高三数学同步测试(2)—数列
2009届高三数学第一轮复习分类汇编测试题(2)：数列
2009届高三数学第一轮复习分类汇编测试题（2）— 《数列》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a = （ ） A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．454．在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12，S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为 （ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．665．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ （ ）A ．310B ．13C ．18D ．196．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75 7．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）A ．100B ．101C ．200D ．201 8．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +- B ．3n C ．2nD ．31n- 9．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于 （ ）A ．2(81)7n -B ．12(81)7n +-C ．32(81)7n +-D ．42(81)7n +-10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，na 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（ ）A ．2002B ．2004C ．2006D ．200812．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f xx 则设 . 15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第 一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.16．已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()() ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1， 则第60个整数对是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥ （1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…）， 证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）19．（本小题满分12分） 已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？20．（本小题满分12分） 某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．（Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． 22．（本小题满分14分） 已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{n b 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列； （2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）（理做文不做）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．参考答案（2）1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ． 3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =．∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d +＝42． 4．B ． 因为461912a a a a +=+=，所以1999()2a a S +==54，故选B ． 5．A ． 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 6．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ． 7．A ． 依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．8．C ．因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C ．9．D ． f （n ）=3(1)432[12]2(81)127n n ++-=--，选D ．10．B ． 正四面体的特征和题设构造过程，第k 层为k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k 层正四面体为(),k k k k k 2213212+=+=++++ 则前k 层共有()()()()6062121212121222≤++=+++++++k k k k k L ，k 最大为6，剩4，选B ．11．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ，选A ．12．C ．由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30，选C ．13．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3.14．由()()11=+-x f x f ，整体求和所求值为5．15．2)1()()(111211+==-++-+=⇒+=--+n n a a a a a a n a a n n n n n )(n f 的规律由)2(2)1()1()(≥+==--n n n a n f n f n ，所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222+=--+=-+=-=n n f n f f f f f f所以)]321()321[(21)(222n n n f +++++++++=6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21++=++++=n n n n n n n n 16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n 为的n －1个，于是，借助()21321+=++++n n n 估算，取n=10，则第55个整数对为()1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为()7,517．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+18．1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d －1d =0，∴1+≤n n b b （n =1，2，3，…）成立； 又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1，2，3，…） ∴数列}{n c 为等差数列.2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）， ∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②①－②得：)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ， ∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1，2，3，…），由此，不妨设3d b n =（n =1，2，3，…），则2+-n n a a 3d =（常数） 故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥ 从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++，故311)(21d c c a a n n n n +-=-++3221d d +=（常数）（n =1，2，3，…）， ∴数列}{n a 为等差数列.综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）. 19．（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.20．设第n 天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，()()N n ,n n n n n n S n ∈≤≤-=⨯-+=3015255021202，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为()60503050120-=-⨯-+n n ，公差为30，项数为30－n 的等差数列的和，()()()()(),n n n n n n T n 148502445653026050306050302-+-=-⨯--+--=依题设构建方程有，(),n n n n ,T S n n 867014850244565525867022=-+-+-∴=+化简，120588612=∴=+-n ,n n 或49=n （舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.21．（1）0d =时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；（任一非负偶数均可）;1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．（任一正奇数均可）; （2） 4d =时，422(21),a n n =-=-123n n b -=⨯131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项（3）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项． 理由是：①当2(*)d k k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++，其中112211C C n n n n n k k k-----++⋅⋅⋅+ 是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ），只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =，即{}n b 的项都是{}n a 中的项；②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项． 22．（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111-=--n n a b ，∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n∴{n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有nn b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴5.311-=-n a n .对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0)5.3(12<--=x y'，在（3.5，∞+）上为减函数. 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3. 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0， 0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝－1.（3）先用数学归纳法证明21<<n a ，再证明n n a a <+1. ①当1=n 时，211<<a 成立； ②假设当k n =时命题成立，即21<<k a ，当1+=k n 时，1121<<ka )23,1(121∈-=⇒+kk a a ⇒211<<+k a 故当1+=k n 时也成立，综合①②有，命题对任意+∈N n 时成立，即21<<n a . （也可设x x f 12)(-=（1≤x ≤2），则01)(2'>=xx f ，故=1)1(f 223)2()(1<=<=<+f a f a k k ）. 下证： n n a a <+10122)1(21=⋅-<+-=-+kk k k n n a a a a a a ⇒n n a a <+1.。
人教版高三数学第二学期数列多选题单元 期末复习同步练习试卷
人教版高三数学第二学期数列多选题单元 期末复习同步练习试卷一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.3．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n ++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】 由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．4．已知数列{}n a ，{}n b 满足，11a =，11n n n a a a +=+，1(1)n n b n a =+，若23100100122223100b b b T b =++++，则（ ） A ．n a n = B ．1n n b n =+ C ．100100101T =D ．10099100T =【答案】BC 【分析】先证明数列1n a 是等差数列得1n a n=，进而得1(1)1n n n b n a n ==++，进一步得()211111n b n n n n n ==-++，再结合裂项求和得100100101T =. 【详解】 解:因为11nn n a a a +=+,两边取倒数得: 1111n n a a +=+,即1111n na a ,所以数列1n a 是等差数列,公差为1,首项为111a ,故()1111n n n a =+-⨯=,所以1n a n=, 所以1(1)1n n nb n a n ==++，故()211111n b n n n n n ==-++， 所以31002100122211112310022334100101b b b T b =++++=++++⨯⨯⨯11111111100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故BC 正确，AD 错误； 故选：BC 【点睛】本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列1na 是等差数列，进而结合裂项求和求解100T .5．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=，故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n nn =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故()*21n a n n N=-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==，故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.6．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．1q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】BC 【分析】 计算可得2q，故选项A 错误；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.【详解】∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.7．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，211n n n na a a a +++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32nn a =-+，2113n n n na a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确； 若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；9．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】BCD 【分析】由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以121423k k a --=⋅-，故S 奇()21321141232(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===+⨯++⨯--+++-=---，S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=+++=+++--，故2k S S =奇＋S 偶3285k k +=--，故121828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.故选：BCD . 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。
高三数学数列试题答案及解析
高三数学数列试题答案及解析1.对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为________【答案】【解析】由题意，，，所以，则时，，两式相减得，，也适合此式，故.【考点】新定义与数列的通项公式.2.已知数列的通项公式an＝ (n∈N*)，求数列前30项中的最大项和最小项．【答案】最大项为a10，最小项为a9【解析】∵an ＝1＋，∴当n≤9时，an随着n的增大越来越小且小于1，当10≤n≤30时，a n 随着n的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a10，最小项为a9.3.（本小题满分12分）已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的的值.（Ⅲ）记，是否存在实数M，使得对一切恒成立，若存在，请求出M 的最小值；若不存在，请说明理由。
【答案】，2/9【解析】19. 解：（Ⅰ）当时，，由，得．当时，，，∴，即．∴．∴是以为首项，为公比的等比数列．故．………………6分（Ⅱ），，………………8分………10分解方程，得………………12分（2）解法一：，由错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，当，又故存在实数M，使得对一切M的最小值为2/9。
4.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如题15图所示的数表，其中的第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为则_____________.【答案】【解析】略5.设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】在等差数列中，成等差数列。
因为，，所以。
故选Ｂ。
【考点】等差数列的性质点评：在等差数列中，成等差数列。
6.（本小题满分14分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为。
（1）求数列的通项公式；（2）证明：。
【答案】（1）；（2）证明见解析。
【解析】（1）设直线：，联立得：，则，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即。
连云港市田家炳中学高三数学《数列》练习(2)
1．在等比数列{}n a 中，如果9,696==a a ，那么3a 等于2．如果9,,,,1--c b a 成等比数列，那么=b3．在等比数列{}n a 中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为4．等比数列{}n a 中，=3S 263,276=S ，则=n a ______5.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S = __6．等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，若521,,a a a 成等比数列，则=d7．c b a ,,成等比数列，且公比为3，又c b a ,8,+成等差数列，则三数为_______8．在等比数列中，已知首项为89，末项为31,公比为32，则项数n 等于______. 9．等差数列{}n a 中，21=a ，公差不为零，且1131,,a a a 恰好为某等比数列的前三项，则等比数列的公比为 ______________10．已知在等比数列{}n a 中，1,0≠>q a n ，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++= ． 11．n +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++++21132112111= ___________________12．在等差数列{}n a 中，已知公差21=d ，且6099531=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++a a a a ,则=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++100321a a a a ____________13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)(*)N n S n n n∈均在函数23-=x y 的图象上．则数列{}n a的通项公式为 ____________14．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值_ ____15．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．16．成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.17．已知数列{}n a 满足11=a ，)1(1++=+n S a n n ．(1) 证明数列{}1+n a 成等比数列； (2)求n a 和n S ．。
数列与极限
高中学生学科素质训练高三数学同步测试（2）—《数列与极限》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列}{n a 中，a 1+a 2=2，a 3+a 4=50，则公比q 的值为 （ ）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{a n }中，a 6=a 3＋a 8=5，则a 9的值是（ ）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程bx 2－2ax+c=0（ ）A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ）A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且65867424,20042a a a a a a a 则=++等于 （ ）A ．501B ．±501C ．2004D ．±20046．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m等于（ ）A ．38B ．20C ．10D ．97．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）A ．7)1(p a +B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p p a+-+ D ．()()[]p p pa+-+118 9．已知()1+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()=n g ⎩⎨⎧≥-=)1()],1([)0(1n n g f n , 设()()()+∈--=N n n g n g a n 1，则数列{}n a 为 （ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．已知02log 2log >>a b ,则nn nn n b a b a ++∞→lim 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．0D ．不存在11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%12．已知3)(32lim ,2)3(,2)3(3---='=→x x f x f f x 则的值为（ ）A ．－4B ．8C ．0D ．不存在二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________. 14．设数列{a n }满足a 1=6，a 2=4，a 3=3，且数列{a n+1－a n }（n ∈N *）是等差数列，求数列{a n }的通项公式__________________.15．设()244+=x xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛112111f f …⎪⎭⎫⎝⎛+1110f 的值为______ ___.16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖____________块.（理）已知nn a ⎪⎭⎫⎝⎛∙=312，把数列{}n a 的各项排成三角形状；1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a ……记A （m,n ）表示第m 行，第n 列的项，则A （10，8）= .三、解答题（本大题共6小题，共74分。
2020年人教版福建省高三数学专题练习-数列(附答案)
综上所述 ；
由数学归纳法原理知 成立.
5.证明：(Ⅰ)以下用数学归纳法证明 .
当 时, 成立；
假设当 时,结论也成立,即 ,
则当 时有 ,
故知结论成立.
(Ⅱ)解法一：∵ ,∴
∴
下面用数学归纳法结论
数学归纳法
当 时, 成立；
假设当 时,结论也成立,即 ,
则当 时有 ,
由数学归纳法原理知结论成立.
解法二：
∵ ,∴
∴
,解得 ,∴ ；
(Ⅱ) ,记 ,则
∴
证毕.
2.解：(Ⅰ)∵ ∴
∴ 即
∵ 成等差数列,∴
∵ ∴ ∴
又∵ 也满足上式,故 .
(Ⅱ)证明∵
∴
∴ .
3.解法一：(Ⅰ)∵ ,当 时,整理得 ∵ ,∴ ；
当 时,∵ ,∴ ,整理得
∴ 是等差数列, ,∴当 时,
∵ 也满足上式,∴
(Ⅱ)证明：
故不等式获证.
4.解：(Ⅰ)∵ 成等差数列,∴ ,
2.
【解析】∵ ,
∴ ,
又
∴ 与 的单调性一样,故选 .
3.B
【解析】∵ ,整理得 ,
且 ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
∴ ,∴ .
4.B
【解析】由题前25项的和可以看作第1项加上以第2,3,4项为首项,三个公差为2的等差数列的前8项之和.
由题可得 ,∴ ,∴ ,
故选B.
5.D
【解析】利用三角函数的降幂公式将条件 转化为 再利用和差化积公式转化,求得 ,从而可求得等差数列 的公差 ,根据 即可求得首项 的取值范围.
7.设 为数列 的前 项和, ,则数列 的前 项和为.
高三数学数列专题检测试题
高三数学数列专题检测制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一 选择题1．在等差数列{}n a 中，4681012120a a a a a ++++=，那么10122a a -= 〔 〕 A 20 B 22 C 24 D 282．数列{}n a 的首项1a =1， 121n n a a -=+，〔n ≥2〕，那么5a = 〔 〕 A 7 B 15 C 30 D 31 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设53a a =59，那么95ss = 〔 〕 A 1 B -1 C 2 D 124．等比数列{}n a 中，假设2*k k a a +的值〔 〕A必为正数 B 必为非负数 C 必为负数 D 符号不定5．等比数列 {}n a 的前n 项和n S =3n+k ，那么k 的值是 〔 〕A 2B1 C2D-16．在等比数列{}n a 中，1a <0，假设{}n a 是递增数列，那么q 应满足 〔 〕Aq>1 Bq<1C 0<q<1D q<0{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，77a b ≠，那么44a b 和的大小关系是 〔〕A44a b = B 44a b <C44a b >D 不确定8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设m>1，且2110m m m a a a -++-=，2138m s -=，那么m 的值是 〔 〕A38B20C10D99．等差数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n S 、n T ，假设n n S T =231n n +，那么100100a b = 〔〕 A1B23C199299D20030110．为迎接奥运会，决定从03年到07年这5年间更新内所有出租车。
假设每年更新的车辆数比前一年递增10%，那么03年底更新的车辆数为03年车辆总数的 〔 〕A10%B16.4%C16.8% D 20%二 填空题1．各项都是正数的等比数列，342314511,,,______2a a q a a a a a +≠=+成等差数列，则。
人教版数学高三必修五第二单元同步测试：数列
人教版数学高三必修五第二单元同步测试：数列数学在人类文明的发展中起着非常重要的作用，数学推动了重大的科学技术进步。
小编准备了人教版数学高三必修五第二单元同步测试，具体请看以下内容。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.在等差数列{an}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为()A.6B.7C.8D.9解析：∵a1+a2+a12+a13=4a7=24，∴a7=6.答案：A2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33-S22=1，则数列{an}的公差是()A.12B.1C.2D.3解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代入S33-S22=1，得d=2，故选C.答案：C3.已知数列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2 011等于()A.1B.-4C.4D.5解析：由已知，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…故{an}是以6为周期的数列，∴a2 011=a6×335+1=a1=1.答案：A4.设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5A.dS5 D.S6与S7均为Sn的最大值解析：∵S5又S7>S8，∴a8S5，则a6+a7+a8+a9>0，即2(a7+a8)>0.∵a7=0，a80，即15-23(n-1)>0，解得n0，而a240，a14>0，∴a7?a14≤a7+a1422=25.答案：A10.设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn 是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn()A.在直线mx+qy-q=0上B.在直线qx-my+m=0上C.在直线qx+my-q=0上D.不一定在一条直线上解析：an=mqn-1=x，①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y，②由②得qn=y-1，代入①得x=mq(y-1)，即qx-my+m=0.答案：B11.将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为() A.n2-n B.n2+n+2C.n2+nD.n2-n+2解析：因为前n-1组占用了数列2,4,6，…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n-1)n2+1项，等于2+(n-1)n2+1-1?2=n2-n+2. 答案：D12.设m∈N*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1 024)的值是()A.8 204B.8 192C.9 218D.以上都不对解析：依题意，F(1)=0，F(2)=F(3)=1，有2 个F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2，有22个.F(8)=…=F(15)=3，有23个.F(16)=…=F(31)=4，有24个.F(512)=…=F(1 023)=9，有29个.F(1 024)=10，有1个.故F(1)+F(2)+…+F(1024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+10.令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29，①则2T=1×22+2×23+…+8×29+9×210.②①-②，得-T=2+22+23+…+29-9×210 =2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2，∴T=8×210+2=8 194， m]∴F(1)+F(2)+…+F(1 024)=8 194+10=8 204.答案：A第Ⅱ卷 (非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若数列{an} 满足关系a1=2，an+1=3an+2，该数列的通项公式为__________.解析：∵an+1=3an+2两边加上1得，an+1+1=3(an+1)，∴{an+1}是以a1+1=3为首项，以3为公比的等比数列，∴an+1=3?3n-1=3n，∴an=3n-1.答案：an=3n-114.已知公差不为零的等差数列{an}中，M=anan+3，N=an+1an+2，则M与N的大小关系是__________.解析：设{an}的公差为d，则d≠0.M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)]=an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2。
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2003－2004学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学同步测试（2）—数列一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．数列1、3、6、10、…的一个通项公式是 （ ）A ．a n =n 2－(n －1)B ．a n =n 2－1C ．a n =2)1n (n + D ．a n =2)1n (n -2．等比数列{}n a 中，T n 表示前n 项的积，若T 5=l ，则 （ ）A ． a l =lB ．3a 3=lC ． a 4=1D ．a 5=l3．等差数列{a n }中，a m+n = α，a m-n = β，则其公差d 的值为 （ ）A ．n2β+α B ．n 2β-αC ．m 2β+α D ．m2β-α 4．若c b a cba、、，则，，1226232===构成 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列C ．是等差数列也是等比数列D ．不是等差数列也不是等比数列5．若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是 （ ）A ．x <yB ．x >yC ．x =yD ．x ≥y6．已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比，，设2193a a P q +=≠Q=75a a ，则P 与Q 的大小关系是（ ）A ．P>QB ．P<QC ．P=QD ．无法确定7．{}n a 是等差数列，S 10>0，S 11<0，则使n a <0的最小的n 值是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 （ ）A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项9．一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（既沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别是 （ ）A ．b a 81,8B ．b a 641,64 C ．b a 1281,128 D ．b a 2561,256 10．凸n 边形的各内角度数成等差数列，最小角是120︒，公差为5︒，则边数n 等于（ ）A ．9B ．12C ．16D ．1811．等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若231n n S nT n =+，则n na b 的值是（ ） A ．211n n -+ B ．231nn + CD ．2131n n -- 12．}{n a 是实数构成的等比数列，S n 是其前n 项和，则数列}{n S 中 （ ）A ．任一项均不为0B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0.7C ︒，已知山顶处的温度是14.8C ︒，山脚温度是26C ︒，则这山的山顶相对于山脚处的高度是 ． 14．已知数列{}n a 满足：()11214,3n n a a a n N ++==-∈，则使20n n a a +<成立的n 的值是 ．15．在数列}{n a 中，111(1)(1)(2)lim n n n n n a n a n a n S n S -→∞=+=-≥，，是前项和，则等于 ．16．等差数列}{n a 的前n 项和为S n ,且,.26,825324nS T a a a a nn ==+=-记如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，M T n ≤都成立.则M 的最小值是 .三、解答题（本题17—21小题每题12分，22小题14分，共74分）17．数列}{n a 中，当n 为奇数时，2215n n n a n n a =+=为偶数时，；当，求这个数列的前2m 项的和．18．已知4321a a a a 、、、成等差数列，4321b b b b 、、、成等比数列，且11b a +=15，22b a +=14，33b a +=15，44b a +=20．求等差数列}{n a 的公差d 及等比数列}{n b 的公比q ．19．已知数列{}n a 满足21=a ，对于任意的n ∈N ，都有n a ＞0，且()012112=-++++n n n n na a a a n .求数列{}n a 的通项n a 以及它的前n 项和n S .20．设各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，对于任意的正整数n 都有等式n n n S a S a S a S 412222211=++++++ 成立. （Ⅰ）求1a ； （Ⅱ）求证)(+∈+=N n a a S n n n 21412;（III ）求1lim n nS →∞.21．为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：（I）汪先生家每月应还款多少元?（II）在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?（参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)。
22．在直角坐标平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111 n n n y x P y x P y x P 对每个正整数n ，点P n 位于函数4133+=x y 的图象上，且P n 的横坐标构成以25-为首项，－1为公差的等差数列{x n }．（I ）求点P n 的坐标；（II ）设抛物线列C 1，C 2，C 3，…，C n ，…中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线C n 的顶点为P n 且过点D n （0，n 2+1），记过点D n 且与抛物线C n 只有一个交点的直线的斜率为k n ，求);111(lim 13221nn n k k k k k k -∞→+++ （III ）设S=},1,4|{},1,,2|{≥==≥∈=n y y y T n N n x x x n n 等差数列{a n }的任一项a n ∈S ∩T ，其中a 1是S ∩T 中的最大数，―265＜a 10＜―125，求{a n }的通项公式．参考答案一、1．C ．2．B. 3．B ． 4．A. 5．D. 6．A. 7．B. 8．A. 9．C. 10．A. 11．D. 12．D. 二、13． 1600米． 14．21. 15．2. 16．2.三、17． 数列12531-m a a a a ，，，， 是公差为10的等差数列，m a a a a 2642，，，， 是公比为2的等比数列，225122-++=∴+m m m m S ． 18．依题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=+20315214153112111111q b d a q b d a q b d a b a ，消去1a 得： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=-+5)1(1)1(1)1(2111q q b d q q b d q b d ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=---=-)3(5)1()2(1)1()1(1)1(2111d q q b d q q b d q b 即dd q d d q --=÷+--=÷15)2()3(11)1()2(得：；，得：，先解得d=-3，进而得q=2．19． n a ＞0（ｎ∈N ），且()012112=-++++n n n n na a a a n ，∴ (n +1)0)()(121=-+++n a a a a n n n n ． ∴11,1(21)2(1).1n n a n n a n n +-⎧-±+⎪===⎨+⎪+⎩∵ n a ＞0（ｎ∈N ）， ∴ 11+=+n n a a n n ． 即11+=+n n a a n n ．∴ n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n n n n =⋅⋅⋅--⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅=-----1223322111223322111．又21=a ,所以，n a n 2=．∴ ()n n n a a a S n n +=+++=+++=221212 ． 20． Ⅰ．当n=1时，21=a .Ⅱ．当2≥n 时，241+⋅=-=-n n n n n a S S S a n n n a a S 21412+=∴当n=1时，也符合n n n a a S 21412+=)(+∈+=∴N n a a S n n n 21412Ⅲ． 当2≥n 时，1212121412141-----+=-=n n n n n n n a a a a S S a0211=--+∴--))((n n n n a a a a 0>n a ， 21=-∴-n n a a 于是数列}{n a 是首项为2，公差为2的等差数列. )()(1222+=+=∴n n n n S n , 111111+-=+=∴n n n n S n )(, )]()()[(lim lim 111312121111+-++-+-=∑∴∞→=∞→n n S n k nk n 1111=+-=∞→)(lim n n .21．设月利率为r ，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款期限为n 月.第1月末欠款数 A(1＋r)－a,第2月末欠款数 [A (1＋r )－a ](1＋r )－a ＝ A (1＋r )2－a (1＋r )－a , 第3月末欠款数 [A (1＋r )2－a (1＋r )－a ](1＋r )－a＝A (1＋r )3－a (1＋r )2－a (1＋r )－a , ……第n 月末欠款数 0)1()1()1()1(21=-+--+-+-+--a r a r a r a r A n n n , 得：1)1()1(-+⨯+=n n r rr A a .(I) 对于12年期的10万元贷款，n ＝144，r ＝4.455‰, ∴37.9421004455.1004455.0004455.1100000144144=-⨯⨯=a ,对于15年期的15万元贷款，n ＝180，r ＝5.025‰, ∴22.12681005025.1005025.0005025.1150000180180=-⨯⨯=a . 由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．(II) 至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款a r a r a r a r A X -+--+-+-+=)1()1()1()1(142143144 .其中A ＝150000，a ＝1268.22，r ＝5.025‰ , ∴X ＝41669.53. 再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元． 22．（I ）),32(21+-=n x n ).512(41+-=n y n ∴点P n 坐标为).5512,232(+-+-n n（II ）设C n 方程为：)512(41)]32(21[,)(22+-++=+-=n n x a y y x x a y n n 即，①把D n （0，n 2+1）代入①式得：a =1，∴C n 方程为：.1)32(22++++=n x n x y11 过点D n 且斜率为k n 的直线l n 的方程为：,12++=n x k y n把l n 代入C n 得,0)32(2=-++x k n x n ，∴l n 与C n 只有一个交点 ∴△=0，即k n =2n+3．.101)32151(21lim )111(lim 12121=+-=+++∴∞→-∞→n k k k k k k n n n n （III ）},1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x ST=},1,,3)16(2|{}1,),512(|{≥∈-+-==≥∈+-=n N n n y y n N n n y y ∴T T S = ． T 中最大数为a 1=－17，设{a n }的公差为d ，则),125,265(91710--∈+-=d a 由此得：.129248-<<-d又),1,(12,≥∈-=∴∈m N m m d T a n ).1,(247,24≥∈-=-=∴n N n n a d n 故。