分析法寻找思路，用综合法表述，即所谓的综合分析法，这样使得叙述不会太过于冗长，请看下例：例6．设,,,a b x y R ∈，且,a b x y 2222+=1+=1，试证：ax by +1≤. 证法1：用分析法。

上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期数学期末考带讲解

故选：B.
【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.
13.在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】先过点作于点，连接，根据题意，得到即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，推出，进而可求出结果.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出异面直线与的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线与所成角的大小．
【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系：
在长方体中，
，，
，，，，
，，
，
异面直线与所成角的大小是．
故答案为：．
6.如图所示，在平行六面体中，，若，则 ___________.
15.如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为 .
（1）求圆锥SO的侧面积；
（2）若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可
【答案】
【分析】设球半径为，由球表面积求出，然后可得球的体积．
【详解】设球半径为，
∵球的表面积为，
∴ ，
∴ ，
∴该球的体积为．
故答案为．
【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．
5.已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示）

2 华东师范大学第二附属中学(创新班和理科班用)数学(高中上册)-3

第三章函数§3.1 函数与映射在初中我们已经学习了函数的概念．它是这样叙述的：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量．在学习了集合概念之后我们可以将函数的概念进一步叙述如下：设A 、B 是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 与之对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的一个函数，记作()y f x =，x A ∈其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合()}{y y f x x A =∈，叫做函数的值域.一般地，函数的定义域是由问题的实际背景所确定的．如果只给出函数的解析式()y f x =，而没有指如果将函数的定义中的两个非空数集扩展到任意元素的非空集合，我们可以得到映射的概念．对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称:f A B →为一个映射．记作:f A B →，其中b 称为像，a 称为原像．由映射的定义可知函数是特殊的映射．按照映射的定义，下面的对应都是映射．（1）集合A ={中国、美国、俄罗斯），B = {北京、华盛顿、上海、莫斯科）集合A 中元素x 按照对应关系“该国的首都”来对应集合B 中的元素．（2）集合A ={1-，1，2，2-，3- }，B = {1，4，9）集合A 中元素x 按照对应关系“取平方”与集合B 中的元素对应．（3）集合A ={P P 为直角坐标系中的点}，()}{B x y x y =∈∈R R ，，按照建立直角坐标系的方法，使A 中的点P 与B 中的有序数对()x y ，对应．如果:f A B →是一个映射且对任意x ，y A ∈，x y ≠，都有()()f x f y ≠，则:f A B →是A 到B 上称之为单射．如果:f A B →是映射且对任意y B ∈，都有一个x A ∈使得()f x y =，则称:f A B →是A 到B 上的满射．60数学（高中上册）如果:f A B →既是单射又是满射，则:f A B →是A 到B 上叫做一一映射．如果:f A B →是从集合A 到集合B 上的一一映射，并且对于B 中每一元素b ，使b 在A 中的原像a 和它对应，这样所得的映射叫做:f A B →的逆映射，记作1:f B A -→．例1．求下列函数的定义域：（1）求函数y =（2）()11f x x =+解：（1）这函数是两项之和，由第一项有：101112x x x x ->>⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩由第二项有：29033x x -⇒-，≥≤≤取两者之交集即为所求之定义域：(](]1223 ，，（2）使分式11x +有意义的实数x 的集合是}{1x x x ≠-∈R ，，有意义的实数x 集合是(][)13-∞-+∞ ，，．所以，这个函数的定义域是()[)13-∞-+∞ ，，．例2．（1）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x ；（2）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+求()f x ；（3）已知()f x 满足()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x ．解：（１）33311113f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， ()()3322f x x x x ∴=--或≥≤．（2）设()()0f x ax b a =+≠，则()()31213332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+，27a b ∴==，，()27f x x ∴=+．（3）()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭① 把①中的x 换成1x ，得()()321f x f x x+= ② ①2⨯-②得()336f x x x =-， ()12f x x x∴=-.0x x ∈≠R ，．注意：求函数解析式，除了对应法则外，还要在对应法则后标注函数定义域．例3．下面三个对应中哪些是从A 到B 的映射．（1）}{0:A R B y y f x y x ==>→=，，；（2）}}{{22*0:22A x x x B y y y f x y x x ∈=∈→=-+N N ，，，，≥≥；（3）}{}{0:A x x B y y f x y =>=∈→=R ，，．解：由映射定义上述三个对应，（2）是从A 到B 的映射；（1）、（3）不是从A 到B 的映射．例4．从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪些是正确的?哪些说法是错误的?（1）A 中的某一元素a 的像可能不止一个．（2）A 中两个不同元素1a 、2a 的像必不相同．（3）B 中某一元素b 的原像可能不止一个．（4）B 中两个不同元素的原像可能相同．（5）B 中的任一元素在A 中必有原像．（6）A 中任一元素在B 中必有唯一的像．解：由映射定义上述结论（3）、（6）正确，（1）、（2）、（4）、（5）错误。

2 华东师范大学第二附属中学(创新班和理科班用)数学(高中上册)-1

第一章集合与命题集合论是德国著名数学家康托尔（George Cantor ，1845--1918）于19世纪末创立的．17世纪数学中出现了一门新的分支——微积分．在之后的200年中，这一门分支学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础．19世纪初，在不少迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念，他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．德国伟大的数学家希尔伯特（David Hilbert ，1862—1943）称康托尔的集合论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．英国数学家和哲学家罗素（Bertrand Russell ，1872—1970）把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．苏联著名的数学家科尔莫戈洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov ，1903--1987）说“康托尔的不朽功绩，在于他敢向无穷大冒险迈进．”还有人曾评价：集合论是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．总之，康托尔的无穷集合论是过去2500年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一 §1.1集合及其表示法在现实生活和数学中，我们经常要把一些确定的对象作为一个整体来考察研究．例如：（1）某校高一（1）班的全体学生；（2）中国运动员在历届夏、冬季奥运会上取得的所有金牌；（3）1~100之间的所有质数；（4）不等式230x ->的解的全体；（5）所有的平行四边形；（6）平面上到两个定点的距离相等的点的全体．我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，也是各不相同的，而且各元素地位相等，与顺序无关．我们把含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．为了研究的需要，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．例如，方程210x +=的实数解组成的集合就是空集．集合通常用大写的英文字母表示，如A 、B 、C 、…，元素通常用小写的英文字母表示，如a 、b 、c 、…．如果a 是集合A 的元素，就记作a A ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作a A ∉，读作“a 不属于A ”．数的集合简称数集，常用的数集我们一般用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ；不包括零的自然数（正整数）组成的集合，即正整数集，记作*N ；全体整数组成的集合，即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合，即实数集，记作R ．我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+Z 、-Z 、+Q 、-Q 、+R 、-R ．集合的表示方法通常有两种，即列举法和描述法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法．如：{1，3，5，7，9}，{23223274x x x y x y -+-，，， }．在大括号内，先写出此集合中元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中的元素的公共属性，即A ={|x x 满足性质P ），这种表示集合的方法称为描述法．如：不等式230x ->的解集可表示为{}|230x x ->，函数1y x =+图像上的点组成的集合可表示为{}()|1x y y x =+，．例1．用适当的方法表示下列集合：（1）30的所有正因数组成的集合A ；（2）被5除余3的自然数全体组成的集合B ；（3）二次函数223y x x =+-图像上的所有点组成的集合C ．解：（1）用列举法表示：A ={1，2，3，5，6，10，15，30}；（2）用描述法表示：{}|53B x x n n ==+∈N ，；（3）用描述法表示：{}2()|23C x y y x x ==+-，．例2．设{}22|M a a x y x y ==-∈Z ，，，求证：（1）21()k M k -∈∈Z ，；（2）42()k M k -∉∈Z ，；（3）若p M ∈，q M ∈，则pq M ∈．证明：（1）因为k ，1k -∈Z ，且2221(1)k k k -=--，所以21k M -∈．（2）假设42()k M k -∈∈Z ，则存在x ，y ∈Z ，使2242k x y -=-，由于x y -和x y +有相同的奇偶性，所以22()()x y x y x y -=-+是奇数或4的倍数，木可能等于42k -，假设不成立，所以42k M -∉．（3）设2222p x y q a b =-=-，，x y a b ∈Z ，，，，则 2222()()pq x y a b =-- 22222222x a y b x b y a =+-- 22()()xa yb xb ya M =--∈，（因为xa yb xb ya -∈-∈Z Z ，）．例3．若集合{}2|210A x ax x x =--=∈R ，中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，方程只有一个根12-，则0a =符合题意；当0a ≠时，则关于x 的方程是一元二次方程，由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程2210ax x --=有两个相等的实数根或没有实数根，所以440a ∆=+≤，解得1a -≤．综上所得，实数a 的取值范围是{|0a a =或1a -≤}．例4．已知集合{}()|3A x y x y x y =+=∈Z ，，、．（1）用列举法表示集合A ，并计算集合A 的元素个数；（2）将以上关于集合A 的元素个数的计算问题进行拓展，使原问题是拓展后问题的特例，并计算相关集合的元素个数．解：（1）若30x y ==，，则30x y =±=，；若21x y ==，，则21x y =±=，，或21x y =±=-，；若12x y ==，，则12x y =±=，，或12x y =±=-，；若03x y ==，，则03x y ==±，．∴A ={(30)(30)(21)(21)(21)(21)(12)(12)------，，，，，，，，，，，，，，，，(12)(12)(03)(03)}----，，，，，，，．拓展一：{}*()|A x y x y n x y n =+=∈∈Z N ，，、，．当0x =，或x n =时，方程x y n +=均有两组解；当1x =，或2x =，…，或1x n =-时，方程x y n +=均有四组解； ∴满足条件的整数对有4n 对．即()4n A n =．拓展二：{}*()|A x y z x y z n x y z n =++=∈∈Z N ，，，、、，．当0x y z n =+=，时，有4n 组解；当11x y z n =+=-，时，有24(1)n ⨯-组解；当22x y z n =+=-，时，有24(2)n ⨯-组解；…，当11x n y z =-+=，时，有8组解；当0x n y z =+=，时，有2组解；因此满足条件的整数对有242n +对．即2()42n A n =+．基础练习1．用描述法表示下列集合：（1）{1，4，9，16，25，36，49}；（2）12340251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭，，，，， 2．用列举法表示下列集合：（1）{|x x 是20的正约数）；（2）{}2|340x x x x --<∈Z ，．3．设三元素的集合0b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，也可表示为{}21a a b +-，，，求20102011a b +的值． 4．已知全集65M aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z 且，求集合M ．5．给定三元集合{}21x x x -，，，求实数x 的取值范围．6．若集合{}2|210A x ax x a x =++=∈∈R R ，，中只有一个元素，求a ．7．若集合{}1A x xy xy =-，，，其中x y ∈∈Z Z ，且0y ≠，若0A ∈，求A 中元素之和．8．设集合0123{}S a a a a =，，，，在S 上定义运算为：i j k a a a ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，i j =、 0，1，2，3，则求满足关系式20()x x a a ⊕⊕=的()x x S ∈的个数． 9．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）1S ∈；2）若a S ∈，则11S a∈-．如果S ≠∅，S 中至少含有多少个元素?说明理由．10．若实数a 为常数，且a A ⎧⎪∈=⎨⎪⎩，则a =__________． 11．平面点集{}22()|2263M x y x x y x x x y =-+--∈Z ，，且，≤≤，求M 中元素的个数．12．定义集合A ，B 的一种运算：{}1222|A B x x x x x A x B *==+∈∈，，，若A ={l ，2，3），B ={1，2}，则A B *中的所有元素之和为__________． 13．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11aA a+∈-．（1）若3a =-，求出A 中其他所有元素；（2）0是不是集合A 中的元素?请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素．（3）根据（1）（2），你能得出什么结论? 14．非空集合M N ⊆，且同时满足条件“若a M ∈，则30M a∈”．（1）写出所有含有2个元素的集合M ；（2）只有三个元素的集合M 是否存在?若存在，写出集合M ，若不存在，请说明理由，并适当改变题目的条件，使满足题意的集合M 可以只有三个元素；（3）用()s M 表示集合M 中所有元素之和，求()s M 的最大值；（4）从以上的工作中你可以得到哪些一般性的结论（规律）?15．集合A ={1，2，3，…，2n ，2n +1}的子集B 满足：对任意的x y B x y B ∈+∉，，，求集合B 中元素个数的最大值． 1.2 集合之间的关系一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”．我们规定，空集包含于任何一个集合，即空集是任何集合的子集．对于两个集合A 与B ，如果有A B ⊆，且B A ⊇，我们称集合A 与集合B 相等，记作A B =，读作“集合A 等于集合B ”．如对于集合{}|21A x x k k ==+∈Z ，与{}|21B x x k k ==-∈Z ，，则有A B =．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么称集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”．用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，如图1-1所示，表示A B ⊆（A B ）所用的图叫做维恩图．图1-1BA例1．写出集合{0，5，10）的所有子集和真子集．解：集合的所有子集为∅，{0}，{5}，{10}，{0，5），{0，10），{5，10}，{0，5，10），除了{0，5，10），其余七个子集均为集合{0，5，10）的真子集．例2．设集合{}{}{}2|1|1|A x x a P y y x x A Q y y x x A =-=+∈==∈，，，，≤≤，（1）若Q P ⊆，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得P Q =？并说明理由．解：（1）{}|01P y y a =+≤≤． ①当10a -<≤时，{}2|1Q y a y =≤≤， 2011a Q P a ⎧⊆∴⎨+⎩，，，≥≤不合；②当01a ≤≤时， {}|01Q y y =≤≤； 11Q P a ⊆∴+，，≤得01a ≤≤；③当1a >时，{}2|0Q y y a =≤≤， 21Q P a a ⊆∴+，，≤得1a < 故实数a的取值范围是：0⎡⎢⎣⎦．（2）在②中令11a +=得0a =，此时{}|01P Q y y ==≤≤；在③中令21a a +=得a，此时0P Q y y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎩⎭≤；故存在实数0a =或a 使得P Q =．例3．设{}|21A x x k k ==-∈Z ，，{}|41B x x k k ==±∈Z ，，求证：A B =．证明：（1）设a A ∈，∴存在k ∈Z ，使得21a k =-，①若k 为偶数，设2()k m m =∈Z ，则2(2)141a m m B =-=-∈；②若k 为奇数，设21()k m m =-∈Z ，则2(21)14(1)1a m m B =--=-+∈；a B ∴∈；（2）设b B ∈，∴存在k ∈Z ，使得41b k =±，①若41b k =+，则2(21)1b k A =+-∈； ②41b k =-，则2(21)1b k A =-+∈； b A ∴∈；由①、②知A B =．例4．已知{}|A x x a a b ==∈N ，、．（1）对任意12x x A ∈、，证明：1222x x A x x A +∈⋅∈，；（2）若集合{}11|B x x x A ==∈，，证明：BA ；（3）若集合{}1212|C x x x x x x A ==-∈，、，当x a C =∈（a b 、互质）时，必有1C x∈，揭示a 、b 的关系．解：（1）设12x a x c a b c d =+=+∈N ，，、、、．1())x x a c b d +=+++，12(2))x x ac bd ad bc ⋅=++，2a c b d ac bd ad bc ++++∈N 、、、， 1212x x A x x A ∴+∈⋅∈，．（2）若11x A x a a b ∈=∈N ，，、，则1x B ∈．12)2x x a b A ==+=+∈，B A ∴⊆．121A B +∈+，，B A ．（3）{}1212|C x x x x x x A ==-∈，、， {}|C x x a a b ∴==∈Z ，、．1x a C x =+∈==，a b 、互质，2221a b ∴-=，或2221a b -=-．基础练习1．已知集合{}{}22P a aq aq Q a a d a d ==++，，，，，，其中0a ≠，且a ∈R ，若P Q =，则实数q =__________．2．已知集合{}{}2|320|10M x x x N x ax =-+==+=，，若N M ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =__________．3．已知{}{}|2|A x x B x x a =<=，≤，且A B ⊆，则常数a 的取值范围是__________．4．若非空集合S 满足S ⊆{1，2，3，4，5}，且若a S ∈，则6a S -∈，那么符合要求的集合S 有__________个．5．集合{}{}2|60|10P x x x M x mx =+-==-=，，且M P ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为__________．6．已知集合{}A x xy x y =+，，，{}0B x y =，，，且A B =，则x =__________，y =__________． 7．集合{}{}22220A x y x y xy B x y x y =-+=+-，，，，，，且A B =，则x y +=__________． 8．已知集合{}21|021m x A x x B z z x B mx ⎧⎫-⎪⎪=<==>≠∅⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，，，，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是__________．9．集合{}|1284M u u m n l m l n ==++∈Z ，，，，集合{}|201612N u u p q r p q r ==++∈Z ，、、，求集合M 与N 的关系．10．设集合M ={1，2，3，…，2 010}，集合A 满足：A M ⊆，且当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素最多有多少个．11．设集合M ={1，2，3，4，5，6），1S ，2S ，…，k S 都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}{}{}(123)i i i j j j S a b S a b i j i j k ==≠∈，，，，、，，，，，都有{}min min (min j j i i i i j j a b a b x y b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，，表示两个数x y ，中的较小者），求k 的最大值． 12．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}[]{}|()|()A x f x x B x f f x x ====，．（1）求证：A B ⊆；（2）若2()1()f x ax a x =-∈∈R R ，，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围． 1．3集合之间的运算 1．交集一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合，叫做A 与B 的交集．记作A B ，读作“A 交B ”，即{}|A B x x A x B =∈∈且．用维恩图可以直观地表示AB 的一般情况（见图1-2）．∩A BB A 图1-2由交集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：（1）A B B A =; （2）A A A =；（3）A ∅=∅；（4）A B A A B B ⊆⊆，；（5）若A B A =，则有A B ⊆；反之若A B ⊆，则A B A =．例1．已知集合{}{}2|4260|0A x x ax a B x x =∈-++==∈<R R ，，若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：A B ≠∅，∴A 中至少含有一个负数，即方程24260x ax a -++=至少有一个负根．当方程有两个负根时，2164(26)040260a a a a ⎧∆=-+⎪<⎨⎪+>⎩≥ 解得：31a -<-≤当方程有一个负根与一个正根时，2164(26)0260a a a ⎧∆=-+>⎨+<⎩解得：3a <-当方程有一个负根与一个零根时，164(26)040260a a a a ∆=-+>⎧⎪<⎨⎪+=⎩解得：3a =-综上：3a <-或21a -<-≤或3a =-，即实数a 的取值范围为(1]-∞-，．2．并集一般地，由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集．记作A B ，读作“A 并B ”，即{}|AB x x A x B =∈∈或．用维恩图可以直观地表示A B 的一般情况（见图1-3）．A B图1-3由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：（1）A B B A =；（2）A A A =；（3）A A ∅=；（4）A A B B A B ⊆⊆，；（5）若A B B =，则有A B ⊆；反之若A B ⊆，则A B B =．例2．已知{}{}22|10|(21)20A x x mx m B x x m x m =-+-==--+=，，A B A B ≠∅Z ，，求m 的值和集合A B 、．解：A B ≠∅， 12111m x m m +∴==+--． ABZ ，0m ∴=，或2m =（舍），或3m =，或1m =-（舍）．当0m =时，{}{}1110A B =-=-，，，；当3m =时，{}{}1223A B ==，，，．例3．{}{}22|320|10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，，{}2|20C x x mx =-+=，若AB A AC C ==，，求a m ，．解：依题设，{}12A =，，再由210x ax a -+-=解得1x a =-或1x =，因为A B A =，所以B A ⊆，所以1a A -∈，所以11a -=或2，所以2a =或3．因为A C C =，所以C A ⊆，若C =∅，则280m ∆=-<，即m -<<C ≠∅，则1C ∈或2C ∈，解得3m =．综上所述，2a =或3a =；3m =或m -3．补集在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作UA ，读作“A 补”，即{}|UA x x U x A =∈∉，．用维恩图可以直观地表示UA 的一般情况（见图1-4）．图1-4由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：（1）UA A =∅；（2）UA A U =（3）()UU A A =．例4．设{}*|10U x x x =<∈N ，，{}{}{}3()468()15U U A B A B A B ===，，，，，，求()UA B A B ，，．解：A B 中的元素可分为三类：一类属于A 不属于B ；一类属于B 不属于A ；一类既属于A 又属于B ．由()U A B ={4，6，8}，即4，6，8属于B 不属于A ；由()U B A {1，5}，即1，5属于A 不属于B ；由AB ={3}，即3既属于A 又属于B ；又{}*|10U x x x =<∈=N ，{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，若2属于A 不属于B ，则与()U B A ={1，5}矛盾，若2属于B 不属于A ，则与()U A B ={4，6，8）矛盾，而2AB ∉，∴2既不属于A 也不属于B ，同理7，9既不属于A 也不属于B ．综上，()UB A B ={2，7，9}，A ={l ，3，5），B ={3，4，6，8}．例5．设集合{}{}22|540|2(2)0A x x x B x x ax a =-+>=-++=，，若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：{|1A x x =<或4x >}，A B ∴≠∅的意义是方程22(2)0x ax a -++=有解，且至少有一解在区间(1)(4)-∞-+∞，，内，但直接求解情况比较多，如果考虑“补集”，则解法较简单．设全集{}{}2|(2)4(2)0|12U a a a a a a =∆=-+=-或≥≤≥，且{|P a =关于x 的方程22(2)0x ax a -++=的两根都在[14]，内}，记2()2(2)f x x ax a =-++， ∴方程()0f x =的两根都在[1，4]内012(1)030(4)018701414a a f a f a a a ∆⎧⎧⎪⎪-⎪⎪⇔⇔⎨⎨-⎪⎪⎪⎪<<<<⎩⎩或≥≤≥≥≥≥≥，解得1827a ≤≤，1827P a a ⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭≤≤，∴所求实数a 的取值范围是18|17UP a a a ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭或≤．例6．求证：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）()()()A B C A B A C =；（2）()()()A B C A B A C =；（3）()UUUA B A B =；（4）()U U UAB AB =．证明：这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成．（1）若()x A B C ∈，则x A ∈，且x B ∈或x C ∈，所以()x A B ∈或()x A C ∈，即()()x A B A C ∈；反之，()()x A B A C ∈，则()x A B ∈或()x A C ∈，即x A ∈且x B ∈或x C ∈，即x A ∈且()x B C ∈，即()x A B C ∈．（3）若UUx AB ∈，则Ux A ∈或U x B ∈，所以x A ∉或x B ∉，所以()x A B ∉，又x I ∈，所以()Ux AB ∈，即()U U UAB AB ⊆，反之也有()UUUA B AB ⊆．说明：我们把例7称为集合的性质．1．分别用集合符号表示图1-5的阴影部分：（2）（1）图1-52．设集合{}()|37A x y x y =-=，，集合{}()|23B x y x y +=，，求A B ．3．集合{}|21A x y a x ==+∈R ，，{}2|9B y y x x ==-+∈R ，，则A B =__________．4．设{}211|(21)2101123B x a x x C ⎧⎫=--+==--⎨⎬⎩⎭，，，，，若B C ，求实数a 的所有值．5．设全集U =R ，集合{}{}222|120|280A x x ax B x x bx b =+-==++-=，，若{}2UAB =，求a 、b 的值．6．已知{}{}()|()|A x y y a x B x y y x a ====+，，，，C A B =，又能C 为单元素集合，求实数a 的取值范围．7．I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，{}{}2()()19U U A I B I A B A B ⊆⊆==，，，，，{}()468U A B =，，，则()U A B =__________．8．已知集合{}{}2|1030|121A x x x B x m x m =+-=+-，≥≤≤，当A B =∅时，实数m 的取值范围是__________．9．集合{}2213(3211)M m m N m m m =+-=--+，，，，，，若{}3MN =-，则m =__________．10．集合{}{}|53|72A a a x x B b b y y ++==+∈==+∈N N ，，，，则A B 中的最小元素是__________．能力提高11．设全集{}()|U x y x y =∈R ，，，集合3()12y A x y x x ⎧-⎫==∈⎨⎬-⎩⎭R ，，，（1）若{}()|1B x y y x x y ==+∈R ，，，，求()UA B ；（2）若{}()|1B x y y x x y =≠+∈R ，，，，求()UAB ．12．某公司有120人，其中乘轨道交通上班的84人，乘汽车上班的32人，两种都乘的18人，求：（1）只乘轨道交通上班的人数；（2）不乘轨道交通上班的人数；（3）乘坐交通工具的人数；（4）不乘交通工具而步行的人数；（5）只乘一种交通工具的人数． 13．已知{}{}2()|()|315A x y x n y an b n B x y x m y m m ===+∈===+∈Z Z ，，，，，，，，{}22()|144C x y x y =+，≤，问是否存在实数a b ，，使得（1）A B ≠∅，（2）()a b C ∈，同时成立?14．设集合{}{}222|320|2(1)(5)0A x x x B x x a x a =-+==+++-=，，（1）若{}2AB =，求实数a 的值；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围；（3）若UU R AB A ==，，求实数a 的取值范围．15．设集合{}{}{}22()|10()|42250()|A x y y x B x y x x y C x y y kx b =--==+-+===+，，，，，，问：是否存在k b ∈N ，，使得()A B C =∅，并证明你的结论．16．集合A 和B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：（1）C A B ⊆且C 中含有3个元素；（2）C A ≠∅．17．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，{}222()|r x y x y r =+，≤，若对任何0r ≥，都有rrA B ⊆，则必有A B ⊆，证明你的结论．1．4容斥原理与抽屉原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．容斥原理用A 表示集合A 的元素个数，则（1）A B A B A B =+-，（2）ABC A B C AB AC BC ABC =++---+，（3）此结论可以推广到n 个集合的情况，即 12111nn i i j i j k i i j ni j nA A A A A A A A A ==-+∑∑∑≤<≤≤<≤112(1)n n A A A +-+-例1．求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．解：记I ={1，2，3，…，100}，{|1100A x x =≤≤，且x 能被2整除（记为2|x ）}， {}{}|11003||11005|B x x x C x x x ==，，，≤≤≤≤由容斥原理， ABC A B C AB BC CA ABC =++---+1001001001001001001002356101530⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=74，所以不能被2，3，5整除的数有I ABC -=26个．说明[]x 表示不超过x 的最大整数．如[314]3[314]4=-=-．，．．抽屉原理我们知道，三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果．抽屉原则的常见形式：（1）把(1)n k k +≥个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体．（2）把(1)mn k k +≥个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有1m +个物体．（3）把12(1)n m m m k k ++++≥个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，那么或在一个抽屉里至少放入了11m +个物体，或在第二个抽屉里至少放入了21m +个物体，…，或在第n 个抽屉里至少放入了1n m +个物体．（4）把m 个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，有两种情况： ①当|n m 时（|n m 表示n 整除m ），一定存在一个抽屉中至少放入了mn个物体； ②当n 不能整除m 时，一定存在一个抽屉中至少放入了1m n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个物体（[]x 表示不超过x 的最大整数）．例2．幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理．解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同．例3．把1到10的自然数摆成一个圆圈（见图1-6），证明一定存在三个相邻的数，它们的和数大于17．a 10a 1a 2a 3a 4a 7a 8a 9a 6a 5图1-6证明：如图，设123910a a a a a ，，，，，别代表不超过10的十个自然数，它们围成一个圈，三个相邻的数的组成是123234345()()()a a a a a a a a a ，，，，，，，，，，91011012()()a a a a a a ，，，，，共十组．现把它们看作十个抽屉，每个抽屉的物体数是1232343459101a a a a a a a a a a a a ++++++++，，，，，1012a a a ++，由于 12323491011012()()()()a a a a a a a a a a a a ++++++++++++129103()a a a a =++++(101)103(12910)3165161052+⨯=⨯++++=⨯==⨯+．根据原则，至少有一个括号内的三数和不少于17，即至少有三个相邻的数的和不小于17．基础练习1．对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐? 2．正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同． 3．从自然数1，2，3，…，99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数．4．任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数．5．在一条笔直的马路旁种树，从起点起，每隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么? 6．以()x y z ，，表示三元有序整数组，其中x y z 、、为整数，试证：在任意七个三元整数组中，至少有两个三元数组，它们的x y z 、、元中有两对都是奇数或都是偶数． 7．任选6人，试证其中必有3人，他们互相认识或都不认识． 8．a b c d ，，，为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数b a c a d a c b d b d c ------，，，，，的乘积一定可以被12整除．9．求证：从任意n 个自然数12n a a a ，，，中可以找到若干个数，使它们的和是n 的倍数．10．910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶，证明：不论怎样排列，红蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有两组（四行）每组的两行完全相同． 1．5命题的形式及等价关系 1．命题与推出关系在初中，我们已经知道，判断真假的语句叫做命题．命题通常用陈述句表述．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．一般地，命题是由题设（条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．命题常写成“如果……，那么……”的形式．具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显．对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，当然也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式．命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．例1．判断下列语句是否为命题．如果是命题，判断它们是真命题还是假命题．为什么? （1）你是个很高的学生吗?（2）过直线AB 外一点作该直线的平行线．（3）个位数是0的自然数能被5整除．（4）若0m <，则20x x m +-=有实根．（5）竟然得到5>9的结果! 解：（1）、（2）、（5）不是命题，（3）、（4）是命题，其中（4）是假命题．（1）语句“你是个很高的学生吗?”是疑问句，不是判断语句，所以它不是命题．（2）语句“过直线AB 外一点作该直线的平行线．”是祈使句，不是判断语句，所以它也不是命题．（3）此命题为真命题．这是因为个位数是0的自然数总可以表示为10k （k ∈N ）的形式，而1052k k =⋅，所以10k 能被5整除．（4）取2220m x x =-++=，无实根．是假命题．（5）语句“竟然推出5>9的结果!”是感叹句，不是判断语句，所以它不是命题．由例1的（4）可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例”．要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论．一般地，如果事件α成立可以推出事件β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号αβ⇒表示，读作“α推出β”．换言之，αβ⇒表示以α为条件，β为结论的命题是真命题．如果事件α成立，而事件β不能成立，那么就说事件α不能推出事件β成立，可记作/αβ⇒．换言之，/αβ⇒表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题．如果αβ⇒，并βα⇒，那么记作αβ⇔，叫做α与β等价．显然，推出关系满足传递性：αββγ⇒⇒，，那么αγ⇒．例2．命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；命题Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．解：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立0a ⇔=或0040a a >⎧⇔<⎨∆<⎩≤；关于x 的方程20x x a -+=有实数根11404a a ⇔-⇔≥≤；如果P 正确，且Q 不正确，有04a <，≤且14a >， 144a ∴<<；如果Q 正确，且P 不正确，有0a <或4a ≥，且14a ≤，0a ∴<．所以实数a 的取值范围为1(0)04⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，．2．四种命题形式一个命题由条件和结论两部分组成，如果把原命题的条件和结论互换，所得的命题是原命陋的逆命题，显然它们互为逆命题．例如，命题（1）“对顶角相等”和命题（2）“相等的角是对顶角”互为逆命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，则称这两个命题为互否命题，其中一个命题是另一个命题的否命题．像命题（3）“不是对顶角的角不相等”与命题（1）是互否命题．如果将一个命题的结论的否定作为条件，而将此命题的条件的否定作为结论所得到的命题叫做原命题的逆否命题．如命题（4）“不相等的角不是对顶角”与命题（1）是互为逆否命题．若α为原命题条件，β为原命题结论，则其四种命题的形式及关系为：原命题：若α，则β；逆命题：若β，则α；否命题：若α，则β；逆否命题：若β，则α（α为α的否定，β为β的否定）例3．分别写出命题“x y ∈R ，，若220x y +=，则x y ，全为零”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解：否命题为：x y ∈R ，，若220x y +≠，则x y ，不全为零逆命题：x y ∈R ，，若x y ，全为零，则220x y += 逆否命题：x y ∈R ，，若x y ，不全为零，则220x y +≠其中，原命题、逆否命题、逆命题和否命题均为真命题．例4．已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数a b ，，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根．证明：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12x x ，，不妨假设12x x <，由方程的定义可知： 12()0()0f x f x ==，即 12()()f x f x = ①由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾因此假设不能成立．故原命题成立．像这样证明问题的方法称为反证法，运用反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．用反证法证明的步骤一般有：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾．（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．反证法的证明思路：（1）反设（即假设）：对于p 则q （原命题）进行反设，即p 且非q ．（2）可能出现三种情况：①导出非p 为真——与题设矛盾．②导出q 为真——与反设中“非q ”矛盾． ③导出一个恒假命题——与某公理或定理矛盾．例5．设01a b c <<，，，求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不同时大于14．证明：用反证法，假设11(1)4211(1)4211(1)42a b b c c a ⎧->>⎪⎪⎪->⇒>⎨⎪⎪->⎪⎩，相加得：32 111222a b b c c a-+-+-+++≤ =32，左右矛盾，故假设不成立，(1)(1)(1)a b b c c a ∴---，，不同时大于14． 3．等价命题在前面的讨论中，容易发现命题（2）与命题（3）也是互为逆否命题，而且互为逆否命题的两个命题是同真或同假的．一般地，原命题与它的逆否命题是同真或同假的，即如果αβ⇒，那么βα⇒；如果/αβ⇒，那么/βα⇒，见图1-17．图1-7对于命题A 与B 来说，如果有A B ⇒，且B A ⇒，那么命题A 、B 叫做等价命题．原命题与其逆否命题就是等价命题．当我们证明某个命题有困难时，就可以尝试用证明它的等价命题或逆否命题来代替证明原命题．基础练习1．已知命题“两个有理数的和是有理数”为某命题的逆命题．试写出原命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假． 2．写出命题“已知a b ∈Z 、，若a b 、是奇数，则a b ⋅是奇数”的逆否命题：__________． 3．下列四个命题中的真命题是（）A ．已知a b ∈R 、，若a b ⨯是无理数，则a b 、都是无理数；B ．已知a b ∈R 、，若a b ⨯是有理数，则a b 、都是有理数；C ．已知a b ∈R 、，若a b +是无理数，则a 是无理数或b 是无理数；D ．已知a b ∈R 、，若a b +是有理数，则a 是有理数或b 是有理数． 4．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（） A ．若q 不正确，则p 不正确； B ．若q 不正确，则p 正确； C ．若p 正确，则q 不正确； D ．若p 正确，则q 正确．5．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是（） A ．若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根； B ．若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根； C ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根； D ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根．能力提高6．写出命题“各数字之和是3的倍数的正整数，能被3整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．7．用反证法证明：不存在整数m n ，，使得221998m n =+．§1．6充分条件与必要条件在日常生活中，我们做事情需要具备一定的条件，有的条件能够保证我们完成这件事，而有的条件虽然不能保证完成这件事，但却是完成它所必不可少的．在数学中，若要得出一个结论，同样需要具备一定的条件．一般地，如果事件α成立，可以推出事件β也成立，即αβ⇒，那么称α是β的充分条件，β是α的必要条件．关于“α是β的充分条件”的理解是容易的，即为了使β成立，具备条件α就足够了，“有它即可”；而对于“β是α的必要条件”的理解，如果从“若α，则β”的等价命题“若β，则α”来看，则更。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

幂函数、指数函数、对数函数4.1幂函数一般地，函数k y x =（k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数．下面分别研究函数11332y x y x y x y x 2====，，，的定义域、值域、奇偶性、单调性并用描点法作出它们的图像．（1）因为1123332y x x y x x y x y x ======，，，，所以这四个函数的定义域分别是：[)0,x ∈+∞，x ∈R ，x ∈R ；x ∈R ．（2）它们的值域分别是：[)0x ∈+∞，，x ∈R ，[)0x ∈+∞，，x ∈R ；（3）因为函数13y x =，的定义域关于原点不对称，所以它既不是奇函数，也不是偶函数；对于函数13y x =，它是奇函数；对于函数2y x =，它是偶函数；对于函数3y x =，它是奇函数；（4）对于函数12y x x ==，在区间[)0+∞，上是增函数；同理对于函数13y x =，在()-∞+∞，上是增函数．同理对于函数2y x =，在(]0-∞，上是减函数，在[)0+∞，上是增函数．同理对于函数3y x =，在()-∞+∞，是增函数．（5）通过列表、描点、连线等过程可以画得它们的图像如图4—1所示：y =x 13y =x 12y =x 2y =x 311yOx图4-1根据几类幂函数的图像特点，可以得到幂函数的性质：性质l 对于幂函数()k y x k =∈Q当0k >时，函数()k y x k =∈Q 的图像都经过点()()0011，，，；在第一象限内单调递增．当0k <时，函数()k y x k =∈Q 的图像都只经过点()11，；在第一象限内单调递减．性质2 对于幂函数()k y x k =∈Q ，设()*qk q p p=∈N ，，且p q ，互质，（1）当p 为奇数，q 为偶数时，函数q py x =分布在第一、第二象限，图像关于y 轴对称，是偶函数；（2）当p 为奇数，q 为奇数时，函数q py x =分布在第一、第三象限，图像关于原点对称，是奇函数；（3）当p 为偶数，q 为奇数时，函数q py x =分布在第一象限，图像既不关于原点对称．又不关于y 轴对称，既不是奇函数，也不是偶函数．例1．已知函数()223n n y x n --=∈Z 的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图像．解：因为图像与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图像关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数；当1n =时，2234n n --=-为偶数；当3n =，2230n n --=为偶数；所以n 为1-，1或3．此时，幂函数的解析为()00y x x =≠或4y x -=，其图像如图 4—2所示．y=x 0y=x -4y=x -4O xy图4-2例2．解不等式：()()2233213a a --+<-．解：()()()()2222331112132213a a a a a <⇒+>-≠-+-，且3a ≠．化简得231080a a +->，解得4a <-或3a 2>．综上得231080a a +->，解得4a <-或23a >．综上得()()43a ∈-∞-+∞ ，，．例3．若()()11132m m --+<-，试求实数m 的取值范围．解：（1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332m <<；（2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，解得1m <-．综上可得()23132m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，，．例4．已知函数()2f x x =，设函数()()()()211g x qf f x q f x =-+-+⎡⎤⎣⎦，同是否存在实数()0q q <，使得()g x 在区间(]4-∞-，上是减函数，且在区间()40-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．解：()2f x x = ，则()()42211g x qx q x =-+-+ 假设存在实数()0q q <，使得()g x 满足题设条件，设12x x <，则()()()()42421211222121g x g x qx q x qx q x -=-+-+-- ()()()()2212211221x x x x q x x q ⎡⎤=+-+--⎣⎦．若(]124x x ∈-∞-，，，易知122100x x x x +<->，，要使()g x 在(]4-∞-，上是减函数，则应有()()2212210q x x q +--<恒成立．1144x x <-- ，≤，221132x x ∴+>．而0q <，()221232q x x q ∴+<．从而要使()221221q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤．若()1240x x ∈-，，，易知()()12210x x x x +-<，要使()f x 在()40-，上是增函数，则应有()()2212210q x x q +-->恒成立．140x -<< ，240x -<<，221232x x ∴+<，而0q <,()221232q x x q +<．要使()221221q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥．综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在(]4-∞-，上是减函数，且在()40-，上是增函数．基础练习1．研究下列函数的性质，并作出其图像 ①16y x -=； ②43y x -=．2．设11121123232α⎧⎫∈----⎨⎬⎩⎭，，，，，，，，已知幂函数2y x =为偶函数，且在()0+∞，上递减，试确定满足条件的幂函数，并作出它们的大致图像．3．已知()()()3234110m f x m m m x x =+--≠，是幂函数，其图像分布在第一、第三象限，求()f x 的解析式．4．已知函数()()223mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且()()35f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．5．若()()33132m m +<-，试求实数m 的取值范围． 6．若()()1122132m m +<-，试求实数m 的取值范围． 7．若()()44132m m +<-，试求实数m 的取值范围． 8．讨论函数()2221k k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．9．已知幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 为偶函数，且在区间()0+∞，上是减函数，求()f x 的解析式，并讨论函数()()()bng x a f x xf fx =-的奇偶性． 10．已知函数()()22k k f x x k -++=∈Z ，且()()23f f <．（1）求k 的值；（2）试判断是否存在正数p ，使函数()()()121g x p f x p x =-⋅+-在区间[]12-，上的值域为1748⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；若存在，求出这个p 的值；若不存在，说明理由． 11．设函数()bf x a x x=+（a b ，为常数），且：（1）()20f -=；（2）()f x 有两个单调递增区间．写出一个同时满足上述两个条件的有序数对()a b ，． 12．已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在区间(0a ⎤⎦，上是减函数，在区间)a ⎡+∞⎣，上是增函数．（1）如果函数()20by x x x =+>的值域为[)6+∞，，求实数b 的值；（2）研究函数22cy x x=+（常数0c >）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数a y x x=+和22ay x x =+（常数0a >）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性． 4．2指数函数一般地，函数x y a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．指数从有理数推广到实数后，可以证明指数的运算法则仍然成立．即()0m n m n a a a a m n +⋅=>∈R ，、()()0nm mn a a a m n =>∈R ，、()()00nn n a b a b a b n ⋅=⋅>>∈R ，，指数函数的定义：x y a =（0a >且1a ≠），函数的定义域是实数集R ．运用计算器，通过列表、描点、连线等步骤，我们可以得到如下两个函数 2xy =和12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像和性质．列表画图（见图4-3，图4-4）． y =2x321123y O x8421图4-31248y =(12)xy O x123123图4-4x… 3-2- 1- 01 2 3 … 2x y = …18 12 12 1248…12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (8)4 21121418…观察两个函数图像，你发现它们的相同点和不同点了吗？有哪些相同点？哪些不同点？ 1．两个函数图像的相同点：都位于x 轴的上方，都过()01，点．2．两个函数的不同点：函数2xy =的图像是上升的；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像是下降的．3．两个函数的性质：定义域为R ，函数值都大于010212⎛⎫== ⎪⎝⎭，，函数2x y =是R 上的增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数．指数函数的图像和性质（见下表）指数函数 ()1x y a a =>， ()01x y a a =<<，图象y Ox1y =1y O x1y =1性质（1）定义域：R ；（2）值域：()0+∞，，即图象都在x 轴上方；（3）恒过点()01，（4）在R 上是增函数（4）在R 上是减函数函数值分布（5）当0x >时，1y >；当0x <时01y << （5）当0x >时01y <<；当0x <时1y >（6）x y a =与x y a -=关于y 轴对称；（7）x 轴是渐近线，即图象向左、右无限延伸．例1．已知函数x y a =（0a >，且1a ≠）在区间[]12，上的最大值比最小值大2a，求实数a 的值．解：当1a >时，函数x y a =，在区间[1，2]内单调递增，所以()()2max 2f x f a ==， ()()min 1f x f a ==，由题意得23a a a -=，可得到43a =；当01a <<时，函数x y a =在[]12，内单调递减，所以()()2min 2f x f a ==，()()2min 13a f x f a a a ==-=，，可得到23a =．综上可知：43a =或23．例2．已知定义域为R 的函数()1222x x bf x +-+=+是奇函数．（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．解：（1）因为()f x 是奇函数，所以()00f =，即10122b b -=⇒=+． ()11222xx f x +-∴=+ （2）由（1）知()1121122221x x xf x +-==-+++，设12x x <则()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，因为函数2x y =在R 上是增函数且12x x < 21220x x ∴->又()()1221210x x ++>()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x > ()f x ∴在()-∞+∞，上为减函数．（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式：()()22220f t t f t k -+-< 等价于()()()222222f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-．即对一切k ∈R 有：2320t t k -->，从而判别式141203k k ∆=+<⇒<-．例3．已知函数()()211x x f x a a x -=+>+，求证：（1）函数()f x 在()1-+∞，上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根．证明：（1）设121x x -<<，则()()121212122211x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 1212122211x x x x a a x x --=-+-++ ()()()121212311x x x x a a x x -=-+++．121x x -<< ，121210100x x x x ∴+>+>->，，，()()()12123011x x x x -∴<++；121x x -<< ，且1a >， 12x x a a ∴<， 120x x a a ∴-<，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在()1-+∞，上为增函数；（2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201x x a x -+=+，即()00000031231111x x x a x x x -+-===-+++，当010x -<<时，01011x +<+<， 0331x ∴>+， 03121x ∴->+，而由1a >知01x a <， ∴ ①式不成立；当01x <-时，010x +<， 0301x ∴<+， 03111x ∴-<-+，而00x a >，∴ ①式不成立．综上所述，方程()0f x =没有负数根．基础练习1．利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小：（1）23和 1.4143；（2）230.7-和340.7-；（3）200720082121++和200820092121++．2．若函数()12x f x m --=-的图像与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是__________．3．设()442xx f x =+，求出12310001001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 4．某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数x y ab c =+（其中a 、b 、c 为常数），已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．5．比较a a m m -+与b b m m -+（a b c >>，0m >且1m ≠）的大小．6．设()10101010x xx xf x ---=+．（1）证明()f x 在()-∞+∞，上是增函数；（2）求()f x 值域．7．设函数()112x x f x +--=，求使()22f x x ≥的x 取值范围． 8．（1）求函数()()14102xxf x x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥的值域；（2）如果函数()1412xxf x a -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．（3）()()()()217211x a x a x f x a x -+-<⎧⎪=⎨⎪⎩≥在()-∞+∞，上单调递减，求实数a 的取值范围．9．已知函数()()219xx a f x aa a--=--（0a >且1a ≠）在()-∞+∞，上是增函灵敏，求实数a 的取值范围．能力提高10．设()()22x x x xe e e ef xg x ---+==，；（1）求证：()()()22f x f x g x =⋅且()2x 是奇函数；（2）求证：()()()()()222222121g x g x f x f x g x =-=+=+且()2g x 是偶函数． 11．设02x ≤≤，求函数1224212x xa y a -=-⋅++的最大值和最小值．12．定义在R 上的增函数()y f x =对任意x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+．（1）求()0f ；（2）求证3()f x 为奇函数；（3）若()()33920x x x f k f ⋅++-<对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．13．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任竟敢x ∈R ，有()()f x T Tf x +=成立．（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的图像与y x =的图像有公共点，证明：()x f x a M =∈；（3）若函数()sin f x kx M =∈，求实数k 的取值范围． 14．已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(0a ⎤⎦，上减函数，在)a ⎡+∞⎣，上是增函数．（1）如果函数()20by x x x=+>在(]04，上是减函数，在[)4+∞，上是增函数，求b 的值；（2）设常数[]14c ∈，，求函数()()12cf x x x x=+≤≤的最大值和最小值；（3）当n 是正整数时，研究函数()()0n n cg x x c x=+>的单调性，并说明理由． 15．若()()121212323x p x p f x f x x p p --==⋅∈R ，，，，为常数，且()()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x f x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，，≤ （1）求()()1f x f x =对所有实数x 成立的充要条件（用12p p ，表示）；（2）设a b ，为两实数，a b <且()12p p a b ∈，，，若()()f x f b =．求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[]m n ，的长度定义为n m -）． 4.3 对数概念及其运和算一般的，如果a （01a a >≠，）的b 次幂等于N ，就是b a N =，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．例如，由239=，得到以3为底9的对数为2，记作3log 92=，由定义可知负数和零没对对数，事实上，因为0a >，所以不论b 是什么实数，都用0b a >，这就是说，不论b 是什么数，N 永远是正数，故负数和零没有对数．根据对数定义，我们可以得到3log 10a =，log 1a a =（0a >，且1a ≠）通常我们把以10为底的对数叫做常用对数，并简记作lg ，即10log lg N N =；以无理数 2.71828e = 为底的对数叫做自然对数，并简记作ln ，即log ln e N N =．例1．将下列指数写成对数式：（1）45625=；（2）61264-=；（3）327a=；（4）1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭．解：（1）5log 6254=；（2）21log 664=-；（3）3log 27a =；（4）13log 5.73m =．例2．将下列对数式写成指数式：（1）12log 164=-；（2）2log 1287=；（3）lg 0.012=-；（4）ln10 2.303=．解：（1）41162-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）72128=；（3）2100.01-=；（4） 2.30310e =．我们学过有理数指数幂的运算性质，如m n m a a a a +⋅=（01a a >≠，，且m n ∈Q ，）利用这个性质和对数的定义，我们可以推出对数的运算性质：令1log a M b =，2log a N b ==，则根据对数的定义得：1b a M =，2b a N = 又因为1222b b b b M N a a a +⋅=⋅=，所以，()12log a b b M N +=⋅，即 ()log log log a a a M N M N ⋅=+数似的，我们可以得到对数的其他几个运算性质：log log log aa a MM N N=-（01a a >≠，；M N ，为正数）； log log n a a M n M =（0a >，1a ≠；n ∈R ，M N ，为正数）； log log log c a c bb a=（换底公式）（01a a >≠，；010c c b >≠>，，）；证明：设log a N x =，则x a N =．两边取以m 为底的对数：log log log log x m m m m a N x a N =⇒= 从而得：log log m m N x a = l o g l o g l o g m a mN N a ∴= 1log log a b b a=（01a a >≠，；01b b >≠，）； 1log log n a a M M n =（01a a >≠，；n ∈R ，0n ≠，0M >）； log a N a N =（01a a >≠，；0N >）．对于一个正数的常用对数值，可以写成一个整数与一个正的纯小数（或0）之和，如： 3lg2000lg2103lg230.3010=⨯=+=+； 5lg0.00003lg3105lg350.4771-=⨯=-+=-+； lg10000lg10404==+；即正数x 的常用对数lg x 可以写成：lg x M m =+（其中M 为整数，01m <≤）；那么，M 称为对数lg x 的首数，m 称为对数lg x 的尾数；如果某正数x 的常用对数lg 2.1234x =-，则将lg x 写成：lg 30.8766 3.3866x =+=，则lg x 的首数是3-，尾数是0.8766．例3．（1）9log 27；（2）43log 81；（3）()()23log 23+-；（4）34log 5625．解：（1）3329993log 27log 3log 92===；（2）()4416433log 81log 316==；（3）()()()()12323log 23log 231-++-=+=-；（4）()3333444log 5625log 553==．例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=．（1）求证：22log 1log 11b c a c a b +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若()482log 11log 3b c a b c a +⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，，求a 、b 、c 的值．证明：（1）左边222log log log a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭()22222222log log a b c a ab b c abab+-++-==22222log log 21ab c c ab+-===；解：（2）由4log 11b c a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭得14b c a ++=， 30a b c ∴-++= ①由()82log 3a b c +-=得2384a b c +-== ②由①+②得2b a -= ③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得()2430a a b -=， 0a > ，430a b ∴-= ④ 由③、④解得68a b ==，，从而10c =．例5．20世纪30年代，里克特（C ．F ．Richter ）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，铡震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）．解：（1）420lg20lg0.001lglg20000lg2lg10 4.30.001M =-===+≈．因此．这是一次约为里氏4.3级的地震．（2）由0lg lg M A A =-可得000lg 1010M M A A M A A A A =⇔=⇔=⋅．当7.6M =，地震的最大振幅为7.61010A A =⋅；当5M =时，地震的最大振幅为51010A A =⋅；所以，两次地震的最大振幅之比是7.67.65 2.60152010101039810A A A A -⋅===≈⋅．答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍．可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍．所以，7．6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性．例6．已知20.301029lg 0.301030<<，30.477120lg 0.477121<<，求19792000的首位数字．解：()1979lg20001979lg200019793lg2==+19796532.736391lg20006532.73837∴<<．故19792000为6533位数，由 lg51lg 2=-，lg 6lg 2lg3=+，得0.698970lg50.698971lg50.7363910.73837lg60.778149lg60.778151<<⎫⇒<<<⎬<<⎭．说明19792000的首位数字是5．基础练习I ．把下列各题的指数式写成对数式：（1）2416=；（2）031=；（3）42x =；（4）20.5x =． 2．把下列各题的对数式写成指数式：（1）5log 27x =；（2）8log 7x =；（3）4log 3x =；（4）71log 3x =．3．计算下列各题：（1）222lg 2lg 2lg5lg 2lg21⋅+⋅+-+；（2）()()231lg5lg8lg1000lg2lg lg0.066++++；（3）2662log 18log 3log 6+；（4）log 0.7lg30173⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭；（5）1log log mm baa b⋅；（6）lg 27lg83lg 10lg1.2+-4．（1）已知5log 3a =，5log 4b =，试用a 、b 表示25log 12；（2）已知12log 27a =，求6log 16．（3）已知18log 9a =，185b =，求36log 45． 5．设()0x y z ∈+∞，，，且346x y z == （1）求证：1112x y z+=；（2）比较346x y z ，，的大小．6．用log log log a a a x y z ，，表示下列各式：（1）log axy z ；（2）23log ax yz．7．求解下列各题：（1）已知lg 2a =，103b =，试用a b ，表示24log 15；（2）已知3log 5a =，5log 7b =，试用a b ，表示75log 63；（3）已知632236a b c ==，试建立a 、b 、c 间的关系式．8．我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，分贝的定义是：010lg Iy I =．这里0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度，122010w /m I =，当0I I =时，0y =，即dB 0=．（1）如果21w /m I =，求相应的分贝值；（2）70 dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I '的多少倍？9．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代．10．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值．11．（1）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，求22ab bc acabc-++的值；（2）已知a ，b ，c ，且a ，b ，1c ≠，求log log log log log log b c a a a b c a b c c a a b c a b c ++---的值；（3）设()200720092008f x a x b x =⋅+⋅+，若()20207log log 2092010f =，求()20209log log 207f 的值．12．解方程组：123x y x y x yy x++⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中x y +∈R ，）． 13．对于正整数a ，b ，c ()a b c ≤≤和实数x ，y ，z ，ω，若70x y z a b c ω===，且1111x y z ω++=，求证：a b c +=．4.4 反函数一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ．如果对A 中的任意一个值y ，在D 中总有惟一确定的x 值与它对应，且满足()x y ϕ=，这样得到的x 关于y 的函数：()()x y x D y A ϕ=∈∈，做函数()y f x =的反函数，常常将()x y ϕ=记作()()1x f y x D y A -=∈∈，．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为：()()1y f x x A y D -=∈∈，．例如函数3y x =的反函数是3x y =，函数21y x =-的反函数是12x y +=．从反函数的概念可知：如果函数()y f x =有反函数()1y f x -=，那么函数()1y f x -=的反函数就是()y f x =．这就是说，函数()y f x =gn ()1y f x -=互为反函数．结论1．函数()y f x =的定义域是它的反函数()1y f x -=的值域；函数()y f x =的值域是它的反函数()1y f x -=的定义域（见下表）．函数()y f x =反函数()1y f x -=定义域DA 值域 AD反函数的定义域不能由其解析式来确定，而应是原函数的值域．结论2．函数()y f x =与反函数()1y f x -=的图像在同一坐标系关于直线y x =对称；证明：设()M a b ，是()y f x =的图像上的任意一点，则当x a =时，()f x 有唯一的值()f a b =． ()y f x = 有反函数()1y f x -=，∴当x b =时，()1f x -有唯一的值()1f b a -=，即点()M b a '，在反函数()1y f x -=的图像上（参见图4—5）．图4-5y =f 1x ()P M'My =f x ()yO x若a b =，则M ，M '是直线y x =上的同一个点，它们关于直线y x =对称．若a b ≠，在直线y x =上任意取一点()P c c ，，联结PM ，PM '，MM '由两点间的距离公式得： ()()22PM a c b c =-+-，()()22PM b c a c '=-+-，PM PM ∴='∴ 直线y x =是线段MM '的垂直平分线， ∴点M ，M '关于直线y x =对称．点M 是()y f x =的图像上的任意一点，()y f x ∴=图像上任意一点关于直线y x =的对称点都在它的反函()1y f x -=的图像上，由()y f x =与()1y f x -=互为函数可知，函数()1y f x -=图像上任意一点关于直线y x =的对称点也都在它的反函数()y f x =的图像上，∴函数()y f x =与()1y f x -=的图像关于直线y x =对称．（反之，若两个函数的图像关于直线y x =对称，则两者互为反函数，特殊地，函数()f x 的反函数是它本身()f x ⇔的图像关于直线y x =对称）．例1．求函数()2110y x x =---≤≤的反函数．解：由21y x =-- 知()22110y x y =--≤≤，则221x y =-，由于10x -≤≤，所以()2110x y y =---≤≤，所以反函数为()2110y x x =---≤≤．由反函数的定义，求反函数的定义，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式()y f x =反求出()x y Φ=；（2）交换()x y Φ=中x 、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．例2．求函数()()20102x x y x x ⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥的反函数．解：由2y x =，得x y =- ，即()20y x x =<的反函数为()0y x x =->；由()102y x x =-≥的反函数为()20y x x =-≤．因此原函数的反函数为()()200x x y x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩，．≤ 例3．函数111ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈⎪+⎝⎭R ，的图象关于y x = 对称，求a 的值．解：由111ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈ ⎪+⎝⎭R ，得()()111y x y a y -=≠+， ()()()1111xf x x a x --∴=≠-+，由题知：()()()11111x axf x f x a x ax ---==++，，1a ∴=．例4．我们知道：函数()y f x =如果存在反函数()1y f x -=，则()y f x =的图像与()1y f x -=图像关于直线y x =对称．若()y f x =的图像与()1y f x -=的图像有公共点，其公共点却不一定都在直线y x =上；例如函数()1f x x=．若函数()y f x =在其定义域上是增函数，且()y f x =的图像与其反函数()1y f x -=的图像有公共点，证明这些公共点都在直线y x =上．证明：设点()00M x y ，是函数()y f x =的图像与其反函数()1y f x -=的图像的公共点，则有：()00y f x =，()100y f x -=，据反函数的意义有：()00x f y =．所以：()00y f x =且同时有()00x f y =．若00x y <，因为函数()y f fx =在其定义域上地增函数，所以有：()()00f x f y <，若00y x <，与00x y <矛盾，这说明00x y <是错误的．若00x y >，因为函数()y f x =在其定义域上是增函数，所以有：()()00f x f y >，即00y x >与00x y >矛盾，这说明00x y > 也是错误的．所以00x y =，即函数()y f x =的图像与其反函数()1y f x -=的图像有公共点在直线y x =上．基础练习1．求下列函数的反函数：（1）53y x =-；（2）()220y x x =-≤；（3）32y x =；（4）232x y x +=-（x ∈R 且2x ≠）． 2．若函数()y f x =存在反函数，则下列命题中不正确的是（） A ．函数()y f x =与函数()x f x =的图像关于直线y x =对称 B ．若()y f x = 是奇函数，则()1y f x -=也是奇函数C ．若()y f x =在其定义域[]a b ，上是增函数，则()1y f c -=在[]a b ，上也是增函数D ．函数()y f x =与()1x f y -=的图像重合．3．函数()223f x x ax =--在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（） A ．(]1a ∈-∞， B ．[)2a ∈+∞， C ．[]12a ∈，D ．(][)12a ∈-∞+∞ ，， 4．已知()231x f x x +=-，函数()y g x =的图像与()11y f x -=+的图像关于直线y x =对称，则()11g =__________．5．若点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，即在2ax b y +=的图像上，又在它的反函数图像上，则a = __________；b =__________．6．若函数()2x f x x =+的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．7．若定义在R 上的函数()1y f x =+的反函数是()11y f x -=-，且()01f =，则()2008f =__________．8．已知函数()y f x =（定义域为D ，值域为A ）有反函数()1y f x -=，则方程()0f x =有解x a =，且()().f x x x D ∈的充要条件是()1y f x -=满足：__________．9．设函数()121xf x x-=+，又函数()g x 与()11y f x -=+的图像关于y x =对称，求()2g 的值． 10．若点()21，即在函数()f x mx n =+的图像上，又在它的反函数的图像上，求实数m n ，的值． 11．（1）设函数()y f x =（定义域为D ，值域为A ）的反函数是()1y f x -=，且函数()y f x =在D 上单调递增，证明函数()1y f x -=在A 上也是增函数．（2）设函()y f x =是D 上的奇函数，证明函数()1y f c -=也是A 3上的奇函数． 12．已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的反函数()1f x -；（2）若2x ≥时，不等式()()()11x f x a a x --⋅>-恒成立，试求实数a 的取值范围．能量提高13．()1122f x x x -=-．（1）证明函数()f x 的反函数，并求出反函数．（2）反函数的图像是否经过()01，点？反函数的图像与y x =有无交点？（3）设反函数为()1y f x -=，求不等式()10f x -≤的解集．14．已知函数()y f x =的反函数．定义：若对给定的实数()0a a ≠，函数()y f x a =+与()1y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与()1y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”．（1）判断函数()()210g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数()y f x =()0x >对任何0a >，满足“a 积性质”．求()y f x =的表达式． 4.5 对数函数一般地，函数log a y x =（0a >，且1a ≠）就是指数函数、x y a =（0a >，且1a ≠）的反函数．因为x y a =的值域是()0+∞，，所以，函数log a y x =的定义域是()0+∞，．函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是()0+∞，．下面研究对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）的图像和性质．因为对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，所以log a y x =的图像与指数函数x y a =的图像关于直线y x =对称．因此只要作出指数函数x y a =关于直线y x =对称的图像，就可以得到log a y x =的图像和性质．对数函数的图像和性质（见下表）：1a >0a <<1图象(1,0)yO x(1,0)yO x性质（1）定义域：()0+∞，（2）值域：R（3）恒过点()10，（4）在()0+∞，上是增函数（4）在()0+∞，上是减函数函数值分布（5）当1x >时0y >；当01x <<时0y <．（5）当1x >时0y <；当01x <<时0y >．（6）log a y x =与1log ay x =关于x 轴对称；（7）y 轴是渐近线，即图像向上、下无限延伸；（8）log a y x =与x y a =互为反函数．例1．求下列函数的定义域：（1）()2log 2y x =+；（2）3log 2x y x =+；（3）()()221ln3234f x x x x x x =-++--+；（4）()221log 43y x x =-+-．解：（1）要使函数有意义，须使()2log 20x +≥，即()22log 2log 1x +≥，因为函数2log y x =为增函数，所以21x +≥，1x ∴-≥，所以函数的定义域为{}1x x -≥．（2）因为02xx >+，即2x x ≠⎧⎨>-⎩，所以函数2log 2x y x =+的定义域是()()200-+∞ ，，．（3）y 由222320340x x x x x ≠⎧⎪-+⎨⎪--+⎩≥≥得：40x -<≤或01x <≤．又因为1x ≠，故定义域是[)()4001- ，，．（4）因为()22log 430x x -+-≠，所以22430431x x x x ⎧-+->⎪⎨-+-≠⎪⎩，所以有()()()213020x x x -⋅-<⎧⎪⎨-≠⎪⎩ 从而有函数()221log π43y x x =-+-的定义域是()()1223 ，，．例2．（1）若21a b a >>>，则log log log b b a ba b a，，从小到大依次为__________；（2）若235x y z ==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为__________．解：（1）由21a b a >>>得b a a<，故log log 1log b b a ba b a <<<．（2）令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg 5tz =， ()lg lg9lg82lg 3lg 230lg 2lg3lg 2lg3x y t t t ⋅-∴-=-=>⋅，23x y ∴>；同理可得： 250x z -<，25x z ∴<，325y x z ∴<<．例3．已知函数()()2lg10xf x f ax b ==+，，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的表达式；（2）设不等式()lg f x t ≤的解集为A ，且(]04A ⊆，，求实数t 的取值范围．（3）若方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，求实数m 的取值．解：（1）当0x >时，()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭恒成立．22lglg lg x x ax b bx a ∴-=++，即()()20a b x a b x ---=恒成立， a b ∴= 又()10f =，即2a b +=，从而1a b ==，()2lg1xf x x∴=+K （2）由不等式()lg f x t ≤，即 ()22lglg 011t x t x t x x --⇒++≤≤且201xx>+ ()()()()()022020022t t t t t t t ⎧⎛⎤-∞+∞> ⎪⎥-⎝⎦⎪⎪⇒+∞=⎨⎪⎛⎤⎪<< ⎥⎪-⎝⎦⎩，，，，由于解集(]04A ⊆，，故02t <<，所以(]0042t A t ⎛⎤=⊆ ⎥-⎝⎦，，即8425t t t ⇒-≤≤，又因为02t <<，所以实数t 的取值范围是805⎛⎤ ⎥⎝⎦，．（3）解法一：由()2821lg lg 82101xx m x x x m x x x⎧=+⎪⎪+=+⇒⎨+⎪>⎪+⎩()286010x m x m x x ⎧+++=⎪⇒⎨<->⎪⎩或方程的解集为∅，故有两种情况：①方程()2860x m x m +++=无解，即0∆<，得218m <<②方程()2860x m x m +++=有解，两根均在[]10-，内，()()286g x x m x m =+++ 则()()010*******g g m ∆⎧⎪-⎪⎪⎨⎪--⎪-⎪⎩≥≥≥≤≤218610m m m ⎧⇒⎨-⎩或≤≥≤≤02m ⇒≤≤ 综合①②得实数m 的取值范围是018m <≤．解法二:若方程有解，则由()2821lg lg 82101xx m x x x m x x x ⎧=+⎪⎪+=+⇒⎨+⎪>⎪+⎩28110x m x xx x ⎧=-⎪⇒+⎨⎪<->⎩或由()()228108111x g x x x x x ⎡⎤=-=-++⎢⎥++⎣⎦．当1x <-，则()()210281181g x x x +⋅+=+≥ ，当且仅当32x =-时取到18 当0x >，则()g x 是减函数，所以()()00g x g <=．即()g x 在()()10-∞-+∞ ，，上的值域为()[)018-∞+∞ ，，故当方程无解时，m 的取值范围是[)018，．例4．设()()1011x xa f x a a a +=>≠-，（1）求()f x 的反函数()1f x -；（2）讨论()1f x -在()1+∞，上的单调性，并加以证明：（3）令()1l o g a g x x =+，当[]()()1m n m n⊂+∞<，，时，()1f x -在[]m n ，上的值域是()()g n g m ⎡⎤⎣⎦，，求a 的取值范围．解：（1）()11log 1a x f x x --=+，（1x >或1x <-）（2）设121x x <<，()()()1212121221101111x x x x x x x x ----=<++++， 01a ∴<<时，()()1112f x f x -->，()1f x -∴在()1+∞，上是减函数； 1a >时，()()1112f x f x --<，()1f x -∴在()1+∞，上是增函数．（3）当01a <<，()1f x - 在()1+∞，上是减函数()()()()11f m g m f n g n --⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，由1log 1log 1a a x x x -=++得11x ax x -=+，即()2110ax a x +-+=．可知方程的两个根均大于1，即()010*******f a a a⎧⎪∆>⎪⎪>⇒<<-⎨⎪-⎪>⎪⎩当1a >时，()1f x - 在()1+∞，上是增函数()()()()11111f m g n m amn ana n amn am f n g m --⎧=-=+⎧⎪∴⇒⇒=-⎨⎨-=+=⎩⎪⎩（舍去）．综上，得0322a <<-．基础练习1．求下列函数的定义域：（1）()22log 1y x =-；（2）()212log 1y x =-；（3）1log 1axy x-=+；（4）()213log 23y x x =--；（5）24lg 1x y x -=-；（6）()()22log log 162x x y x -=+-．2．求下列函数的值域：（1）()212log 617y x x =-+；（2）()213log 45y x x =-++．3．利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）0.1log 4和0.1log π；（2）2log 3m和3log 4m ，其中0m >，1m ≠；（3）log 3a 和log 3b ，其中01a b <<<．4．函数()2log 2a y x ax =-+在[)2+∞，恒为正，求实数a 的范围．5．设()()222log 1f x x x x =+++，则对任意实数a ，b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的什么条件？ 6．已知函数()x x x xe ef x e e ---=+的反函数是()1f x -，且()()110.80.6f k f ---=，求k 的范围．7．已知函数()11lg11xf x x x+=+-- （1）求函数()f x 的定义域，并判断它的单调性（不用证明）‘（2）若()f x 的反函数为()1f x -，证明方程()10f x -=有解，且有唯一解；（3）解关于x 的不等式()11f x x +>⎡⎤⎣⎦．8．（1）已知()log 4a y ax =-在区间[)02，上是x 的减函数，求实数a 的取值范围；（2）函数()2log a f x ax x =-，()01a a >≠，区间[]34，上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）如果不等式2log 0a x x -<在区间102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围．9．若函数()2log 3a y x ax a =-+的值域为R ，求实数a 的取值范围． 10．已知函数()1log 1a mxf x x -=-是奇函数()01a a >≠，．（1）求出实数m 的值；（2）根据（1）的结果，判断()f x 在()1+∞，上的单调性（不必证明）；（3）如果当()2x r a ∈-，时，()f x 的值域恰为()1+∞，，求a 和r 的值．能力提高11．设函数()()()2221log log 1log 1x f x x p x x +=+-+--，（1）求函数的定义域；（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由． 12．已知()()()4log 41f x x kx k =++∈R 是偶函数．（1）求k 的值；（2）证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图像与直线12y x b =+最多只有一个交点；（3）设()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数()n y g x =的取值范围．13．已知()2log f x x =，当点()M x y ，在()y f x =的图像上运动时，点()2N x ny -，在函数()n y g x =的图像上运动()n ∈N ．（1）求()n y g x =的表达式．（2）求集合{A a x =于关的方程()()122g x g x a =-+有实根，}a ∈R ．（3）设()()12n g x n H x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()()()11F x H x g x =-()0a x b <≤≤的值域为542222log log 22b a ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，，求实数a 、b 的值． 14．设()()121lgxx xn a n f x n+++-+⋅= ，,a n ∈∈R N 且2n ≥．若()f x 当()1x ∈-∞，有意义，求a 的值范围．15．已知()()2121x x a f x a -=∈+R ，是R 上的奇函数．（1）求a 的值；（2）求()f x 的反函数；（3）对任意()0k ∈+∞，解不等式()121log xf x k-+>． 16．已知()()2log 1a f x x x =++，其中1a >．（1）试求()f x 的定义域和值域；求出()f x 的反函数()1f x -；（2）求出()f x 的反函数()1f x -；（3）判断函数()1f x -；（4）若实数m 满足()()112110f m f m ---+-<，求m 的取值范围． 17．已知函数()()()2log 201a f x x x a a =+->≠，（1）求反函数()1f x -，并求出其定义域；（2）设()()12log 22a P m f n -=+，如果()()332n nP n n -+<∈N ，求a 的取值范围． 4．6指数方程和指数不等式一般的，我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程，求未知数x 值的过程叫做解指数方程．一般的，我们把指数里含有未知数的不等式叫做指数不等式，求未知数x 值的过程叫做解指数不等式．例1．解下列方程：（1）943450x x -⋅-=；（2）59462x x x +=⋅（3）()993350x x x x --+-++=．解：（1）原方程可化为()2343450x x -⋅-=设()30x t t =>，得24450t t --=解得1295t t ==-，（舍去），所以有39x =，得2x =．所以，原方程的解是2x =．（2）原方程可化为2223532220x x x x ⋅-⋅⋅+⋅= 两边各项同除以22x得233252022x⎛⎫⎛⎫⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()302xt t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则方程可化为22520t t -+=，解得12122t t ==，．所以原方程的解是132log 2x =，232log 2x =-．（3）设()332x x t t -+=≥，则2992x x t -+=-，于是，原方程可化为2430t t -+=，解得11t =（舍去），23t =，所以有333x x -+=，化简为()233310x x -⋅+=，解方程得3532x ±=．所以，原方程的解是1335log 2x -=，2335log 2x +=．例2．已知关于x 的方程122x a a+=-，在下列情况中分别求实数a 的取值范围：（1）方程没有实数解；（2）方程只有正实数解；（3）方程有负数解．解：（1）因为对一切x ∈R 有20x >，所以102a a+-≤，可以解得1a -≤或2a >；（2）根据指数函数的性质，当0x >时，21x >，所以112a a +>-，可以解得122a <<；（3）因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，所以，函数2x y =的图像与常数函数12a y a+=-的图像最多只有一个交点，因此，方程122x a a+=-的负数解便是唯一解，当0x <时，021x <<，所以1012a a +<<-，即102a a +>-且112a a +<-，可以解得112a -<<.例3．解方程：3456x x x x ++=．解：方程可化为1251236xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设()125236xxxf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 在()-∞+∞，上是减函数．因为()31f =，所以方程只有一个解3x =．例4．关于x 的不等式2223330x x a a ⋅-+-->，当01x ≤≤时恒成立，求实数a 的取值范围．解：设解：设3x t =，则[]13t ∈，，原不等式可化为[]223213a a t t t -->-+∈，，．等价于23a a --大于()22f t t t =-+在[]13，上的最大值．a ∴的取值范围是()()12-∞-+∞ ，，例5．设函数()112x x f x +--=，求使()22f x ≥的取值范围．解：由于2x y =是增函数，()22f x ≥等价于3112x x +--≥（1）当1x ≥时，112x x +--=，∴①式恒成立．（2）当11x -<<时，112x x x +--=，①式化为322x ≥，即314x <≤（3）当1x -≤时，112x x +--=-，①式无解综上x 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，1．解下列方程：（1）131119133x x xx -+==--，；（2）31636281x x x ⋅+=⋅；（3）()()52652610xx++-=（4）964x x x -=；（5）222114526x x x x +--+--⋅=；（6）()()222121x x x x --=-．2．解下列不等式：（1）282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭；（2）114123xx>--；（3）22222233x x x x ---->-．3．已知关于x 的方程2212940x x a a ---+=有一根是2．（1）求实数a 的值；（2）若01a <<，求不等式2212940x x a a ---+<的解集．4．设01a a >≠，，求证：关于x 的方程2x x a a a -+=的根不在区间[]01，内． 5．若(]1x ∈-∞，，不等式()24210x x m m -++>恒成立，则实数m 的取值范围是__________．。