湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三数学上学期期中试题 理

B.
2 3 , 3 4
C.
2 3 , 3 5
D.
3 3 , 4 5
）
9．若双曲线 x 2 y 2 a 2 (a 0) 的左、右顶点分别为 A, B ，点 P 是第一象限内双曲线上 的点．若直线 PA, PB 的倾斜角分别为 , ，且 k ( k 1) ，那么 的值是（ A．
4
华中师大一附中 2014——2015 学年度上学期期中检测 高三数学（理）试题参考答案及评分标准
三、解答题：(本大题共 6 小题，共 75 分) 17． （本小题满分 12 分） 解： (Ⅰ)由题意得 m n (sin 2 A sin 2 C ) (sin 2 B sin A sin B ) 0 ， 即 sin 2 C sin 2 A sin 2 B sin A sin B ，由正弦定理得 c 2 a 2 b 2 ab ，
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程是 1 x t t y t 1 t
，以坐标原点为轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 sin( ) 1 ，则两曲线交点间的距离是 3
三、解答题：(本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （本小题满分 12 分） 设角 A, B, C 是 ABC 的三个内角,已知向量 m (sin A sin C ,sin B sin A) ，
( bx
1 x
) 6 的展开式中的常数项是_________． （用数字作答）
1 1 OA, OD OB ，AD 与 BC 交于点 M ， 4 2 设 OA = a ， OB = b ， 则 OM (用 a , b 表示) OC 12． 在 OAB 中，
再由余弦定理得 cos C

0 A
2 7 1 , 2 A sin(2 A ) 1 ， 3 6 6 6 2 6 2 1 5 2 5 所以 s t ，故 .……………………12 分 st 2 4 2 2
21． （本小题满分 13 分）
1 x2 y2 2 1(a b 0) 的离心率为 ，以原 2 2 a b 点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y 6 0 相切
已知椭圆 C （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程 （Ⅱ）若直线 L： y kx m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且 kOA kOB
(3n 2) 3n1 (3n 2) 3n ……………9 分
7 (6 n 7)3 n 2 2
则 3Tn 1 3 4 3 7 3 … (3n 5) 3
n 1
两式相减得 2Tn 1 3 31 3 3 2 … 3 3 n 1 (3n 2) 3 n
a1 a2 a3 b2 b3 ．
（Ⅰ）求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式 （Ⅱ）数列 {cn } 满足 cn anbn ，求数列 {cn } 的前 n 项和 S n ．
20． （本小题满分 12 分） 节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的 先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速 公路的车速(km/h)分成六段 [80,85), [85,90), [90,95), [95,100), [100,105), [105,110) 后得 到如下图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法? （Ⅱ） 求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （Ⅲ）若从车速在 [80,90) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出 的 2 辆车中车速在 [85,90) 的车辆数 的分布列及 数学期望.
2 2 B．若命题 p ： x0 R, x0 x0 1 0 ，则 p ： x R, x x 1 0
C． ABC 中， sin A sin B 是 A B 的充要条件 D．若 p q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题
， 由上表可得回归直线方程 据此模型预报身高为 172 cm 的男生的体重大约为 y 0.56 x a
2

2

4
cos 2 A
4
sin 2 A 1
2
sin(2 A
6
) 1
18． （本小题满分 12 分）
3 解： （Ⅰ）设 an 的公差为 d ， bn 的公比为 q ，由 b4 b1q3 ，得 q
54 27 ， 2 n 1 从而 q 3 ，因此 bn 2 3 ，又 a1 a2 a3 3a2 b2 b3 6 18 24 ，
b2 a2
3
求证： AOB 的面积为定值
在椭圆上是否存在一点 P，使 OAPB 为平行四边形，若存在，求出 OP 的取 值范围，若不存在说明理由.
22． （本小题满分 14 分） （Ⅰ）求 a , b 的值；
已知函数 f x a ln x bx 2 图象上一点 P (2, f (2)) 处的切线方程为 y 3 x 2 ln 2 2
a2 b2 c2 1 ， 0 C , C .……………6 分 3 2ab 2 2 B 1) (cos A, cos B) ， (Ⅱ) s t (cos A,2 cos 2 2 2 s t cos 2 A cos 2 B cos 2 A cos 2 ( A) 3 4 1 cos( 2 A) 1 cos 2 A 1 3 1 3

n (sin A sin C ,sin B ) ,且 m n . （Ⅰ）求角 C 的大小； 2 B ) ,试求 s t 的取值范围 （Ⅱ）若向量 s (0, 1), t (cos A, 2 cos 2
18． （本小题满分 12 分） 已知数列 {an } 是等差数列， {bn } 是等比数列，且 a1 b1 2 ， b4 54 ，
7 3n (6n 7) n ，故 Sn 4Tn 7 (6n 7) 3 4 4 19． （本小题满分 12 分） Tn
3 1， 0 2，
2 2
B.
2．已知集合 A Z，B x | y ln(9 x ) ，则 A B 为（ A． B.

3
2
C.

3i 1， 2 0，
D. 3i ） D.
1，， 0 1， 2 2，
）
C.
0 1， 2 1，，
3．下列命题错误的是（
A．命题“若 x y 0 ，则 x y 0 ”的逆否命题为 “若 x, y 中至少有一个不为 0，则 x 2 y 2 0 ”
13．若正数 x, y 满足 2 x y 3 0 ，则
x 2y 的最小值为 xy
．
14． 在平面直角坐标系 xoy 中， 已知点 P (3, 0) 在圆 C : x 2 y 2 2mx 4 y m 2 28 0 内， 动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A, B 两点，若 ABC 的面积的最大值为 16 ，则实数 m 的取 值范围是 （二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答.如果全选，则按 第 15 题作答结果计分） 15． （选修 4 1 ：几何证明选讲） 如图， PB 为△ ABC 外接圆 O 的切线， BD 平分 PBC ，交圆 O 于 D ， C , D, P 共线．若 AB BD , PC PB , PD 1 ，则圆 O 的半径是 16． （选修 4 4 ：坐标系与参数方程）
a2 8 ， d a2 a1 6 ，故 an 6n 4 ………………………6 分
n 1 n2
（Ⅱ） cn anbn 4 (3n 2) 3
0 1 2 1 2
令 Tn 1 3 4 3 7 3 … (3n 5) 3
3
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学 2015 届高三上学期期中考试 数学（理）试题
考试用时 120 分钟，满分 150 分。请把试题答案填写在答题卡相应的位置上。 一、选择题： （本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．已知复数 z (1 i )(2 i ) 的实部是 m ，虚部是 n ，则 m n 的值是（ A． ）
1 （Ⅱ）若方程 f x m 0 在 [ , e] 内有两个不等实根，求 m 的取值范围 e （其中 e 为自然对数的底， e 2.7 ） ；
（Ⅲ） 令 g x f x nx ， 如果 g x 图象与 x 轴交于 Ax1 ,0, Bx 2 ,0x1 x 2 ，AB 中 点为 C x 0 ,0 ，求证： g x0 0 ．
（ ） A．70.09 kg B．70.12 kg C．70.55 kg D．71.05 kg
5．已知 x, y x 1, y 1 ，A 是曲线 y x 2 与 y 机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为（ A. ） C.


x 围成的区域，若向区域 上随 1 12
1 3
B.
1 4
1 8
D.
6．已知函数 f ( x ) A sin( x )，x R （其中 A 0， 0，
） ，其部分图 2 2
像如图所示，将 f ( x ) 的图像纵坐标不变，横坐标变成原的 2 倍，再向右平移 1 个单位得到
g ( x ) 的图像，则函数 g ( x ) 的解析式为（ ）
( x 1) 2 C. g ( x ) sin( x 1) 2