西安交通大学数学分析1997-2008

1
1− x2
5 2
dx − π
= 16
1 1− x2
5
2 dx − π
−1 0
−1 5 0
5 −1
50
∫ ( ) ∫ x
=sinθ
=
16
π
2 1− sin2 θ
5
2 cosθ dθ − π
= 16
π
2 cos6 θ dθ − π
= 16 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ π
−π
= −π
.
50
50
5 6422
(D) 可导且 f ′(a) < 0 .
二. ( 4 × 5′ = 20′ )
⑴求
lim
x→+∞
⎛ ⎜⎝
x+
x+
x−
x
⎞ ⎟⎠
;
解:
lim
x→+∞
⎛ ⎜⎝
x+
x+
x−
x
⎞ ⎟⎠
=
lim
x→+∞
x+
x+ x+
x x+
= lim x→+∞
x
1+
1+ 1 x
1+ x
1 x3
+
1 x
128
陇东学院数学系许万银
(α
)
=
1
nα + n2α
2
→ 0 ( n → ∞ ),
所以 fn (x) 在[α ,1] 上一致收敛于零;
⑵因为 sup
x∈[0,1]
fn (x) − 0
4
⎞⎤(n) ⎠⎟⎦⎥
=
1 3
⎢⎣⎡⎢⎝⎛⎜
1 ⎞(n) x +1⎠⎟
−
⎛ ⎝⎜
x
1 +
4
⎞(n) ⎤
⎟⎠
⎥ ⎥⎦
=
(−1)n 3
n!
⎡ ⎢⎣
(x
1 + 1)n+1
−
(x
1 + 4)n+1
⎤ ⎦⎥
,
n = 1, 2,L.
∫ ⑶
f
(x)
=
⎧ ex,
⎨ ⎩sin
x
+
1,
x ≤ 0,
求
3
f (x − 2)dx ;
解: 设 P(x, y) = 2e2x sin y − 1 y,Q(x, y) = e2x cos y − 1 x ,则 ∂Q = 2e2x cos y − 1 = ∂P 在整个平
2
2 ∂x
2 ∂y
面上成立,因此所求曲线积分与积分路线无关,从而可取积分路线为 C1 : y = 0 从 (−1, 0) 到 (1, 0) 的上
=
(−1)(−2)L (−n)( x
+ 1)−(n+1)
,则
⎡ ⎢⎣
1 ⎤(n+1) x +1⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝
1 ⎞(n) ⎤′
x +1 ⎟⎠
⎥ ⎥⎦
=
⎡⎣(−1)(−2)L (−n)( x
+1)−(n+1) ⎤⎦′
= (−1)(−2)L(−n)[−(n +1)](x +1)−(n+2) .
根据数学归纳法知
=
1⎛ 3 ⎜⎝
1− x +1
x
1⎞ + 4 ⎟⎠ ,
而
⎡ ⎢⎣
x
1 ⎤′ + 1⎥⎦
=
⎡⎣( x
+1)−1 ⎤⎦′
=
(−1)( x
+ 1) −2
,
⎡ ⎢⎣
x
1 ⎤′′ + 1⎥⎦
=
⎡⎣(−1)( x
+ 1)−2
⎤⎦′
=
(−1)(−2)( x
+ 1)−3
,
一般地假设
⎡ ⎢⎣
1 ⎤(n) x +1⎥⎦
D
D
D
D
D
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ = 2 y4dxdy + 2 y4dxdy − 0 − π = 4 y4dxdy − π = 4 1 dx 1−x2 y4dy − π
−1
− 1− x2
D
D
D
∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) 1
= 8 dx
1−x2 y4dy − π = 8 1 dx 1 y5
1−x2 − π = 8
∫ ∫ 一段.所以
C
⎛ ⎜⎝
2e2 x
sin
y
−
1 2
y
⎞ ⎟⎠
dx
+
⎛ ⎜⎝
e2x
cos
y
−
1 2
x
⎟⎠⎞dy
=
1
0dx = 0 .
−1
∫∫ 六. (10′ )计算曲面积分 (x3 −1)dydz + y3dzdx + dxdy ,其中 S :曲面 z = x2 + y2 , 0 ≤ z ≤ 1 部分的 S 外侧(曲面法线向下).
即就是 ∀x ∈[a,b] ,有 f (x) > m − 1 > m ,这与 m = inf f (x) 矛盾.
L
x∈[ a ,b ]
因此 ∃x1 ∈[a, b] ,使得 f (x1) = m ,故 f (x) 在[a,b] 上存在最小值.
八.
(10′ )设
fn (x)
= nx 1+ n2x2
(n
= 1, 2,L),证明:⑴对任意的 α ∈ (0,1) ,
+
1 n
,则 an
是(
B
)
(A)有界数列; (B)无界数列; (C)无穷小量; (D)无穷小量.
∫⑵
π −π
sin 1+
2x x4
dx
=
(
D
)
1
(A) ;
2
(B)π ;
(C)1;
(D) 0 .
⑶设
f
(x)
=
⎧ sin x, ⎨⎩1+ x2 ,
−π ≤ x < 0, 则 f (x) 的傅立叶级数在 x = 0 处收敛于(
2ε x02
,
x0 2
⎫ ⎬ ⎭
>
0
,则当
x − x0
<δ
时,有
1− 1 x x0
=
x0 − x x ⋅ x0
≤
x − x0
x0 2
⋅
x0
= x02 2
x − x0
< x02 2
2ε x02
=ε .
根据函数连续的“ ε
−δ
”定义知
f
(x)
=
1 x
在
x0
>
0 处连续.
四. (10′ )设 f (x) 在 [0,1] 上可导,且 0 < f (x) < 1 .对于 (0,1) 内的所有 x ,有 f ′(x) ≠ 1.证明:在区间
f
(xn )
<
−n
,
n
= 1, 2L
.由此
lim
n→∞
f
(xn )
=
−∞ .由于数
{ } 列{xn} ⊂ [a,b] ,从而{xn} 有收敛子列
xnk
,设
lim
k →∞
xnk
=
x0 ,则 x0 ∈[a, b] .又因
f (x) 在 x0 处连续,所
以 lim k →∞
f
(xnk ) =
f
(
x0
)
,但这与
−1
0
e
129
陇东学院数学系许万银
∑∞
⑷判断级数
1 的敛散性.
n=2 n ln n
∑ ∫ 解:因为 f (x) =
1
∞
在 [2, +∞) 上非负且严格减少,所以级数
1
+∞
与积分
1
dx 具有相
x ln x
n=2 n ln n
2 x ln x
∫ ∫ +∞
同的敛散性.而
1
u
dx = lim
1
dx = lim ln ln x u = lim (ln ln u − ln ln 2) = +∞ ,因此级
2 x ln x
u→+∞ 2 x ln x
u →+∞
2 u→+∞
∑∞
数
1 发散.
n=2 n ln n
三.
(10′ )用“ ε
−δ
”语言证明：
f
(x)
=
1 x
在
x0
>
0 处的连续性.
证明:
ⅰ>当
x − x0
<
x0 2
时,有 0 <
x0 2
<x<
3 2 x0 .
ⅱ> ∀ε
> 0 ,取δ
=
min
⎧ ⎨ ⎩
0≤ x <π.
C
)
(A)1;
(B)π ;
1
(C) ;
2
π
(D) .
2
{ } { } ⑷设 B1 = (x, y) x2 + y2 ≤ a2 , B1 = (x, y) x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0 ,则( A )
(A) ∫∫ xy dσ = 4∫∫ xydσ ;