形异质同的海伦——秦九韶公式
数学人教版八年级下册《海伦-秦九韶公式》
《海伦-秦九韶公式》教学设计【教学目标】1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解其本质；（3）会选用合适的方法解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题.2、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力.3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）通过阅读相关数学史，让学生体会到我国古代数学的辉煌成就是许多数学家们心血和汗水的结晶，学习数学家秦九韶善于继承又勇于创新、攀登高峰的高尚品德.【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程.【教学难点、关键】海伦-秦九韶公式的本质.【教学方法】本节课采用"复习回顾--问题情境--自主探究—小组合作—综合应用"的模式展开教学，以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性，充分调动学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.【教学过程设计】一、创设情境·引入新知公元1247年前后，我国南宋数学家在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四斜，大斜一十五斜，里法三百步，欲知为田几何。
”这道题实际上就是已知三角形的边长，求这块田地的面积.师生活动：教师直接展示问题，导入新课.设计意图:通过数学史记载的实际问题，引入新课，激发学生的兴趣和求知欲.二、梳理旧知·铺垫新知１.平 方 差公式： a 2-b 2= .完全平方公式：a 2+2ab+b 2= ; a 2-2ab+b 2= . 2. ;.3.如图，在∆ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BC=a,AD=h,则= . 4.勾股定理：勾股定理逆定理：cb a C AB师生活动：教师提问，学生集体回答.设计意图：对本节课的学习即将用到的知识进行梳理，为本节课的顺利学习奠定基础.三、问题探究·学习新知1.如图，在∆ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c, 求∆ABC 的面积.c ba BAC师生活动：学生先独立思考，然后小组交流合作所得成果.设计意图：让学生明确：三角形三边确定了，三角形的面积就随之确定，自然可以用三边长表示出面积，让学生自己动手实践，小组合作交流，引出秦九韶公式，增强体验深刻性.2.搜集的秦九韶及他的《数书九章》的资料，小组交流分享师生活动：教师提前留给学生搜集有关数学家秦九韶的历史材料，小组内资源共享.设计意图：通过阅读数学家的生平事迹，使学生了解中国古代所取得的伟大数学成就，体会数学家的成功离不开他们的创新精神、科学方法和严谨的治学态度，培养学生吃苦耐劳、顽强拼搏、勇于创新的精神，可激发学生的民族自尊心和自信心，立志为国家和民族振兴而努力学习。
人教版数学八年级下册《阅读与思考海伦—秦九韶公式》说课稿2
人教版数学八年级下册《阅读与思考海伦—秦九韶公式》说课稿2一. 教材分析海伦-秦九韶公式是数学八年级下册《阅读与思考》中的一篇文章。
这篇文章主要介绍了海伦公式和秦九韶公式的来源、发展和应用。
通过阅读这篇文章，学生可以了解到数学知识在历史长河中的演变过程，以及数学家们如何通过观察自然现象、分析实际问题，逐渐发现并完善数学公式。
同时，文章中还涉及到了数学符号的发展和数学证明的过程，有助于提高学生的数学素养。
二. 学情分析在八年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，对数学知识有一定的认识和理解。
但是，对于数学历史和数学家的故事，他们可能了解不多。
因此，在教学过程中，需要引导学生关注数学知识的发展背景，激发他们对数学的兴趣和好奇心。
同时，学生已经掌握了因式分解、三角形面积等知识，这为学习海伦-秦九韶公式奠定了基础。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过阅读文章，使学生了解海伦公式和秦九韶公式的来源、发展和应用，掌握三角形面积的计算方法。
2.过程与方法：培养学生阅读理解能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学素养，引导学生关注数学知识在实际生活中的应用。
四. 说教学重难点1.重点：海伦公式和秦九韶公式的来源、发展和应用。
2.难点：理解数学符号的发展和数学证明的过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例分析、小组讨论等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、网络资源等手段，为学生提供丰富的学习材料，增强课堂教学的趣味性和生动性。
六. 说教学过程1.导入：以一个问题驱动，引导学生关注三角形面积的计算方法。
2.阅读与思考：让学生阅读文章，了解海伦公式和秦九韶公式的来源、发展和应用。
3.案例分析：分析实际问题，运用海伦-秦九韶公式进行计算。
4.小组讨论：引导学生分组讨论，探讨数学符号的发展和数学证明的过程。
5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展性问题，激发学生的思考。
海伦-秦九韶公式
海伦公式在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式：△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c)这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。
有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。
诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。
在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。
虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。
与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。
到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。
海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。
他注重实际应用。
最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。
这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
海伦-秦九昭公式的推导与证明-江彬
4
4
( (a b)2 c2 )((c2 (a b)2 )
4
4
abc • abc • acb •bca
2
2
2
2
令
p
1 abc
2
S p p a p b p c
学以致用
1、如图，在△ABC中，a=15，b=14，c=13，求△ABC的面积，运用我们已 经学习过的知识可以直接求解吗？
海伦-秦九韶公式
中数推广组 江彬
教学目标
1、知识与技能： （1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同； （2）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法： （1）经历由秦九韶公式变形到海伦公式的过程，培养学生严谨的数学逻辑思维； （2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观： （1）体会到数学的简洁美； （2）体会数学以不变应万变的魅力。 (3) 提高学生文化修养,进行爱国主义教育.
a 2 x2 h2
1
c2
x
b
2
h2
2
类似于△ABC是锐角三角形的情况可得：
S
1 4
a 2b 2
a2
b2 2
c2
2
秦九韶公式的证明
若△ABC是直角三角形，设∠C=90°，则由勾股定理有：
S 1 ab
1
a
2b
2
(
a2
b2
c2
)2
2
4
2
认识海伦公式
三角形的面积：S p p a p b p c
a 2 x2 h2
1
c2
b
x
2
h2
34海伦——秦九韶公式在中考中的应用
海伦——秦九韶公式在中考中的应用古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶在利用三角形的三边求面积时，都得到：如果一个三角形的三边分别为a 、b 、c ，设P ＝2cb a ++，则三角形的面积为S ＝))()((c p b p a p p ---，我们称为“海伦——秦九韶公式”。
义务教育课程标准实验教科书在九年级数学上册第十一章的阅读与思考中作为选学内容已经介绍，学生在运用过程中并不难，尤其在遇到三角形三边求面积等相应问题时的恰当应用，可以有效地化难为易，化繁为简，下面就一道中考题的解法比较中，能很容易得到体会。
（浙江省嘉兴市）如图一，已知A 、B 是线段MN 上两点，MN ＝4，MA ＝1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C,构成三角形ABC ，设AB ＝X⑴求X 的取值范围⑵若△ABC 为直角三角形，求X 的值。
⑶探究：△ABC 的最大面积？ 标准答案解题过程如下：解：（１）在△ABC 中，AC ＝１，AB ＝X ，BC ＝３－X ，得 １＋X>３－X１＋３－X>X解得１<X<２（２）AC 为斜边，则１＝X ２＋（３－X ）２，即X ２－３X ＋４＝０，此时方程无解。
AB 为斜边，则X ２＝（３－X ）２＋１，解得：X ＝35，满足１<X<２。
BC 为斜边，则（３－X ）２＝１＋X ２，解得X ＝34，满足１<X<２综上，X ＝35或X ＝34MNABC（３）在△ABC 中，作CD ⊥AB ，设CD ＝ｈ，△ABC 的面积为S ，则S ＝21x ｈ，当点D在线段AB 上，如图二，则21h -＋22)3(h x --＝X∴（３－X ）２－ｈ２＝X ２－２X 21h -＋１－ｈ２即：X 21h -＝３Ｘ－４∴X ２（１－ｈ２）＝９X ２－２４X ＋１６ X ２ｈ２＝－８X ２＋２４X －１６ S ２＝41X ２ｈ２＝－２X ２＋６X －４ ＝－２（X －23）２＋21 （34≦X ≦２）当X ＝23时（满足34≦X ≦２）S ２取最大值21，从而S 取最大值22。
《海伦-秦九韶公式》教学设计 1
阅读与思考《海伦—秦九韶公式》教学设计【教学内容】：人教版数学八年级下册第十六章“阅读与思考”内容【教学对象】：八年级下册学生【教材分析】：本节内容是初中数学八年级下册第十六章，是阅读与思考部分中的内容，教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。
《初中数学新课程标准》中并没有做要求，本节内容之前学生已经学习三角形，二次根式等相关知识，它是三角形面积公式的延续与拓展。
本节课意在引领学生运用所学知识对海伦公式与秦九韶公式进行转换，我把这节课放在学习勾股定理之后进行学习，加深了本节课学习的要求，要会推导海伦-秦九韶公式且会有简单应用，让同学们从中体会到数学之美。
【学情分析】：八年级学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次根式、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式等知识，为了让学生能够理解海伦-秦九韶公式的证明过程，这节课我是调整到学习勾股定理之后进行讲解的。
【教学目标】1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解其本质；（3）会选用合适的方法解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题2 、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力3 、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）通过阅读相关数学史，让学生体会到我国古代数学的辉煌成就是许多数学家们心血和汗水的结晶，学习数学家秦九韶善于继承又勇于创新、攀登高峰的高尚品德【教学重点】如何利用勾股定理证明秦九韶海伦公式的过程【教学难点】海伦- 秦九韶公式的证明【教学方法】本节课采用“情境教学法”、“启发式教学法”充分发挥学生的主观能动性，充分调动学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验【教学过程设计】一、创设情境引入新知师：生活离不开数学，数学来源于生活，数学能解决现代生活中许多问题，它能不能解决古代问题，请看大屏幕，我请一位同学帮我朗读一下。
海伦-秦九韶公式
海伦公式在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式：△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c)这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。
有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。
诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。
在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。
虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。
与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。
到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。
海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。
他注重实际应用。
最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。
这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
海伦公式任意四边形的面积公式
海伦公式，又称为海伦-秦九韶公式，是用来计算任意四边形面积的公式。
通过该公式，我们可以不受限制地计算不规则四边形的面积，而不仅仅局限于矩形或者平行四边形。
下面，我们将介绍海伦公式的推导方法以及具体的计算步骤。
一、海伦公式的推导1.1 海伦公式的由来海伦公式得名于古希腊数学家海伦（约公元前300年）。
海伦在《几何原本》一书中首次提出了该公式。
而后，我国唐代数学家秦九韶也独立地发现了这一公式，因此有时也称为海伦-秦九韶公式。
1.2 海伦公式的原理海伦公式是基于海伦公式面积公式，即√[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
其中，a、b、c为四边形的三条边长，s为四边形半周长。
1.3 海伦公式推导步骤（1）根据四边形的坐标计算出四条边的长度。
（2）根据四边形的边长计算出四边形的半周长s。
（3）代入海伦公式面积公式，即可计算出四边形的面积。
二、海伦公式的具体计算步骤2.1 计算四边形边长我们需要根据四边形的坐标计算出四条边的长度。
假设四边形的顶点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），则四条边的长度分别为AB、BC、CD、DA。
根据两点间距离公式可得：AB = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]BC = √[(x3-x2)^2 + (y3-y2)^2]CD = √[(x4-x3)^2 + (y4-y3)^2]DA = √[(x1-x4)^2 + (y1-y4)^2]2.2 计算四边形半周长四边形的半周长s可以通过四条边的长度计算得出：s = (AB + BC + CD + DA) / 22.3 代入海伦公式将四边形的半周长s代入海伦公式面积公式，即可得出四边形的面积：S = √[s(s-AB)(s-BC)(s-CD)(s-DA)]海伦公式是一种用来计算任意四边形面积的公式。
通过计算四边形的边长、半周长，再代入海伦公式，我们可以轻松地得出四边形的面积。
这种方法在数学和实际问题中有着广泛的应用，能够解决各种不规则四边形面积的计算问题。