数学分析9-3

研究它们的性质
2.达布(Darboux 1842～1917 法国数学家) 上和与下和的定 义
设 T={ xi
i 1,2,, n }为对[ a ,b]的任一分
割。由 f ( x) 在[ a ,b]上有界知，它在每个 xi 上 存在上、下确界：
M i sup f ( x)
xxi
,
mi inf f ( x)
为 是由 的分点增加 的分点所构成的分法。根 据性质 2，有
S S
S S
又
S S S S
S () S () .从而
第一式得证，同理可证第二式.
xxi
,
i 1,2, , n .
作和
S (T ) M i xi
i 1 n
，
s(T ) mi xi
i 1
n
，
分别称为 f ( x) 关于分割 T 的上和与下和（或称 达布上和与达布下和，统称达布和）
,2, n ， 显 然 有 任 给 i xi ， i 1
k
: x0 0 x1 x2
xn 1
D x x S ,
k 1 k k k 1
n
n
k
1
k [ xk 1 , xk ] {k } 若取 ，且 是 上的无理数，则积分和
D k xk 0 xk 0 S , k 1 k 1
T T 表示 T 是 T
的加细 .
a, b 【性质 1】 在区间 的一个固定分法 下， 达布
下和 S ( ) 与达布上和 S () 分别是积分和 S (, ) 的下 确界与上确界，即
S inf S (, )

【证】 下面证明式第一式.
，
S sup S (, )
p 进行 次.
系 设分法 T 有 p 个分点，则对任何分法 T ，有
S (T ) p(M m) || T || S (T ),
s(T ) p(M m) || T || s(T ).
证 S (T ) p(M m) || T || S (T T ) S (T )
__
__
内加上一个新分点 x 所成的分法, 分别设
M1 sup f ( x) ,
[ xi 1 , x ]
M 2 sup f ( x) ,
[ x, xi ]
M i sup f ( x) .
[ xi 1 , xi ]
显然有
m M1 和 M 2 M i M
.于是
0 S (T ) S (T1 ) M i ( xi xi1 ) M 1 ( x xi1 ) M 2 (xi x)
性质 4 设 T 是 T 添加 p 个新分点的加细. 则有 s(T ) s (T ) s(T ) + p ( M m) T ,
__
S (T )
S (T ) S (T ) p(M m) T 证 设 T1 是只在 T 中第 i 个区间 [ xi 1 , xi ]
.
s(T ) p(M m) || T || s(T T ) s(T )
上积分和下积分 :
__
设函数
f ( x) 在区间
[ a , b ] 上有界. 由以上性质 2 ， s(T ) 有
上界 ， S (T ) 有下界 .因此它们分别有上确 界和下确界.
定义
记 a
b
S (T ) f ( x)dx inf T
k 2,3,
, n ，此时，相应的积分和

S ,
1 1 1 n n4

k 1
n
f
k xk


1 1 2 n n
1 1 n n n
1 1 1 1 n ( ) (d () 0) n 2 3 n lim S , f x 故 d 0 不存在，从而 在 0,1 上不可
S ( ) S ( ) 显然 与 仅在这个地方不同
S ( ) 中对应于区间 [ xk 1 , xk ] 的项是
mk xk mk ( xk xk 1 )
S ( ) 中对应于这个区间是两项之和 而
( x xk 1 ) mk ( xk x) mk
一
可积的必要条件
定理 9.2 在 [a, b] 上必有界.
【证】 反证法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则 f ( x)
a, b f x 若函数 在 上无界，对
于
a, b
的任意分法
f x [ x , x ] i 1 i 则至少存在一个子区间，不妨设为 ， 在
例1 证明函数
1 f x x 0
0 x 1 x0
在[0，1]上不可积.
【证】 将[0，1]区间 n 等分，即取分法
k : xk , k 0,1, 2, n ,n
；取
{k } ，
k k 1 k 1 1 k , 1 4 0, n n n ， n n ， 其 中
§9.3
可积条件
一、可积的必要条 二、可积的充要条件
三、可积函数类
Riemann积分的定义
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
b n
( R) f ( x)dx lim f (i )xi
a ||T || 0 i 1
其中 x x x i i i 1 xi 1 i xi
积.
注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要 注意的是：有界函数不一定可积.
1, 当x为有理数 ， D( x) 例 2 证明狄利 克雷函数 0， 当x为无理数
1] 上有界但不可积. 在 [0，
0,1 【证】对于 的任意分法
根据有理数和无理数在数轴上的稠密性， 在 0,1 的没 有一个子区间上既有有理数，也有无理数 若取 {k } ，且 是 [ xk 1 , xk ] 上的有理数，则积分和
n n
从而 d 0 知，
lim S , 1
， d 0
lim S , 0
，根据定义
D x
在 0,1 上不可积.
二 可积的的充要条件
要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考 察积分和是否能无限接近某一常数， 但由于积分和 的复杂性和那个常数不可预知， 因此这是极其困难 的 . 下面即将出的可积准则只与被积函数本身有 关，而不涉及定积分的值.
【性质 3】
a, b 对于区间 任意两个分法
与
则
S () S ()
S () S ()
即达布下和总不能超过任意一个达布上和。
【证】
a, b 将区间 的分法 与 的分点合在
a, b 一起，得到 的一个新分法 ，可以认为 是由
的分点增加 的分点所构成的分法， 当然也可以认
i 1
f i xi A
A
k 1
k i 1

n
f (k )xk )
其中
f ( )x
k 1 k
i 1
k

k i 1

n
f (k )xk
.
[ x , x ] k k 1 k 于是对于任意取定的 ，
k 1, 2,
因
, i 1, i 1,
其上无界.对于任取的
n k 1
: x0 a x1 x2
xn b
{k } ，注意到
i 1 n k 1 k i 1
S , f (k )xk f (i )xi f (k )xk f (k )xk
f (i )xi ( f (k )xk
(M i M 1 )(x xi 1 ) (M i M 2 )(xi x)
(M m)(x xi1 ) (M m)(xi x) (M m)(xi xi1 )
(M m) T
添加
p
个新分点可视为依次添加一个分点 即证得第二式. 可类证第一式.
a, b 基础上增加若干个新分点，得到 的一
个新分法 ，则达布下和不减少，达布上和 不增加，即 S () S () S () S () 【证】 我们只须讨论在分法 的分点中再
x 加进一个分点 的情况. x x x x x x k k 1 k k 1 设 加在 与 之间， 于是

已知
mk inf
xk 1
f ( x) x x
k
， 根据下确界定义，
0 ， k [ xk 1 , xk ] ，使
mk f ( k ) mk

ba
于是
)xk
mk xk f ( k )xk (mk

ba
n
k 1, 2,
,n
将上式从加到n，有
,

分别称
b
a
s (T ) f ( x)dx sup T
.

b
a
和

b
a
为 函 数 f ( x) 在 区 间
[ a , b ] 上的上积分和下积分.
4.Darboux定理 :
Th 1 设函数 f ( x) 在区间 [ a , b ] 上有界, T 是区间 [ a , b ] 的分法 . 则有
xk 1 x x
inf 其中 mk