《保险精算学》笔记：多元生命函数
保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）
保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。
⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。
所以长期业务⼀般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。
所以短期业务⼀般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。
2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。
3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。
第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。
原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。
2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。
人大统计学院保险精算学课程大纲
人大统计学院保险精算学课程大纲教师：王晓军，黄向阳，王燕英文教材：, Actuarial Mathematics, edition, The Society of Actuarial,1997.中文参考教材：王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，1995。
该教材1996年12月获北京市第四届哲学社会科学优秀成果二等奖，1999年12月获国家统计局第三届全国高等学校优秀统计教材奖。
本课程总课时：72课程教学18周，每周4课时第一章：利息理论基础本章课时：10一、学习的目的和要求1、要求了解利息的各种度量2、掌握常见利息问题的求解原理3、掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧4、了解收益率的概念及各种场合下收益率的计算方法5、掌握分期偿还与偿债基金的原理并能确定分期偿还表与偿债基金表。
二、主要内容第一节：利息的度量一、利息的定义二、利息的度量三、变利息第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素二、利息问题求解的原则第三节：年金一、年金的定义和分类二、基本年金三、一般年金第四节：收益率一、收益率的概念二、收益率的唯一性判别三、再投资率四、基金的利息度量第五节：分期偿还表和偿债基金一、分期偿还表二、偿债基金第二章生命表函数与生命表构造本章课时：6一、学习的目的与要求1、理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系2、了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理3、掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法二、主要内容第一节生命表函数一、生存函数二、剩余寿命三、死亡效力第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型二、生命表的起源三、生命表的构造四、选择与终极生命表第三节有关分数年龄的假设一、使用背景二、基本原理三、常用假定第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定本章课时：10一、学习目的与要求1、掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理2、理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧3、认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值方差的计算4、理解趸缴纯保费的现实意义及递推公式的含义5、认识计算基数并能使用计算基数计算趸缴纯保费二、主要内容第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理一、人寿保险简介二、人寿保险趸缴纯保费厘定的原理第二节死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定一、定额受益保险二、两全保险三、延期保险四、变额受益保险第三节死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定一、各种情况下的死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定二、死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系第四节递归方程公式一及理解公式二及理解公式三及理解公式四及理解第五节计算基数一、什么是计算基数二、常用计算基数三、用计算基数表示常见寿险的趸缴纯保费第四章生存年金本章课时：8一、学习目的与要求1、理解生存年金的概念2、掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。
寿险精算公式集合
1 x x s ( x) 1
x
De Moivre 模型(1729)
,
0 x
x Bc x
x Gompertze 模型(1825) s ( x ) exp{ B (c 1)} , B 0,c 1,x 0
x A Bc x
x Makeham 模型(1860) s( x) exp{ Ax B(c 1)} , B 0,A -B,c 1,x 0
Var (T ( x )) E (T ( x ) 2 ) E (T ( x )) 2 2 t
0
p x dt ex
o 2
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： ( x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
ex ex E ( K ( x ))
k
x kx n
n 1 } , k 0, n 0, x 0 Weibull 模型(1939) s ( x ) exp{ kx
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布， 而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义： 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》 。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》 ，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合） 、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。 （用频数估计频率）
寿险精算(第一章)
还可证明：
由于 X (t ) ( x t )
sT ( x ) '(t ) sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) (t )) ',
(ln sT ( x ) (t )) ' ( x t ), ln sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) ( s)) 'ds ( x s)ds,
结论与例子： 结论1.2.1 生存函数s(t)和密度函数f(t)可用死亡 力来 (t ) 表示:
( s )ds ( s )ds s(t ) e 0 , f X (t ) (t )e 0 .
t t
证明：
由于 (t )
f X (t ) ( FX (t )) ' (1 FX (t )) ' 1 FX (t ) s (t ) s (t )
i 1 l0
t
t
d x E ( Ix X i Ix t X i ) E ( t Dx ).
T ( x)
2) T(x)的死亡力
s ( x)
x (t )
fT ( x ) (t ) 1 FT ( x ) (t )
X与T(x)的分布、密度、生存、死亡函数的 关系
结论1.3.1
f X (x t) fT ( x ) (t ) , t 0; s ( x)
t
( x s ) ds sT ( x ) (t ) e 0 ;
人数.
L( x) I X i x
i 1
l0
lx E ( L( x)) E ( IX i x ) l0 P( X1 x) l0 s( x).
保险精算第3章(3)
s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21
保险精算 第3章1 生命函数
X 50) F (50) F (30) 0.25
3.1.3 剩余寿命
剩余寿命 T 的分布函数 ，记作 t qx
关于t求导 函数为 f T (t ) S ( x t ) S ( x)
概率密度 T q Pr T ( x ) t Pr X x t X x t x
下面就是生存模型可回答的例子：
• 一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少?
• 假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少人可能 在下一年内死亡? • 如果某一45岁的男性公民，投保了一个10年的定期的 某种人寿保险，那么应该向他收多少保费?
• 一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民 的未来生存时间的影响是怎样的?
0.125
3.1.5 死亡效力
( x ) 的瞬时死亡率，简记 x 定义： 用生存函数的相对变化率来表示. S ( x) d ln[S ( x)] s S ( x) dx 用死力表示生存函数
联想 利息 力
S ( x) exp y dy
0
x
用死力表示其他函数
s( x) 1
t
x
px
qx
s( x t ) x t t px s ( x) x
t t q x 1 t p x x
练习：已知，死亡服从Markeham死亡 律：
20 0.003 30 0.004 40 0.006 20 A BC 20 0.003
t px xt
3.1.6 生存函数的解析表达式
有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型(1729) 提出随机变量X服从均匀分布(De Moivre假设) 1 x [0, w) f ( x) 其他 0
保险精算 第三章 生命表基础(一)
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17
当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17
3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1
,
0 x
式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)
x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17
概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k
保险精算学笔记多元生命函数
保险精算学笔记多元生命函数保险精算学是关于保险的理论和实践应用的学科。
它研究如何量化风险和利润，并设计合适的保险产品和资产负债管理策略。
本文将介绍保险精算学中的重要概念——多元生命函数。
什么是多元生命函数？多元生命函数是一种描述多个人同时存活或死亡情况的统计方法。
它包含了多个单变量生命函数，用于描述一个人的生命需要遵循的模型，例如年龄、性别和职业等。
而多元生命函数则可以描述同时考虑多个因素的情况。
在保险精算学中，多元生命函数通常用于计算生命险保费。
当同一保单中涉及到多个被保险人时，我们需要考虑他们可能同时死亡的风险，以及他们各自死亡的风险。
多元生命函数提供了一种方法来评估这种风险。
多元生命函数的形式多元生命函数通常使用生命表来表示。
一个生命表通常包含以下信息：1、年龄：生命表中的人群以不同年龄划分成组，其中每一组人被认为具有相同的死亡风险。
2、q_x：记录生命表中人群中x岁时高于x岁死亡的人数。
3、l_x：人口中在x岁时至少存活的人数。
对于任何特定年龄x，保险公司可以利用生命表的q_x和l_x来推断一岁时的死亡概率。
如何使用多元生命函数使用多元生命函数可以帮助保险公司更精确地计算保费，从而最大限度地保持其利润。
在实践中，保险公司可以使用多项式拟合和最小二乘法等数学工具来评估多元生命函数。
这些工具可以简化多元生命函数的计算，并提高保险公司的精算预测能力。
保险公司还可以使用多元生命函数来评估保险产品的风险程度。
如果一个保险产品涉及到多个被保险人，并且需要考虑多个因素，那么使用多元生命函数可以帮助评估该产品的相关风险。
从而保险公司可以基于真实的风险来定价产品。
总结保险精算学笔记多元生命函数是保险精算学中的重要概念，用于描述多个人同时存活或死亡的情况。
多元生命函数的形式通常使用生命表来表示。
使用多元生命函数可以帮助保险公司更准确地计算保费，并评估保险产品的风险程度。
这对于保险公司来说非常重要，可以帮助他们保持收益的最大化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《保险精算学》笔记：多元生命函数
第一节多元生命函数简介
一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。
二、多元生命函数的作用
养老金给付场合
合伙人联保场合
遗产税的计算场合
三、多元剩余寿命的联合分布
1、联合密度函数
2、联合分布函数
3、联合生存函数
4、边际生存函数
第二节多元生命状况
一、连生状况
1、连生状况定义
（1）定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。
当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。
简记
连生状况为：
（2）连生状况剩余寿命的定义：
（3）连生状况剩余寿命的性
质：连生状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最小次序统计量2、两个体连生状况的生命函数
（1）分布函数
（2）生存函数
特别：两个体剩余寿命独立场合
（3）密度函数
特别：两个体剩余寿命独立场合
（4）死亡效力函数
特别：两个体剩余寿命独立场合
（5）两个体至少有一个在第年内死亡的概率
（6）连生状况整值剩余寿命为的概率
（7）剩余寿命的期望
二、最后生存状况
1、最后生存状况的定义
（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。
当所有的成员都死亡时，最后生存状
况就结束了。
简记最后生存状况为：
（2）最后生存状况剩余寿命的定义：
（3）最后生存状况剩余寿命的性
质：最后生存状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最大次序统计量
2、多生命状况剩余寿命的关系
（1）
（2）
（3）
（4）
3、两个体最后生存状况的生命函数（1）分布函数
等价公式
（2）生存函数
等价公式
（3）密度函数
等价公式
（4）死亡效力函数
（5）最后生存状况整值剩余寿命为的概率
等价公式
（6）剩余寿命期望
4、联合生命状态剩余寿命协方差分析
第三节联合生命模型
一、简介
联合生命模型分为两类：Common Shock 模型和Copulas模型。
Common Shock 模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。
这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。
Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。
这种模型假定更符合实际情况，但不易于分析。
我们主要研究简单的Common Shock 模型。
二、 Common Shock 模型
1、定义：如果有满足
且有一个Common Shock 随机变量，它独立于，且服从指数生存函数
令
则
2、联合生命状况分析
记
则
（1）边际生存函数为
（2）连生状况剩余寿命生存函数为
（3）最后生存状况剩余寿命生存函数为
特别，独立时，等价于。
第四节人寿保险与生存年金
一、联合生命状况趸缴纯保费的确定
1、趸缴纯保费的确定原理
2、联合多生命状况趸缴纯保费的确定
（1）连生状况
（2）最后生存状况
二、联合生命状况生存年金的确定
1、生存年金确定原理
2、联合生命状况生存年金的确定
（1）连生状况
（2）最后生存状况
三、连生状况合最后死亡状况的关系
四、继承年金
1、继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开
始获得年金。
这种年金叫做继承年金，简记为。
2、终身继承年金
3、定期继承年金
第五节在特殊死亡律假定下求值
一、Gomperz 和Makeham假定
1、 Gomperz假定下
寻找能替代连生状态的单个生命状态，即
已知在Gomperz假定下有，则在两生命独立假定下有
由这个等式可求出，于是
2、 Makeham假定下
由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑用
两个同年龄的连生状态作替换，即
已知在Makeham假定下有，则在两生命独立假定下有
由这个等式可求出，于是
二、均匀分布假定
在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质。