2016届高考数学一轮复习10.10二项分布、超几何分布、正态分布练习理

第十节 二项分布、超几何分布、正态分布1．(2013·大庆模拟)设ξ是服从二项分布B(n ，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n 与p 的值为 ( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，14解析：由ξ～B(n ，p)，有E(ξ)＝np ＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝454，所以p ＝14，n ＝60.答案：B2．(2013·许昌模拟)设随机变量X ～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a －2＝2，所以a ＝4，选A. 答案：A3．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235 B.1235 C.335 D.235解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0，1，2，相应的概率为P(X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.故选B.答案：B4. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 52⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 52C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123.故选B 答案：B5．一个袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于（n －m ）A m2A n3的是( ) A ．P(ξ＝3) B ．P(ξ≥2) C．P(ξ≤3) D．P(ξ＝2) 解析：P(ξ＝2)＝A 2m C 1n －m A 3n ＝（n －m ）A 2mA 3n . 故选D. 答案：D6．正态总体的概率密度函数为f ()x ＝18πe －x28()x∈R ，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2 答案：C7．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是________．解析：由C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝ C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫124－k ，得k ＝2. 答案：28．已知ξ～N(4，σ2)，且P(2＜ξ≤6)＝0.682 6，则P(ξ≤10)＝________． 解析：∵P(4－2＜ξ≤4＋2)＝0.682 6， ∴σ＝2，P(－2＜ξ≤10)＝P(4－2×3＜ξ≤4＋2×3)＝0.997 4， P(ξ≤10)＝P(－2＜ξ≤10)＋12[1－P(－2＜ξ≤10)]＝0.997 4＋12(1－0.997 4)＝0.998 7.答案：0.998 79．(2013·揭阳二模)某个部件由两个电子元件按右图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_____________．解析：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)，得：两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为p ＝12，则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为：p 1＝1－(1－p)2＝34.答案：3410．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93× 0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号)．解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93×0.1，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．故选①③.答案：①③11．甲、乙两人参加知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲先抽一题，乙再抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是多少？ (3)甲抽到选择题的条件下，乙抽到选择题的概率是多少？解析：(1)记A ＝“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，则P(A)＝6×410×9＝415；∴所求的概率是415.(2)记B ＝“甲、乙没有谁抽到选择题”，则B 为所求事件， ∴P(B)＝1－P(B)＝1－4×310×9＝1315；∴甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是1315.(3)记C ＝“甲抽到选择题”，D ＝“乙抽到选择题”， 则P(C)＝610＝35，P(CD)＝6×510×9＝13，∴P(D|C)＝P （CD ）P （C ）＝59.因此，所求的概率是59.12．设在一次数学考试中，某班学生的分数服从ξ～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共有54人，求这个班的这次数学考试中及格(不小于90分)的人和130分以上的人数．解析：∵ξ～N(110，202)， ∴μ＝110，σ＝20，∴P(90＜ξ≤130)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ＝0.682 6)， P(ξ＞130)＝12[1－P(90＜ξ≤130)]＝0.158 7，∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3， 因此，及格的人数为54×0.841 3≈45(人)， 130分以上的人数54×0.158 7≈9(人)．13．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解析：(1)设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P(A)＝23×23×23＝827，P(B)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P(C)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0，1，2，3， 则P(X ＝0)＝P(A)＋P(B)＝1627，P(X ＝1)＝P(C)＝427，P(X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝19，所以X 的分布列为所以E(X)＝0×27＋1×27＋2×27＋3×9＝9.14.近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．(1)求至少有1天需要人工降雨的概率； (2)求不需要人工降雨的天数X 的分布列和期望． 解析：(1)5天全不需要人工降雨的概率是P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝225， 故至少有1天需要人工降雨的概率是1－P 1＝2325.(2)X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，5. P(X ＝5)＝225，P(X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝725， P(X ＝3)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝73200， P(X ＝2)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝43200， P(X ＝1)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＝11200， P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝1200. 所以不需要人工降雨的天数X 的分布列是E(X)＝0×1200＋1×11200＋2×43200＋3×73200＋4×725＋5×225＝3.1.15．某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ，b 的值；(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；(3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．解析：(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10＋a 人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则P(A)＝10＋a 40＝25，解得a ＝6.所以b ＝40－(32＋a)＝40－38＝2.(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人． 方法一 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P(B)＝1－P(B)＝1－C 332C 340＝1－124247＝123247.方法二 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以P ()B ＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 38C 340＝123247. (3)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C 340，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k24C 3－k16， 所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P （ξ＝k ）＝C k24C 3－k16C 340，k ＝0，1，2，3.ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝C 024C 316C 340＝14247，P(ξ＝1)＝C 124C 216C 340＝72247，P(ξ＝2)＝C 224C 116C 340＝5521 235，P(ξ＝3)＝C 324C 016C 340＝2531 235.所以ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×247＋1×247＋2×1 235＋3×1 235＝1 235＝5. 16．(2013·揭阳二模)某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．(1)在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；(2)在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次(每次一件)，恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，故P(A)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×35＝36125.(2)ξ可能的取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝C 24C 23C 25C 25＝18100＝950，P(ξ＝1)＝C 14C 23C 25C 25＋C 24C 13C 12C 25C 25＝1225，P(ξ＝2)＝C 14C 13·C 12C 25C 25＋C 24C 22C 25C 25＝1550＝310，P(ξ＝3)＝C 14C 22C 25C 25＝125.ξ的分布列为数学期望为E(ξ)＝1×1225＋2×1550＋3×125＝1.2.17．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)由题意知众数为4.6和4.7；中位数为4.75.(2)设A i 表示所选3人中有i 个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为事件A ， 则P(A)＝P(A 2)＋P(A 3)＝C 24C 112C 316＋C 34C 316＝19140.(3)X 的可能取值为0，1，2，3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P(X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，X 的分布为故X 的数学期望E(X)＝3×4＝4.。