1.3.2 线段的垂直平分线
八年级数学三角形的证明1.3.2线段的垂直平分线练习新版北师大版
垂直平分线第2课时知能演练提升能力提升1.如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部,那么这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2.下列命题中,真命题的个数是()①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等,那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段,那么延长线段的两个端点与它顶点的距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等.A.1B.2C.3D.43.如图,在△ABC中,DE是AB的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,已知AE=1 cm,△ACD的周长为7.5 cm,则△ABC的周长是cm.(第3题图)(第4题图)4.如图,已知点O是等腰三角形三边垂直平分线的交点,AB=AC,且∠A=50°,则∠BOC的度数是.5.(1)如图,已知线段a.求作△ABC,使得AB=AC,BC=a,高AD=a.(2)所作的三角形是什么形状的?创新应用6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=22.5°,斜边AB的垂直平分线交AC于点D,点F在AC上,点E在BC 的延长线上,CE=CF,连接BF,DE.线段BF和DE有什么关系?请说明理由.答案：能力提升1.C2.C3.9.54.100°5.解 (1)作法如图①作线段BC=a;②作BC的垂直平分线MN,交BC于点D;③在射线DM上截取DA=a;④连接AB,AC.则△ABC即为所求作的三角形.(2)△ABC为等腰直角三角形.创新应用6.解BF=DE,BF⊥DE.理由如下:如图,连接BD,延长BF交DE于点M.∵D在AB的垂直平分线上,∴AD=BD,∠ABD=∠A=22.5°.在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=22.5°,∴∠ABC=67.5°.∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°.∴△BCD为等腰直角三角形.∴BC=DC.∵CE=CF,∴Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS).∴DE=BF,∠CED=∠CFB.又∵∠ACB=90°,∴∠CFB+∠CBF=90°,∴∠CED+∠CBF=90°,∴∠BME=90°,∴DE⊥BF.。
垂直平分线判定步骤
垂直平分线判定步骤1.引言1.1 概述概述垂直平分线是在几何学中常见的一个概念，它是指一条直线将一条线段垂直地平分成两个相等的部分。
垂直平分线具有一些特殊的性质，因此在几何问题中具有重要的应用价值。
本文将介绍垂直平分线的定义和性质，并详细说明判定垂直平分线的步骤。
了解这些内容可以帮助读者更好地掌握几何学中的相关知识，提升解题能力。
在正文部分，我们将首先给出垂直平分线的定义和相关性质，包括垂直平分线与直线段的垂直关系、垂直平分线与等距离点的关系等。
通过了解这些性质，我们可以更清晰地认识垂直平分线的特点和作用。
接下来，我们将详细介绍判定垂直平分线的步骤。
在几何问题中，判断一条线是否为垂直平分线是很关键的一步。
我们将通过几个具体的案例，逐步介绍判定步骤，并给出详细的解题思路和方法。
最后，在结论部分，我们将对本文进行总结，并探讨垂直平分线的应用。
垂直平分线在几何学中有广泛的应用，例如在建筑设计、地图制作、光学测量等领域都可以看到其重要作用。
了解垂直平分线的性质和判定步骤，可以帮助我们更好地理解和解决与垂直平分线相关的问题。
通过阅读本文，读者将能够全面了解垂直平分线的定义、性质和判定步骤，为解决几何问题提供有力的工具和方法。
无论是学生还是专业人士，都可以从本文中获得有益的帮助。
让我们一起深入探索垂直平分线的奥秘吧！1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括如下内容：文章结构部分的主要目的是为读者提供对整篇文章的整体框架和内容安排的概览。
通过清晰地呈现文章的结构，读者可以更好地理解文章的内容，并能够更有针对性地阅读感兴趣的部分。
本篇文章共分为引言、正文和结论三个部分。
第一部分是引言，主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。
其中，概述部分简单介绍垂直平分线的判定问题，并说明其重要性和应用价值。
文章结构部分即本部分的内容，详细介绍了整篇文章的结构和目录，准确指导读者阅读。
第二部分是正文，主要包括垂直平分线的定义和性质以及垂直平分线的判定步骤两个子部分。
线段的垂直平分线性质
谢谢观看
性质
因此，l是AB的垂直 平分线。
设线段为AB，中点 为M，垂直平分线为l。 在l上任取一点P，连 接PA、PB。
证明方法二：利用角 平分线的性质证明
性质
01
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03
04
由于M为AB中点，所以 AM=BM。
又因为l与AB垂直，所以 ∠PAM=∠PBM=90°。
根据角平分线的性质， ∠PMA=∠PMB（角平分 线的性质）。
方法二
利用向量的性质。通过向量运算，证 明线段的中点和直线的交点满足垂直 平分线的性质。
判定定理的证明
• 证明过程：首先，设线段AB的中点为M，直线l过M并与AB垂直。根据中点性质，有MA=MB。再根据直线与线段垂直的性 质，有∠A=∠B=90°。最后，根据三角形的全等判定，可以证明△AOB为直角三角形，从而得出l为AB的垂直平分线。
已知三角形，作三角形的垂直平分线
总结词
通过三边中点作垂直平分线
详细描述
首先，找到三角形三边的中点，然后分别过这三个中点作垂直平分线。这些垂直平分线会交于一点， 这个点就是三角形的重心。
已知圆和直径，作垂直平分线的作法
总结词
通过直径两端点作垂直平分线
VS
详细描述
首先，确定圆的直径的两个端点，然后分 别过这两个端点作垂直于该直径的直线， 即为该直径的垂直平分线。这个过程可以 通过几何作图或使用圆规来完成。
最值问题
利用垂直平分线的性质，可以解决一 些求最值的数学问题。例如，在给定 区域内求点到线段两端点距离之和的 最小值等。
04
垂直平分线的作法
已知线段和点，作线段的垂直平分线
总结词
通过中点作垂直平分线
详细描述
线段的垂直平分线1.3.2
1、如图 P是∠AOB平分线上的一点， PC⊥OA，PD⊥OB。 求证： （1）OC=OD ; （2）PO是CD的垂直平分线;
1.3.2 线段的垂直平分线
学习目标：
1、熟练掌握线段垂直平分线的性质定理 与判定定理; 2、能够熟练运用线段垂直平分线的性质 与判定定理解决相关实际问题。
能力提高
1.已知：△ABC中，∠BAC= 90°，BD平分 ∠ABC ，DE⊥BC ，
求证：BD垂直平分AE
(1)BD⊥AE,
(2)AO=OE
1
2 O
2.已知：Rt△ABC中，∠APM = ∠A . 求证：点M在BN的垂直平分线上.
拓展与延伸
已知，如图△ABC中，AB = BC ，AC = 30 ， ∠ABC = 120 °，EF为AB的垂直平分线。 求FCBFC 的长。 求∠ 的度数.
A
P B C
定理：三角形三条边的垂直平分线相交
于一点，并且这一点到三个顶点的距离 相等。 A
P B C
巩固练习
1、在△ABC中，AB = AC ，DE垂直平分AB ， ①若∠A=40°，则∠DBC = ； ②若AB=7，且△BCD的周长是12，则BC=__；
2、已知：如图，在△ABC中，AB = AC ， BD平分∠ABC ，DE垂直平分AB ，则 ∠C = __；
1、以线段AB为底边的等腰三角形有 个，这些等腰三角形的顶点在 线段AB的 。 2、在Rt△ABC中， ∠B = 90°，∠A = 40°， AC 的垂直平分线交AB于 点D ，那么∠BCD = 。
3.课本P24 T3
探究交流
1、剪一张三角形纸片，通过折叠画出每条边 的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你能 发现什么特点？ 2、用尺规作出⊿ABC的三条边的垂直平分线， 你是否也发现相同的结论？ P19同步 3、能证明你发现的结论。
线段垂直平分线知识点
线段垂直平分线知识点
线段垂直平分线是指一条线段被另外一条线段垂直地平分为两个相等的部分。
这种垂直平分线具有一些重要的特性和性质，下面将对其进行简要介绍。
首先，线段垂直平分线可以通过使用垂直线的性质来确定。
如果一条线段AB
被另一条线段CD垂直地平分为两个相等的部分，那么线段AB和CD之间的夹角
是90度，即它们是相互垂直的。
这是线段垂直平分线的一个重要特征。
其次，垂直平分线将线段等分为两个相等的部分。
也就是说，线段AB被CD
垂直平分为AC和CB两个部分，且AC=CB。
这个性质可以用来求解一些与线段
垂直平分线相关的问题。
例如，当我们知道线段的两个端点和垂直平分线的某个端点时，我们可以使用该性质来求解另一个线段的端点的坐标。
另外，垂直平分线也可以用来证明几何问题中的一些结论。
例如，当需要证明
某个四边形的对角线相互垂直时，我们可以通过证明对角线被相互平分而得出结论。
因此，线段垂直平分线的概念在几何证明中有着重要的应用。
总之，线段垂直平分线是一条将线段垂直平分为两个相等部分的线。
它具有一
些重要的性质，包括与垂直线的关系、等分线段以及在几何证明中的应用。
理解和掌握线段垂直平分线的知识点对于解决与几何相关的问题是非常有帮助的。
八年级数学下册1.3.2线段的垂直平分线课件新版北师大版
2 性质Biblioteka 3 性质垂直平分线上的所有点到线段两端点的距离相等。
线段垂直平分线是唯一的。
构造垂直平分线的步骤
1. 画出该线段。 2. 以线段中点为圆心，线段一半的长度为半径画圆。 3. 两个交点即为垂直平分线的端点。 4. 画出这条直线即可。
实例演练
根据所给线段构造出其垂直平分线。
步骤1
画出所给的线段。
步骤2
以线段中点为圆心，线段一半的长度为半径画圆。
步骤3
两个交点即为垂直平分线的端点。
步骤4
画出这条直线即可。
总结
1 线段的垂直平分线
线段的垂直平分线是线段一条特殊直线，具 有一些性质和构造方法。
2 通过实例演练
通过实例演练，掌握了构造垂直平分线的基 本步骤和技巧。
思考题
1 利用垂直平分线
如何利用线段的垂直平分线求解其他几何问题？
八年级数学下册1.3.2线段 的垂直平分线课件新版北 师大版
介绍八年级数学下册1.3.2线段的垂直平分线课件新版北师大版。包括垂直平 分线的定义、性质和构造方法，以及实例演练和思考题。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线指与线段垂直且把线段平均分成两部分的直线。
1 性质
线段两端点到垂直平分线的距离相等。
1.3.2 线段的垂直平分线 教案 2021—2022学年北师大版八年级数学下册
课题 1.3线段的垂直平分线（二）学习目标1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．重点难点重点：用尺规作已知线段垂直平分线难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形教法选择分组讨论法、讲练结合法课型新授课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本课时运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题，主要内容包括：证明“三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离等”；已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形；用尺规过一点作已知直线的垂线。
这些内容都是重要的几何知识，让学生经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明的意识和能力，让学生收货解决问题的方法和意识。
课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、情境引入：1.剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.2.观察这三条垂直平分线,你发现了什么?二、知识点链接：1、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在_______上.2、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.3、如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB 上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.4、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在____（1）（2）三、自学导读1、先把课本P24____P26通读一遍。
2、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO．求证：O点在AC的垂直平分线上且OA=OB=OC．学生亲历知识的发生和发展过程.学生进行折纸活动，并思考和发现结论.结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.学生思考问题，并积极讨论.主备人：备课组长签字：四、议一议： 1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等） 2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。
《线段的垂直平分线》
《线段的垂直平分线》contents •定义与性质•定理与推论•垂直平分线的判定•垂直平分线的作法•垂直平分线的应用•垂直平分线的扩展知识目录定义与性质CATALOGUE 01垂直平分线中垂线定义垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
性质定理与推论CATALOGUE 02定理定理1三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
定理2定理3推论1推论2推论垂直平分线的判定CATALOGUE03三角形中的垂直平分线总结词在三角形中，垂直平分线通过三角形中垂足，并且与三角形两边相交，形成两个对称的点。
详细描述在三角形ABC中，从A点引出的垂直平分线与BC边相交于点D。
AD是垂直平分线，那么AB和AC两条边被AD所垂直平分。
因此，点D是线段BC的垂直平分点。
总结词详细描述在菱形中，垂直平分线通过菱形中垂足，并且与菱形四边相交，形成四个对称的点。
详细描述在菱形ABCD中，从A点引出的垂直平分线与BC边相交于点F。
AF是垂直平分线，那么AB和AD两条边被AF所垂直平分。
因此，点F是线段BC的垂直平分点。
同时，垂直平分线AF还将菱形划分为两个全等的三角形，即△ABF和△ADF。
总结词VS垂直平分线的作法CATALOGUE04通过已知点作垂直平分线总结词详细描述通过两点作线段的垂直平分线总结词详细描述总结词通过一条已知直线段作其垂直平分线的方法有多种，其中一种是利用中垂线的性质。
要点一要点二详细描述首先，需要明确直线段的中点，然后过该中点作一条与原直线段垂直的直线，即为所求的垂直平分线。
通过已知直线段作垂直平分线垂直平分线的应用CATALOGUE05确定对称性线段的垂直平分线是该线段上所有点关于线段中点的对称轴。
因此，在几何作图中，可以利用垂直平分线来构造对称图形。
求解角度在几何图形中，有时需要求解两个点之间的角度。
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例3
已知一个等腰三角形的底边和底
a h
边上的高，求作这个等腰三角形。
已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a， 高AD=h。
已知：线段a、h。
a
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a， 高AD=形 三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。
议一议
1.已知三角形的一条边及这条边上的高,你能 作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三 角形都全等吗?
C
三种几何语言 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一
点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
a A c P b
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC
B
C
议一议 分别作出直角三角形、锐角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在 什么位置.
6.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形 的外部，那么，这个三角形是（ C ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
无数 个，符合条件 7.底边AB=a的等腰三角形有_________ 垂直平分线 上． 的顶点C在线段AB的______________
8.①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相 等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等； ③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB 外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平 分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线 . 正确的有（ A ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角 ∠B的大小为___________ 20°或70°
2
D A
.
.
B
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
1.剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平 分线.观察这三条垂直平分线,你发现了什么？
2.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.再观察 这三条垂直平分线,你又发现了什么?与同伴交流.
3.证明你所得到的结论.
1.定理: 相交于一点 三角形三条边的垂直平分线____________________ ,
1.定理: 相交于一点 三角形三条边的垂直平分线____________________ ,
三个顶点 并且这一点到__________________ 的距离相等.
2.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。
三个顶点 并且这一点到__________________ 的距离相等.
2. 已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相 交于点P,。 求证：点P也在AC的垂直平分线上 A 证明：连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, PA=PB ∴________ 同理,PB=PC. B P ∴PA=PC. 点P在线段AB的垂直平分线上, ∴________________________ ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.
M
作法：
1．作线段BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3．在直线MN上作线段DA,使DA=h； 4．连接AB、AC. △ABC为所求的等腰三角形。
A
B
D
N
C
做一做 已知直线m和m上一点P,利用尺规作m的垂线,使 它经过点P。 P
●
m
议一议
如果点P在直线外呢？交流一下。
无数 1.已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出_____ 不 都全等. 个三角形, 所作出的三角形___
义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册
第一章 三角形的证明
1.线段垂直平分线的定理及证明 2.线段垂直平分线的逆定理及证明
3.两个定理之间的区别与联系
用尺规作线段的垂直平分线. 已知:线段AB,（如图）.
C
求作:线段AB的垂直平分线. 作法：
1.分别以点A和B为圆心,以大于 AB 长为半径作弧,两弧交于点C和D. 2.作直线CD.
2.已知等腰三角形的底及底边上的高,能用尺规作出 两个 等腰三角形____
1 3.已知线段a，求作以a为底，以 a为高的等腰三角 形。这个等腰三角形有什么特征? 2
4.已知：在△ABC中，ON是AB的 垂直平分线,OA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线
5.如图，AC=AD，BC=BD，则（ B ） A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对