数学中考讲座3

数学中考讲座3第十三讲数学方法选讲（1）实验班1. （北京市中考模拟试题）下图是桂林冬季某一天的气温随时间变化的情况图，则在____时气温最低，最低气温为℃，当天最高气温为℃，这一天的温差为℃(结果都取整数)解：4，-2，10，12.2．（希望杯训练题)代数式|x-1|＋|x-2|＋|x-3|的最小值是．解：2.3．已知χ2+χ-1=0，则代数式χ4+2χ3+2χ2+χ-1的值是( )．A．1 B．2 C．3 D．4 解：A 由已知χ2＋χ-1＝0得，χ2＋χ=1.而χ4＋2χ3＋χ-1＝（χ4＋2χ3＋χ2）＋（χ2＋χ-1）＝()()2222+++-=+=.1101x x x x4．（1994年“希望杯”初一第2试）一个六位数2abcde的3倍等于9abcde，则这个六位数是。

解：设abcde=x，则3(200000+x)=10x+9，解得x=85713。

故所求六位数是285713。

5．a、b、c是常数实数，x、y是任意实数，设A=(a-b)x+(b-c)y+(c-a)，B=(b-c)x+(c-a)y+(a-b)，C=(c-a)x+(a-b)y+(b-c)．求证：A、B、C不能都是正数，也不能都是负数．解：若想分类讨论，则须分一正两负﹑一负两正两种情况.而x﹑y为变数，且a﹑b﹑c的大小关系不明，难以下手.倘若采用“整体合并”，易知0++=，而A﹑A B CB﹑C均为实数，便立即得出A﹑B﹑C不能都是正数，也不能都是负数.6．(2002年广西省竞赛题)如图39—4，用3根火柴可以摆出第(1)个等边三角形，加上2根火柴可以摆出第(2)个等边三角形，再加上2根火柴可以摆出第(3)个等边三角形，……．这样继续摆下去，当摆出第(n)个等边三角形时，共用了火柴根．(用含n的代数式表示)．解: 由题中描述，可以看出第1个等边三角形需用3根火柴,此后每增摆2根火柴,即可多出1个等边三角形.设a i表示摆出第i个三角形时所用的火柴根数,则有a2=3+2×1=5, a3=3+2×2=7, a4=3+2×3=9,则a n=3+2 (n-1)=3+2n-2=2n+1.7. 如图39—11，正整数按下表的规律排列，则由上起第10行，左起第13列的数是．数127应排在上起第行，左起第列．解: 154,6,128．(1991年“华罗庚金杯”复赛试题)如图22-2所示，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈内，现在一只红跳蚤从标有“0”的圆圈内顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里；一只黑跳蚤也从标有“0”的圆圈起跳，但它是沿逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问这两个圆圈里数字的乘积是多少?解：电子跳蚤每跳12步又回到原来的位置．红跳蚤顺时针跳了1991步，1991=12×165+11，所以它停在数字为11的圆圈内；黑跳蚤逆时针跳了1949步，1949=12×162+5，故它停在数字为7的圆圈里，11×7=77，所以所求乘积为77．龙班1. （北京市中考模拟试题）下图是桂林冬季某一天的气温随时间变化的情况图，则在____时气温最低，最低气温为℃，当天最高气温为℃，这一天的温差为℃(结果都取整数)解：4，-2，10，12.2．（希望杯训练题)代数式|x-1|＋|x-2|＋|x-3|的最小值是 ．解：2.3．已知χ2+χ-1=0，则代数式χ4+2χ3+2χ2+χ-1的值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解：A 由已知χ2＋χ-1＝0得，χ2＋χ=1.而χ4＋2χ3＋χ-1＝（χ4＋2χ3＋χ2）＋（χ2＋χ-1）＝()()22221101x x x x +++-=+=.4．（希望杯训练题）已知a 2=3a-l ，则1825222345+-+-a a a a a 的值为 ．解：5432324232225282(31)88(39)311333a a a a a a a a a a a a a a a a a -+--++---====-=-+5．a 、b 、c 是常数实数，x 、y 是任意实数，设A=(a-b)x+(b-c)y+(c-a)，B=(b-c)x+(c-a)y+(a-b)，C=(c-a)x+(a-b)y+(b-c)． 求证：A 、B 、C 不能都是正数，也不能都是负数．解： 若想分类讨论，则须分一正两负﹑一负两正两种情况.而x﹑y为变数，且a﹑b﹑c的大小关系不明，难以下手.倘若采用“整体合并”，易知0++=，而A﹑A B CB﹑C均为实数，便立即得出A﹑B﹑C不能都是正数，也不能都是负数.6．(2002年广西省竞赛题)如图39—4，用3根火柴可以摆出第(1)个等边三角形，加上2根火柴可以摆出第(2)个等边三角形，再加上2根火柴可以摆出第(3)个等边三角形，……．这样继续摆下去，当摆出第(n)个等边三角形时，共用了火柴根．(用含n的代数式表示)．解: 2n+1.7．(1991年“华罗庚金杯”复赛试题)如图22-2所示，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈内，现在一只红跳蚤从标有“0”的圆圈内顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里；一只黑跳蚤也从标有“0”的圆圈起跳，但它是沿逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问这两个圆圈里数字的乘积是多少?解：电子跳蚤每跳12步又回到原来的位置．红跳蚤顺时针跳了1991步，1991=12×165+11，所以它停在数字为11的圆圈内；黑跳蚤逆时针跳了1949步，1949=12×162+5，故它停在数字为7的圆圈里，11×7=77，所以所求乘积为77．8．设有一个边长为l的正三角形，记作1A；将1A的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作2A；将2A的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作3A(如图22-3所示)；再将3A的每条边三等分，并重复上述过程，所得图形记作4A，则4A的周长是________．解：观察图形可以发现：由1A到2A、由2A到3A都是将原图形的边由3等分变成了4等分，故每进行一次操作，所得图形的周长是原周长的43倍，所以2A周长43×3=4，3A周长为43×4=163，4A周长为43×163=649．竞赛班1. （北京市中考模拟试题）下图是桂林冬季某一天的气温随时间变化的情况图，则在____时气温最低，最低气温为℃，当天最高气温为℃，这一天的温差为℃(结果都取整数)解：4，-2，10，12.2．（希望杯训练题)代数式|x-1|＋|x-2|＋|x-3|的最小值是．解：2.3．已知χ2+χ-1=0，则代数式χ4+2χ3+2χ2+χ-1的值是( )．A．1 B．2 C．3 D．4 解：A 由已知χ2＋χ-1＝0得，χ2＋χ=1.而χ4＋2χ3＋χ-1＝（χ4＋2χ3＋χ2）＋（χ2＋χ-1）＝()()22221101x x x x+++-=+=.4．（希望杯训练题）已知a2=3a-l，则1825222 345+-+ -aa aaa的值为 ． 解：5432324232225282(31)88(39)311333a a a a a a a a a a a a a a a a a -+--++---====-=-+5．a 、b 、c 是常数实数，x 、y 是任意实数，设A=(a-b)x+(b-c)y+(c-a)，B=(b-c)x+(c-a)y+(a-b)，C=(c-a)x+(a-b)y+(b-c)． 求证：A 、B 、C 不能都是正数，也不能都是负数．解： 若想分类讨论，则须分一正两负﹑一负两正两种情况.而x ﹑y 为变数，且a ﹑b ﹑c 的大小关系不明，难以下手.倘若采用“整体合并”，易知0A B C ++=，而A ﹑B ﹑C 均为实数，便立即得出A ﹑B ﹑C 不能都是正数，也不能都是负数.6．(2002年广西省竞赛题)如图39—4，用3根火柴可以摆出第(1)个等边三角形，加上2根火柴可以摆出第(2)个等边三角形，再加上2根火柴可以摆出第(3)个等边三角形，……．这样继续摆下去，当摆出第(n)个等边三角形时，共用了火柴 根．(用含n 的代数式表示)．解: 2n+1.7．(1991年“华罗庚金杯”复赛试题)如图22-2所示，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈内，现在一只红跳蚤从标有“0”的圆圈内顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里；一只黑跳蚤也从标有“0”的圆圈起跳，但它是沿逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问这两个圆圈里数字的乘积是多少?解：电子跳蚤每跳12步又回到原来的位置．红跳蚤顺时针跳了1991步，1991=12×165+11，所以它停在数字为11的圆圈内；黑跳蚤逆时针跳了1949步，1949=12×162+5，故它停在数字为7的圆圈里，11×7=77，所以所求乘积为77．8．设有一个边长为l的正三角形，记作A；将1A的每条1边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A；将2A的每条边三2等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A(如图22-3所示)；再将3A的每条边三等分，并3重复上述过程，所得图形记作A，则4A的周长是4________．解：观察图形可以发现：由1A到2A、由2A到3A都是将原图形的边由3等分变成了4等分，故每进行一次操作，所得图形的周长是原周长的43倍，所以2A周长4 3×3=4，3A周长为43×4=163，4A周长为43×163=649．。