北京市东城区2014届高三上学期期末统一检测数学理试题

东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则A B =（A ）(0,1) （B ） (1,2)（C ）(,1)(0,)-∞-+∞ （D ） (,1)(1,)-∞-+∞ （2）在复平面内，复数2ii+ 的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）设a ∈R ，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行右图所示的程序框图，输出的a 的值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（5）在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（A ）13 （B（C（D（主视图）（侧视图）（俯视图）（6）已知直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若MN ≥则k 的取值范围为 （A）[ （B ）11[,]33- （C ）(,-∞ （D）)+∞ （7）在直角梯形ABCD 中，90A ∠= ，30B ∠=，AB =2BC =，点E 在线段CD上，若AE AD AB μ=+，则μ的取值范围是（A ）[0,1] （B） （C ）1[0,]2 （D ）1[,2]2（8）定义,,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设实数,x y 满足约束条件2,2,x y ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩则max{4,3}z x y x y =+- 的取值范围是（A ）[6,10]-（B ）[7,10]- （C ）[6,8]- （D ）[7,8]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()f x x x =+，则(2)f -的值为 ． （10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（11）若点(4,4)P 为抛物线22y px =上一点，则抛物线焦点坐标为 ；点P 到抛物线的准线的距离为 ．（12）函数y =的最大值为 ．（13）如图，已知点1(0,)4A ,点000(,)(0)P x y x >上，若阴影部分面积与△OAP 面积相等时，则0x（14）设等差数列{}n a 满足：公差*d ∈N ，*n a ∈N ，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若11a =，则d = ； 若512a =，则d 的所有可能取值之和为 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =-+． （Ⅰ）求()12f π的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3545a a =, 2614a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：1221222n n nb b b a +++=+ (*)n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.（17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥平面111A B C 12AC C B C C ===，90ACB ∠= ， D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点．（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ；（Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值．（18）（本小题共13分）已知a ∈R ，函数1()ln f x x ax x=++． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()f x 在区间[2,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围．（19）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的点到其两焦点距离之和为4，且过点(0,1)．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，斜率为k 的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，若1212220x x y y a b+=，求△AOB 的面积.（20）本小题共14分）若无穷数列{}n a 满足：①对任意*n ∈N ，212n n n a a a +++≤；②存在常数M ，对任意*n ∈N ，n a M ≤，则称数列{}n a 为“T 数列”.（Ⅰ）若数列{}n a 的通项为82nn a =-(*)n ∈N ，证明：数列{}n a 为“T 数列”； （Ⅱ）若数列{}n a 的各项均为正整数，且数列{}n a 为“T 数列”，证明：对任意*n ∈N ，1n n a a +≤；（Ⅲ）若数列{}n a 的各项均为正整数，且数列{}n a 为“T 数列”，证明：存在 0*n ∈N ，数列0{}n n a +为等差数列.东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）C （5）C （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）6- （10）32（11） (1,0) ，5（12 （13）4（14）1,63 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由2()cos 2sin 1f x x x x =-+2cos cos2x x x =+，得()2sin(2)6f x x π=+．所以()2sin 123f ππ== …………………8分 （Ⅱ）因为02x π≤≤， 所以2666x ππ5π≤+≤． 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值为2． 当266x π5π+=，即2x π=时， 函数()f x 在[0,]2π上的最小值为1-．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设0d >． 由2614a a +=,可得47a =．由3545a a =，得(7)(7)45d d -+=，可得2d =． 所以1731a d =-=．可得21n a n =-．……………………………6分 （Ⅱ）设2nn nb c =，则121n n c c c a +++=+ . 即122n c c c n +++= ，可得12c =，且1212(1)n n c c c c n +++++=+ ． 所以12n c +=，可知2n c =(*)n ∈N ． 所以12n n b +=，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和24(12)2412n n n S +-==--． …………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）取AB 的中点F ，连结DF ，交1A B 于点M ，可知M 为DF 中点， 连结EM ，易知四边形1C DME 为平行四边形， 所以1C D ∥EM ．又1C D ⊄平面1A BE ，EM ⊂平面1A BE ，所以1C D ∥平面1A BE ．……………………………4分 证明：（Ⅱ）因为1111AC C B =，且D 是11AB 的中点， 所以111CD A B ⊥．因为1BB ⊥平面111A B C ，所以11BB C D ⊥． 所以1C D ⊥平面11AA B B ．又1C D ∥EM ，所以EM ⊥平面11AA B B ．又EM ⊂平面1A BE ，所以平面1A BE ⊥平面11AA B B ．……………………………９分 解：（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,2,0)B ，1(0,0,2)C , (0,0,1)E ，1(2,0,2)A ．1(0,2,2)BC =-，1(2,0,1)EA = ，(0,2,1)EB =- ．设平面1A BE 的法向量为(,,)x y z =n .则10,0.EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 错误！未找到引用源。

所以20,20.x z y z +=⎧⎨-=⎩错误！未找到引用源。

令1x =. 则(1,1,2)=--n .设向量n 与1BC的夹角为θ， 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

则11cos BC BC θ⋅== n n错误！未找到引用源。

所以直线1BC 与平面1A BE. ………………………………14分 （18）（共13分）解：（Ⅰ）当0a =时，1()ln f x x x=+（0x >）， 22111'()x f x x x x-=-=． 所以，当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >． 所以，当1x =时，函数有最小值(1)1f =． ……………６分（Ⅱ）222111'()ax x f x a x x x +-=-+=．当0a ≥时，12-+x ax 在[2,)x ∈+∞上恒大于零，即0)(>'x f ，符合要求． 当0a <时，要使()f x 在区间[2,)+∞上是单调函数，当且仅当[2,)x ∈+∞时，210ax x +-≤恒成立．即21xa x-≤恒成立． 设21()xg x x -=，则32'()x g x x -=，又[2,)x ∈+∞，所以'()0g x ≥，即()g x 在区间[2,)+∞上为增函数， ()g x 的最小值为1(2)4g =-，所以14a ≤-．综上， a 的取值范围是14a ≤-，或0a ≥．……………13分（19）（共13分）解（Ⅰ）依题意有2a =， 1b =．故椭圆方程为2214x y +=． ………………………………………………５分（Ⅱ）因为直线AB过右焦点，设直线AB 的方程为(y k x =-.联立方程组2214(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y并整理得2222(41)1240k x x k +-+-=． （*）故212241x x k +=+，212212441k x x k -=+．2122()(3)41k y y k x k x k -=-⋅=+． 又1212220x x y y a b +=，即121204x x y y +=． 所以22223104141k k k k --+=++，可得212k =，即2k =±． 方程（*）可化为2320x -+=，由12AB x =-，可得2AB =．原点O 到直线AB的距离1d ==.所以112AOB S AB d ∆=⋅=． ………………………………13分 （20）（共14分）（Ⅰ）证明：由82nn a =-，可得2282n n a ++=-，1182n n a ++=-，所以2121282822(82)20nn n n n n n a a a +++++-=-+---=-<，所以对任意*n ∈N ，212n n n a a a +++≤．又数列{}n a 为递减数列，所以对任意*n ∈N ，16n a a ≤=． 所以数列{}n a 为“T 数列”．…………………………………5分（Ⅱ）证明：假设存在正整数k ，使得1k k a a +>．由数列{}n a 的各项均为正整数，可得11k k a a +≥+．由212k k k a a a +++≤，可得2122(1)2k k k k k k a a a a a a ++≤-≤--=-．且2111122k k k k k k a a a a a a +++++≤-<-=． 同理3123k k k a a a ++<-≤-，依此类推，可得，对任意*n ∈N ，有k n k a a n +≤-． 因为k a 为正整数，设k a m =，则*m ∈N . 在k n k a a n +≤-中，设n m =，则0k n a +≤．与数列{}n a 的各项均为正整数矛盾．所以，对任意*n ∈N ，1n n a a +≤.…………………………………10分（Ⅲ）因为数列{}n a 为“T 数列”，所以，存在常数M ，对任意*n ∈N ，n a M ≤． 设*M ∈N ．由（Ⅱ）可知，对任意*n ∈N ，1n n a a +≤，则1231n n a a a a a +≤≤≤≤≤≤ ．若1n n a a +=，则10n n a a +-=；若1n n a a +<，则11n n a a +-≥． 而2n ≥时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ．所以1a ，21a a -，32a a -，…，1n n a a --，…，中最多有M 个大于或等于1， 否则与n a M ≤矛盾．所以，存在0*n ∈N ，对任意的0n n >，有10n n a a --=． 所以，对任意*n ∈N ，0010n n n n a a +++-= ．所以，存在 0*n ∈N ，数列0{}n n a +为等差数列.………………………………14分。